ในคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตลำดับการครอบงำ (คำพ้องความหมาย: การจัดลำดับการครอบงำ , ลำดับการจัดกลุ่ม , การจัดลำดับตามธรรมชาติ ) คือลำดับบางส่วนบนเซตของการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มบวกnซึ่งมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตเชิงการจัดเรียงและทฤษฎีการแทนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของฟังก์ชันสมมาตรและทฤษฎีการแทนของกลุ่มสมมาตร

ถ้าp = ( p ₁ , p ₂ ,...) และq = ( q ₁ , q ₂ ,...) เป็นพาร์ติชันของnโดยที่ส่วนต่างๆ เรียงลำดับจากมากไปน้อยอย่างอ่อน แล้วpจะอยู่ก่อนqในลำดับการครอบงำ ถ้าสำหรับk ≥ 1 ใดๆ ผลรวมของ ส่วนที่ใหญ่ที่สุด kส่วนของpน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของ ส่วนที่ใหญ่ที่สุด kส่วนของq :

${\displaystyle p\trianglelefteq q{\text{ ก็ต่อเมื่อ }}p_{1}+\cdots +p_{k}\leq q_{1}+\cdots +q_{k}{\text{ สำหรับทุก }}k\geq 1.}$

ในนิยามนี้ พาร์ติชันจะถูกขยายโดยการเพิ่มส่วนที่เป็นศูนย์ต่อท้ายตามความจำเป็น

• ในบรรดาการแบ่งส่วนของn นั้น (1,...,1) มีขนาดเล็กที่สุด และ (n) มีขนาดใหญ่ที่สุด
• ลำดับการครอบงำบ่งบอกถึงลำดับพจนานุกรม กล่าว คือ ถ้าpครอบงำqและp  ≠  qแล้ว สำหรับi ที่เล็กที่สุด ซึ่งp _i ≠ q _iจะได้ว่าp _i > q _i
• เซตลำดับของพาร์ติชันของnจะเรียงลำดับเชิงเส้น (และเทียบเท่ากับการเรียงลำดับตามพจนานุกรม) ก็ต่อเมื่อn ≤ 5 เท่านั้น และจะเรียงลำดับแบบมีระดับก็ต่อเมื่อn ≤ 6 เท่านั้น ดูภาพด้านขวาประกอบสำหรับตัวอย่าง
• พาร์ทิชันp ครอบคลุมพาร์ทิชันqก็ต่อเมื่อp _i = q _i + 1, p _k = q _k − 1, p _j = q _jสำหรับทุกj ≠ i , kและ (1) k = i + 1 หรือ (2) q _i = q _k (Brylawski, Prop. 2.3) เริ่มต้นจากไดอะแกรมยังของqไดอะแกรมยังของpได้มาจากการลบช่องสุดท้ายของแถวk ออกก่อน แล้วจึงต่อเข้ากับส่วนท้ายของแถว k − 1 ที่อยู่ก่อนหน้าหรือต่อเข้ากับส่วนท้ายของแถวi < kถ้าแถวiถึงkของไดอะแกรมยังของqมีความยาวเท่ากันทั้งหมด
• พาร์ทิชันทุกตัวpจะมี พาร์ทิชัน คู่ควบ (หรือพาร์ทิชันคู่) p ′ ซึ่งไดอะแกรมยังของพาร์ทิชันคู่ควบนี้คือไดอะแกรมยังของพาร์ ทิชัน pที่สลับตำแหน่งกัน การดำเนินการนี้จะกลับลำดับการครอบงำ:

${\displaystyle p\trianglelefteq q}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.}$

• ลำดับการครอบงำจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างการปิดแบบ Zariskiของชั้นการสมมูลของเมทริกซ์นิลโพเทนต์

การแบ่งส่วนของnก่อให้เกิดแลตทิซภายใต้ลำดับการครอบงำ ซึ่งแสดงด้วยL _nและการดำเนินการของการผันแปรคือแอนติออโตมอร์ฟิซึมของแลตทิซนี้ เพื่ออธิบายการดำเนินการของแลตทิซอย่างชัดเจน สำหรับแต่ละการแบ่งส่วนpให้พิจารณา ทูเปิล ( n  + 1) ที่เกี่ยวข้อง :

${\displaystyle {\hat {p}}=(0,p_{1},p_{1}+p_{2},\ldots ,p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}).}$

พาร์ติชันpสามารถกู้คืนได้จากทูเปิล ( n + 1) ที่เกี่ยวข้องโดยใช้ ความแตกต่างขั้นตอนที่ 1 ยิ่งไปกว่านั้น ทูเปิล ( n + 1) ที่เกี่ยวข้องกับพาร์ติชันของnมีลักษณะเฉพาะในบรรดาลำดับจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีความยาวn  + 1 ด้วยคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้: ${\displaystyle p_{i}={\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i-1}.}$

