ในกลศาสตร์ควอนตัมศักยภาพแบบบ่อคู่ เป็นหนึ่งในศักยภาพกำลัง สี่จำนวนมากที่ใช้ในการสำรวจปรากฏการณ์ทางกายภาพหรือคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เนื่องจากในหลายกรณีสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนโดยไม่ต้องลดทอนความซับซ้อนมากเกินไป

โดยเฉพาะอย่างยิ่งศักยภาพแบบบ่อคู่สมมาตรทำหน้าที่เป็นแบบจำลองเพื่อแสดงแนวคิดของอินสแตนตอนในฐานะการกำหนดค่าแบบเสมือนคลาสสิกในทฤษฎีสนามแบบ ยุค ลิด^{[ 1 ]}ในบริบทกลศาสตร์ควอนตัมที่ง่ายกว่านี้ ศักยภาพนี้ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสำหรับการประเมินปริพันธ์เส้นทาง^{[ 2 ] [ 3 ]}หรือการแก้สมการชโรดิงเกอร์ด้วยวิธีการต่างๆ เพื่อจุดประสงค์ในการหาค่าพลังงานไอเกนอย่าง ชัดเจน

ในทางกลับกัน ศักยภาพแบบบ่อคู่สมมาตรกลับด้านทำหน้าที่เป็นศักยภาพที่ไม่ธรรมดาในสมการชโรดิงเกอร์สำหรับการคำนวณอัตราการสลายตัว^{[ 4 ]}และการสำรวจพฤติกรรมลำดับใหญ่ของการขยายอนุกรมอสิมโทติก^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

รูปแบบที่สามของศักยภาพควอติกคือศักยภาพของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก อย่างง่ายที่ถูกรบกวน หรือออสซิลเลเตอร์แอนฮาร์มอนิกบริสุทธิ์ที่มีสเปกตรัมพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องอย่างแท้จริง

รูปแบบศักยภาพควอติกที่เป็นไปได้แบบที่สี่ คือ รูปแบบที่มีรูปร่างไม่สมมาตรของรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งในสองแบบแรกที่กล่าวมาข้างต้น

ศักยภาพแบบบ่อคู่และศักยภาพควอติกอื่นๆ สามารถจัดการได้ด้วยวิธีการที่หลากหลาย โดยวิธีการหลักๆ ได้แก่ (ก) วิธีการรบกวน (ของRobert Balson DingleและHarald JW Müller-Kirsten ^{[ 8 ]} ) ซึ่งต้องมีการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต (ข) วิธีการ WKBและ (ค) วิธีการอินทิกรัลเส้นทาง กรณีทั้งหมดได้รับการอธิบายโดยละเอียดในหนังสือของ Müller-Kirsten ^{[ 9 ]}พฤติกรรมลำดับใหญ่ของการขยายอนุกรมอสิมโทติกของฟังก์ชัน Mathieuและค่าลักษณะเฉพาะ (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนลักษณะเฉพาะ) ได้รับการอนุมานในบทความเพิ่มเติมของ Dingle และ Müller-Kirsten ^{[ 10 ]}

งานวิจัยส่วนใหญ่ (ด้วยเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนาม) มุ่งเน้นไปที่บ่อคู่สมมาตร (ศักยภาพ) และสถานะพื้นฐาน ทางกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากการทะลุผ่านเนินกลางของศักยภาพนั้นเกี่ยวข้อง การคำนวณพลังงานเฉพาะของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพนี้จึงไม่ใช่เรื่องง่าย กรณีของสถานะพื้นฐานนั้นถูกไกล่เกลี่ยโดยการกำหนดค่าแบบเสมือนคลาสสิกที่เรียกว่าอินสแตนตอนและแอนติอินสแตนตอน ในรูปแบบที่ชัดเจน ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันไฮ เปอร์โบลิก ใน ฐานะการกำหนดค่าแบบเสมือนคลาสสิก สิ่งเหล่านี้ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในการพิจารณาแบบกึ่งคลาสสิก — ผลรวมของคู่ของอินสแตนตอน-แอนติอินสแตนตอน (ที่แยกจากกันอย่างกว้างขวาง) เรียกว่าการประมาณก๊าซเจือจาง พลังงานเฉพาะของสถานะพื้นฐานที่ได้ในที่สุดคือการแสดงออกที่มีเลขชี้กำลังของการกระทำแบบยุคลิดของอินสแตนตอน นี่คือการแสดงออกที่มีตัวประกอบและดังนั้นจึงถูกอธิบายว่าเป็นผลกระทบที่ไม่ใช่การรบกวน (แบบคลาสสิก) ${\displaystyle 1/\hbar }$

