ในทางคณิตศาสตร์เมเจอร์ไรเซชัน (majorization)คือลำดับก่อนหน้า (preorder)บนเวกเตอร์ของจำนวนจริงสำหรับเวกเตอร์สองตัวดังกล่าว เรากล่าวว่าเมเจอร์ไรเซชันแบบอ่อน (หรือครอบงำ) จากล่างซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์เมื่อ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} \succ _{w}\mathbf {y} ,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}^{\downarrow }}$สำหรับทุกคน${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n}$

โดยที่หมายถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดลำดับที่ ของ^ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมเราจะกล่าวว่าครอบงำ (หรือเลือกมากกว่า) ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle x_{i}^{\downarrow }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$

ทั้งเมเจอร์ไรเซชันแบบอ่อนและเมเจอร์ไรเซชันต่างก็เป็นลำดับบางส่วน สำหรับเวก เตอร์ ที่มีสมาชิกเรียงลำดับจากมากไปน้อย แต่เป็นเพียงพรีออร์เดอร์สำหรับเวกเตอร์ทั่วไป เนื่องจากเมเจอร์ไรเซชันไม่คำนึงถึงลำดับของสมาชิกในเวกเตอร์ เช่น ข้อความดังกล่าวเทียบเท่ากับ${\displaystyle (1,2)\prec (0,3)}$${\displaystyle (2,1)\prec (3,0)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าและเฉพาะเมื่อเป็นการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน ในทำนองเดียวกันสำหรับ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} \wedge \mathbf {y} \succ \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$${\displaystyle \succ _{w}}$

บางครั้ง Majorizing ยังหมายถึงการเรียงลำดับตามรายการ เช่น ฟังก์ชันค่าจริงfจะทำให้ฟังก์ชันค่าจริงg กลายเป็น Majorizing เมื่อสำหรับทุกค่าในโดเมน หรือคำจำกัดความทางเทคนิคอื่นๆ เช่น การวัด Majorizing ในทฤษฎีความน่าจะเป็น^{[ 1 ]}${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle x}$

เพราะเรามีก็ต่อเมื่ออยู่ในส่วนนูนของเวกเตอร์ทั้งหมดที่ได้จากการสลับพิกัดของซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่าสำหรับเมทริกซ์สุ่มสองชั้นบางตัว[ ^{2 ] :ทฤษฎีบท 2.1} โดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถเขียนได้เป็นการรวมแบบนูนของ การเรียง สับเปลี่ยนของ^{[ 3 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อยู่ในเพอร์มูตาเฮดรอน ของ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {D} \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

รูปที่ 1 แสดงขอบเขตนูนใน 2 มิติสำหรับเวกเตอร์สังเกตว่าจุดศูนย์กลางของขอบเขตนูน ซึ่งในกรณีนี้เป็นช่วง คือเวกเตอร์นี่คือเวกเตอร์ที่ "เล็กที่สุด" ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดให้รูปที่ 2 แสดงขอบเขตนูนใน 3 มิติ จุดศูนย์กลางของขอบเขตนูน ซึ่งในกรณีนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยม 2 มิติ คือเวกเตอร์ที่ "เล็กที่สุด" ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดให้ ${\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}$${\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

ข้อความต่อไปนี้แต่ละข้อความจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ... ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$

• จากนั้นเราสามารถสร้างลำดับจำกัดของ "การดำเนินการโรบินฮู้ด" โดยที่เราแทนที่องค์ประกอบสองตัวและด้วยและตามลำดับสำหรับบางค่า[ ^{2 ] : 11} ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}<x_{i}}$${\displaystyle x_{i}-\varepsilon }$${\displaystyle x_{j}+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \in (0,x_{i}-x_{j})}$
• สำหรับฟังก์ชันนูนทุกฟังก์ชัน, . ^{[ 2 ] : ทฤษฎีบท 2.9} ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(x_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(y_{i})}$
  • ในความเป็นจริง กรณีพิเศษก็เพียงพอแล้ว: และสำหรับทุกt , . ^{[ 4 ]}${\displaystyle \sum _{i}{x_{i}}=\sum _{i}{y_{i}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\max(0,x_{i}-t)\geq \sum _{i=1}^{d}\max(0,y_{i}-t)}$
• สำหรับทุกๆ, . ^{[ 5 ] : แบบฝึกหัด 12.17} ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}|x_{j}-t|\geq \sum _{j=1}^{d}|y_{j}-t|}$

• 

  เวกเตอร์แต่ละตัวสามารถวาดเป็นเส้นโค้งเว้าได้โดยการเชื่อมต่อ จากนั้น เส้นโค้งของจะเทียบเท่ากับเส้นโค้งของที่อยู่สูงกว่าเส้นโค้งของ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle (0,0),(1,x_{1}^{\downarrow }),(2,x_{1}^{\downarrow }+x_{2}^{\downarrow }),\dots ,(n,x_{1}^{\downarrow }+x_{2}^{\downarrow }+\dots +x_{n}^{\downarrow })}$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

