แบบจำลอง Drude

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ แบบจำลอง Drude

แบบ จำลองดรูด หรือ แบบจำลองดรูด-ลอเรนซ์ เกี่ยวกับ การนำไฟฟ้า ในโลหะ ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1900 โดย พอล ดรูด และได้รับการปรับปรุงโดย เฮนดริก ลอเรนซ์ ในปี ค.ศ.

Q: ประวัติศาสตร์

ในปี พ.ศ. 2496 Gustav Wiedemann และ Rudolph Franz พบว่าอัตราส่วนระหว่างค่าการนำความร้อนของวัสดุกับค่าการนำไฟฟ้าของวัสดุนั้นเป็นสากล ความสัมพันธ์นี้จึงกลายเป็นที่รู้จักในชื่อ กฎของ Wiedemann–Franz ในปี พ.ศ.

Q: การวิจารณ์ของเรนกานัมและการติดต่อสื่อสารระหว่างไอน์สไตน์และดรูด

หลังจากที่ Drude ตีพิมพ์บทความไม่นาน Max Reinganum ชี้ให้เห็นว่ามีปัญหาเกี่ยวกับความร้อนจำเพาะและไม่เป็นไปตาม กฎ ของ Dulong–Petit [ 10 ]

แบบจำลองดรูดหรือแบบจำลองดรูด-ลอเรนซ์เกี่ยวกับการนำไฟฟ้าในโลหะ ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1900 โดยพอล ดรูดและได้รับการปรับปรุงโดยเฮนดริก ลอเรนซ์ในปี ค.ศ. 1905 แบบจำลองดรูดพยายามอธิบายการนำไฟฟ้าในแง่ของการกระเจิงของอิเล็กตรอน (ตัวนำไฟฟ้า) โดยไอออนที่ค่อนข้างอยู่กับที่ในโลหะ ซึ่งทำหน้าที่เหมือนสิ่งกีดขวางการไหลของอิเล็กตรอน แบบจำลองนี้เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีจลน์โดยสมมติว่าเมื่ออิเล็กตรอนในของแข็งสัมผัสกับสนามไฟฟ้า พวกมันจะประพฤติตัวคล้ายกับ เครื่องเล่น พินบอล อิเล็กตรอนจำนวนมาก ที่กระเด้งไปมาอย่างต่อเนื่องจะกระดอนออกจากไอออนบวกที่หนักกว่าและค่อนข้างอยู่กับที่ ทำให้เกิดการเคลื่อนที่รวมสุทธิในทิศทางตรงกันข้ามกับสนามไฟฟ้าที่ใช้

ในแง่สมัยใหม่ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นใน แบบจำลอง อิเล็กตรอนวาเลนซ์โดยที่ทะเลอิเล็กตรอนประกอบด้วยอิเล็กตรอนวาเลนซ์เท่านั้น^{[ 1 ]}และไม่ใช่ชุดอิเล็กตรอนทั้งหมดที่มีอยู่ในของแข็ง และศูนย์กลางการกระเจิงคือเปลือกชั้นในของอิเล็กตรอนที่ยึดติดแน่นกับนิวเคลียส^{[ 2 ]}ศูนย์กลางการกระเจิงมีประจุบวกเทียบเท่ากับเลขวาเลนซ์ของอะตอม^{[ 3 ]} ความคล้ายคลึงกันนี้รวมกับข้อผิดพลาดในการคำนวณบางประการในเอกสารของ Drude ส่งผลให้ได้ทฤษฎีเชิงคุณภาพที่สมเหตุสมผลของของแข็งที่สามารถทำนายได้ดีในบางกรณีและให้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างสิ้นเชิงในกรณีอื่นๆ เมื่อใดก็ตามที่ผู้คนพยายามให้สาระสำคัญและรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับธรรมชาติของศูนย์กลางการกระเจิง กลไกของการกระเจิง และความหมายของความยาวของการกระเจิง ความพยายามทั้งหมดเหล่านี้ก็จบลงด้วยความล้มเหลว^{[ 4 ]}

ค่าความยาวการกระเจิงที่คำนวณได้ในแบบจำลอง Drude นั้นมีค่าอยู่ในช่วง 10 ถึง 100 ระยะห่างระหว่างอะตอม และค่าเหล่านี้ก็ไม่สามารถอธิบายได้อย่างเหมาะสมในระดับจุลภาค

แบบจำลองนี้ให้การทำนายที่ดีกว่าสำหรับโลหะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องการนำไฟฟ้า^{[ 5 ]}และบางครั้งก็เรียกว่าทฤษฎี Drude ของโลหะ นี่เป็นเพราะโลหะมีความใกล้เคียงกับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระ มากกว่า กล่าว คือ โลหะไม่มีโครงสร้างแถบที่ ซับซ้อน อิเล็กตรอนมีพฤติกรรมเหมือนอนุภาคอิสระและในกรณีของโลหะจำนวนอิเล็กตรอนที่กระจายตัวอย่างมีประสิทธิภาพจะเท่ากับเลขวาเลนซ์^{[ 6 ]}

ผลลัพธ์ ที่ สำคัญที่สุดสองประการของแบบจำลอง Drude คือ สมการการเคลื่อนที่ทางอิเล็กทรอนิกส์ และความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างความหนาแน่นกระแส $J$ และสนามไฟฟ้า $E$ ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$ $\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .$

ในที่นี้ $t$ คือเวลา ⟨ p ⟩ คือโมเมนตัมเฉลี่ยต่ออิเล็กตรอน และ $q, n, m$ และ $τ$ คือประจุอิเล็กตรอน ความหนาแน่นของจำนวน มวล และเวลาเฉลี่ยระหว่างการชนกันของไอออน ตามลำดับ นิพจน์หลังนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษเพราะมันอธิบายในเชิงกึ่งปริมาณว่าทำไมกฎของโอห์มซึ่งเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์ที่พบได้ทั่วไปมากที่สุดในแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมด จึงควรเป็นจริง^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

