แรงสองชั้นเกิดขึ้นระหว่างวัตถุที่มีประจุข้ามของเหลว โดยทั่วไปคือน้ำ แรงนี้กระทำในระยะทางที่เทียบได้กับความยาวเดบายซึ่งอยู่ในลำดับหนึ่งถึงไม่กี่ส่วนสิบของนาโนเมตรความแรงของแรงเหล่านี้เพิ่มขึ้นตามขนาดของ ความหนาแน่น ของประจุบนพื้นผิว (หรือศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิว) สำหรับวัตถุสองชิ้นที่มีประจุเหมือนกัน แรงนี้จะเป็นแรงผลักและลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่ระยะทางที่มากขึ้น ดูรูป สำหรับวัตถุที่มีประจุไม่เท่ากันและในที่สุดที่ระยะทางที่สั้นลง แรงเหล่านี้อาจเป็นแรงดึงดูดได้เช่นกัน ทฤษฎีของDerjaguin, Landau, Verwey และ Overbeek (DLVO)รวมแรงสองชั้นดังกล่าวเข้ากับแรงแวนเดอร์วาลส์เพื่อประมาณศักย์ปฏิสัมพันธ์ที่แท้จริงระหว่างอนุภาคคอลลอยด์^{[ 1 ]}

ชั้นไฟฟ้าคู่จะเกิดขึ้นใกล้กับพื้นผิวที่มีประจุ (หรือวัตถุที่มีประจุอื่น ๆ) ในสารละลายที่เป็นน้ำ ภายในชั้นไฟฟ้าคู่นี้ ชั้นแรกจะสอดคล้องกับพื้นผิวที่มีประจุ ประจุเหล่านี้อาจมาจากไอออนที่ดูดซับอย่างแน่นหนา กลุ่มพื้นผิวที่แตกตัว หรือไอออนที่ถูกแทนที่ภายในโครงผลึก ชั้นที่สองจะสอดคล้องกับชั้นกระจาย ซึ่งประกอบด้วยประจุที่เป็นกลางที่ประกอบด้วยไอออนตรงข้ามที่สะสมอยู่และไอออนร่วมที่ลดลง โปรไฟล์ศักย์ไฟฟ้าที่เกิดขึ้นระหว่างวัตถุทั้งสองนี้ทำให้เกิดความแตกต่างของความเข้มข้นของไอออนภายในช่องว่างระหว่างวัตถุเหล่านี้เมื่อเทียบกับสารละลายโดยรวม ความแตกต่างเหล่านี้ก่อให้เกิดแรงดันออสโมติก ซึ่งสร้างแรงระหว่างวัตถุเหล่านี้

แรงเหล่านี้สามารถสัมผัสได้ง่ายเมื่อล้างมือด้วยสบู่ โมเลกุลของสบู่ที่ดูดซับทำให้ผิวหนังมีประจุลบ และความรู้สึกที่ลื่นเกิดจากแรงผลักของชั้นคู่ที่รุนแรง^{[ 2 ]}แรงเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องเพิ่มเติมในระบบคอลลอยด์หรือระบบชีวภาพหลายระบบ และอาจเป็นสาเหตุของความเสถียร การก่อตัวของผลึกคอลลอยด์ หรือคุณสมบัติทางรีโอโลยีของระบบเหล่านั้น

แบบจำลองที่นิยมใช้มากที่สุดในการอธิบายชั้นไฟฟ้าคู่คือแบบจำลองปัวซง-โบลต์ซมันน์ (PB) แบบจำลองนี้สามารถใช้ประเมินแรงของชั้นไฟฟ้าคู่ได้เช่นกัน ลองมาพิจารณาแบบจำลองนี้ในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตแบบระนาบดังแสดงในรูปด้านขวา ในกรณีนี้ โปรไฟล์ศักย์ไฟฟ้าψ ( z ) ใกล้กับส่วนต่อประสานที่มีประจุจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งz เท่านั้น สมการปัวซงที่สอดคล้องกันในหน่วย SI มี ดังนี้

