เครื่อง คำนวณ เชิงผลต่าง (Difference Engine ) เป็น เครื่องคำนวณเชิงกลอัตโนมัติที่ออกแบบมาเพื่อสร้างตาราง ฟังก์ชัน พหุนามมันถูกออกแบบขึ้นในช่วงทศวรรษ 1820 โดยชาร์ลส์ แบ็บเบจชื่อเครื่องคำนวณเชิงผล ต่างมาจากวิธี ผลต่างจำกัด ( Method of Finite Differences ) ซึ่งเป็นวิธีในการประมาณค่าหรือสร้างตารางฟังก์ชันโดยใช้ชุดสัมประสิทธิ์พหุนามจำนวนเล็กน้อยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กันทั่วไปในงานวิศวกรรม วิทยาศาสตร์ และการเดินเรือหลายฟังก์ชันสร้างขึ้นจากฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งสามารถประมาณค่าได้ด้วยพหุนาม ดังนั้นเครื่องคำนวณเชิงผลต่างจึงสามารถคำนวณตาราง ที่มีประโยชน์มากมาย ได้

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

Astronomische Nachrichten/Volume 46/เกี่ยวกับเครื่องจักรใหม่ของมิสเตอร์แบ็บเบจสำหรับการคำนวณและพิมพ์ตารางทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์

แนวคิดเกี่ยวกับเครื่องคำนวณเชิงกลสำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สามารถสืบย้อนไปได้ถึงกลไกแอนติคิเธราในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ในขณะที่ตัวอย่างในยุคต้นสมัยใหม่นั้นเชื่อกันว่าเป็นผลงานของปาสคาลและไลบ์นิซในศตวรรษที่ 17

ในปี ค.ศ. 1784 JH Müllerวิศวกรใน กองทัพ เฮสเซียนได้คิดค้นและสร้างเครื่องคำนวณบวกเลขและอธิบายหลักการพื้นฐานของเครื่องคำนวณผลต่างในหนังสือที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1786 (เอกสารอ้างอิงถึงเครื่องคำนวณผลต่างฉบับแรกมีขึ้นในปี ค.ศ. 1784) แต่เขาไม่สามารถหาเงินทุนเพื่อพัฒนาแนวคิดนี้ต่อไปได้^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ชาร์ลส์ แบ็บเบจ เริ่มสร้างเครื่องคำนวณผลต่างขนาดเล็กในราวปี ค.ศ. 1819 ^{[ 4 ]}และสร้างเสร็จสมบูรณ์ในปี ค.ศ. 1822 (เครื่องคำนวณผลต่าง 0) ^{[ 5 ]}เขาประกาศสิ่งประดิษฐ์ของเขาเมื่อวันที่ 14 มิถุนายน ค.ศ. 1822 ในเอกสารที่นำเสนอต่อราชสมาคมดาราศาสตร์เรื่อง "หมายเหตุเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้เครื่องจักรในการคำนวณตารางทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์" ^{[ 6 ]}เครื่องนี้ใช้ระบบเลขฐานสิบและขับเคลื่อนด้วยการหมุนด้ามจับรัฐบาลอังกฤษให้ความสนใจ เนื่องจากการผลิตตารางนั้นใช้เวลานานและมีราคาแพง และพวกเขาหวังว่าเครื่องคำนวณผลต่างจะทำให้งานนี้ประหยัดมากขึ้น^{[ 7 ]}