ประวัติศาสตร์

ในปี พ.ศ. 2496 Gustav WiedemannและRudolph Franzพบว่าอัตราส่วนระหว่างค่าการนำความร้อนของวัสดุกับค่าการนำไฟฟ้าของวัสดุนั้นเป็นสากล ความสัมพันธ์นี้จึงกลายเป็นที่รู้จักในชื่อกฎของ Wiedemann–Franzในปี พ.ศ. 2424 Ludvig Lorenzยังได้กล่าวถึงการพึ่งพาอุณหภูมิของอัตราส่วนนี้ และค่าคงที่สัดส่วนกลายเป็นที่รู้จักในชื่อค่าคงที่ Lorenz ^{[ 10 ]}ในปี พ.ศ. 2440 JJ Thomsonค้นพบอิเล็กตรอน^{[ 10 ]}

นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน Paul Drude ทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทัศนศาสตร์ในวิทยานิพนธ์ปี 1887 ของเขา ภายใต้การดูแลของWoldemar Voigtหลังจากการทดลองหลายครั้ง เขาพยายามอธิบายคุณสมบัติทางแสงและไฟฟ้าของของแข็งโดยใช้สมการการเคลื่อนที่ในบทความปี 1899 ของเขา^{[ 10 ]}ด้วยแรงบันดาลใจจากทฤษฎีของ Thomson Paul Drudeได้เสนอแบบจำลองจุลภาคของโลหะในเดือนกุมภาพันธ์ปี 1900 ^{[ 11 ]}^{[ 10 ]} (บทความฉบับที่สองได้รับการตีพิมพ์ในเดือนกันยายน^{[ 12 ]} ) เขาสมมติแบบจำลองที่เรียบง่ายของของแข็ง: ศูนย์กลางการกระเจิงที่มีประจุบวกและก๊าซอิเล็กตรอน ทำให้ของแข็งเป็นกลางทางไฟฟ้า โดยใช้ทฤษฎีจลน์ของก๊าซ [ ^{13 ] แบบ}จำลองของเขาสามารถอนุมานกฎของ Wiedemann–Franz ได้^{[ 10 ]}

ในเดือนสิงหาคม Drude ยังได้นำเสนอผลงานของเขาในการประชุมฟิสิกส์นานาชาติ ปี 1900 ระหว่าง งาน Exposition Universelleในปารีส ในระหว่างการประชุม เขาได้ปกป้องการมีอยู่ของอิเล็กตรอนซึ่งยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่^{[ 14 ]}โดยไม่ขึ้นอยู่กับ Drude นั้น JJ Thomson ได้พัฒนาและนำเสนอแบบจำลองที่เกือบจะเหมือนกัน^{[ 10 ]}^{[ 15 ]}

การวิจารณ์ของเรนกานัมและการติดต่อสื่อสารระหว่างไอน์สไตน์และดรูด

หลังจากที่ Drude ตีพิมพ์บทความไม่นานMax Reinganumชี้ให้เห็นว่ามีปัญหาเกี่ยวกับความร้อนจำเพาะและไม่เป็นไปตาม กฎ ^ของ Dulong–Petit ^[¹⁰ ]

ในปี ค.ศ. 1901 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในระหว่างการศึกษาปริญญาเอก ได้เขียนจดหมายถึงดรูดเพื่อตั้งคำถามเกี่ยวกับพื้นฐานทางสถิติของแบบจำลองของเขา จดหมายเหล่านั้นไม่เคยถูกค้นพบ แต่เนื้อหาบางส่วนได้รับการสร้างขึ้นใหม่จากจดหมายโต้ตอบระหว่างไอน์สไตน์กับมิเลวา มาริชข้อโต้แย้งแรกของไอน์สไตน์เกี่ยวข้องกับช่องว่างใน กลศาสตร์เชิงสถิติของ ลุดวิก โบลต์ซมันน์ซึ่งดรูดได้ตอบโต้เพื่อปกป้องโบลต์ซมันน์ ข้อโต้แย้งที่สองเกิดขึ้น แต่เนื้อหาหายไป หลังจากการปฏิสัมพันธ์ของพวกเขา ไอน์สไตน์ได้เขียนบทความเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงสถิติในปี ค.ศ. 1902 ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

การปรับแต่งลอเรนซ์

เฮนดริก แอนทูน ลอเรนซ์ได้ศึกษาบทบาทของอิเล็กตรอนในทฤษฎีอีเธอร์ของลอเรนซ์และในแบบจำลองออสซิลเลเตอร์ของลอเรนซ์ในปี 1903 เขาใช้แบบจำลองดรูดเพื่อหาอนุพันธ์ของกฎของพลังค์ในขีดจำกัดความยาวคลื่นยาว^{[ 10 ]}ในการบรรยายที่เบอร์ลินในปี 1904 เขาได้นำเสนอแบบจำลองดรูดที่ได้รับการปรับปรุง ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์ในปี 1905 และด้วยเหตุนี้จึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองดรูด-ลอเรนซ์ [ ^{18 ] [}^{19 ] [}^{10 ] เขา}ได้นำเสนอผลกระทบของสนามไฟฟ้าและอุณหภูมิในลักษณะที่สอดคล้องกันรูดอล์ฟ ซีลิเกอร์พิจารณาว่าลอเรนซ์ได้จัดการ "สถิติของอิเล็กตรอนได้เหมือนกับที่โบลต์ซมันน์และ[เจมส์ คลาร์ก] แม็กซ์เวลล์ทำได้ในสมัยของพวกเขาโดยการขยายสมการดั้งเดิมของ[รูดอล์ฟ] คลอเซียส " ^{[ 10 ]}

นอกจากนี้ Lorentz ยังแก้ไขปัจจัย 2 ในการพิสูจน์กฎ Wiedemann–Franz ของ Drude ซึ่งส่งผลให้การทำนายมีความแม่นยำน้อยลง^{[ 10 ]}

คำวิจารณ์เพิ่มเติม

ในปี พ.ศ. 2449 Richard Gansพบว่าแบบจำลอง Drude ไม่แม่นยำนักเมื่อเทียบกับ การทดลอง Hall effect ของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ Hall ในปี พ.ศ. 2454 Karl Baedekerได้ตีพิมพ์ว่าแบบจำลอง Drude ไม่แม่นยำสำหรับปรากฏการณ์ galvanomagnetic ทั้งหมด ในปีเดียวกันนั้นNiels Bohrก็ได้แสดงให้เห็นในวิทยานิพนธ์ของเขาว่า (ตามทฤษฎีบท Bohr–Van Leeuwen ) แบบจำลอง Drude ไม่สามารถอธิบาย diamagnetism ในโลหะได้ ซึ่งนำเขาไปสู่การกำหนด แบบจำลอง อะตอมของBohr ^{[ 10 ]}