ความเสถียรของการกำหนดค่าอินสแตนตอนในทฤษฎีอินทิกรัลเส้นทางของทฤษฎีสนามสเกลาร์ที่มีปฏิสัมพันธ์แบบคู่สมมาตรได้รับการตรวจสอบโดยใช้สมการของการแกว่งเล็กน้อยรอบอินสแตนตอน พบว่าสมการนี้เป็นสมการ Pöschl-Teller (กล่าวคือสมการเชิงอนุพันธ์ อันดับสอง เช่นสมการ Schrödinger ที่มีศักยภาพ Pöschl-Teller ) ที่มีค่าไอเกนไม่เป็นลบ การที่ค่าไอเกนไม่เป็นลบนั้นบ่งชี้ถึงความเสถียรของอินสแตนตอน^{[ 11 ]}

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น อินสแตนตอนคือการกำหนดค่าอนุภาคเสมือนที่กำหนดบนเส้นเวลาแบบยุคลิดอนันต์ซึ่งสื่อสารระหว่างบ่อศักย์ทั้งสองและรับผิดชอบต่อสถานะพื้นฐานของระบบ การกำหนดค่าที่รับผิดชอบต่อสถานะที่สูงกว่า เช่น สถานะกระตุ้น คืออินสแตนตอนแบบคาบที่กำหนดบนวงกลมของเวลาแบบยุคลิด ซึ่งในรูปแบบที่ชัดเจนจะแสดงในรูปของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคเบียน (การวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ) การประเมินอินทิกรัลเส้นทางในกรณีเหล่านี้เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลเชิงวงรี สมการของความผันผวนเล็กน้อยเกี่ยวกับอินสแตนตอนแบบคาบเหล่านี้คือสมการลาเม ซึ่งคำตอบคือฟังก์ชันลาเมในกรณีที่ไม่เสถียร (เช่น ศักย์บ่อคู่แบบกลับด้าน) สมการนี้จะมีค่าไอเกนลบซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เสถียรนี้ เช่น การสลายตัว^{[ 11 ]}

การประยุกต์ใช้วิธีการรบกวนของ Dingle และ Müller (ซึ่งเดิมใช้กับสมการ Mathieu หรือสมการ Schrödinger ที่มีศักยภาพแบบโคไซน์) จำเป็นต้องใช้ประโยชน์จากสมมาตรของพารามิเตอร์ในสมการ Schrödinger สำหรับศักยภาพกำลังสี่ โดยจะทำการขยายรอบจุดต่ำสุดจุดใดจุดหนึ่งจากสองจุดของศักยภาพ นอกจากนี้ วิธีนี้ยังต้องการการจับคู่สาขาต่างๆ ของคำตอบในโดเมนที่ทับซ้อนกัน การประยุกต์ใช้เงื่อนไขขอบเขตในท้ายที่สุดจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่การรบกวน (เช่นเดียวกับในกรณีของศักยภาพแบบคาบ)

ในแง่ของพารามิเตอร์ตามสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพแบบบ่อคู่สมมาตรในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}ค^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

พบว่า ค่าไอเกนของ คือ (ดูหนังสือของ Müller-Kirsten สูตร (18.175b) หน้า 425)${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

เห็นได้ชัดว่าค่าไอเกนเหล่านี้มีการเสื่อมสภาพเชิงอะซิมโทติก ( ) ตามที่คาดไว้จากส่วนฮาร์มอนิกของศักยภาพ สังเกตว่าพจน์ของส่วนรบกวนของผลลัพธ์จะเป็นคู่หรือคี่สลับกันในและ(เช่นเดียวกับผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชัน Mathieuฟังก์ชันLaméฟังก์ชันคลื่นทรงรีแบบยาวฟังก์ชันคลื่นทรงรีแบบแบนและอื่นๆ) ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle h^{2}}$

ในบริบทของทฤษฎีสนาม มักจะเขียนศักยภาพแบบบ่อคู่สมมาตรข้างต้น ( โดยที่ เป็นสนามสเกลาร์) ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

และอินสแตนตอนคือคำตอบของสมการคล้ายนิวตัน ${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

( โดยเป็นเวลาแบบยุคลิด) กล่าวคือ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