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}\epsilon }}}$

โดยที่ρคือความหนาแน่นประจุต่อหน่วยปริมาตรε₀ _คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ และεคือค่าคงที่ไดอิเล็กตริกของของเหลว สำหรับอิเล็กโทรไลต์สมมาตรที่ประกอบด้วยแคตไอออนและแอนไอออนที่มีประจุ ± qความหนาแน่นประจุสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \rho =q(c_{+}-c_{-})}$

โดยที่c _± = N _± / Vคือความเข้มข้นของแคตไอออนและแอนไอออน โดยที่N _±คือจำนวนของแคตไอออนและแอนไอออน และVคือปริมาตรของตัวอย่าง โปรไฟล์เหล่านี้สามารถเชื่อมโยงกับศักย์ไฟฟ้าได้โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าศักย์เคมีของไอออนมีค่าคงที่ สำหรับไอออนทั้งสองชนิด ความสัมพันธ์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mu _{\pm }=\mu _{+}^{(0)}+kT\ln c_{\pm }\pm q\psi }$

โดยที่_ΔPคือศักย์เคมีอ้างอิงTคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ และk คือ ค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ศักย์เคมีอ้างอิงสามารถกำจัดได้โดยใช้สมการเดียวกันในบริเวณที่ห่างจากพื้นผิว ซึ่งถือว่าศักย์เป็นศูนย์และความเข้มข้นจะเข้าใกล้ความเข้มข้นในปริมาณมากcBดังนั้นโปรไฟล์ความเข้มข้นจึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle \mu _{\pm }^{(0)}}$

${\displaystyle c_{\pm }=c_{\rm {B}}e^{\mp \beta q\psi }}$

โดยที่β = 1/( kT ) ความสัมพันธ์นี้สะท้อนถึงการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ของไอออนที่มีพลังงาน ± qψเมื่อใส่ความสัมพันธ์เหล่านี้ลงในสมการปัวซงจะได้สมการ PB ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}={\frac {qc_{\rm {B}}}{\epsilon _{0}\epsilon }}[e^{+\beta q\psi }-e^{-\beta q\psi }]}$

โดยปกติแล้ว โปรไฟล์ศักย์ระหว่างแผ่นสองแผ่นจะได้รับจากการแก้สมการนี้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

เมื่อทราบโปรไฟล์ศักยภาพแล้ว แรงต่อหน่วยพื้นที่ระหว่างแผ่นที่แสดงเป็นแรงดันแยก Π สามารถหาได้ดังต่อไปนี้ จุดเริ่มต้นคือความสัมพันธ์ของ Gibbs–Duhemสำหรับระบบสององค์ประกอบที่อุณหภูมิคงที่^{[ 3 ]}

${\displaystyle -Vd\Pi +N_{+}d\mu _{+}+N_{-}d\mu _{-}=0}$

เมื่อนำค่าความเข้มข้นc _± มา ใช้ และใช้สูตรของศักย์เคมีμ _±ที่ให้ไว้ข้างต้น จะได้ว่า

${\displaystyle d\Pi =kT(dc_{+}+dc_{-})+q(c_{+}-c_{-})d\psi }$

ความแตกต่างของความเข้มข้นสามารถขจัดได้ด้วยสมการปัวซง และสมการที่ได้สามารถอินทิเกรตได้ตั้งแต่ระยะห่างอนันต์ของแผ่นไปจนถึงระยะห่างจริงhโดยตระหนักว่า

${\displaystyle 2(d^{2}\psi /dz^{2})d\psi =d(d\psi /dz)^{2}}$

เมื่อแสดงโปรไฟล์ความเข้มข้นในรูปของโปรไฟล์ศักยภาพ จะได้ดังนี้

${\displaystyle \Pi =kTc_{\rm {B}}(e^{+\beta q\psi }+e^{-\beta q\psi }-2)-{\frac {\epsilon _{0}\epsilon }{2}}\left({\frac {d\psi }{dz}}\right)^{2}}$

