ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาทฤษฎีกลุ่มกลุ่มที่หารลงตัวได้คือกลุ่มอาเบเลียนที่สมาชิกทุกตัวสามารถหารลงตัวได้ด้วยจำนวนเต็มบวกในบางความหมาย หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ สมาชิกทุกตัวเป็น พหุคูณลำดับที่ n ของจำนวนเต็มบวก n แต่ละตัว กลุ่มที่หารลงตัวได้มีความสำคัญในการทำความเข้าใจโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะเป็นกลุ่มอาเบเลียนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง(injective abelian groups)

กลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle (G,+)}$หารลงตัวก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก${\displaystyle n}$และทุกๆ${\displaystyle g\in G}$มีอยู่จริง${\displaystyle y\in G}$โดยที่${\displaystyle ny=g}$[ ^{1 ]} เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันคือ: สำหรับจำนวนเต็มบวกใด^ๆ${\displaystyle n}$,${\displaystyle nG=G}$นับตั้งแต่การดำรงอยู่ของ${\displaystyle y}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle n}$และ${\displaystyle g}$หมายความว่า${\displaystyle nG\supseteq G}$และในทิศทางตรงกันข้าม${\displaystyle nG\subseteq G}$เป็นจริงสำหรับทุกกลุ่ม เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันประการที่สามคือกลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle G}$หารลงตัวก็ต่อเมื่อ${\displaystyle G}$เป็นวัตถุแบบหนึ่งต่อหนึ่งในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนด้วยเหตุนี้ กลุ่มที่หารลงตัวได้จึงบางครั้งเรียกว่ากลุ่มแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

กลุ่มอาเบเลียนคือ${\displaystyle p}$- หารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$ถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle g\in G}$มีอยู่จริง${\displaystyle y\in G}$โดยที่${\displaystyle py=g}$ในทำนองเดียวกัน กลุ่มอาเบเลียนคือ${\displaystyle p}$หารลงตัวก็ต่อเมื่อ${\displaystyle pG=G}$.

• จำนวนตรรกยะ​${\displaystyle \mathbb {Q} }$สร้างกลุ่มที่หารลงตัวภายใต้การบวก
• โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มการบวกพื้นฐานของปริมาณเวกเตอร์ ใดๆ เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$หารลงตัว
• ผลหารทุก ผล ของกลุ่มที่หารลงตัวได้ ย่อมหารลงตัวได้เช่นกัน ดังนั้น${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$หารลงตัว
• ส่วนประกอบหลัก p​${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ของ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับ กลุ่ม p - quasicyclic${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$หารลงตัว
• กลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$หารลงตัว
• ทุก กลุ่มอาเบเลียน ที่ปิดในเชิงการดำรงอยู่ (ใน ความหมาย เชิงทฤษฎีแบบจำลอง ) สามารถหารลงตัวได้

• ถ้ากลุ่มที่หารลงตัวเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มอาเบเลียนแล้ว กลุ่มนั้นจะเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนนั้น^{[ 2 ]}
• ทุกกลุ่มอาเบลสามารถฝังตัวอยู่ในกลุ่มที่หารลงตัวได้^{[ 3 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบลมีอินเจกทีฟเพียงพอ
• กลุ่มหารที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด
• นอกจากนี้ กลุ่มอาเบเลียนทุกกลุ่มสามารถฝังตัวอยู่ในกลุ่มที่หารลงตัวได้ในฐานะกลุ่มย่อยที่สำคัญในลักษณะเฉพาะ^{[ 4 ]}
• กลุ่มอาเบเลียนจะหารลงตัวได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้น หารลงตัวด้วย pสำหรับทุกจำนวน เฉพาะ pเท่านั้น
• อนุญาต${\displaystyle A}$เป็นแหวนถ้า${\displaystyle T}$ถ้าเป็นกลุ่มที่หารลงตัวได้ ก็แสดงว่ากลุ่มนั้นหารลงตัวแล้ว${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในหมวดหมู่ของ${\displaystyle A}$- โมดูล^{[ 5 ]}​

ให้Gเป็นกลุ่มที่หารลงตัวได้ แล้วกลุ่มย่อยทอร์ชั่น Tor( G ) ของGก็หารลงตัวได้เช่นกัน เนื่องจากกลุ่มที่หารลงตัวได้เป็นโมดูลแบบหนึ่งต่อหนึ่งดังนั้น Tor( G ) จึงเป็นส่วนประกอบโดยตรงของGดังนั้น

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

เนื่องจากเป็นผลหารของกลุ่มที่หารลงตัวG /Tor( G ) จึงหารลงตัว นอกจากนี้ยังเป็นกลุ่มที่ไม่มีทอร์ชั่นดังนั้นจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือQและด้วยเหตุนี้จึงมีเซตI อยู่ เช่นนั้น

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

โครงสร้างของกลุ่มย่อยทอร์ชั่นนั้นยากที่จะระบุได้ แต่สามารถแสดงได้^{[ 6 ] [ 7 ]}ว่าสำหรับจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด จะมีอยู่${\displaystyle I_{p}}$โดยที่

