การกำหนดทิศทางของปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเรียกสั้น ๆ ว่าการกำหนดทิศทางของปริภูมิเวกเตอร์คือการเลือกโดยพลการว่าฐาน เรียงลำดับใด มีทิศทาง "บวก" และฐานเรียงลำดับใดมีทิศทาง "ลบ" ในปริภูมิยูคลิด สามมิติ โดยทั่วไป แล้ว ฐาน มือขวาจะถูกกำหนดให้มีทิศทางบวก แต่การเลือกนั้นเป็นไปโดยพล การ ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มีการเลือกทิศทางเรียกว่า ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มีทิศทาง ในขณะที่ปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มีการเลือกทิศทางเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มี ทิศทางไม่รู้ทิศทาง

ในทางคณิตศาสตร์ความสามารถในการกำหนดทิศทางเป็นแนวคิดที่กว้างกว่า ซึ่งในสองมิติช่วยให้เราบอกได้ว่าวงจรหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา และในสามมิติว่ารูปทรงนั้นเป็นแบบมือซ้ายหรือมือขวา ในพีชคณิตเชิงเส้นบนจำนวนจริงแนวคิดเรื่องทิศทางมีความหมายในมิติจำกัดใดๆ และเป็นความไม่สมมาตรชนิดหนึ่งที่ทำให้การสะท้อนไม่สามารถทำซ้ำได้ด้วยการเคลื่อนย้าย อย่างง่าย ดังนั้น ในสามมิติ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนมือซ้ายของรูปคนให้เป็นมือขวาโดยการใช้การเคลื่อนย้ายเพียงอย่างเดียว แต่สามารถทำได้โดยการสะท้อนรูปนั้นในกระจก ด้วยเหตุนี้ ในปริภูมิยูคลิด สามมิติ ทิศทางพื้นฐานที่เป็นไปได้สองแบบจึงเรียกว่ามือขวาและมือซ้าย (หรือไครัลขวาและไครัลซ้าย)

ให้Vเป็น ปริภูมิเวกเตอร์จริง มิติจำกัดและให้b ₁และb ₂เป็นฐานเรียงลำดับสองฐานสำหรับVเป็นผลลัพธ์มาตรฐานในพีชคณิตเชิงเส้นว่ามีการแปลงเชิงเส้นA  : V → Vที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่แปลงb ₁เป็นb ₂ฐานb ₁และb ₂กล่าวได้ว่ามีทิศทางเดียวกัน (หรือมีทิศทางที่สอดคล้องกัน) ถ้าAมีดีเทอร์มิแนนต์ เป็นบวก มิฉะนั้นจะมีทิศทางตรงกันข้ามคุณสมบัติของการมีทิศทางเดียวกันกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของฐานเรียงลำดับทั้งหมดสำหรับVถ้าVไม่เป็นศูนย์ จะมีชั้นสมมูล สองชั้น ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์นี้ทิศทางบนVคือการกำหนดค่า +1 ให้กับชั้นสมมูลหนึ่งและ −1 ให้กับอีกชั้นหนึ่ง^{[ 1 ]}

ฐานเรียงลำดับทุกฐานจะอยู่ในชั้นสมมูลหนึ่งหรืออีกชั้นหนึ่ง ดังนั้น การเลือกฐานเรียงลำดับที่มีสิทธิพิเศษสำหรับVจะกำหนดทิศทาง: ชั้นทิศทางของฐานที่มีสิทธิพิเศษนั้นถูกประกาศว่าเป็นบวก

ตัวอย่างเช่นฐานมาตรฐานบนR ⁿให้ทิศทางมาตรฐานบนR ⁿ (ซึ่งทิศทางของฐานมาตรฐานนั้นขึ้นอยู่กับทิศทางของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ใช้สร้าง) การเลือกไอโซมอร์ฟิซึม เชิงเส้นใดๆ ระหว่างVและR ⁿก็จะให้ทิศทางบนV เช่น กัน