ในปี ค.ศ. 1823 รัฐบาลอังกฤษได้มอบเงิน 1,700 ปอนด์ให้แก่ Babbage เพื่อเริ่มต้นโครงการ แม้ว่าการออกแบบของ Babbage จะเป็นไปได้ แต่เทคนิคการผลิตโลหะในยุคนั้นไม่สามารถผลิตชิ้นส่วนที่มีความแม่นยำและปริมาณตามที่ต้องการได้อย่างคุ้มค่า ดังนั้นการดำเนินการจึงพิสูจน์แล้วว่ามีราคาแพงกว่าและมีโอกาสประสบความสำเร็จน้อยกว่าที่รัฐบาลประเมินไว้ในตอนแรก ตามการออกแบบ Difference Engine No. 1 ในปี ค.ศ. 1830 จะมีชิ้นส่วนประมาณ 25,000 ชิ้น น้ำหนัก 4 ตัน [ ^{8 ]}และทำงานกับตัวเลข 20 หลักโดยใช้ความแตกต่างลำดับที่หก ในปี ค.ศ. 1832 Babbage และJoseph Clement ได้สร้างแบบจำลองขนาดเล็กที่ใช้ ^งานได้ (หนึ่งในเจ็ดของแผน) ^{[ 5 ]}ซึ่งทำงานกับตัวเลข 6 หลักโดยใช้ความแตกต่างลำดับที่สอง^{[ 9 ] [ 10 ]}เลดี้ไบรอนบรรยายถึงการได้เห็นต้นแบบที่ใช้งานได้จริงในปี พ.ศ. 2476 ว่า "เราทั้งคู่ไปดูเครื่องจักรคิด (หรือดูเหมือนจะเป็นอย่างนั้น) เมื่อวันจันทร์ที่แล้ว มันยกกำลังเลขหลายตัวเป็นกำลัง 2 และ 3 และหาค่ารากของสมการกำลังสองได้" ^{[ 11 ]} ต่อ มาเอดา โลฟเลซลูกสาวของเลดี้ไบรอนก็หลงใหลและทำงานสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์โปรแกรมแรกที่ตั้งใจจะแก้สมการของเบอร์นูลลีโดยใช้เครื่องจักรผลต่าง การทำงานกับเครื่องจักรขนาดใหญ่ถูกระงับในปี พ.ศ. 2476

เมื่อรัฐบาลละทิ้งโครงการในปี พ.ศ. 2385 ^{[ 10 ] [ 12 ]}บาเบจได้รับและใช้เงินไปกว่า 17,000 ปอนด์ในการพัฒนา ซึ่งยังคงไม่เพียงพอที่จะทำให้เครื่องจักรใช้งานได้จริง รัฐบาลให้คุณค่าเฉพาะผลผลิตของเครื่องจักร (ตารางที่ผลิตได้อย่างประหยัด) ไม่ใช่การพัฒนา (ด้วยต้นทุนที่คาดเดาไม่ได้) ของเครื่องจักรเอง บาเบจปฏิเสธที่จะยอมรับสถานการณ์นั้น^{[ 7 ]}ในขณะเดียวกัน ความสนใจของบาเบจได้เปลี่ยนไปเป็นการพัฒนาเครื่องจักรเชิงวิเคราะห์ซึ่งยิ่งบั่นทอนความเชื่อมั่นของรัฐบาลในความสำเร็จของเครื่องจักรเชิงผลต่างในที่สุด ด้วยการปรับปรุงแนวคิดให้เป็นเครื่องจักรเชิงวิเคราะห์ บาเบจได้ทำให้แนวคิดเครื่องจักรเชิงผลต่างล้าสมัย และโครงการที่จะนำไปใช้ก็ล้มเหลวอย่างสิ้นเชิงในมุมมองของรัฐบาล^{[ 7 ]}

เครื่อง Difference Engine หมายเลข 1 ที่ยังสร้างไม่เสร็จถูกนำมาจัดแสดงต่อสาธารณชนในงานนิทรรศการนานาชาติปี 1862ที่เซาท์เคนซิงตันลอนดอน^{[ 13 ] [ 14 ]}

Babbage ได้ออกแบบเครื่องวิเคราะห์ทั่วไปของเขาต่อไป แต่ต่อมาได้ออกแบบ "เครื่องคำนวณผลต่างหมายเลข 2" ที่ได้รับการปรับปรุง (ตัวเลข 31 หลักและผลต่างลำดับที่เจ็ด) ^{[ 9 ]}ระหว่างปี 1846 ถึง 1849 Babbage สามารถใช้ประโยชน์จากแนวคิดที่พัฒนาขึ้นสำหรับเครื่องวิเคราะห์เพื่อทำให้เครื่องคำนวณผลต่างแบบใหม่คำนวณได้เร็วขึ้นในขณะที่ใช้ชิ้นส่วนน้อยลง^{[ 15 ] [ 16 ]}

ด้วยแรงบันดาลใจจากเครื่องคำนวณเชิงผลต่างของแบ็บเบจในปี 1834 นักประดิษฐ์ชาวสวีเดนเพอร์ เกออร์ก เชอทซ์ได้สร้างแบบจำลองทดลองหลายชิ้น ในปี 1837 เอ็ดเวิร์ด บุตรชายของเขาได้เสนอให้สร้างแบบจำลองที่ใช้งานได้จริงด้วยโลหะ และในปี 1840 ก็ได้สร้างส่วนการคำนวณเสร็จสมบูรณ์ ซึ่งสามารถคำนวณอนุกรมที่มีตัวเลข 5 หลักและผลต่างอันดับหนึ่งได้ และต่อมาได้ขยายไปถึงอันดับสาม (1842) ในปี 1843 หลังจากเพิ่มส่วนการพิมพ์เข้าไป แบบจำลองก็เสร็จสมบูรณ์