ในบรรดาเวกเตอร์ที่ไม่เป็นลบที่มีสามองค์ประกอบและการเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์เหล่านั้น จะครอบงำเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติเดียวกันตัวอย่างเช่นในทำนองเดียวกันก็ถูกครอบงำโดยเวกเตอร์อื่นๆ ที่มีคุณสมบัติเดียวกันทั้งหมดเช่นกันดังนั้น ${\displaystyle (1,0,0)}$${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=1}$${\displaystyle (1,0,0)\succ (1/2,0,1/2)}$${\displaystyle (1/3,1/3,1/3)}$${\displaystyle (1/2,0,1/2)\succ (1/3,1/3,1/3)}$

พฤติกรรมนี้ขยายไปถึง เวกเตอร์ความน่าจะเป็นที่มีความยาวทั่วไปด้วย กล่าวคือ เวกเตอร์เอกลักษณ์จะครอบงำเวกเตอร์ความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมด และการแจกแจงแบบเอกรูปจะครอบงำเวกเตอร์ความน่าจะเป็นทั้งหมด

กล่าวได้ว่าฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันนูนแบบ Schurเมื่อหมายถึงดังนั้น ฟังก์ชันนูนแบบ Schur จึงแปลงลำดับของเวกเตอร์ไปเป็นลำดับมาตรฐานใน ในทำนองเดียวกันเป็นฟังก์ชันเว้าแบบ Schurเมื่อหมายถึง${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )\leq f(\mathbf {y} ).}$

ตัวอย่างของฟังก์ชันชูร์นูน (Schur-convex function) คือฟังก์ชันค่าสูงสุด (max function ) ฟังก์ชันชูร์นูนจำเป็นต้องสมมาตร กล่าวคือ สามารถสลับตำแหน่งของสมาชิกในอาร์กิวเมนต์ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของฟังก์ชัน ดังนั้น ฟังก์ชันเชิงเส้นซึ่งเป็นฟังก์ชันนูน จะไม่ใช่ฟังก์ชันชูร์นูน เว้นแต่ว่าฟังก์ชันนั้นจะสมมาตร ถ้าฟังก์ชันสมมาตรและเป็นฟังก์ชันนูน ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันชูร์นูนด้วย ${\displaystyle \max(\mathbf {x} )=x_{1}^{\downarrow }}$

การจัดลำดับความสำคัญสามารถขยายไปสู่การจัดลำดับแบบลอเรนซ์ซึ่งเป็นการจัดลำดับบางส่วนบนฟังก์ชันการกระจายตัวอย่างเช่นการกระจายความมั่งคั่งจะถือว่ามากกว่าแบบลอเรนซ์หากเส้นโค้งลอเรนซ์ ของมันอยู่ต่ำกว่าอีกแบบหนึ่ง ดังนั้น การกระจายความมั่งคั่งที่มากกว่าแบบลอเรนซ์จะมีค่า สัมประสิทธิ์ Giniที่สูงกว่าและมีความเหลื่อมล้ำทางรายได้มากกว่า^{[ 6 ]}

ลำดับก่อนการจัดลำดับความสำคัญสามารถขยายไปยังเมทริกซ์ความหนาแน่นในบริบทของข้อมูลควอนตัมได้ อย่างเป็นธรรมชาติ ^{[ 5 ] [ 7 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อ(โดยที่ แสดงถึง สเปกตรัมของสถานะ) ${\displaystyle \rho \succ \rho '}$${\displaystyle \mathrm {spec} [\rho ]\succ \mathrm {spec} [\rho ']}$${\displaystyle \mathrm {spec} }$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน , , ทำให้ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนอีกตัวหนึ่ง , , มีค่ามากกว่าหากเซตของค่าลักษณะเฉพาะของ, , ทำให้เซตของค่าลักษณะ เฉพาะของ , , มีค่ามากกว่า${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

• ความไม่เท่าเทียมกันของมิวร์เฮด
• ความไม่เท่าเทียมกันของคารามาตา
• ฟังก์ชันชูร์นูน
• ทฤษฎีบท Schur–Hornที่เชื่อมโยงค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์กับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น
• สำหรับจำนวนเต็มบวก การจัดลำดับความสำคัญแบบอ่อนเรียกว่าลำดับการครอบงำ (Dominance order )
• คำสั่งเลกซิมิน

• วิชาเอกคณิตศาสตร์โลก
• วิชาเอกใน PlanetMath

• โค้ดOCTAVE / MATLAB สำหรับตรวจสอบการแบ่งสาขาวิชา