ลำดับขององค์ประกอบในฐานมีความสำคัญอย่างยิ่ง ฐานสองฐานที่มีลำดับต่างกันจะแตกต่างกันด้วยการเรียงสับเปลี่ยน บางอย่าง พวกมันจะมีทิศทางเดียวกัน/ตรงข้ามกัน ขึ้นอยู่กับว่าค่าบ่งชี้ของการเรียงสับเปลี่ยนนั้นเป็น ±1 หรือไม่ ทั้งนี้เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับค่าบ่งชี้ของการเรียงสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้อง

ในทำนองเดียวกัน ให้Aเป็นการแมปเชิงเส้นที่ไม่เอกฐานของปริภูมิเวกเตอร์R ⁿไปยังR ⁿการแมปนี้จะรักษาทิศทางไว้ได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ เป็นบวก ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น ในR ³การหมุนรอบ แกนคาร์ทีเซียน Zด้วยมุมαจะรักษาทิศทางไว้ได้ ในขณะที่การสะท้อนโดย ระนาบคาร์ทีเซียน XYจะไม่รักษาทิศทางไว้ $${\displaystyle \mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

แนวคิดเรื่องทิศทางจะเสื่อมลงในกรณีมิติศูนย์ ปริภูมิเวกเตอร์มิติศูนย์มีจุดเพียงจุดเดียว คือ เวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้น ฐานเดียวของปริภูมิเวกเตอร์มิติศูนย์จึงเป็นเซตว่าง ด้วยเหตุนี้ จึงมีชั้นสมมูลของฐานเรียงลำดับเพียงชั้นเดียว คือ ชั้นที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือเซตว่างซึ่งหมายความว่า ทิศทางของปริภูมิมิติศูนย์เป็นฟังก์ชัน ดังนั้นจึงสามารถกำหนดทิศทางของจุดได้สองวิธี คือ ทิศทางบวกและทิศทางลบ ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \{\emptyset \}}$$${\displaystyle \{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.}$$

เนื่องจากมีฐานเรียงลำดับเพียงฐานเดียวเท่านั้นปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติจึงเหมือนกับปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติที่มีฐานเรียงลำดับ การเลือกหรือจึงเป็นการเลือกทิศทางของฐานทุกฐานในปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติทุกปริภูมิ หากปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติทั้งหมดถูกกำหนดทิศทางนี้แล้ว เนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติรักษาฐานเรียงลำดับไว้ จึงรักษาทิศทางไว้ด้วยเช่นกัน ซึ่งแตกต่างจากกรณีของปริภูมิเวกเตอร์มิติสูงกว่า ที่ไม่มีวิธีใดที่จะเลือกทิศทางเพื่อให้คงอยู่ภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดได้ ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$

อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่จำเป็นต้องกำหนดทิศทางที่แตกต่างกันให้กับจุดต่างๆ ตัวอย่างเช่น พิจารณาทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทของสโตกส์ช่วงปิด[ a , b ]คือแมนิโฟลด์หนึ่งมิติที่มีขอบเขตและขอบเขตของมันคือเซต{ a , b }เพื่อให้ได้ข้อความที่ถูกต้องของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส จุดbควรมีทิศทางเป็นบวก ในขณะที่จุดaควรมีทิศทางเป็นลบ

กรณีหนึ่งมิติเกี่ยวข้องกับเส้นตรงที่มีทิศทาง (หรือเส้นตรงที่มีทิศทาง ) ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ได้ในสองทิศทาง ในพื้นที่พิกัดจริงเส้นตรงที่มีทิศทางยังเรียกว่าแกน^{[ 3 ]} เส้น ตรงมีสองทิศทาง(ไปข้างหน้าและข้างหลัง) เช่นเดียวกับวงกลมที่มี ทิศทางสองทิศทาง ( ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา) เส้นตรงที่มีทิศทางกึ่งอนันต์เรียกว่ารังสี (บางครั้งก็เรียกว่าครึ่งแกนหรือครึ่งเส้นตรงที่มีทิศทาง ) ในกรณีของส่วนของเส้นตรง (เซตย่อยที่เชื่อมต่อกันของเส้นตรง) ทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทางส่งผล ให้ เกิดส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง

พื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้บางครั้งจะมีทิศทางที่เลือกไว้ซึ่งระบุโดยทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว ระนาบที่กำหนดทิศทางได้สามารถกำหนดได้ด้วย เวก เตอร์ เสมือน

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์จริงn มิติใดๆ Vเราสามารถสร้างกำลังภายนอกลำดับที่kของV ได้ ซึ่งเขียนแทนด้วย Λ ^k Vนี่คือปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติ n ดังนั้น ปริภูมิเวกเตอร์ Λ ⁿ V (เรียกว่ากำลังภายนอกสูงสุด ) จึงมีมิติ 1 นั่นคือ Λ ⁿ Vเป็นเพียงเส้นตรงจริง ไม่มี ทางเลือกใด ล่วงหน้าว่าทิศทางใดบนเส้นตรงนี้จะเป็นบวก การกำหนดทิศทางเป็นเพียงทางเลือกหนึ่งเท่านั้นรูปแบบเชิงเส้น ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ωบน Λ ⁿ VจะกำหนดทิศทางของVโดยประกาศว่าxอยู่ในทิศทางบวกเมื่อω ( x ) > 0 เพื่อเชื่อมโยงกับมุมมองของฐาน เรากล่าวว่าฐานที่มีทิศทางบวกคือฐานที่ωมีค่าเป็นจำนวนบวก (เนื่องจากωเป็น รูปแบบ nมิติ เราจึงสามารถประเมินค่าได้บนเซตของ เวกเตอร์ n ตัวที่เรียงลำดับกัน ซึ่งให้องค์ประกอบของR ) รูปแบบωเรียกว่า รูป แบบกำหนดทิศทางถ้า { e _i } เป็นฐานพิเศษสำหรับVและ { e _i ^∗ } เป็นฐานคู่แล้วรูปแบบการวางแนวที่ให้การวางแนวมาตรฐานคือe ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

ความเชื่อมโยงของสิ่งนี้กับมุมมองของดีเทอร์มิแนนต์คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเอนโดมอร์ฟิซึม สามารถตีความได้ว่าเป็นการกระทำที่เหนี่ยวนำบนกำลังภายนอกสูงสุด ${\displaystyle T:V\to V}$

ให้Bเป็นเซตของฐานเรียงลำดับทั้งหมดสำหรับVแล้วกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( V ) กระทำการอย่างอิสระและถ่ายทอดได้บนB (ในภาษาที่ซับซ้อนBคือ GL( V ) -torsor ) ซึ่งหมายความว่าในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์ B จะ เป็น โฮมีโอเมอร์ฟิกกับ GL( V ) (แบบไม่เป็นไปตามแบบแผน) โปรดสังเกตว่ากลุ่ม GL( V ) ไม่ใช่กลุ่มเชื่อมต่อแต่มีส่วนประกอบเชื่อมต่อ สองส่วน ขึ้นอยู่กับว่าดีเทอร์มิแนนต์ของการแปลงเป็นบวกหรือลบ (ยกเว้น GL0 _ซึ่งเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญและมีส่วนประกอบเชื่อมต่อเพียงส่วนเดียว ซึ่งสอดคล้องกับการวางแนวตามแบบแผนบนปริภูมิเวกเตอร์ศูนย์มิติ) ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของ GL( V ) จะถูกแทนด้วย GL ⁺ ( V ) และประกอบด้วยการแปลงที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก การกระทำของ GL ⁺ ( V ) บนBไม่ใช่ แบบถ่ายทอด ได้ : มีวงโคจรสองวงที่สอดคล้องกับส่วนประกอบเชื่อมต่อของBวงโคจรเหล่านี้คือชั้นสมมูลที่กล่าวถึงข้างต้นนั่นเอง เนื่องจากBไม่มีองค์ประกอบที่โดดเด่น (เช่น ฐานพิเศษ) จึงไม่มีทางเลือกตามธรรมชาติว่าส่วนประกอบใดเป็นบวก แตกต่างจาก GL( V ) ซึ่งมีส่วนประกอบพิเศษ: ส่วนประกอบของเอกลักษณ์ การเลือกโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะระหว่างBและ GL( V ) เทียบเท่ากับการเลือกฐานพิเศษ และดังนั้นจึงกำหนดทิศทาง