ในปี พ.ศ. 2494 การก่อสร้างเครื่องจักรขนาดใหญ่และปรับปรุงแล้ว (ตัวเลข 15 หลักและผลต่างอันดับสี่) ซึ่งได้รับการสนับสนุนทางการเงินจากรัฐบาล ได้เริ่มต้นขึ้นและแล้วเสร็จในปี พ.ศ. 2496 เครื่องจักรดังกล่าวได้รับการสาธิตในงานมหกรรมโลกที่ปารีสในปี พ.ศ. 2498 จากนั้นจึงขายให้กับหอดูดาวดัดลีย์ในอัลบานี รัฐนิวยอร์กในปี พ.ศ. 2499 ส่งมอบในปี พ.ศ. 2490 นับเป็นเครื่องคำนวณแบบพิมพ์เครื่องแรกที่ขายได้^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ในปี พ.ศ. 2490 รัฐบาลอังกฤษได้สั่งซื้อ เครื่องคำนวณผลต่าง ของ Scheutz รุ่นต่อไป ซึ่งสร้างขึ้นในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 20 ] [ 21 ]}มีโครงสร้างพื้นฐานเหมือนกับรุ่นก่อนหน้า น้ำหนักประมาณ 10  cwt (1,100  ปอนด์ ; 510  กิโลกรัม ) ^{[ 19 ]}

Martin Wibergปรับปรุงโครงสร้างของ Scheutz ( ประมาณปี 1859เครื่องของเขามีความจุเท่ากับของ Scheutz คือ 30 หลักและลำดับที่หก) แต่ใช้เครื่องมือของเขาเพื่อผลิตและเผยแพร่ตารางที่พิมพ์เท่านั้น (ตารางดอกเบี้ยในปี 1860 และ ตาราง ลอการิทึมในปี 1875) ^{[ 22 ]}

อัลเฟรด ดีคอน แห่งลอนดอน ประมาณปี ค.ศ. 1862ได้ประดิษฐ์เครื่องคำนวณผลต่างขนาดเล็ก (ตัวเลข 20 หลักและผลต่างลำดับที่สาม) ^{[ 17 ] [ 23 ]}

จอร์จ บี. แกรนต์ชาวอเมริกันเริ่มสร้างเครื่องคำนวณของเขาในปี พ.ศ. 2312 โดยไม่ทราบถึงผลงานของแบ็บเบจและเชทซ์ (เชนท์ซ) หนึ่งปีต่อมา (พ.ศ. 2313) เขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับเครื่องคำนวณเชิงผลต่างและดำเนินการออกแบบด้วยตนเอง โดยอธิบายการสร้างของเขาในปี พ.ศ. 2314 ในปี พ.ศ. 2317 สโมสรวันพฤหัสบดีแห่งบอสตันได้ระดมทุนเพื่อสร้างแบบจำลองขนาดใหญ่ ซึ่งสร้างเสร็จในปี พ.ศ. 2319 สามารถขยายเพื่อเพิ่มความแม่นยำและมีน้ำหนักประมาณ 2,000 ปอนด์ (910 กิโลกรัม) ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

Christel Hamannสร้างเครื่องจักรหนึ่งเครื่อง (ตัวเลข 16 หลักและผลต่างอันดับสอง) ในปี 1909 สำหรับ "ตารางของBauschingerและ Peters" ("ตารางลอการิทึม-ตรีโกณมิติที่มีทศนิยมแปดตำแหน่ง") ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในไลป์ซิกในปี 1910 เครื่องจักรนี้มีน้ำหนักประมาณ 40 กิโลกรัม (88 ปอนด์) ^{[ 23 ] [ 26 ] [ 27 ]}

ในราวปี พ.ศ. 2455 บริษัท Burroughs Corporationได้สร้างเครื่องจักรสำหรับสำนักงานปฏิทินเดินเรือซึ่งใช้เป็นเครื่องคำนวณผลต่างอันดับสอง^{[ 28 ] : 451 [ 29 ]}ต่อมาในปี พ.ศ. 2462 เครื่องจักรดังกล่าวถูกแทนที่โดยเครื่อง Burroughs Class 11 (ตัวเลข 13 หลักและผลต่างอันดับสอง หรือตัวเลข 11 หลักและผลต่างอันดับห้า [ อย่างน้อยที่สุด]) ^{[ 30 ]}