จากโปรไฟล์ศักย์ไฟฟ้าที่ทราบψ ( z ) เราสามารถคำนวณแรงดันแยกจากสมการนี้ได้ ณ ตำแหน่งz ที่เหมาะสมใดๆ การหาความสัมพันธ์เดียวกันสำหรับแรงดันแยกโดยวิธีอื่นเกี่ยวข้องกับเทนเซอร์ความเค้น^{[ 1 ]}

เมื่อศักย์ไฟฟ้าหรือความหนาแน่นประจุไม่สูงเกินไป สมการ PB สามารถลดรูปให้เหลือ สมการ Debye-Hückel (DH) ได้ โดยการขยายฟังก์ชันเลขชี้กำลังในสมการ PB ออกเป็นอนุกรมเทย์เลอร์จะได้

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}=\คัปปา ^{2}\psi }$       ที่ไหน       ${\displaystyle \;\;\;\kappa ^{2}={\frac {2\beta q^{2}c_{\rm {B}}}{\epsilon _{0}\epsilon }}}$

พารามิเตอร์κ ⁻¹เรียกว่าความยาวเดบาย (Debye length ) และค่าตัวอย่างบางส่วนสำหรับเกลือโมโนวาเลนต์ในน้ำที่อุณหภูมิ 25°C โดยมีε ≃ 80 แสดงอยู่ในตารางด้านขวา ในสารละลายที่ไม่ใช่น้ำ ความยาวเดบายอาจมีค่ามากกว่าค่าที่แสดงในตารางอย่างมาก เนื่องจากค่าคงที่ไดอิเล็กตริกมีค่าน้อยกว่า แบบจำลอง DH เป็นการประมาณที่ดี เมื่อศักย์ไฟฟ้าที่พื้นผิวมีค่าต่ำเพียงพอเมื่อเทียบกับค่าจำกัด

${\displaystyle \beta q\psi \ll 1\;\;\;{\rm {or}}\;\;\;\psi \ll {\frac {kT}{q}}\simeq 26\;{\rm {mV}}}$

ค่าตัวเลขดังกล่าวหมายถึงเกลือโมโนวาเลนต์และอุณหภูมิ 25°C ในทางปฏิบัติ การประมาณค่า DH ยังคงมีความแม่นยำค่อนข้างดีจนถึงศักยภาพพื้นผิวที่เทียบได้กับค่าจำกัดที่ระบุไว้ข้างต้น ความดันแยกตัวสามารถหาได้จากสมการ PB ที่ระบุไว้ข้างต้น ซึ่งสามารถลดรูปให้เป็นกรณี DH ได้โดยการขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ นิพจน์ที่ได้คือ

${\displaystyle \Pi ={\frac {\epsilon _{0}\epsilon }{2}}\left[\kappa ^{2}\psi ^{2}-\left({\frac {d\psi }{dz}}\right)^{2}\right]}$

ข้อได้เปรียบที่สำคัญของแบบจำลอง DH เมื่อเทียบกับแบบจำลอง PB คือสามารถหาแรงได้โดยวิธีวิเคราะห์ กรณีที่เกี่ยวข้องบางส่วนจะกล่าวถึงต่อไปนี้

เมื่อพื้นผิวอยู่ห่างกันมากพอ โปรไฟล์ศักย์ที่เกิดจากแต่ละพื้นผิวจะไม่ถูกรบกวนมากนักจากการมีอยู่ของพื้นผิวอื่น การประมาณนี้จึงชี้ให้เห็นว่าเราสามารถบวก ( ซ้อนทับ ) โปรไฟล์ศักย์ที่เกิดจากแต่ละพื้นผิวได้ดังแสดงในรูป เนื่องจากโปรไฟล์ศักย์ผ่านจุดต่ำสุดที่ระนาบกลาง จึงง่ายที่สุดที่จะประเมินแรงดันแยกตัวที่ระนาบกลาง คำตอบของสมการ DH สำหรับผนังที่แยกเดี่ยวมีดังนี้

