ความไม่สามารถนับได้ของจำนวนจริงได้รับการพิสูจน์แล้วจากการพิสูจน์ความไม่สามารถนับได้ครั้งแรกของแคนเตอร์แต่ก็ยังเป็นผลสืบเนื่องมาจากผลลัพธ์ข้างต้นด้วย เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จะสร้าง ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตTของสตริงไบนารีอนันต์ไปยังเซตRของจำนวนจริง เนื่องจากTเป็นเซตที่ไม่สามารถนับได้ภาพของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นเซตย่อยของRจึงเป็นเซตที่ไม่สามารถนับได้ ดังนั้นRจึงเป็นเซตที่ไม่สามารถนับได้ นอกจากนี้ โดยใช้วิธีการสร้างที่แคนเตอร์คิดค้นขึ้นจะสร้างฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง TและRดังนั้นTและR จึง มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน ซึ่งเรียกว่า " จำนวนสมาชิกของคอนติเนียม " และมักจะใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$หรือ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากTไปยังRถูกกำหนดโดยการแมปสตริงไบนารีในTไปยังเศษส่วนทศนิยมเช่น การแมปt  =  0111... ไปยังทศนิยม 0.0111.... ฟังก์ชันนี้ ซึ่งกำหนดโดยf ( t ) = 0.t เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเนื่องจากแมปสตริงที่แตกต่างกันไปยังตัวเลขที่แตกต่างกัน^{[หมายเหตุ 4 ]}

การสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างTและRนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แทนที่จะแมป 0111... ไปยังเลขฐานสิบ 0.0111... เราสามารถแมปไปยัง เลข ฐาน -b ได้ : 0.0111... ซึ่งนำไปสู่ตระกูลฟังก์ชัน: f ( t ) = 0. t ฟังก์ชันf ( t )เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ยกเว้นf ( t )ฟังก์ชันนี้จะถูกดัดแปลงเพื่อสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างTและR

การสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างTและR

ฟังก์ชันh : (0,1) → (−π/2, π/2) ฟังก์ชันแทน: (−π/2, π/2) → R โครงสร้างนี้ใช้วิธีการที่คิดค้นโดยแคนเตอร์ซึ่งตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2321 เขาใช้เพื่อสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างช่วงปิด [0, 1] และจำนวนอตรรกยะในช่วงเปิด (0,  1) ก่อนอื่นเขาได้ลบ เซตย่อย อนันต์ที่นับได้ ออก จากแต่ละเซตเหล่านี้ เพื่อให้มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตที่เหลืออยู่ซึ่งนับไม่ได้ เนื่องจากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตย่อยอนันต์ที่นับได้ที่ถูกลบออกไป การรวมการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั้งสองเข้าด้วยกันจึงทำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตดั้งเดิม[ 9 ] วิธีของแคนเตอร์สามารถใช้ปรับเปลี่ยนฟังก์ชันf² ( t ) = 0.t²เพื่อสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากT ไปยัง (0, 1) ได้ เนื่องจากบางจำนวนมีเลขฐานสองสองแบบ f²(t จึงไม่ใช่ หนึ่งต่อหนึ่งซ้ำตัวอย่างเช่น f² ( ...) = 0.1000...   = 1/2 และf² (0111...) = 0.0111...   = 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2 ดังนั้นทั้ง 1000... และ 0111... จึง ค่าเท่ากับจำนวนเดียวกันคือ 1/2 ในการปรับเปลี่ยนf ( t )สังเกตว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ยกเว้นสำหรับเซตย่อยอนันต์ที่นับได้ของ (0,  1) และเซตย่อยอนันต์ที่นับได้ของTมันไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงสำหรับตัวเลขใน (0,  1) ที่มีการขยายเลขฐาน สองสองแบบ ตัวเลข เหล่านี้เรียกว่า ตัวเลข ไดอะดิกและมีรูปแบบm / 2 nโดยที่mเป็นจำนวนเต็มคี่ และnเป็นจำนวนธรรมชาติ ให้เรียงลำดับตัวเลขเหล่านี้ในลำดับ: r  = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8,  ...) นอกจากนี้f ( t )ยังไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงไปยัง (0,  1) สำหรับสตริงในTที่ปรากฏหลังจุดทศนิยมในการขยายเลขฐานสองของ 0, 1 และตัวเลขในลำดับrด้วย ใส่สตริงที่คงที่ในที่สุดเหล่านี้ลงในลำดับ: s  = ( 000 ..., 111 ..., 1 000 ..., 0 111 ..., 01 000 ..., 00 111 ..., 11 000 ..., 10 111 ..., ...). กำหนดฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงg ( t ) จากTไปยัง (0, 1): ถ้าtเป็นสตริงที่ n ในลำดับs ให้g ( t ) เป็นจำนวนที่nในลำดับrมิฉะนั้นg ( t ) = 0. t .     ในการสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากTไปยังRให้เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันแทนเจนต์ tan( x ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก (−π/2, π  /2) ไปยังR (ดูรูปทางด้านขวา) ต่อมา สังเกตว่าฟังก์ชันเชิงเส้นh ( x )  = πx – π/2เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก (0,  1) ไปยัง (−π/2,  π/2) (ดูรูปทางด้านซ้าย) ฟังก์ชันประกอบ tan( h ( x ))  = tan(πx – π/2)เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก (0,  1) ไปยังRการประกอบฟังก์ชันนี้กับg ( t ) จะได้ฟังก์ชัน tan( h ( g ( t )))  = tan( πg ( t ) – π/2)ซึ่งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากTไปยังR

แคนเตอร์ใช้รูปแบบทั่วไปของการพิสูจน์โดยใช้แนวทแยงเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแคนเตอร์ : สำหรับทุกเซตSเซตกำลังของS —นั่นคือ เซตของเซตย่อย ทั้งหมด ของS (ในที่นี้เขียนว่าP ( S ))—ไม่สามารถเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง กับSได้ การพิสูจน์ดำเนินไปดังนี้:

ให้fเป็นฟังก์ชัน ใดๆ จากSไปยังP ( S ) ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าfไม่สามารถเป็นฟังก์ชันทั่วถึงได้นั่นหมายความว่า สมาชิกT บางตัว ของP ( S ) หรือก็คือเซตย่อยบางส่วนของS นั้นไม่อยู่ในภาพของfพิจารณาเซตต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

${\displaystyle T=\{s\in S:s\notin f(s)\}.}$

สำหรับทุกsในSนั้นsจะอยู่ในTหรือไม่ก็ได้ ถ้าsอยู่ในTแล้ว ตามนิยามของT s จะไม่อยู่ในf ( s ) ดังนั้นTจึงไม่เท่ากับf ( s ) ในทางกลับกัน ถ้าsไม่อยู่ในTแล้ว ตามนิยามของT s จะอยู่ในf ( s ) ดังนั้นTจึงไม่เท่ากับf ( s ) เช่น กันดูภาพประกอบ

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการพิสูจน์นี้ โปรดดูทฤษฎีบทของแคนเตอร์

โดยที่ความเท่าเทียมกันถูกนิยามว่าเป็นการมีอยู่ของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตพื้นฐาน แคนเตอร์ยังได้นิยามตัวบ่งชี้ทวิภาคของจำนวนสมาชิกด้วย${\displaystyle |S|}$และ${\displaystyle |T|}$ในแง่ของการมีอยู่ของการฉีดระหว่าง${\displaystyle S}$และ${\displaystyle T}$มีคุณสมบัติเหมือนการสั่งซื้อล่วงหน้าและเขียนไว้ที่นี่ว่า "${\displaystyle \leq }$เราสามารถฝังจำนวนธรรมชาติลงในลำดับไบนารีได้ จึงพิสูจน์ ข้อความ การมีอยู่แบบฉีด ต่างๆ ได้อย่างชัดเจน ดังนั้นในแง่นี้${\displaystyle |{\mathbb {N} }|\leq |2^{\mathbb {N} }|}$, ที่ไหน${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$แสดงถึงปริภูมิฟังก์ชัน${\displaystyle {\mathbb {N} }\to \{0,1\}}$แต่จากข้อโต้แย้งในส่วนก่อนหน้า ไม่มีฟังก์ชันทั่วถึง (surjection)และดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) ด้วย กล่าวคือ เซตนี้เป็นเซตที่นับไม่ได้ ด้วยเหตุนี้จึงอาจเขียนได้ว่า${\displaystyle |{\mathbb {N} }|<|2^{\mathbb {N} }|}$, ที่ไหน "${\displaystyle <}$"เข้าใจได้ว่าหมายถึงการมีอยู่ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) ควบคู่ไปกับการพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) (ตรงข้ามกับทางเลือกอื่น เช่น การปฏิเสธลำดับเบื้องต้นของแคนเตอร์ หรือคำจำกัดความในแง่ของลำดับที่กำหนด ) นอกจากนี้${\displaystyle |S|<|{\mathcal {P}}(S)|}$ในแง่นี้ ดังที่ได้แสดงให้เห็นแล้ว และในขณะเดียวกันก็เป็นความจริงที่ว่า${\displaystyle \neg (|{\mathcal {P}}(S)|\leq |S|)}$สำหรับทุกชุด${\displaystyle S}$.

