ทฤษฎีบทของเดอร์ริคเป็นข้อโต้แย้งของนักฟิสิกส์ GH Derrick ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคำตอบเฉพาะที่ แบบอยู่ กับ ที่ ของสมการคลื่นไม่เชิงเส้น หรือสมการไคลน์-กอร์ดอนไม่เชิงเส้น ในมิติเชิงพื้นที่สามมิติขึ้นไปนั้นไม่เสถียร

บทความของเดอร์ริค^{[ 1 ]} ซึ่งถือเป็นอุปสรรคต่อการตีความโซลูชันที่คล้ายโซลิตอนว่าเป็นอนุภาค ประกอบด้วยข้อโต้แย้งทางกายภาพต่อไปนี้เกี่ยวกับการไม่มีอยู่ของโซลูชันคงที่เฉพาะที่เสถียร สำหรับสมการคลื่นไม่เชิงเส้น

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

ปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเดอร์ริก (ด้านบน)${\displaystyle f(s)}$เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้โดยที่${\displaystyle f'(0)=0}$.)

พลังงานของคำตอบที่ไม่ขึ้นกับเวลา${\displaystyle \theta (x)\,}$ได้รับจาก

${\displaystyle E=\int \left[(\nabla \theta )^{2}+f(\theta )\right]\,d^{3}x.}$

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของสารละลายคือ${\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}$. สมมติ${\displaystyle \theta (x)\,}$เป็นโซลูชันเฉพาะพื้นที่ของ${\displaystyle \delta E=0\,}$. กำหนด${\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}$ที่ไหน${\displaystyle \lambda }$เป็นค่าคงที่ที่กำหนดขึ้นเอง และเขียนว่า${\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}$,${\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}$. แล้ว

${\displaystyle E_{\lambda }=\int \left[(\nabla \theta _{\lambda })^{2}+f(\theta _{\lambda })\right]\,d^{3}x=I_{1}/\lambda +I_{2}/\lambda ^{3}.}$

จากที่ใด${\displaystyle dE_{\lambda }/d\lambda \vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0.\,}$ และตั้งแต่${\displaystyle I_{1}>0\,}$,

${\displaystyle \left.{\frac {d^{2}E_{\lambda }}{d\lambda ^{2}}}\right|_{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}$

นั่นคือ${\displaystyle \delta ^{2}E<0\,}$สำหรับการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกับการยืดตัวอย่างสม่ำเสมอของอนุภาคดังนั้นคำตอบจึงเป็นเช่นนี้${\displaystyle \theta (x)\,}$ไม่เสถียร

ข้อโต้แย้งของเดอร์ริคใช้ได้ผลสำหรับ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle n\geq 3\,}$.

โดยทั่วไป^{[ 2 ]} ให้${\displaystyle g}$ต่อเนื่องกัน โดยมี${\displaystyle g(0)=0}$. ระบุ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$. อนุญาต

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

เป็นคำตอบของสมการ

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

ในแง่ของการกระจายตัวจากนั้น${\displaystyle u}$ตอบสนองความสัมพันธ์

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx,}$

รู้จักกันในชื่อเอกลักษณ์ของ Pokhozhaev (บางครั้งสะกดว่าเอกลักษณ์ของ Pohozaev ) ^{[ 3 ]} ผลลัพธ์นี้คล้ายกับทฤษฎีบทวิเรียล

เราอาจเขียนสมการได้ดังนี้ ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}$ ในรูปแบบแฮมิลโทเนียน${\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}$, ${\displaystyle \partial _{t}v=-\เดลต้า _{u}H(u,v)}$, ที่ไหน${\displaystyle u,\,v}$เป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} }$ฟังก์ชันแฮมิลตันกำหนดโดย

${\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|v|^{2}+{\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}+{\frac {1}{2}}f(u)\right)\,dx,}$

และ${\displaystyle \เดลต้า _{u}H\,}$,${\displaystyle \เดลต้า _{v}H\,}$ คือ อนุพันธ์แปรผันของ${\displaystyle H(u,v)\,}$.

จากนั้นจึงได้สารละลายที่อยู่กับที่${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$ มีพลังงาน ${\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|\nabla \theta |^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}$ และสอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle 0=\partial _{t}\theta (x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{2}}E'(\theta ),}$

กับ ${\displaystyle E'\,}$ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์แปรผันของฟังก์ชัน${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}[\vert \nabla \theta \vert ^{2}+f(\theta )]\,d^{n}x}$แม้ว่าวิธีแก้ปัญหานั้น${\displaystyle \theta (x)\,}$ เป็นจุดสำคัญอย่างยิ่งของ${\displaystyle E\,}$(เนื่องจาก${\displaystyle E'(\theta )=0\,}$(ข้อโต้แย้งของเดอร์ริคแสดงให้เห็นว่า) ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta (\lambda x))<0}$ ที่${\displaystyle \lambda =1\,}$, เพราะฉะนั้น ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$ ไม่ใช่จุดต่ำสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชันพลังงาน${\displaystyle H\,}$ดังนั้น ในทางกายภาพแล้ว วิธีแก้ปัญหาคือ...${\displaystyle \theta (x)\,}$คาดว่าจะไม่เสถียร ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง แสดงให้เห็นว่าพลังงานของสถานะคงที่เฉพาะที่ไม่ได้ถูกทำให้ต่ำสุด (โดยมีข้อโต้แย้งที่เขียนไว้สำหรับ${\displaystyle n=3}$แม้ว่าการอนุมานนั้นจะถูกต้องในมิติต่างๆ ก็ตาม${\displaystyle n\geq 2}$) ได้รับโดย RH Hobart ในปี พ.ศ. 2506 ^{[ 4 ]}

ข้อความที่แข็งแกร่งกว่าความไม่เสถียรเชิงเส้น (หรือเลขชี้กำลัง)ของโซลูชันคงที่เฉพาะที่สำหรับสมการคลื่น ไม่เชิงเส้น (ในมิติเชิงพื้นที่ใดๆ) ได้รับการพิสูจน์โดย P. Karageorgis และ WA Strauss ในปี 2007 ^{[ 5 ]}

เดอร์ริคอธิบายถึงวิธีที่เป็นไปได้บางประการในการแก้ปัญหานี้ รวมถึงสมมติฐานที่ว่าอนุภาคพื้นฐานอาจสอดคล้องกับโซลูชันที่มีเสถียรภาพและเฉพาะที่ซึ่งเป็นคาบเวลา แทนที่จะเป็นอิสระจากเวลา อันที่จริง ต่อมาได้มีการแสดงให้เห็น^{[ 6 ]}ว่าคลื่นเดี่ยวที่เป็นคาบเวลา${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}$ด้วยความถี่${\displaystyle \omega \,}$อาจมีเสถียรภาพในวงโคจรหากเป็นไปตามเกณฑ์เสถียรภาพของ Vakhitov–Kolokolov

• เสถียรภาพวงโคจร
• ตัวตนของโปโคซาเยฟ
• เกณฑ์เสถียรภาพของวาคิตอฟ–โคโลโคลอฟ
• ทฤษฎีบทวิเรียล