${\displaystyle \psi (z)=\psi _{\rm {D}}e^{-\กัปปะ z}}$

โดยที่zคือระยะห่างจากพื้นผิว และψ _Dคือศักย์พื้นผิว ศักย์ที่ระนาบกลางจึงมีค่าเป็นสองเท่าของค่าศักย์นี้ที่ระยะz = h /2 แรงดันแยกตัวกลายเป็น^{[ 1 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \Pi =2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {D}}^{2}e^{-\kappa h}}$

แรงของชั้นคู่ไฟฟ้าสถิตจะลดลงในลักษณะเลขชี้กำลัง เนื่องจากการกำบังของอิเล็กโทรไลต์ ระยะของแรงจึงกำหนดโดยความยาวเดบายและความแรงของแรงกำหนดโดยศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิว (หรือ ความหนาแน่น ของประจุบนพื้นผิว ) การประมาณนี้จะกลายเป็นค่าที่ถูกต้องแม่นยำก็ต่อเมื่อระยะห่างระหว่างแผ่นตัวนำมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับความยาวเดบาย และศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิวมีค่าต่ำ

ผลลัพธ์นี้สามารถสรุปทั่วไปได้ง่ายๆ สำหรับพื้นผิวที่มีประจุสูง แต่เฉพาะที่ระยะห่างที่มากขึ้นเท่านั้น แม้ว่าศักยภาพจะมีค่ามากใกล้กับพื้นผิว แต่ศักยภาพจะมีค่าน้อยที่ระยะห่างที่มากขึ้น และสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ DH อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราต้องแทนที่ศักยภาพชั้นกระจายจริงψ _Dด้วยศักยภาพที่มีประสิทธิภาพψ _effภายในแบบจำลอง PB ศักยภาพที่มีประสิทธิภาพนี้สามารถประเมินได้ทางวิเคราะห์ และอ่านได้ดังนี้^{[ 4 ]}

${\displaystyle \psi _{\rm {eff}}={\frac {4}{\beta q}}\tanh(\beta q\psi _{\rm {D}})}$

การประมาณแบบซ้อนทับสามารถขยายไปยังระบบที่ไม่สมมาตรได้อย่างง่ายดาย เหตุผลที่คล้ายคลึงกันนำไปสู่การแสดงออกของแรงดันแยกตัว

${\displaystyle \Pi (h)=2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {eff}}^{(1)}\psi _{\rm {eff}}^{(2)}e^{-\kappa h}}$

โดยตัวเลขยกกำลังหมายถึงคุณสมบัติของพื้นผิวแต่ละชนิด ในระยะห่างที่มากขึ้น พื้นผิวที่มีประจุตรงข้ามกันจะผลักกัน และพื้นผิวที่มีประจุเหมือนกันจะดึงดูดกัน

แม้ว่าการประมาณแบบซ้อนทับจะมีความแม่นยำที่ระยะห่างมาก แต่จะไม่ถูกต้องอีกต่อไปที่ระยะห่างน้อยลง การแก้สมการ DH หรือ PB ระหว่างแผ่นจะให้ภาพที่แม่นยำกว่าในเงื่อนไขเหล่านี้ ในที่นี้เราจะกล่าวถึงเฉพาะสถานการณ์สมมาตรภายในแบบจำลอง DH เท่านั้น การอภิปรายนี้จะนำเสนอแนวคิดของการควบคุมประจุซึ่งชี้ให้เห็นว่าประจุบนพื้นผิว (และศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิว) อาจเปลี่ยนแปลง (หรือควบคุม) เมื่อเข้าใกล้กัน