ความเห็นพ้องในปี พ.ศ. 2454 ก็คือมีปัญหาเกี่ยวกับความร้อนจำเพาะที่ทำนายโดยแบบจำลองของ Drude การทำนายนั้นผิดพลาดหรือการมีส่วนร่วมของอิเล็กตรอนต่อความร้อนจำเพาะนั้นน้อยมาก^{[ 10 ]}ในปี พ.ศ. 2455 ในแบบจำลอง Debye ของเขาPeter Debye ได้แสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมของความร้อนจำเพาะที่อุณหภูมิต่ำสามารถอธิบายได้ด้วยการมีส่วนร่วมของแลตติสโดยใช้ทฤษฎีควอนตัมที่ พัฒนาขึ้นใหม่ ^{[ 10 ]}

วิลเฮล์ม วีนเขียนในปี พ.ศ. 2456 ว่าแบบจำลองดรูดเริ่มกลายเป็นแหล่งที่มาของการคาดเดาที่ผิดพลาด เขาพิจารณาว่า "คำถามเกี่ยวกับการนำความร้อนและการเชื่อมโยงกับทฤษฎีควอนตัมดูเหมือนจะยังไม่ได้รับการพัฒนาจนถึงจุดที่สามารถกำหนดทฤษฎีได้" ^{[ 10 ]}

ในปี พ.ศ. 2467 การประชุม Solvay ครั้งที่ 4 จัดขึ้นเพื่อหารือเกี่ยวกับปัญหาของแบบจำลอง Drude ในช่วงเวลานี้ ทฤษฎีความเสื่อมกำลังถูกนำมาพูดคุยกัน ในปี พ.ศ. 2467 ไอน์สไตน์ทำงานร่วมกับSatyendra Nath Boseพยายามนำสถิติ Bose–Einstein ที่พัฒนาขึ้นใหม่มาใช้ กับอิเล็กตรอนในโลหะ แต่เขาแสดงให้เห็นว่ามันไม่เข้ากัน ในปี พ.ศ. 2468 Wolfgang Pauliเสนอหลักการกีดกันสำหรับอิเล็กตรอนEnrico FermiและPaul Diracได้คิดค้นสถิติ Fermi–Dirac ขึ้นมาโดยอิสระ ในปี พ.ศ. 2469 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Fermi ได้รับแรงบันดาลใจจากความล้มเหลวของแบบจำลอง Drude ^{[ 10 ]}

แบบจำลองที่ประสบความสำเร็จ

Drude ใช้สถิติ Maxwell–Boltzmannสำหรับก๊าซอิเล็กตรอนและสำหรับการสร้างแบบจำลอง ซึ่งเป็นแบบจำลองเดียวที่มีอยู่ในเวลานั้น โดยการแทนที่สถิติด้วยสถิติ Fermi Dirac ที่ถูกต้องArnold Sommerfeldได้สร้างแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระในปี 1927 ซึ่งปรับปรุงการคาดการณ์ให้ดีขึ้นอย่างมาก^{[ 20 ]}ทฤษฎีของ Sommerfeld สอดคล้องกับค่าทดลองของเลข Lorenz ได้แม่นยำยิ่งขึ้น^{[ 10 ]}เขายังแก้ปัญหาความร้อนจำเพาะได้อีกด้วย เขานำเสนอทฤษฎีแบบย่อของเขาในระหว่างการประชุม Como ^{[ 10 ]}

ข้อสมมติฐาน

Drude ใช้ทฤษฎีจลน์ของก๊าซที่ประยุกต์ใช้กับก๊าซอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่บนพื้นหลังคงที่ของ " ไอออน " ซึ่งแตกต่างจากวิธีปกติในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีของก๊าซในฐานะก๊าซเจือจางที่เป็นกลางโดยไม่มีพื้นหลังความหนาแน่นของจำนวนก๊าซอิเล็กตรอนถูกสมมติให้เป็น โดย ที่Zคือจำนวนอิเล็กตรอนที่กระจายตัวที่มีประสิทธิภาพต่อไอออน ซึ่ง Drude ใช้เลขวาเลนซ์Aคือมวลอะตอมต่อโมล^[¹³^]คือความหนาแน่นของมวล (มวลต่อหน่วยปริมาตร) ^[¹³^]ของ "ไอออน" และN _Aคือค่าคงที่ของ Avogadroเมื่อพิจารณาปริมาตรเฉลี่ยที่มีอยู่ต่ออิเล็กตรอนเป็นทรงกลม: ปริมาณเป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายความหนาแน่นของอิเล็กตรอนและมักจะอยู่ในลำดับ 2 หรือ 3 เท่าของรัศมี Bohrสำหรับโลหะอัลคาไลจะมีช่วงตั้งแต่ 3 ถึง 6 และสารประกอบโลหะบางชนิดอาจสูงถึง 10 ความหนาแน่นอยู่ในลำดับ 1000 เท่าของก๊าซคลาสสิกทั่วไป^[²¹^] $n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},$ $\rho _{\text{m}}$ ${\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.$ $r_{\text{s}}$

ข้อสมมติฐานหลักที่ใช้ในแบบจำลอง Drude มีดังต่อไปนี้:

Drude ใช้ทฤษฎีจลน์ของก๊าซเจือจาง แม้ว่าจะมีความหนาแน่นสูงก็ตาม ดังนั้นจึงละเลยปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนกับอิเล็กตรอนและอิเล็กตรอนกับไอออน นอกเหนือจากการชนกัน^{[ 22 ]}
แบบจำลอง Drude ถือว่าโลหะเกิดจากการรวมตัวของไอออนที่มีประจุบวกซึ่งมี "อิเล็กตรอนอิสระ" จำนวนหนึ่งหลุดออกมา อาจถือได้ว่าเป็นอิเล็กตรอนวาเลนซ์ของอะตอมที่กระจายตัวออกไปเนื่องจากสนามไฟฟ้าของอะตอมอื่น^{[ 21 ]}
แบบจำลอง Drude ละเลยปฏิสัมพันธ์ระยะไกลระหว่างอิเล็กตรอนและไอออนหรือระหว่างอิเล็กตรอนด้วยกันเอง ซึ่งเรียกว่าการประมาณอิเล็กตรอนอิสระ^{[ 21 ]}
อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงระหว่างการชนกันครั้งหนึ่งกับอีกครั้งหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าการประมาณอิเล็กตรอนอิสระ^{[ 21 ]}
ปฏิสัมพันธ์เพียงอย่างเดียวของอิเล็กตรอนอิสระกับสิ่งแวดล้อมถือเป็นการชนกับแกนไอออนที่ไม่สามารถทะลุผ่านได้^{[ 21 ]}
เวลาเฉลี่ยระหว่างการชนกันครั้งถัดไปของอิเล็กตรอนดังกล่าวคือ $τ$ โดยมีการกระจายแบบปัวซง ที่ไม่มีความจำ ลักษณะของคู่ชนของอิเล็กตรอนไม่มีผลต่อการคำนวณและข้อสรุปของแบบจำลอง Drude ^[²¹^]
หลังจากเหตุการณ์การชนกัน การกระจายตัวของความเร็วและทิศทางของอิเล็กตรอนจะถูกกำหนดโดยอุณหภูมิเฉพาะที่เท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของอิเล็กตรอนก่อนเหตุการณ์การชนกัน^{[ 21 ]}อิเล็กตรอนจะถือว่าอยู่ในสภาวะสมดุลกับอุณหภูมิเฉพาะที่ทันทีหลังจากเกิดการชนกัน

การลบหรือปรับปรุงข้อสมมติฐานเหล่านี้แต่ละข้อ จะทำให้ได้แบบจำลองที่ละเอียดขึ้น ซึ่งสามารถอธิบายคุณสมบัติของของแข็งชนิดต่างๆ ได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น:

การปรับปรุงสมมติฐานของสถิติแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ด้วยสถิติเฟอร์มิ-ดิแรกนำไปสู่แบบจำลองดรูด-ซอมเมอร์เฟลด์
การปรับปรุงสมมติฐานของสถิติ Maxwell–Boltzmann ด้วยสถิติ Bose–Einsteinนำไปสู่การพิจารณาเกี่ยวกับความร้อนจำเพาะของอะตอมสปินจำนวนเต็ม^{[ 23 ]}และคอนเดนเซต Bose– Einstein
อิเล็กตรอนในแถบวาเลนซ์ของสารกึ่งตัวนำยังคงเป็นอิเล็กตรอนอิสระในช่วงพลังงานที่จำกัด (กล่าวคือ มีเพียงการชนกันของพลังงานสูงที่ "หายาก" ซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนแปลงของแถบเท่านั้นที่จะมีพฤติกรรมแตกต่างออกไป) การประมาณอิเล็กตรอนอิสระยังคงใช้ได้ (กล่าวคือไม่มีการกระเจิงของอิเล็กตรอน-อิเล็กตรอน) โดยที่สมมติฐานเกี่ยวกับการกำหนดตำแหน่งของเหตุการณ์การกระเจิงจะถูกละทิ้งไป (ในแง่ของคนทั่วไป อิเล็กตรอนกระจายตัวและกระเจิงไปทั่วทุกหนแห่ง) ^{[ 24 ]}

การบำบัดทางคณิตศาสตร์

สนาม DC

การวิเคราะห์แบบจำลอง Drude ที่ง่ายที่สุดนั้นถือว่าสนามไฟฟ้า $E มีทั้งความสม่ำเสมอและคงที่ และความเร็วความร้อนของอิเล็กตรอนสูงเพียงพอจนพวกมันสะสมโมเมนตัม$ $d p$ เพียงเล็กน้อยระหว่างการชนกัน ซึ่งเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยทุกๆ $τ$ วินาที^{[ 7 ]}

ดังนั้น อิเล็กตรอนที่แยกตัวออกมา ณ เวลา $t$ จะเคลื่อนที่มาเป็นเวลาเฉลี่ย $τ$ นับตั้งแต่การชนครั้งสุดท้าย และด้วยเหตุนี้จึงสะสมโมเมนตัมไว้ $\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

ในการชนครั้งสุดท้าย อิเล็กตรอนตัวนี้มีโอกาสที่จะกระเด็นไปข้างหน้าหรือข้างหลังเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถละเลยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอิเล็กตรอนก่อนหน้านี้ได้ ส่งผลให้ได้สมการดังนี้ $\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

เมื่อแทนค่าความสัมพันธ์ลงไป จะได้สูตรของกฎของโอห์มดังที่กล่าวไว้ข้างต้น: ${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$ $\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\mathbf {E} .$

การวิเคราะห์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

การตอบสนองแบบ Drude ของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าต่อสนามไฟฟ้ากระแสสลับ

พลวัตอาจอธิบายได้โดยการแนะนำแรงต้านที่มีประสิทธิภาพ ในเวลา $t = t 0 + dt$ โมเมนตัมของอิเล็กตรอนจะเป็น: โดยที่สามารถตีความได้ว่าเป็นแรงทั่วไป (เช่นแรงลอเรนซ์ ) ที่กระทำต่อตัวนำ หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่ออิเล็กตรอนคือโมเมนตัมของตัวนำที่มีทิศทางสุ่มหลังจากการชน (เช่น มีโมเมนตัม) และมีพลังงานจลน์สัมบูรณ์ คือ $\mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)$ $\mathbf {f} (t)$ $\mathbf {g} (t_{0})$ $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$ ${\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.$

โดยเฉลี่ยแล้ว อิเล็กตรอนส่วนหนึ่ง จะไม่ประสบกับการชนกันอีกครั้ง ส่วนที่เหลือที่ประสบกับการชนกันโดยเฉลี่ยจะออกมาในทิศทางสุ่มและจะส่งผลต่อโมเมนตัมรวมเพียงปัจจัย อันดับสอง เท่านั้น ^[²⁵^] $\textstyle 1-{\frac {dt}{\tau }}$ $\textstyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$

ด้วยการใช้พีชคณิตเล็กน้อยและการตัดพจน์อันดับออกจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปดังนี้ $dt^{2}$ ${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$

พจน์ที่สองนั้นแท้จริงแล้วคือแรงต้านเพิ่มเติมหรือพจน์หน่วงเนื่องจากปรากฏการณ์ดรูด (Drude effects)