อเล็กซานเดอร์ จอห์น ทอมป์สันสร้างเครื่องคำนวณอินทิเกรตและผลต่าง (ตัวเลข 13 หลักและผลต่างลำดับที่ห้า) สำหรับตารางลอการิทึมของเขา "Logarithmetica britannica" ประมาณปี 1927 เครื่องนี้ประกอบด้วยเครื่องคิดเลข Triumphator ที่ดัดแปลงแล้วสี่เครื่อง^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

ในปี พ.ศ. 2461 Leslie Comrieได้อธิบายวิธีการใช้ เครื่องคำนวณ Brunsviga -Dupla เป็นเครื่องคำนวณผลต่างอันดับสอง (ตัวเลข 15 หลัก) ^{[ 28 ]}เขายังตั้งข้อสังเกตในปี พ.ศ. 2474 ว่าเครื่องบัญชีแห่งชาติ Class 3000 สามารถใช้เป็นเครื่องคำนวณผลต่างอันดับหกได้^{[ 23 ] : 137–138}

ในช่วงทศวรรษ 1980 อัลลัน จี. บรอมลีย์รองศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยซิดนีย์ประเทศออสเตรเลียได้ศึกษาภาพวาดต้นฉบับของแบ็บเบจสำหรับเครื่องคำนวณผลต่างและเครื่องคำนวณเชิงวิเคราะห์ที่ ห้องสมุด พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ในลอนดอน^{[ 34 ]} งานนี้ทำให้พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์สร้างส่วนคำนวณที่ใช้งานได้ของเครื่องคำนวณผลต่างหมายเลข 2 ตั้งแต่ปี 1985 ถึง 1991 ภายใต้ การดูแลของ โดรอน สเวด ภัณฑารักษ์ด้านการคำนวณในขณะนั้น เพื่อเป็นการเฉลิมฉลองครบรอบ 200 ปีวันเกิดของแบ็บเบจในปี 1991 ในปี 2002 เครื่องพิมพ์ที่แบ็บเบจออกแบบไว้สำหรับเครื่องคำนวณผลต่างก็เสร็จสมบูรณ์เช่นกัน^{[ 35 ]}การแปลงภาพวาดการออกแบบดั้งเดิมให้เป็นภาพวาดที่เหมาะสมสำหรับการใช้งานของผู้ผลิตทางวิศวกรรมเผยให้เห็นข้อผิดพลาดเล็กน้อยในการออกแบบของแบ็บเบจ (อาจถูกนำมาใช้เพื่อป้องกันในกรณีที่แผนถูกขโมย) ^{[ 36 ]}ซึ่งต้องได้รับการแก้ไข เครื่องคำนวณผลต่างและเครื่องพิมพ์ถูกสร้างขึ้นตามค่าความคลาดเคลื่อนที่สามารถทำได้ด้วยเทคโนโลยีในศตวรรษที่ 19 ซึ่งเป็นการยุติข้อถกเถียงที่มีมายาวนานว่าการออกแบบของ Babbage จะสามารถใช้งานได้โดยใช้วิธีการทางวิศวกรรมในยุคจอร์เจียนหรือไม่ เครื่องจักรนี้ประกอบด้วยชิ้นส่วน 8,000 ชิ้นและมีน้ำหนักประมาณ 5 ตัน^{[ 37 ]}

จุดประสงค์หลักของเครื่องพิมพ์คือการผลิต แผ่นพิมพ์ สเตอริโอไทป์เพื่อใช้ในเครื่องพิมพ์ ซึ่งทำได้โดยการกดตัวอักษรลงบนปูนปลาสเตอร์อ่อนเพื่อสร้างแผ่นพิมพ์บาเบจตั้งใจให้ผลลัพธ์ของเครื่องจักรถูกถ่ายทอดไปยังการพิมพ์จำนวนมากโดยตรง เนื่องจากตระหนักว่าข้อผิดพลาดมากมายในตารางก่อนหน้านี้ไม่ได้เกิดจากความผิดพลาดในการคำนวณของมนุษย์ แต่เกิดจากความผิดพลาดในกระบวนการเรียงพิมพ์ ด้วยมือ ^{[ 7 ]}ผลผลิตกระดาษของเครื่องพิมพ์ส่วนใหญ่เป็นวิธีการตรวจสอบประสิทธิภาพของเครื่องจักร