สมการ DH สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำสำหรับแผ่นสองแผ่น^{[ 1 ] [ 5 ]}เงื่อนไขขอบเขตมีบทบาทสำคัญ และศักยภาพพื้นผิวและความหนาแน่นประจุพื้นผิว จะกลายเป็นฟังก์ชันของการแยกพื้นผิวhและอาจแตกต่างจากปริมาณที่สอดคล้องกันψ _Dและσสำหรับพื้นผิวที่แยกตัว เมื่อประจุพื้นผิวคงที่เมื่อเข้าใกล้กัน จะเรียกว่า เงื่อนไขขอบเขต ประจุคงที่ (CC) ในกรณีนี้ ศักยภาพของชั้นกระจายจะเพิ่มขึ้นเมื่อเข้าใกล้กัน ในทางกลับกัน เมื่อศักยภาพพื้นผิวคงที่ จะเรียกว่า เงื่อนไขขอบเขต ศักยภาพคงที่ (CP) ในกรณีนี้ ความหนาแน่นประจุพื้นผิวจะลดลงเมื่อเข้าใกล้กัน การลดลงของประจุดังกล่าวอาจเกิดจากการดูดซับหรือการคายประจุของไอออนที่มีประจุจากพื้นผิว การเปลี่ยนแปลงของชนิดที่ถูกดูดซับเมื่อเข้าใกล้กันนี้ยังเรียกว่าการดูดซับแบบใกล้เคียง [ ^{6 ] ความ}สามารถของพื้นผิวในการควบคุมประจุสามารถวัดปริมาณได้ด้วยพารามิเตอร์การควบคุม ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {D}}}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

${\displaystyle p={\frac {C_{\rm {D}}}{C_{\rm {I}}+C_{\rm {D}}}}}$

โดยที่C _D = ε ₀ ε κคือความจุของชั้นกระจาย และC _Iคือความจุภายใน (หรือความจุควบคุม) เงื่อนไข CC พบได้เมื่อp = 1 ในขณะที่เงื่อนไข CP สำหรับp = 0 กรณีที่เกิดขึ้นจริงโดยทั่วไปจะอยู่ระหว่างสองเงื่อนไขนี้ การแก้สมการ DH แสดงให้เห็นว่าศักยภาพของชั้นกระจายแปรผันตามการเข้าใกล้

${\displaystyle {\bar {\psi }__{\rm {D}}={\frac {1}{1-p+p\tanh(\kappa h/2)}}\psi _{\rm {D}}}$

ในขณะที่ความหนาแน่นประจุบนพื้นผิวเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน

${\displaystyle {\bar {\sigma }}={\frac {\tanh(\kappa h/2)}{1-p+p\tanh(\kappa h/2)}}\sigma }$

สามารถหาค่าความดันการบวมได้โดยการแทนค่าคำตอบที่แน่นอนของสมการ DH ลงในนิพจน์ข้างต้น และจะได้ว่า

${\displaystyle \Pi =2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {D}}^{2}{\frac {e^{-\kappa h}}{[1+(1-2p)e^{-\kappa h}]^{2}}}}$

แรงผลักจะแรงที่สุดสำหรับเงื่อนไข CC ( p = 1) ในขณะที่แรงผลักจะอ่อนกว่าสำหรับเงื่อนไข CP ( p = 0) ผลลัพธ์ของการประมาณการซ้อนทับจะได้รับการกู้คืนเสมอที่ระยะทางที่มากขึ้น แต่ยังรวมถึงp = 1/2 ที่ระยะทางทั้งหมดด้วย ข้อเท็จจริงหลังนี้อธิบายว่าทำไมการประมาณการซ้อนทับจึงมีความแม่นยำมากแม้ในระยะห่างเล็กน้อย พื้นผิวควบคุมประจุของมัน และบ่อยครั้งที่พารามิเตอร์การควบคุมจริงไม่ได้อยู่ห่างจาก 1/2 มากนัก สถานการณ์นี้แสดงให้เห็นในรูปด้านล่าง จากการพิจารณาเสถียรภาพ เราสามารถแสดงได้ว่าp < 1 และพารามิเตอร์นี้อาจกลายเป็นค่าลบได้ ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายไปยังกรณีที่ไม่สมมาตรได้โดยตรง^{[ 5 ]}

เมื่อศักยภาพพื้นผิวถูกแทนที่ด้วยศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ ภาพ DH แบบง่ายนี้สามารถใช้ได้กับพื้นผิวที่มีประจุสูงขึ้นในระยะทางที่ไกลขึ้น อย่างไรก็ตาม ในระยะทางที่สั้นกว่านั้น อาจเข้าสู่ระบอบ PB และพารามิเตอร์การควบคุมอาจไม่คงที่ ในกรณีนี้ จะต้องแก้สมการ PB ร่วมกับแบบจำลองที่เหมาะสมของกระบวนการประจุพื้นผิว มีการสาธิตในเชิงทดลองแล้วว่าผลกระทบของการควบคุมประจุสามารถมีความสำคัญมากในระบบที่ไม่สมมาตร^{[ 7 ]}