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

ที่ไหน${\displaystyle (\mathrm {ทอร์} (G))_{p}}$คือ ส่วนประกอบ หลักของ Tor( G )

ดังนั้น ถ้าPคือเซตของจำนวนเฉพาะ

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

จำนวนสมาชิกของเซตIและI สำหรับp ∈ P ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน โดยกลุ่มG  

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น กลุ่มอาเบเลียนใดๆAสามารถฝังตัวได้อย่างไม่ซ้ำกันในกลุ่มที่หารลงตัวได้Dในฐานะกลุ่มย่อยที่สำคัญ กลุ่มที่หารลงตัวได้ Dนี้คือซองบรรจุแบบหนึ่งต่อหนึ่งของAและแนวคิดนี้คือเปลือกแบบหนึ่งต่อหนึ่งในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน

กล่าวได้ว่ากลุ่มอาเบเลียนเป็นกลุ่มที่ลดรูปได้ถ้ากลุ่มย่อยที่หารลงตัวได้เพียงกลุ่มเดียวคือ {0} ทุกกลุ่มอาเบเลียนเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มย่อยที่หารลงตัวได้และกลุ่มย่อยที่ลดรูปได้ ในความเป็นจริง มีกลุ่มย่อยที่หารลงตัวได้ที่ใหญ่ที่สุดเพียงหนึ่งเดียวของกลุ่มใดๆ และกลุ่มย่อยที่หารลงตัวได้นี้เป็นส่วนประกอบโดยตรง^{[ 8 ]}นี่เป็นคุณสมบัติพิเศษของวงแหวนสืบทอดเช่นจำนวนเต็มZ : ผลรวมโดยตรงของโมดูลแบบฉีดเป็นโมดูลแบบฉีดเนื่องจากวงแหวนเป็นโนเธอร์เรียนและผลหารของโมดูลแบบฉีดเป็นโมดูลแบบฉีดเนื่องจากวงแหวนเป็นวงแหวนสืบทอด ดังนั้นโมดูลย่อยใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยโมดูลแบบฉีดจึงเป็นโมดูลแบบฉีด บทกลับเป็นผลมาจาก( Matlis 1958 ) : ถ้าทุกโมดูลมีโมดูลย่อยแบบฉีดสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว วงแหวนนั้นจะเป็นวงแหวนสืบทอด

ทฤษฎีบทของ Ulmให้การจำแนกประเภทที่สมบูรณ์ของกลุ่มอาเบเลียนแบบคาบที่ลดรูปได้

มีนิยามที่แตกต่างกันหลายประการที่ใช้ขยายกลุ่มที่หารลงตัวไปสู่โมดูลที่หารลงตัว นิยามต่อไปนี้ถูกนำมาใช้ในเอกสารทางวิชาการเพื่อกำหนดโมดูลที่หารลงตัวMเหนือริงR :

1. rM = M สำหรับ rที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดในR ^{[ 9 ]} (บางครั้งจำเป็นต้องให้rไม่ใช่ตัวหารศูนย์ และผู้เขียนบางคน^{[ 10 ]}กำหนดให้Rเป็นโดเมน )
2. สำหรับอุดมคติ ซ้ายหลักทุกตัว Ra โฮโมมอร์ฟิซึมใดๆจากRaไปยังMจะขยายเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากRไปยังM [ ^{11 ] [ 12 ] (}โมดูลที่หารลงตัวประเภทนี้ยังเรียกว่าโมดูลแบบฉีดหลัก ด้วย )
3. สำหรับ ไอเดีย ลซ้าย L ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ทุกตัว ของR โฮโม มอร์ฟิซึมใดๆ จากLไปยังMจะขยายไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากRไปยังM

เงื่อนไขสองข้อสุดท้ายเป็น "เวอร์ชันที่จำกัด" ของเกณฑ์ของแบร์สำหรับโมดูลแบบฉีดเนื่องจากโมดูลซ้ายแบบฉีดขยายโฮโมมอร์ฟิซึมจากไอเดียลซ้ายทั้งหมด ไปยัง Rดังนั้นโมดูลแบบฉีดจึงหารลงตัวในความหมายที่ 2 และ 3 อย่างชัดเจน

ถ้าRเป็นโดเมนเพิ่มเติมแล้ว คำจำกัดความทั้งสามจะตรงกัน ถ้าRเป็นโดเมนอุดมคติซ้ายหลัก โมดูลที่หารลงตัวจะตรงกับโมดูลแบบฉีด^{[ 13 ]}ดังนั้นในกรณีของวงแหวนจำนวนเต็มZซึ่งเป็นโดเมนอุดมคติหลัก โมดูล Z (ซึ่งเป็นกลุ่มอาเบล) จะหารลงตัวได้ก็ต่อเมื่อเป็นโมดูลแบบฉีด

ถ้าRเป็น โดเมน สลับที่ได้ โมดูล Rแบบฉีดจะตรงกับ โมดูล R แบบหารลงตัว ก็ต่อเมื่อRเป็นโดเมนเดเดคินด์^{[ 13 ]}

• วัตถุแบบฉีด
• โมดูลแบบฉีด
• กลุ่มย่อยบริสุทธิ์