• ไม่ลดลง${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};}$
• เว้า,${\displaystyle 2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};}$
• พจน์เริ่มต้นคือ 0 และพจน์สุดท้ายคือn${\displaystyle {\hat {p}__{0}=0,{\hat {p}__{n}=n.}$

ตามนิยามของการเรียงลำดับความเด่น พาร์ติชันpมาก่อนพาร์ติชันqก็ต่อเมื่อทูเปิล ( n  + 1) ที่เกี่ยวข้องกับpมีค่าแต่ละพจน์น้อยกว่าหรือเท่ากับทูเปิล ( n  + 1) ที่เกี่ยวข้องกับqถ้าp , q , rเป็นพาร์ติชันแล้วก็ต่อเมื่อค่าต่ำสุดแบบรายองค์ประกอบของลำดับจำนวนเต็มเว้าที่ไม่ลดลงสองลำดับก็เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและเว้าเช่นกัน ดังนั้น สำหรับพาร์ติชันn , pและq สองพาร์ติชันใดๆ ส่วน ที่ตรงกันคือพาร์ติชันของnซึ่งทูเปิล ( n  + 1) ที่เกี่ยวข้องมีองค์ประกอบแนวคิดตามธรรมชาติที่จะใช้สูตรที่คล้ายกันสำหรับการเชื่อมต่อล้มเหลวเพราะค่าสูงสุดแบบรายองค์ประกอบของลำดับเว้าสองลำดับไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับเว้า ตัวอย่างเช่น สำหรับn  = 6 พาร์ติชัน [3,1,1,1] และ [2,2,2] มีลำดับที่เกี่ยวข้องคือ (0,3,4,5,6,6,6) และ (0,2,4,6,6,6,6) ซึ่งค่าสูงสุดในแต่ละส่วนประกอบคือ (0,3,4,6,6,6,6) ไม่สอดคล้องกับพาร์ติชันใดๆ ในการแสดงว่าพาร์ติชันสองพาร์ติชันใดๆ ของnมีการเชื่อมต่อกัน เราใช้การผกผันอัตโนมัติของการผันแปร: การเชื่อมต่อของpและqคือพาร์ติชันผันแปรของจุดร่วมของp ′ และq ′: ${\displaystyle r\trianglelefteq p,r\trianglelefteq q}$${\displaystyle {\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.}$${\displaystyle \operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).}$

${\displaystyle p\lor q=(p^{\prime }\land q^{\prime })^{\prime }.}$

สำหรับพาร์ทิชัน pและqสองอันในตัวอย่างก่อนหน้านี้ พาร์ทิชันคู่ควบของพวกมันคือ [4,1,1] และ [3,3] ซึ่งบรรจบกับ [3,2,1] ซึ่งเป็นพาร์ทิชันคู่ควบในตัวเอง ดังนั้น การรวมของpและqคือ [3,2,1]

โทมัส ไบรลาฟสกีได้กำหนดค่าคงที่หลายอย่างของแลตทิซL _nเช่น ความสูงต่ำสุดและจำนวนการครอบคลุมสูงสุด และได้จำแนกช่วงที่มีความยาวน้อย ในขณะที่L _nไม่ใช่แลตทิซแบบกระจายสำหรับn  ≥ 7 แต่ก็มีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกับแลตทิซแบบกระจาย เช่นฟังก์ชันโมเบียส ของมัน จะมีค่าเพียง 0, 1, −1 เท่านั้น

การแบ่งกลุ่มของnสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพ Youngบน กล่อง n กล่อง ตาราง Youngมาตรฐานเป็นวิธีการบางอย่างในการเติมตัวเลขลงในแผนภาพ Young และลำดับบางส่วนบนตารางเหล่านั้น (บางครั้งเรียกว่าลำดับการครอบงำบนตาราง Young ) สามารถกำหนดได้ในแง่ของลำดับการครอบงำบนแผนภาพ Young สำหรับตาราง Young Tที่จะครอบงำตาราง Young S อีกตารางหนึ่ง รูปร่างของTต้องครอบงำรูปร่างของSในฐานะการแบ่งกลุ่ม และยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขเดียวกันนี้ต้องเป็นจริงเสมอเมื่อTและSถูกตัดทอนก่อนเป็นตารางย่อยที่มีรายการจนถึงค่าk ที่กำหนด สำหรับแต่ละตัวเลือกของ k

ในทำนองเดียวกัน มีลำดับการครอบงำบนเซตของบิตเทเบิลแบบ Young มาตรฐาน ซึ่งมีบทบาทในทฤษฎีของ เอก นาม มาตรฐาน

• แลตทิซของยัง
• วิชาเอก