นักวิจัยหลายท่านได้ศึกษาปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุต่างๆ ภายในแบบจำลอง DH และ PB ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องบางส่วนได้สรุปไว้ดังต่อไปนี้

รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่เป็นระนาบ : วัตถุที่มีรูปทรงเรขาคณิตอื่นที่ไม่ใช่ระนาบสามารถพิจารณาได้ภายใต้การประมาณของ Derjaguinโดยมีเงื่อนไขว่าขนาดของวัตถุนั้นใหญ่กว่าความยาว Debye อย่างมาก การประมาณนี้ถูกนำมาใช้เพื่อประมาณแรงระหว่างอนุภาคคอลลอยด์ที่มีประจุสองอนุภาค ดังแสดงในรูปแรกของบทความนี้ ลักษณะที่เป็นเลขชี้กำลังของแรงผลักเหล่านี้และความจริงที่ว่าช่วงของแรงนั้นกำหนดโดยความยาว Debye ได้รับการยืนยันจากการทดลองโดย ^การวัดแรงโดยตรง รวมถึงอุปกรณ์แรงพื้นผิว [ ^{3 ] [ 8 ]}เทคนิคโพรบคอลลอยด์ [ ^{7 ] [ 9 ]}หรือแหนบแสง^{[ 10 ] [ 11 ] พลังงานอิสระปฏิสัมพันธ์ ที่} เกี่ยวข้องกับอนุภาคทรงกลมสองอนุภาคภายใต้การประมาณ DH เป็นไปตามศักยภาพYukawaหรือ Coulomb ที่ถูกกรอง^{[ 4 ] [ 12 ]}

${\displaystyle U={\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon \epsilon _{0}}}\left({\frac {e^{\kappa a}}{1+\kappa a}}\right)^{2}{\frac {e^{-\kappa r}}{r}}}$

โดยที่rคือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางQคือประจุของอนุภาค และaคือรัศมีของอนุภาค สมการนี้อิงตามการประมาณแบบซ้อนทับและใช้ได้เฉพาะที่ระยะห่างมาก ๆ เท่านั้น สมการนี้สามารถขยายไปใช้กับอนุภาคที่มีประจุสูงขึ้นได้โดยการตีความประจุQใหม่เป็นประจุประสิทธิผล ในการพิจารณาปฏิสัมพันธ์ในสถานการณ์อื่น ๆ จำเป็นต้องใช้การแก้สมการ DH หรือ PB ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

การกระจายประจุที่ไม่สม่ำเสมอหรือเป็นหย่อมๆ : ปฏิสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวที่มีการกระจายประจุที่ไม่สม่ำเสมอและเป็นคาบได้รับการวิเคราะห์ภายในการประมาณ DH ^{[ 13 ] [ 14 ]}พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่ามีการกระจายประจุแบบโมเสกหรือเป็นหย่อมๆ ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งจากการศึกษาเหล่านี้คือมีส่วนร่วมของแรงดึงดูดทางไฟฟ้าสถิตเพิ่มเติม ซึ่งลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเช่นกัน เมื่อความไม่สม่ำเสมอถูกจัดเรียงในโครงตาข่ายกำลังสองที่มีระยะห่างbความยาวการลดลงq ⁻¹ของแรงดึงดูดเพิ่มเติมนี้สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle q^{2}=\kappa ^{2}+\left({\frac {2\pi }{b}}\right)^{2}}$

ที่ระดับความเค็มสูง แรงดึงดูดนี้จะถูกบดบังด้วยการปฏิสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวที่มีประจุสม่ำเสมอ แต่ที่ระดับความเค็มต่ำ ขอบเขตของแรงดึงดูดนี้จะสัมพันธ์กับขนาดลักษณะเฉพาะของความไม่สม่ำเสมอของประจุบนพื้นผิว