สนามไฟฟ้าคงที่

ณ เวลา $t = t 0 + dt$ โมเมนตัมเฉลี่ยของอิเล็กตรอนจะเป็น และจากนั้น โดยที่ $⟨$ $p$ $⟩$ แทนโมเมนตัมเฉลี่ย และ $q$ แทนประจุของอิเล็กตรอน สมการนี้ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เอกพันธุ์ สามารถแก้ได้เพื่อให้ได้คำตอบทั่วไปของ สำหรับ $p$ $($ $t$ $)$ คำตอบสภาวะคงที่ $⁠$ $\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),$ ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$ $\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }$ $ง / ดีที ⁠ ⟨ p ⟩ = 0$ หมายความว่าอย่างไร $\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น โมเมนตัมเฉลี่ยอาจสัมพันธ์กับความเร็วเฉลี่ย และความเร็วเฉลี่ยก็อาจสัมพันธ์กับความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าได้ และสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าวัสดุนั้นเป็นไปตามกฎของโอห์มด้วย ค่า การนำไฟฟ้ากระแสตรง $σ$ $0$ : ${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$ $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ $\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}$

สนามไฟฟ้ากระแสสลับ

ค่าการนำไฟฟ้าเชิงซ้อนสำหรับความถี่ต่างๆ โดยสมมติว่า $τ = 10 -5$ และ $σ 0 =$ 1

แบบจำลอง Drude ยังสามารถทำนายกระแสไฟฟ้าที่ตอบสนองต่อสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาด้วยความถี่เชิงมุม $ω$ ได้อีกด้วย ค่าการนำไฟฟ้าเชิงซ้อนคือ $\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.$

ในที่นี้ถือว่า: ในทางวิศวกรรม โดยทั่วไปแล้ว $i$ จะถูกแทนที่ด้วย $-$ $i$ (หรือ $-$ $j$ ) ในสมการทั้งหมด ซึ่งสะท้อนถึงความแตกต่างของเฟสเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด แทนที่จะเป็นความล่าช้า ณ จุดสังเกตที่เคลื่อนที่ไปตามเวลา ${\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}$

พิสูจน์โดยใช้สมการการเคลื่อนที่^{[ 26 ]}

กำหนดให้ และสมการการเคลื่อนที่ข้างต้น แทน ค่า ที่กำหนด ให้ โดยกำหนดค่าการนำไฟฟ้าเชิงซ้อนจาก: เราจะได้: ${\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}$ ${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$ $-i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}$ ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}$ $\mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )$ $\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$

ส่วนจินตภาพบ่งชี้ว่ากระแสไฟฟ้าล้าหลังสนามไฟฟ้า เนื่องจากอิเล็กตรอนต้องใช้เวลาประมาณ $τ$ ในการเร่งความเร็วเพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้า ในที่นี้แบบจำลอง Drude ถูกนำมาใช้กับอิเล็กตรอน แต่สามารถนำไปใช้ได้ทั้งกับอิเล็กตรอนและโฮล กล่าวคือ ตัวนำประจุบวกในสารกึ่งตัวนำ เส้นโค้งสำหรับ $σ (ω)$ แสดงอยู่ในกราฟ

หากสนามไฟฟ้าที่มีการเปลี่ยนแปลงแบบไซน์ที่มีความถี่ถูกนำไปใช้กับของแข็ง อิเล็กตรอนที่มีประจุลบจะทำตัวเหมือนพลาสมาที่พยายามเคลื่อนที่ออกห่างจากพื้นหลังที่มีประจุบวกเป็นระยะทาง $x$ ผลที่ได้คือ ตัวอย่างจะเกิดการโพลาไรซ์และจะมีประจุส่วนเกินอยู่ที่พื้นผิวตรงข้ามของตัวอย่าง $\omega$

ค่าคงที่ไดอิเล็กทริกของตัวอย่างแสดงได้ดัง สมการ โดยที่คือการกระจัดทางไฟฟ้าและคือความหนาแน่นของการโพลาไรเซชัน $\varepsilon _{r}={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}$ $D$ $P$

ความหนาแน่นโพลาไรเซชันเขียนได้ดังนี้ และความหนาแน่นโพลาไรเซชันที่มี ความหนาแน่นอิเล็กตรอน $n$ คือ หลังจากทำการคำนวณทางพีชคณิตเล็กน้อย ความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นโพลาไรเซชันและสนามไฟฟ้าสามารถแสดงได้ดังนี้ ฟังก์ชันไดอิเล็กตริกที่ขึ้นอยู่กับความถี่ของของแข็งคือ $P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$ $P=-nex$ $P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E$ $\varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}$

พิสูจน์โดยใช้สมการของแม็กซ์เวลล์^{[ 27 ]}

เมื่อพิจารณาค่าประมาณที่รวมไว้ข้างต้นแล้ว $\sigma (\omega )$

เราสมมติว่าไม่มีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า: ซึ่งจะมีขนาดเล็กกว่าเสมอด้วยปัจจัย v/c เนื่องจากมีพจน์ลอเรนซ์เพิ่มเติมในสมการการเคลื่อนที่ $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$
เราตั้งสมมติฐานว่าสนามไฟฟ้ามีความสม่ำเสมอในเชิงพื้นที่: ซึ่งเป็นความจริงหากสนามไฟฟ้าไม่แกว่งตัวอย่างมากในระยะทางเฉลี่ยที่อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ผ่านได้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น: ระยะทางเฉลี่ยที่อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ผ่านได้มีขนาดประมาณอังสตรอม ซึ่งสอดคล้องกับความยาวคลื่นทั่วไปของรังสีเอ็กซ์