นอกจากการให้ทุนสนับสนุนการสร้างกลไกเอาต์พุตสำหรับเครื่องคำนวณผลต่างของพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์แล้วNathan Myhrvoldยังได้ว่าจ้างให้สร้างเครื่องคำนวณผลต่างหมายเลข 2 ที่สมบูรณ์แบบเครื่องที่สอง ซึ่งจัดแสดงอยู่ที่พิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์คอมพิวเตอร์ในเมืองเมาน์เทนวิว รัฐแคลิฟอร์เนียตั้งแต่เดือนพฤษภาคม 2551 ถึงมกราคม 2559 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}ต่อมาได้ถูกย้ายไปยังIntellectual Venturesในซีแอตเทิลซึ่งจัดแสดงอยู่ด้านนอกล็อบบี้หลัก^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

เครื่องคำนวณผลต่างประกอบด้วยคอลัมน์จำนวนหนึ่ง ซึ่งมีหมายเลขตั้งแต่1ถึงNเครื่องสามารถเก็บค่าทศนิยมได้หนึ่งค่าในแต่ละคอลัมน์ เครื่องสามารถบวกค่าของคอลัมน์n  + 1 กับคอลัมน์nเพื่อให้ได้ค่าn ใหม่เท่านั้น คอลัมน์Nสามารถเก็บค่าคงที่ได้เท่านั้น ส่วนคอลัมน์ 1 จะแสดง (และอาจพิมพ์ ) ค่าของการคำนวณในรอบปัจจุบัน

เอนจินได้รับการตั้งโปรแกรมโดยการกำหนดค่าเริ่มต้นให้กับคอลัมน์ คอลัมน์ที่ 1 ถูกตั้งค่าเป็นค่าของพหุนาม ณ จุดเริ่มต้นของการคำนวณ คอลัมน์ที่ 2 ถูกตั้งค่าเป็นค่าที่ได้จากอนุพันธ์ อันดับแรกและอนุพันธ์อันดับสูงกว่า ของพหุนามที่ค่าX เดียวกัน แต่ละคอลัมน์ตั้งแต่ 3 ถึงNถูกตั้งค่าเป็นค่าที่ได้จากอนุพันธ์อันดับแรกและอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของพหุนาม ^{[ 44 ]}${\displaystyle (n-1)}$

ในการออกแบบของ Babbage การวนซ้ำหนึ่งครั้ง (เช่น ชุดการดำเนินการบวกและการทดที่สมบูรณ์หนึ่งชุด)จะเกิดขึ้นสำหรับการหมุนแต่ละครั้งของเพลาหลัก คอลัมน์คี่และคู่จะสลับกันทำการบวกในหนึ่งรอบ ลำดับการดำเนินการสำหรับคอลัมน์จึงเป็นดังนี้: ^{[ 44 ]}${\displaystyle n}$

1. นับขึ้น โดยรับค่าจากหลัก(ขั้นตอนการบวก)${\displaystyle n+1}$
2. ดำเนินการส่งต่อค่าทดบนค่าที่นับขึ้น
3. นับถอยหลังจนถึงศูนย์ แล้วบวกเพิ่มเข้าไปในหลัก${\displaystyle n-1}$
4. รีเซ็ตค่าที่นับถอยหลังกลับไปเป็นค่าเดิม

ขั้นตอนที่ 1, 2, 3, 4 จะเกิดขึ้นสำหรับคอลัมน์คี่ทุกคอลัมน์ ในขณะที่ขั้นตอนที่ 3, 4, 1, 2 จะเกิดขึ้นสำหรับคอลัมน์คู่ทุกคอลัมน์

ในขณะที่การออกแบบดั้งเดิมของแบ็บเบจวางข้อเหวี่ยงไว้บนเพลาหลักโดยตรง แต่ต่อมาก็พบว่าแรงที่ต้องใช้ในการหมุนเครื่องจักรนั้นมากเกินไปจนมนุษย์ไม่สามารถรับมือได้อย่างสะดวกสบาย ดังนั้น รุ่นที่สร้างขึ้นทั้งสองรุ่นจึงใช้เฟืองทดรอบ 4:1 ที่ข้อเหวี่ยง และต้องหมุนข้อเหวี่ยงสี่รอบจึงจะทำงานครบหนึ่งรอบ