โดยสมมติว่ากฎของตัวกลางที่ถูกยกเว้นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะกระจายไปยังเซตกำลัง และจากนั้น${\displaystyle |2^{S}|=|{\mathcal {P}}(S)|}$ดังนั้นจำนวนนับไม่ได้${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$นอกจากนี้ยังไม่สามารถแจงนับได้ และยังสามารถแมปไปยังได้อีกด้วย${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ตามทฤษฎีบทคลาสสิกทฤษฎีบทชโรเดอร์-เบิร์นสไตน์นั้นใช้ได้และกล่าวว่าเซตสองเซตใดๆ ที่เป็นภาพหนึ่งต่อหนึ่ง (injective image) ของกันและกัน ก็เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) ด้วยเช่นกัน ในที่นี้ เซตย่อยที่ไม่มีขอบเขตทุกเซตของ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$จากนั้นจะเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ตัวมันเอง และ เซตย่อย ที่นับได้ ทุกเซต (คุณสมบัติในแง่ของการส่งทั่วถึง) ก็จะนับได้อยู่แล้ว กล่าวคือ ในภาพส่งทั่วถึงของ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ในบริบทนี้ ความเป็นไปได้ต่างๆ จึงหมดลง ทำให้ "${\displaystyle \leq }$" ลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดหรือแม้แต่ลำดับทั้งหมดเมื่อสมมติว่ามีการเลือก การให้เหตุผลแบบทแยงมุมจึงแสดงให้เห็นว่า แม้ว่าเซตทั้งสองที่พิจารณาอยู่จะเป็นอนันต์ แต่ในความเป็นจริงแล้วมี ลำดับอนันต์ของหนึ่งและศูนย์ มากกว่าจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์ของแคนเตอร์จึงบ่งชี้ว่าแนวคิดของเซตของเซตทั้งหมดนั้นไม่สอดคล้องกัน: ถ้า${\displaystyle S}$ถ้าเป็นเซตของเซตทั้งหมดแล้ว${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ในขณะเดียวกันก็จะมีขนาดใหญ่กว่า${\displaystyle S}$และกลุ่มย่อยของ${\displaystyle S}$.

ปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตที่รวมถึง แผนการ ทำความเข้าใจแบบไม่จำกัดนั้นขัดแย้งกันเอง โปรดสังเกตว่ามีความคล้ายคลึงกันระหว่างการสร้างTและเซตในปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ ดังนั้น ขึ้นอยู่กับว่าเราปรับเปลี่ยนแผนการสัจพจน์ของการทำความเข้าใจอย่างไรเพื่อหลีกเลี่ยงปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ ข้อโต้แย้งเช่นการไม่มีอยู่ของเซตทั้งหมดอาจยังคงใช้ได้หรืออาจใช้ไม่ได้ก็ได้

วิธีการที่คล้ายกับการใช้เหตุผลแบบทแยงมุมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์การมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์แบบดั้งเดิมว่าปัญหาการหยุด ทำงานแก้ไม่ได้นั้นโดยพื้นฐานแล้วก็คือการใช้เหตุผลแบบทแยงมุม นอกจากนี้ การหาค่าทแยงมุมยังถูกใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของ กลุ่มความซับซ้อนที่ยากอย่างไม่จำกัดและมีบทบาทสำคัญในความพยายามในช่วงแรกๆ ที่จะพิสูจน์ว่าP ไม่เท่ากับ NP