ต่อไปนี้เป็นสมการของแม็กซ์เวลล์ที่ไม่มีแหล่งกำเนิด (ซึ่งจะกล่าวถึงแยกต่างหากในขอบเขตของการสั่นของพลาสมา ) ในหน่วยเกาส์เซียน : จากนั้น หรือ ซึ่งเป็นสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสำหรับตัวกลางเอกพันธุ์ต่อเนื่องที่มีค่าคงที่ไดอิเล็กตริกในรูปแบบเฮล์มโฮลทซ์ โดย ที่ดัชนีหักเหคือและความเร็วเฟสคือ ดังนั้นค่าคงที่ไดอิเล็กตริกเชิงซ้อนคือ ซึ่งในกรณีนี้สามารถประมาณได้เป็น: ในหน่วย SIในตัวเศษจะถูกแทนที่ด้วย ในตัวส่วน และค่าคงที่ไดอิเล็กตริกจะ เขียน เป็น ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$ $\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)$ $-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}$ $\varepsilon (\omega )$ $-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\mathbf {E}$ ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$ $v_{\text{p}}={\frac {c}{n(\omega )}}$ $\varepsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)$ $\omega \tau \gg 1$ $\varepsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.$ $4\pi$ $\varepsilon _{0}$ $\varepsilon _{r}$

ที่ความถี่เรโซแนนซ์ที่เรียกว่าความถี่พลาสมาฟังก์ชันไดอิเล็กทริกจะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก และส่วนจริงของฟังก์ชันไดอิเล็กทริกจะลดลงเหลือ ศูนย์ ความถี่พลาสมาแสดงถึง เรโซแนนซ์ การสั่นของพลาสมาหรือพลาสมอนความถี่พลาสมาสามารถใช้เป็นการวัดโดยตรงของรากที่สองของความหนาแน่นของอิเล็กตรอนวาเลนซ์ในของแข็ง ค่าที่สังเกตได้มีความสอดคล้องกับการทำนายทางทฤษฎีนี้สำหรับวัสดุจำนวนมาก^[²⁸^]ต่ำกว่าความถี่พลาสมา ฟังก์ชันไดอิเล็กทริกจะเป็นลบและสนามไม่สามารถทะลุผ่านตัวอย่างได้ แสงที่มีความถี่เชิงมุมต่ำกว่าความถี่พลาสมาจะถูกสะท้อนกลับทั้งหมด เหนือความถี่พลาสมา คลื่นแสงสามารถทะลุผ่านตัวอย่างได้ ตัวอย่างทั่วไปคือโลหะอัลคาไลน์ที่โปร่งใสในช่วงรังสีอัลตราไวโอเลต^[²⁹^] $\omega _{\rm {p}}$ $\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}$

ค่าการนำความร้อนของโลหะ

ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ประการหนึ่งของแบบจำลอง Drude คือการอธิบายกฎ Wiedemann-Franzซึ่งเป็นผลมาจากการหักล้างข้อผิดพลาดโดยบังเอิญในการคำนวณดั้งเดิมของ Drude Drude ทำนายค่าของเลข Lorenz: ค่าทดลองโดยทั่วไปอยู่ในช่วงสำหรับโลหะที่อุณหภูมิระหว่าง 0 ถึง 100 องศาเซลเซียส^[³⁰^] ${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}}$ $2-3\times 10^{-8}~\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}}$

การพิสูจน์และข้อผิดพลาดของ Drude ^{[ 27 ]}

ของแข็งสามารถนำความร้อนได้โดยผ่านการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน อะตอม และไอออน ตัวนำมีอิเล็กตรอนอิสระหนาแน่นมาก ในขณะที่ฉนวนไม่มี ไอออนอาจมีอยู่ในทั้งสองประเภท เนื่องจากโลหะมีการนำไฟฟ้าและความร้อนที่ดี ในขณะที่ฉนวนมีการนำไฟฟ้าและความร้อนต่ำ จุดเริ่มต้นที่เหมาะสมในการประมาณค่าการนำความร้อนคือการคำนวณส่วนประกอบของการนำความร้อนจากอิเล็กตรอน

ความหนาแน่นกระแสความร้อนคือฟลักซ์ของพลังงานความร้อนต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับการไหล มันเป็นสัดส่วนกับความชันของอุณหภูมิ โดยที่ σ คือค่าการนำความร้อน ในลวดหนึ่งมิติ พลังงานของอิเล็กตรอนขึ้นอยู่กับอุณหภูมิในบริเวณนั้น ถ้าเราจินตนาการถึงความชันของอุณหภูมิที่อุณหภูมิลดลงในทิศทางบวกของแกน x ความเร็วเฉลี่ยของอิเล็กตรอนจะเป็นศูนย์ (แต่ไม่ใช่ความเร็วเฉลี่ย) อิเล็กตรอนที่มาถึงตำแหน่ง $x$ จากด้านที่มีพลังงานสูงกว่าจะมาถึงด้วยพลังงาน σ ในขณะที่อิเล็กตรอนจากด้านที่มีพลังงานต่ำกว่าจะมาถึงด้วยพลังงานσ โดยที่ σ คือความเร็วเฉลี่ยของอิเล็กตรอน และ t คือเวลาเฉลี่ยตั้งแต่การชนครั้งล่าสุด $\mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T$ $\kappa$ $\varepsilon [T(x)]$ $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ $v$ $\tau$

ฟลักซ์สุทธิของพลังงานความร้อน ณ ตำแหน่ง $x$ คือผลต่างระหว่างพลังงานความร้อนที่ผ่านจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย: ปัจจัยของ⁠ $\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}$ 1/2⁠อธิบายว่าอิเล็กตรอนมีโอกาสเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดก็ได้เท่าๆ กัน โดยมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ก่อให้เกิดฟลักซ์ที่ $x$

เมื่อระยะทางอิสระเฉลี่ยมีค่าน้อย ปริมาณดังกล่าว สามารถประมาณได้ด้วยอนุพันธ์เทียบกับ $x$ ซึ่งจะได้ เนื่องจากอิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปใน ทิศทาง , , และความเร็วเฉลี่ยกำลังสองในทิศทาง คือ นอกจากนี้ เรายังมีโดยที่คือความจุความร้อนจำเพาะของวัสดุ $\ell =v\tau$ ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ $\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)$ $x$ $y$ $z$ $x$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$ $c_{v}$

เมื่อนำทั้งหมดมารวมกัน ความหนาแน่นกระแสพลังงานความร้อนคือ ซึ่งเป็นตัวกำหนดค่าการนำความร้อน: (การคำนวณนี้ไม่คำนึงถึงการพึ่งพาอุณหภูมิ และด้วยเหตุนี้จึงไม่คำนึงถึงตำแหน่งของความเร็ว $v$ ซึ่งจะไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมีนัยสำคัญ เว้นแต่ว่าอุณหภูมิจะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในระยะทางที่เทียบได้กับระยะทางอิสระเฉลี่ย) $\mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T$ $\kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}$