แต่ละรอบจะสร้างผลลัพธ์ใหม่ และดำเนินการในสี่ขั้นตอน ซึ่งสอดคล้องกับการหมุนด้ามจับที่แสดงอยู่ทางด้านขวาสุดในภาพด้านล่างครบสี่รอบ ขั้นตอนทั้งสี่มีดังนี้:

1. ค่าในคอลัมน์เลขคู่ทั้งหมด (2, 4, 6, 8) จะถูกบวกเข้ากับค่าในคอลัมน์เลขคี่ทั้งหมด (1, 3, 5, 7) พร้อมกัน แขนกวาดภายในจะหมุนคอลัมน์เลขคู่แต่ละคอลัมน์ ทำให้ค่าที่อยู่บนล้อแต่ละล้อค่อยๆ ลดลงจนถึงศูนย์ เมื่อล้อหมุนจนถึงศูนย์ ค่าของล้อนั้นจะถูกส่งไปยังเฟืองตัวกลางที่อยู่ระหว่างคอลัมน์เลขคู่และเลขคี่ ค่าเหล่านี้จะถูกส่งต่อไปยังคอลัมน์เลขคี่ ทำให้ค่าในคอลัมน์เลขคี่เพิ่มขึ้น ค่าใดๆ ในคอลัมน์เลขคี่ที่เปลี่ยนจาก "9" เป็น "0" จะไปกระตุ้นคันโยกทด
2. สำหรับคอลัมน์เลขคี่ หากคันโยกทดใดๆ อยู่ในสถานะทำงาน ตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเพิ่มขึ้น 1 การดำเนินการทดนี้จะถูกใช้ตามลำดับเพื่อให้การทดแพร่กระจาย ในขณะเดียวกัน คอลัมน์เลขคู่จะกลับไปเป็นค่าเดิม
3. ขั้นตอนนี้คล้ายกับขั้นตอนที่ 1 แต่เป็นการนำค่าในคอลัมน์คี่ (3, 5, 7) มาบวกกับค่าในคอลัมน์คู่ (2, 4, 6) โดยค่าในคอลัมน์ที่ 1 จะถูกส่งผ่านเฟืองขับไปยังกลไกการพิมพ์ที่ด้านซ้ายสุดของเครื่องยนต์ ค่าในคอลัมน์คู่ใดๆ ที่เปลี่ยนจาก "9" เป็น "0" จะทำให้คันโยกทวนทำงาน ค่าในคอลัมน์ที่ 1 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของพหุนาม จะถูกส่งไปยังกลไกการพิมพ์ที่เชื่อมต่ออยู่
4. ขั้นตอนนี้คล้ายกับขั้นตอนที่ 2 แต่ใช้สำหรับการทดเลขในคอลัมน์คู่ และคืนค่าคอลัมน์คี่กลับเป็นค่าเดิม

ระบบจะแปลงจำนวนลบเป็นส่วนเติมเต็มสิบ การลบจึงเทียบเท่ากับการบวกจำนวนลบ วิธีการทำงานนี้เหมือนกับที่คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ใช้ในการลบ ซึ่งเรียกว่า ส่วนเติม เต็ม สอง

หลักการของเครื่องคำนวณผลต่างคือ วิธี ผลต่างหารของนิวตันถ้าค่าเริ่มต้นของพหุนาม (และผลต่างจำกัด ของมัน ) ถูกคำนวณโดยวิธีใดวิธีหนึ่งสำหรับค่าX ค่าใดค่าหนึ่ง เครื่องคำนวณผลต่างสามารถคำนวณค่าใกล้เคียงใดๆ ก็ได้ โดยใช้วิธีที่รู้จักกันทั่วไปว่าวิธีผลต่างจำกัดตัวอย่างเช่น พิจารณาพหุนาม กำลังสอง

${\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2\,}$

โดยมีเป้าหมายเพื่อจัดทำตารางค่าp (0), p (1), p (2), p (3), p (4) และอื่นๆ ตารางด้านล่างนี้สร้างขึ้นดังนี้: คอลัมน์ที่สองประกอบด้วยค่าของพหุนาม คอลัมน์ที่สามประกอบด้วยผลต่างของเพื่อนบ้านด้านซ้ายสองตัวในคอลัมน์ที่สอง และคอลัมน์ที่สี่ประกอบด้วยผลต่างของเพื่อนบ้านสองตัวในคอลัมน์ที่สาม:

ตัวเลขในคอลัมน์ค่าที่สามเป็นค่าคงที่ อันที่จริงแล้ว เมื่อเริ่มต้นด้วยพหุนามดีกรีn ใดๆ ตัวเลขในคอลัมน์n  + 1 จะเป็นค่าคงที่เสมอ นี่คือข้อเท็จจริงที่สำคัญเบื้องหลังความสำเร็จของวิธีการนี้

ตารางนี้สร้างขึ้นจากซ้ายไปขวา แต่สามารถสร้างต่อจากขวาไปซ้ายตามแนวทแยงมุมเพื่อคำนวณค่าเพิ่มเติมได้ ในการคำนวณp (5) ให้ใช้ค่าจากแนวทแยงมุมล่างสุด เริ่มต้นด้วยค่าคงที่ 4 ในคอลัมน์ที่สี่ แล้วคัดลอกลงมาตามคอลัมน์ จากนั้นดำเนินการต่อในคอลัมน์ที่สามโดยบวก 4 กับ 11 เพื่อให้ได้ 15 ต่อไปดำเนินการต่อในคอลัมน์ที่สองโดยนำค่าก่อนหน้าคือ 22 มาบวกกับ 15 จากคอลัมน์ที่สาม ดังนั้นp (5) คือ 22 + 15 = 37 ในการคำนวณp (6) เราจะทำซ้ำอัลกอริทึมเดียวกันกับ ค่า p (5): นำ 4 จากคอลัมน์ที่สี่ บวกกับค่า 15 ในคอลัมน์ที่สามเพื่อให้ได้ 19 จากนั้นบวกกับค่า 37 ในคอลัมน์ที่สองเพื่อให้ได้ 56 ซึ่งคือp (6) กระบวนการนี้สามารถดำเนินการต่อไปได้เรื่อยๆค่าของพหุนามถูกสร้างขึ้นโดยไม่ต้องคูณเลย เครื่องมือคำนวณผลต่างเพียงแค่ต้องสามารถบวกได้ ในแต่ละรอบการวนซ้ำ จะต้องเก็บตัวเลข 2 ตัว—ในตัวอย่างนี้คือ (องค์ประกอบสุดท้ายในคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง) ในการสร้างตารางพหุนามดีกรีnจำเป็นต้องมีพื้นที่จัดเก็บข้อมูลเพียงพอสำหรับเก็บตัวเลข n ตัว

เครื่องคำนวณผลต่างหมายเลข 2 ของ Babbage ซึ่งสร้างเสร็จในที่สุดในปี 1991 สามารถเก็บตัวเลขได้ 8 ตัว โดยแต่ละตัวมีทศนิยม 31 หลัก จึงสามารถคำนวณพหุนามดีกรี 7 ได้อย่างแม่นยำถึงระดับนั้น เครื่องจักรที่ดีที่สุดจาก Scheutz สามารถเก็บตัวเลขได้ 4 ตัว โดยแต่ละตัวมีทศนิยม 15 หลัก^{[ 45 ]}

สามารถคำนวณค่าเริ่มต้นของคอลัมน์ได้โดยการคำนวณค่าต่อเนื่อง N ค่าของฟังก์ชันด้วยตนเองก่อน จากนั้นจึงย้อนกลับ (กล่าวคือ คำนวณผลต่างที่ต้องการ)

Col ได้รับค่าของฟังก์ชันเมื่อเริ่มต้นการคำนวณCol คือความแตกต่างระหว่าง และ... ^{[ 46 ]}${\displaystyle 1_{0}}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle 2_{0}}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle f(0)}$

ถ้าฟังก์ชันที่จะคำนวณเป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}$

ค่าเริ่มต้นสามารถคำนวณได้โดยตรงจากค่าสัมประสิทธิ์คงที่a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., a _nโดยไม่ต้องคำนวณจุดข้อมูลใดๆ ดังนั้นค่าเริ่มต้นจึงเป็นดังนี้:

• คอล= a ₀${\displaystyle 1_{0}}$
• Col = a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + ... + a _n${\displaystyle 2_{0}}$
• Col = 2 a ₂ + 6 a ₃ + 14 a ₄ + 30 a ₅ + ...${\displaystyle 3_{0}}$
• Col = 6 a ₃ + 36 a ₄ + 150 a ₅ + ...${\displaystyle 4_{0}}$
• Col = 24 a ₄ + 240 a ₅ + ...${\displaystyle 5_{0}}$
• Col = 120 a ₅ + ...${\displaystyle 6_{0}}$
• ${\displaystyle ...}$