แรงสามตัว : ปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่มีประจุอ่อนๆ นั้นเป็นแบบบวกกันเป็นคู่ๆ เนื่องจากลักษณะเชิงเส้นของการประมาณ DH อย่างไรก็ตาม ในระดับ PB จะมีแรงดึงดูดสามตัวอยู่^{[ 11 ]}พลังงานอิสระของปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุสามชิ้น 1, 2 และ 3 สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle F_{123}=F_{12}+F_{12}+F_{12}+\Delta F_{123}}$

โดยที่F _ijคือพลังงานอิสระของคู่ และΔF ₁₂₃คือส่วนประกอบสามตัวที่ไม่สามารถบวกกันได้ ส่วนประกอบสามตัวเหล่านี้พบว่ามีความน่าสนใจในระดับ PB ซึ่งหมายความว่าวัตถุที่มีประจุสามชิ้นจะผลักกันอย่างอ่อนแรงกว่าที่คาดหวังได้จากปฏิสัมพันธ์แบบคู่เพียงอย่างเดียว

คำอธิบายที่แม่นยำยิ่งขึ้นของปฏิสัมพันธ์สองชั้นสามารถนำเสนอได้ในแบบจำลองดั้งเดิมแบบจำลองนี้พิจารณาปฏิสัมพันธ์ทางไฟฟ้าสถิตและแกนแข็งระหว่างไอออนแต่ละตัวอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้รวมตัวทำละลายไว้ในลักษณะ "ดั้งเดิม" เท่านั้น กล่าวคือเป็นไดอิเล็กทริกต่อเนื่อง แบบจำลองนี้ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในชุมชนทฤษฎี^{[ 12 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}นิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับแรงส่วนใหญ่ไม่มีให้ใช้งาน แต่สามารถเข้าถึงได้ด้วยการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ สมการอินทิกรัล หรือทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น

ผลการค้นพบที่สำคัญจากการศึกษาเหล่านี้คือ คำอธิบาย PB เป็นเพียงการประมาณค่าเฉลี่ยสนามเท่านั้น การประมาณค่านี้ยอดเยี่ยมในสภาวะที่เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบอ่อนซึ่งก็คือสำหรับอิเล็กโทรไลต์โมโนวาเลนต์และพื้นผิวที่มีประจุอ่อน อย่างไรก็ตาม คำอธิบายนี้ใช้ไม่ได้ในสภาวะการเชื่อมต่อแบบแรงซึ่งอาจพบได้ในอิเล็กโทรไลต์มัลติวาเลนต์ ระบบที่มีประจุสูง หรือตัวทำละลายที่ไม่ใช่น้ำ^{[ 17 ]}ในสภาวะการเชื่อมต่อแบบแรง ไอออนจะมีความสัมพันธ์กันอย่างมาก หมายความว่าไอออนแต่ละตัวจะมีรูที่ถูกกีดกันรอบตัวมันเอง ความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้เกิดการดูดซับไอออนอย่างรุนแรงบนพื้นผิวที่มีประจุ ซึ่งอาจนำไปสู่การกลับประจุและการตกผลึกของไอออนเหล่านี้บนพื้นผิว ความสัมพันธ์เหล่านี้ยังอาจเหนี่ยวนำให้เกิดแรงดึงดูด ช่วงของแรงเหล่านี้โดยทั่วไปจะต่ำกว่า 1 นาโนเมตร