การหารค่าการนำความร้อนด้วยค่าการนำไฟฟ้าจะช่วยขจัดเวลาการกระเจิงและได้ผลลัพธ์ดังนี้ $\kappa$ $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ $\tau$ ${\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}$

ในการคำนวณจุดนี้ ดรูดได้ตั้งสมมติฐานสองข้อที่ปัจจุบันทราบกันดีว่าเป็นข้อผิดพลาด ประการแรก เขาใช้ผลลัพธ์แบบคลาสสิกสำหรับความจุความร้อนจำเพาะของอิเล็กตรอนนำไฟฟ้า: ซึ่งเป็นการประมาณค่าส่วนประกอบของอิเล็กตรอนในความจุความร้อนจำเพาะสูงเกินไปประมาณ 100 เท่า ประการที่สอง ดรูดใช้ความเร็วเฉลี่ยกำลังสองแบบคลาสสิกสำหรับอิเล็กตรอน: ซึ่งเป็นการประมาณค่าพลังงานของอิเล็กตรอนต่ำเกินไปประมาณ 100 เท่า การหักล้างข้อผิดพลาดทั้งสองนี้ทำให้ได้ค่าประมาณที่ดีสำหรับการนำไฟฟ้าของโลหะ นอกเหนือจากการประมาณค่าทั้งสองนี้แล้ว ดรูดยังทำผิดพลาดทางสถิติและประมาณค่าเวลาเฉลี่ยระหว่างการชนกันสูงเกินไปถึง 2 เท่า การรวมกันของข้อผิดพลาดเหล่านี้ทำให้ได้ค่าเลขลอเรนซ์ที่ใกล้เคียงกับค่าทดลองอย่างน่าทึ่ง $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$

ค่าที่ถูกต้องของเลขลอเรนซ์ตามที่ประมาณจากแบบจำลอง Drude คือ^{[ 31 ]} ${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.$

เทอร์โมพาวเวอร์

เมื่อเปิดใช้งานการไล่ระดับอุณหภูมิทั่วไปในแท่งบาง ๆ จะทำให้เกิดกระแสอิเล็กตรอนไหลไปยังด้านที่มีอุณหภูมิต่ำกว่า โดยที่การทดลองจะทำในลักษณะวงจรเปิด กระแสนี้จะสะสมอยู่ที่ด้านนั้น ทำให้เกิดสนามไฟฟ้าที่ต้านกระแสไฟฟ้า สนามนี้เรียกว่าสนามเทอร์โมอิเล็กทริก และ $Q$ เรียกว่าเทอร์โมพาวเวอร์ การประมาณค่าโดย Drude นั้นต่ำกว่าความเป็นจริงถึง 100 เท่า เนื่องจากมีความสัมพันธ์โดยตรงกับความร้อนจำเพาะ โดยที่เทอร์ โมพาวเวอร์ทั่วไปที่อุณหภูมิห้องนั้นมีขนาดเล็กกว่า 100 เท่า อยู่ในระดับไมโครโวลต์^[³²^] $\mathbf {E} =Q\nabla T$ $Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}\mathrm {~V/K}$

พิสูจน์ร่วมกับข้อผิดพลาดของ Drude ^{[ 33 ]}

จากแบบจำลองหนึ่งมิติแบบง่าย ขยายไปสู่ 3 องศาอิสระ ความเร็วเฉลี่ยเนื่องจากสนามไฟฟ้า (กำหนดสมการการเคลื่อนที่ข้างต้นที่สมดุล) เพื่อให้กระแสรวมเป็นศูนย์เรามี และตามปกติในกรณีของ Drude ซึ่งเทอร์โมพาวเวอร์ทั่วไปที่อุณหภูมิห้องมีขนาดเล็กกว่าไมโครโวลต์ถึง 100 เท่า^[³²^] $v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)$ $\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}$ $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ $Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}$ $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}~\mathrm {V/K}$

ความแม่นยำของแบบจำลอง

แบบจำลอง Drude ให้คำอธิบายที่ดีมากเกี่ยวกับค่าการนำไฟฟ้ากระแสตรงและกระแสสลับในโลหะผลกระทบของฮอลล์และความต้านทานแม่เหล็ก^{[ 25 ]} ในโลหะที่อุณหภูมิใกล้เคียงอุณหภูมิห้อง แบบจำลองนี้ยังอธิบาย กฎ Wiedemann–Franzของปี 1853 ได้บางส่วนด้วย

สูตรของ Drude ได้มาอย่างจำกัด กล่าวคือ โดยการสมมติว่าตัวนำประจุก่อตัวเป็นก๊าซอุดมคติ แบบคลาสสิก เมื่อพิจารณาทฤษฎีควอนตัม โมเดลของ Drude สามารถขยายไปสู่โมเดลอิเล็กตรอนอิสระได้โดยที่ตัวนำเป็นไปตามการกระจายแบบ Fermi–Diracค่าการนำไฟฟ้าที่ทำนายได้จะเหมือนกับในโมเดลของ Drude เพราะไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบของการกระจายความเร็วอิเล็กตรอน อย่างไรก็ตาม โมเดลของ Drude ประเมินค่าความจุความร้อนอิเล็กตรอนของโลหะสูงเกินไป ในความเป็นจริง โลหะและฉนวนมีความจุความร้อนใกล้เคียงกันที่อุณหภูมิห้อง นอกจากนี้ โมเดลของ Drude ยังไม่สามารถอธิบายแนวโน้มที่กระจัดกระจายของค่าการนำไฟฟ้าเทียบกับความถี่ที่สูงกว่าประมาณ 2 THz ได้^[³⁴^]^[³⁵^]