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นคือ และแมนิโฟลด์ Stiefelของ เฟรม nในเป็น ทอ ร์เซอร์ดังนั้น จึงเป็นทอร์เซอร์เหนือ กล่าวคือ จุด 2 จุดของมัน และการเลือกจุดใดจุดหนึ่งในนั้นถือเป็นการวางแนว ${\displaystyle \pi _{0}(\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V))=(\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)/\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$

วัตถุต่างๆ ของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีคุณลักษณะหรือคุณสมบัติ สามประการ ได้แก่ ทัศนคติ การวางแนว และขนาด^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์มีทัศนคติที่กำหนดโดยเส้นตรงที่ขนานกับมัน การวางแนวที่กำหนดโดยทิศทางของมัน (มักแสดงด้วยหัวลูกศร) และขนาดที่กำหนดโดยความยาวของมัน ในทำนองเดียวกันไบเวกเตอร์ในสามมิติมีทัศนคติที่กำหนดโดยตระกูลของระนาบที่เกี่ยวข้องกับมัน (อาจระบุโดยเส้นปกติที่ร่วมกันของระนาบเหล่านี้^{[ 6 ]} ) การวางแนว (บางครั้งแสดงด้วยลูกศรโค้งในระนาบ) ที่บ่งบอกถึงการเลือกทิศทางของการเคลื่อนที่ผ่านขอบเขตของมัน ( การหมุนเวียน ของมัน ) และขนาดที่กำหนดโดยพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์สองตัวของมัน^{[ 7 ]}

แต่ละจุดpบนแมนิโฟลด์ เชิงอนุพันธ์ nมิติมีปริภูมิสัมผัสT _p Mซึ่งเป็น ปริภูมิเวกเตอร์จริง nมิติ ปริภูมิเวกเตอร์เหล่านี้แต่ละปริภูมิสามารถกำหนดทิศทางได้ ทิศทางบางอย่าง "เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่น" จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง แต่เนื่องจาก ข้อจำกัด ทางโทโพโลยี บางประการ จึงไม่สามารถทำได้เสมอไป แมนิโฟลด์ที่ยอมรับการเลือกทิศทางอย่างราบรื่นสำหรับปริภูมิสัมผัสของมัน เรียกว่า แมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้

• ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน  – ระบบพิกัดที่ใช้แกนตั้งฉากกัน
• ไครัลลิตี้ (คณิตศาสตร์)  – คุณสมบัติของวัตถุที่ไม่สมมาตรกับภาพสะท้อนในกระจก
• การเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่และแบบคี่  – คุณสมบัติในทฤษฎีกลุ่มPages displaying short descriptions of redirect targets
• การวางแนวของมัดเวกเตอร์  – การขยายความทั่วไปของการวางแนวของปริภูมิเวกเตอร์
• เวกเตอร์เทียม  – ปริมาณทางกายภาพที่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อหมุนไม่ถูกต้อง
• รูปแบบการหมุนในสามมิติ  – วิธีการแสดงการหมุนในสามมิติPages displaying short descriptions of redirect targets
• กฎมือขวา  – ตัวช่วยจำสำหรับการกำหนดทิศทางและการหมุนของเวกเตอร์ 3 มิติ
• ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมาย  – ความหมายที่ตกลงกันไว้ว่าปริมาณทางกายภาพนั้นเป็นบวกหรือลบ

• "การวางแนว" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]