ฟังก์ชันที่ใช้กันทั่วไปหลายฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมกำลังเช่นอนุกรมเทย์เลอร์ค่าเริ่มต้นสามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำระดับใดก็ได้ หากทำอย่างถูกต้อง เครื่องมือจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับขั้นตอนแรก N ขั้นตอน หลังจากนั้น เครื่องมือจะให้ค่าประมาณของฟังก์ชัน เท่านั้น

อนุกรมเทย์เลอร์แสดงฟังก์ชันในรูปผลรวมที่ได้จาก อนุพันธ์ของ ฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสูงนั้นหาได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ไซน์ที่จุด 0 จะมีค่าเป็น 0 หรือสำหรับอนุพันธ์ทั้งหมด การกำหนด 0 เป็นจุดเริ่มต้นของการคำนวณจะทำให้ได้อนุกรมแมคลาลิน แบบง่าย${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}$

สามารถใช้วิธีเดียวกันในการคำนวณค่าเริ่มต้นจากสัมประสิทธิ์เช่นเดียวกับฟังก์ชันพหุนาม ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์คงที่ของพหุนามจะมีค่าเป็น

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

ปัญหาของวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นคือข้อผิดพลาดจะสะสมและอนุกรมจะมีแนวโน้มที่จะเบี่ยงเบนจากฟังก์ชันที่แท้จริง วิธีแก้ปัญหาที่รับประกันข้อผิดพลาดสูงสุดคงที่คือการใช้การปรับเส้นโค้ง ค่า ขั้นต่ำNจะถูกคำนวณโดยเว้นระยะห่างเท่าๆ กันตลอดช่วงของการคำนวณที่ต้องการ การใช้เทคนิคการปรับเส้นโค้งเช่นการลดแบบเกาส์เซียน จะพบ การแทรกสอดพหุนามดีกรี N −1 ของฟังก์ชัน [ ^{46 ] ด้วย}พหุนามที่ปรับให้เหมาะสมแล้ว ค่าเริ่มต้นสามารถคำนวณได้ดังที่กล่าวมาข้างต้น

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเครื่องมือคำนวณผลต่าง (Difference engine )

• นิทรรศการของพิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์คอมพิวเตอร์เกี่ยวกับแบ็บเบจและเครื่องคำนวณเชิงอนุพันธ์
• เครื่องมือคำนวณเชิงอนุพันธ์ Meccano #1
• เครื่องมือคำนวณเชิงอนุพันธ์ Meccano #2
• เครื่องคำนวณผลต่างเครื่องแรกของแบ็บเบจ – วิธีการทำงานตามที่ตั้งใจไว้
• การวิเคราะห์ค่าใช้จ่ายในการสร้างเครื่องคำนวณเชิงอนุพันธ์หมายเลข 1 ของแบ็บเบจ
• การทำงานของเครื่องมือหาผลต่างพร้อมภาพเคลื่อนไหว
• ชิ้นส่วนตัวอย่างของเครื่องคำนวณเชิงอนุพันธ์หมายเลข 1 ที่พิพิธภัณฑ์พาวเวอร์เฮาส์ ซิดนีย์
• ภาพกิกะพิกเซลของเครื่องคำนวณผลต่างหมายเลข 2
• วิดีโอแสดงการทำงานของเครื่องคำนวณเชิงอนุพันธ์แบบ Scheutz เครื่องนี้ถูกซื้อโดยเบนจามิน แอพธอร์ป กูลด์ ผู้อำนวยการคนแรกของหอดูดาวดัดลีย์ในปี 1856 กูลด์เป็นคนรู้จักของแบ็บเบจ เครื่องคำนวณเชิงอนุพันธ์นี้ใช้ในการคำนวณทางดาราศาสตร์ให้กับหอดูดาวเป็นเวลาหลายปี และปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของคอลเลกชันระดับชาติที่สถาบันสมิธโซเนียน
• ลิงก์ไปยังวิดีโอเกี่ยวกับ Babbage DE 2 และการสร้าง: "ประวัติศาสตร์คอมพิวเตอร์: เรียนรู้เพิ่มเติม" www.computerhistories.org หัวข้อที่ 5 - คอมพิวเตอร์ในยุคไอน้ำ (ไม่ใช่แฮกเกอร์ แต่เป็นคนพิมพ์ดีด)