สมการของการผันผวนเล็กน้อยรอบ ๆ คือสมการ Pöschl-Teller (ดูศักย์ Pöschl-Teller ) ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

กับ

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

เนื่องจากค่าไอเกนทั้งหมดเป็นบวกหรือศูนย์ การกำหนดค่าอินสแตนตอนจึงเสถียรและไม่มีการเสื่อมสลาย ${\displaystyle \omega _{n}^{2}}$

ในกรณีทั่วไปของคำตอบแบบคลาสสิกคืออินสแตนตอนแบบคาบ${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

โดยที่คือค่าสัมบูรณ์เชิงวงรีของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคเบียน แบบคาบ สม การความผันผวนเล็กน้อยในกรณีทั่วไปนี้คือสมการลาเมในขีดจำกัดคำตอบจะกลายเป็นคำตอบของอินสแตนตอนสุญญากาศ ${\displaystyle k}$${\displaystyle sn}$${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$${\displaystyle \phi _{c}}$

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

ทฤษฎีการรบกวนร่วมกับการจับคู่คำตอบในโดเมนที่ทับซ้อนกันและการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต (ซึ่งแตกต่างจากกรณีของบ่อคู่) สามารถนำมาใช้เพื่อหาค่าลักษณะเฉพาะของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพนี้ได้อีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ จะทำการขยายรอบจุดต่ำสุดตรงกลางของศักยภาพ ดังนั้นผลลัพธ์จึงแตกต่างจากข้างต้น

ในแง่ของพารามิเตอร์ตามสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพแบบบ่อคู่กลับด้านในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

พบว่า ค่าไอเกนของคือ (ดูหนังสือของ Müller-Kirsten สูตร (18.86) หน้า 503) ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

ส่วนจินตนาการของนิพจน์นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ของ CM Bender และ TT Wu (ดูสูตร (3.36) และชุดและในสัญลักษณ์ของพวกเขา) ^{[ 12 ]}ผลลัพธ์นี้มีบทบาทสำคัญในการอภิปรายและการตรวจสอบพฤติกรรมลำดับใหญ่ของทฤษฎีการรบกวน ${\displaystyle \hbar =1}$${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$

ในแง่ของพารามิเตอร์ตามสมการชโรดิงเกอร์สำหรับออสซิลเลเตอร์แบบไม่เป็นเชิงเส้นบริสุทธิ์ในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

พบว่า ค่าไอเกนของคือ ${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

สามารถคำนวณพจน์เพิ่มเติมได้อย่างง่ายดาย สังเกตว่าสัมประสิทธิ์ของการกระจายจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่สลับกันในและเช่นเดียวกับในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด นี่เป็นแง่มุมที่สำคัญของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับศักยภาพกำลังสี่ ${\displaystyle q}$${\displaystyle h^{2}}$

ผลลัพธ์ข้างต้นสำหรับบ่อคู่และบ่อคู่กลับด้านสามารถหาได้โดยวิธีอินทิกรัลเส้นทาง (โดยผ่านอินสแตนตอนแบบคาบ ดูอินสแตนตอน ) และวิธี WKB แม้ว่าจะต้องใช้อินทิกรัลเชิงวงรีและการประมาณค่าฟังก์ชันแกมมาของ สเตอร์ลิง ซึ่งทั้งหมดนี้ทำให้การคำนวณยากขึ้น คุณสมบัติสมมาตรของส่วนรบกวนในการเปลี่ยนแปลงq → - q , → - ของผลลัพธ์สามารถหาได้จากการอนุมานจากสมการชโรดิงเกอร์เท่านั้น ซึ่งจึงเป็นวิธีที่ดีกว่าและถูกต้องกว่าในการได้ผลลัพธ์ ข้อสรุปนี้ได้รับการสนับสนุนจากการตรวจสอบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองอื่นๆ เช่น สมการมาธิเยอและสมการลาเม ซึ่งแสดงคุณสมบัติที่คล้ายกันในสมการค่าลักษณะเฉพาะ ยิ่งไปกว่านั้น ในแต่ละกรณีเหล่านี้ (บ่อคู่ บ่อคู่กลับด้าน ศักย์โคไซน์) สมการของการผันผวนเล็กน้อยเกี่ยวกับโครงสร้างแบบคลาสสิกคือสมการลาเม ${\displaystyle h^{2}}$${\displaystyle h^{2}}$