ประมาณปี 1990 หลักฐานทางทฤษฎีและการทดลองได้ปรากฏขึ้นว่าแรงระหว่างอนุภาคที่มีประจุซึ่งแขวนลอยอยู่ในสารละลายเจือจางของอิเล็กโทรไลต์โมโนวาเลนต์อาจเป็นแรงดึงดูดที่ระยะทางที่ไกลขึ้น^{[ 18 ] [ 19 ]}หลักฐานนี้ขัดแย้งกับทฤษฎี PB ที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งทำนายปฏิสัมพันธ์แบบผลักกันในสถานการณ์เหล่านี้เสมอ การวิเคราะห์ทางทฤษฎีที่นำไปสู่ข้อสรุปเหล่านี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรง^{[ 20 ] [ 21 ]} ผลการทดลองส่วนใหญ่มาจากการใช้กล้องจุลทรรศน์วิดีโอ แต่การวิเคราะห์ข้อมูลพื้นฐานถูกตั้งคำถามเกี่ยวกับบทบาทของสิ่งเจือปน ความเหมาะสมของเทคนิคการประมวลผลภาพ^{[ 10 ]}และบทบาทของปฏิสัมพันธ์ทางอุทกพลศาสตร์^{[ 22 ]}แม้จะมีการวิพากษ์วิจารณ์ในเบื้องต้น หลักฐานที่สะสมมาแสดงให้เห็นว่า DLVO ไม่สามารถอธิบายฟิสิกส์ที่จำเป็นในการอธิบายการสังเกตการณ์จากการทดลองได้^{[ 23 ]}

แม้ว่าชุมชนจะยังคงสงสัยเกี่ยวกับการมีอยู่ของแรงดึงดูดที่มีประสิทธิภาพระหว่างสปีชีส์ที่มีประจุเหมือนกัน แต่การจำลองพลศาสตร์โมเลกุลด้วยคอมพิวเตอร์ล่าสุดที่มีคำอธิบายตัวทำละลายอย่างชัดเจนได้แสดงให้เห็นว่าตัวทำละลายมีบทบาทสำคัญในโครงสร้างของสปีชีส์ที่มีประจุในสารละลาย ในขณะที่ PB และแบบจำลองดั้งเดิมไม่สามารถอธิบายผลกระทบส่วนใหญ่เหล่านี้ได้^{[ 24 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวทำละลายมีบทบาทสำคัญในการกำหนดตำแหน่งประจุของไอออนที่กระจายตัวในโดเมนที่อุดมไปด้วยไอออนซึ่งทำให้สปีชีส์ที่มีประจุเข้าใกล้กันมากขึ้น จากแนวคิดนี้ การจำลองได้อธิบายแนวโน้มการทดลอง เช่น การหายไปของยอดการกระเจิงในสารละลาย โพลีอิเล็ก โทรไลต์ที่ ปราศจากเกลือ ^{[ 25 ]}และความไม่สม่ำเสมอของโครงสร้างของอนุภาคคอลลอยด์/อนุภาคนาโนที่มีประจุ^{[ 24 ]}ที่สังเกตได้จากการทดลอง ซึ่งวิธีการ PB และแบบจำลองดั้งเดิมไม่สามารถอธิบายได้

ปฏิสัมพันธ์ของชั้นคู่มีความเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์จำนวนมาก^{[ 4 ]}แรงเหล่านี้เป็นสาเหตุของการบวมตัวของดินเหนียวนอกจากนี้ยังอาจเป็นสาเหตุของการทำให้ สาร แขวนลอยคอลลอยด์ มีความเสถียร และจะป้องกันการรวมตัวของอนุภาคคอลลอยด์ที่มีประจุสูงในสารแขวนลอยในน้ำ ที่ความเข้มข้นของเกลือต่ำ แรงผลักของชั้นคู่สามารถมีระยะไกลขึ้น และอาจนำไปสู่โครงสร้างของสารแขวนลอยคอลลอยด์ และในที่สุดก็อาจนำไปสู่การก่อตัวของผลึกคอลลอยด์แรงผลักดังกล่าวอาจทำให้เกิดการปิดกั้นพื้นผิวระหว่างการตกตะกอนของอนุภาคปฏิสัมพันธ์ของชั้นคู่มีความเกี่ยวข้องกับสารรวมตัวของสารลดแรงตึงผิวเช่นกัน และอาจเป็นสาเหตุของการทำให้เฟสลูกบาศก์ที่ทำจากไมเซล ทรงกลม หรือเฟสแผ่นบางที่ประกอบด้วยสารลดแรงตึงผิวหรือลิปิดไบเลเยอร์มีความ เสถียร