ในคณิตศาสตร์การวิเคราะห์เชิงตัวเลขและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงตัวเลขวิธีการแบ่งโดเมนจะแก้ปัญหาค่าขอบเขตโดยการแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาค่าขอบเขตขนาดเล็กกว่าบนโดเมนย่อย และทำการวนซ้ำเพื่อประสานการแก้ปัญหาระหว่างโดเมนย่อยที่อยู่ติดกันปัญหาหยาบที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหนึ่งหรือสองตัวต่อโดเมนย่อยจะถูกใช้เพื่อประสานการแก้ปัญหาระหว่างโดเมนย่อยโดยรวม ปัญหาบนโดเมนย่อยเป็นอิสระต่อกัน ซึ่งทำให้วิธีการแบ่งโดเมนเหมาะสมสำหรับการคำนวณแบบขนาน โดยทั่วไปแล้ววิธีการแบ่งโดเมนจะใช้เป็นตัวปรับสภาพเบื้องต้นสำหรับวิธีการวนซ้ำในปริภูมิ ครีลอฟ เช่นวิธีการไล่ระดับแบบสัง ยุค GMRES และLOBPCG

ในวิธีการแบ่งโดเมนแบบทับซ้อนกัน โดเมนย่อยจะทับซ้อนกันมากกว่าแค่ส่วนต่อประสาน วิธีการแบ่งโดเมนแบบทับซ้อนกัน ได้แก่วิธีการสลับของ Schwarzและวิธีการบวกของ Schwarzวิธีการแบ่งโดเมนหลายวิธีสามารถเขียนและวิเคราะห์ได้ในฐานะกรณีพิเศษของ วิธีการบวกของ Schwarz แบบนามธรรม

ในวิธีการที่ไม่ทับซ้อนกัน โดเมนย่อยจะตัดกันเฉพาะที่ส่วนต่อประสานเท่านั้น ในวิธีการแบบดั้งเดิม เช่น การแบ่งโดเมนแบบ สมดุล (Balancing domain decomposition)และBDDCความต่อเนื่องของคำตอบข้ามส่วนต่อประสานของโดเมนย่อยจะถูกบังคับโดยการแทนค่าของคำตอบในโดเมนย่อยที่อยู่ติดกันทั้งหมดด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเดียวกัน ในวิธีการแบบคู่ เช่นFETIความต่อเนื่องของคำตอบข้ามส่วนต่อประสานของโดเมนย่อยจะถูกบังคับโดยตัวคูณลากรางจ์วิธี การ FETI-DPเป็นลูกผสมระหว่างวิธีการแบบคู่และวิธีการแบบดั้งเดิม

วิธีการแบ่งโดเมนที่ไม่ทับซ้อนกันเรียกอีกอย่างว่าวิธี การแบ่งโครงสร้างย่อยแบบวนซ้ำ

วิธีการ Mortarเป็นวิธีการแบ่งส่วนย่อยสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งใช้การแบ่งส่วนย่อยแยกกันบนโดเมนย่อยที่ไม่ทับซ้อนกัน ตาข่ายบนโดเมนย่อยจะไม่ตรงกันที่ส่วนต่อประสาน และความเท่าเทียมกันของคำตอบจะถูกบังคับใช้โดยตัวคูณลากรางจ์ ซึ่งเลือกอย่างรอบคอบเพื่อรักษาความถูกต้องของคำตอบ ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรมในวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ ความต่อเนื่องของคำตอบระหว่างโดเมนย่อยที่ไม่ตรงกันจะถูกนำไปใช้โดยข้อ จำกัดแบบหลายจุด

การจำลองด้วยวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับแบบจำลองขนาดปานกลางจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหลายล้านตัว โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละขั้นตอนเวลาใช้เวลาหลายชั่วโมง ดังนั้นการประมวลผลแบบขนานจึงเป็นสิ่งจำเป็น วิธีการแบ่งโดเมนมีศักยภาพสูงสำหรับการประมวลผลแบบขนานของวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ และเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณแบบกระจายและแบบขนาน

วิธีการแบ่งโดเมนได้รับการประยุกต์ใช้สำเร็จในปัญหาต่างๆ ตั้งแต่พลศาสตร์ของไหลไปจนถึงการจำลองความยืดหยุ่น^{[ 1 ] [ 2 ]} การศึกษาหลายชิ้นได้ตรวจสอบการแบ่งโดเมนการคำนวณหรือการแบ่งส่วนย่อยออกเป็นโดเมนย่อยหลายโดเมน และวิเคราะห์การเชื่อมต่อแบบแบ่งส่วนที่ได้มาอย่างอิสระ^{[ 3 ]} วิธีการ Schwarz มาตรฐานและแบบปรับให้เหมาะสมยังถูกนำมาใช้ในบริบทของการปรับเรียบตาข่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกระบวนการไหลของความโค้งเฉลี่ยสำหรับตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{cases}u''(x)=u(x),\\u(0)=0,\\u(1)=1.\end{cases}}}$$ วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องคือ: แบ่งโดเมนออกเป็นสองโดเมนย่อย โดเมนหนึ่งจากและอีกโดเมนหนึ่งจากในโดเมนย่อยด้านซ้าย กำหนดฟังก์ชันการประมาณค่าและในโดเมนย่อยด้านขวา กำหนดที่ส่วนต่อประสานระหว่างสองโดเมนย่อยนี้ จะต้องกำหนดเงื่อนไขส่วนต่อประสานดังต่อไปนี้: ให้ฟังก์ชันการประมาณค่าถูกกำหนดดังนี้: โดยที่คือฟังก์ชันคาร์ดินัลลำดับที่ n ของพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกที่มีอาร์กิวเมนต์อินพุต y $${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]}$${\displaystyle v_{1}(x)}$${\displaystyle v_{2}(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}{\left({\frac {1}{2}}\right)}\\v_{1}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}(x)&=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))\\v_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))\\y_{1}(x)&=4x-1\\y_{2}(x)&=4x-3\end{aligned}}}$$${\displaystyle T_{n}(y)}$

ถ้าN = 4 จะได้ค่าประมาณดังต่อไปนี้โดยใช้แผนการนี้: ซึ่งได้มาจากการใช้โค้ด MATLAB ดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=0.06236,&u_{2}&=0.21495,\\u_{3}&=0.37428,&u_{4}&= 0.44341,\\u_{5}&=0.51492,&u_{6}&=0.69972,\\u_{7}&=0.90645.\end{aligned}}}$$

ล้างทั้งหมดN = 4 ; a1 = 0 ; b1 = 1 / 2 ;[ T D1 D2 E1 E2 x xsub ] = cheb ( N , a1 , b1 ); % เมทริกซ์ความแตกต่างบน [0,1/2] เหมือนกัน%กับเมทริกซ์บน [1/2 1] I = eye ( N + 1 ); H = D2 - I ; H1 = [[ 1 zeros ( 1 , N )]; H ( 2 : end - 1 ,:); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H1 = [ H1 [ zeros ( N , N + 1 ); - [ 1 zeros ( 1 , N )]]]; H2 = [ D1 ( 1 ,:); H ( 2 : end - 1 ,:); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H2 = [[ - D1 ( N + 1 ,:); zeros ( N , N + 1 )] H2 ]; เค= [ H1 ; H2 ]; F = [ ศูนย์( 2 * N + 1 , 1 ); 1 ]; คุณ= K \ F ; xx = - cos ( pi * ( 0 : N ) '/ N ); x1 = 1/4 * ( xx + 1 ) ;​ x2 = 1/4 * ( xx + 3 ) ;​ x = [ x1 ; x2 ]; เอกซ์= (exp ( x ) - exp ( - x )) ./ ( exp ( 1 ) - exp ( - 1 ));

• วิธีการมัลติกริด

• หน้าเว็บอย่างเป็นทางการของ Domain Decomposition Methods ดูเหมือนจะย้ายไปอยู่ที่ http://www.ddm2.org แล้ว
• "หน้าการแบ่งโดเมน - การจำลองเชิงตัวเลข"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 26 มกราคม 2021