แบบจำลองนี้สามารถนำไปใช้กับตัวนำประจุบวก (โฮล) ได้เช่นกัน

การตอบสนองแบบ Drude ในวัสดุจริง

พฤติกรรมลักษณะเฉพาะของโลหะ Drude ในโดเมนเวลาหรือความถี่ กล่าวคือ การผ่อนคลายแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีค่าคงที่เวลา $τ$ หรือการพึ่งพาความถี่สำหรับ $σ (ω)$ ที่กล่าวไว้ข้างต้น เรียกว่า การตอบสนองแบบ Drude ในโลหะจริงทั่วไปที่เรียบง่าย (เช่น โซเดียม เงิน หรือทองคำที่อุณหภูมิห้อง) ไม่พบพฤติกรรมดังกล่าวในการทดลอง เนื่องจากความถี่ลักษณะเฉพาะ $τ -1$ อยู่ในช่วงความถี่อินฟราเรด ซึ่งคุณสมบัติอื่นๆ ที่ไม่ได้พิจารณาในแบบจำลอง Drude (เช่นโครงสร้างแถบพลังงาน ) มีบทบาทสำคัญ^{[ 34 ]}แต่สำหรับวัสดุอื่นๆ บางชนิดที่มีคุณสมบัติเป็นโลหะ พบว่าการนำไฟฟ้าที่ขึ้นอยู่กับความถี่เป็นไปตามการทำนายแบบ Drude ง่ายๆ สำหรับ $σ (ω)$ อย่างใกล้ชิด วัสดุเหล่านี้มีอัตราการผ่อนคลาย $τ -1$ ที่ความถี่ต่ำกว่ามาก^{[ 34 ]}ซึ่งเป็นกรณีสำหรับผลึกเดี่ยวเซมิคอนดักเตอร์ที่เจือปน บางชนิด ^{[ 36 ]}ก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติ^ที่มีความคล่องตัวสูง[ ³⁷^]และโลหะเฟอร์มิออนหนัก^[³⁸^]

ดูเพิ่มเติม

เอกสารอ้างอิง

^สปริงเกอร์, บรรณาธิการ (2009). "อิเล็กตรอนอิสระในของแข็งอิเล็กตรอนอิสระในของแข็งหน้า 135–158 doi : 10.1007 /978-3-540-93804-0_6 ISBN 978-3-540-93803-3.
^ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 6
^ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 4 และรูปที่ 1.1
^ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 7 และรูปที่ 1.2
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 8 ตาราง 1.2
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 5 ตาราง 1.1
อรรถ เป็น^ข^แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 6–7
^เอ็ดเวิร์ด เอ็ม. เพอร์เซลล์ (1965). ไฟฟ้าและแม่เหล็ก . แมคกรอว์-ฮิลล์. หน้า 117–122 . ISBN 978-0-07-004908-6.
^ David J. Griffiths (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า . Prentice-Hall. หน้า 289. ISBN 978-0-13-805326-0.
^ ^a^b^c^{d e}^f^g^hⁱ^j^k^l^mⁿ^o^p^q^r^Hoddeson , Lillian; Braun, Ernst; Teichmann, Jurgen; Weart, Spencer (1992-10-01). Out of the Crystal Maze: Chapters from The History of Solid State Physics . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-534532-2.
↑ดรู๊ด, พอล (1900) "ซูร์ อิเล็คโทรเนนเธโอรี เดอร์ เมทัล " อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 306 (3): 566– 613. รหัสสินค้า : 1900AnP...306..566D . ดอย : 10.1002/andp.19003060312 .
↑ดรู๊ด, พอล (1900) "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte" . อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 308 (11): 369– 402. รหัสสินค้า : 1900AnP...308..369D . ดอย : 10.1002/andp.19003081102 .
↑ ^เอ^บี^ซีแอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 2–3
^สเตลีย์, ริชาร์ด (2008). รุ่นของไอน์สไตน์: จุดเริ่มต้นของการปฏิวัติทฤษฎีสัมพัทธภาพสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกISBN 978-0-226-77057-4.
↑ทอมสัน เจเจ (1900) "ตัวชี้วัดญาติ à la matière fournis par les recherches récentes sur le Passage de l'électricité à travers les gaz" Rapports présentés au Congrès international de physique (ภาษาฝรั่งเศส) ปารีส: 138– 151 – ผ่าน Gauthier-Villars
^ Howard, Don; Stachel, John J. (2000). Einstein: The Formative Years, 1879-1909 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4030-9.
^ Renn, Jürgen (1997-12-01). "ข้อโต้แย้งของไอน์สไตน์กับดรูดและต้นกำเนิดของกลศาสตร์เชิงสถิติ: มุมมองใหม่จาก "จดหมายรัก"" . คลังข้อมูลสำหรับประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำ . 51 (4): 315– 354. doi : 10.1007/BF00518232 . hdl : 11858/00-001M-0000-002A-7399-A . ISSN 1432-0657 .
^ Lorentz, Hendrik (1905). "การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในวัตถุโลหะ I" (PDF) . KNAW, Proceedings . 7 : 438– 453 – via KNAW.
^คิม, คี ยัง (24 ตุลาคม 2555). พลาสโมนิกส์: หลักการและการประยุกต์ใช้ . BoD – Books on Demand. ISBN 978-953-51-0797-2.
↑แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 4
↑ ^a^b^c^d^e^f^gแอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 2–6
↑แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 4
↑ไอน์สไตน์ (1924) "ทฤษฎีควอนตัมของก๊าซในอุดมคติเชิงโมเลกุล" Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse : 261– 267.
^ "ฟิสิกส์ของแข็ง, บรรยายที่ 17: พลศาสตร์ของอิเล็กตรอนในแถบพลังงาน" . YouTube .
อรรถ เป็น^ข^แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 2519พี. 11
↑แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 16
↑ ^แอ^ชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 17
^ C. Kittel (1953–1976). บทนำสู่ฟิสิกส์ของของแข็ง . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 18 ตาราง 1.5
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 18 ตาราง 1.6
↑แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 25 ปัญหา 1
↑ ^แอ^ชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 25
↑แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 24
^ ^a ^b ^c M. Dressel; M. Scheffler (2006). "การตรวจสอบการตอบสนองของ Drude". Annalen der Physik . 15 ( 7– 8): 535– 544. Bibcode : 2006AnP...518..535D . doi : 10.1002/andp.200510198 . S2CID 14153937 .
^ Jeon, Tae-In; Grischkowsky, D.; Mukherjee, AK; Menon, Reghu (16 ตุลาคม 2000). "การวิเคราะห์คุณสมบัติทางไฟฟ้าของโพลีไพร์โรลนำไฟฟ้าด้วยสเปกโทรสโกปีโดเมนเวลา THz" . Applied Physics Letters . 77 (16): 2452– 2454. Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J . doi : 10.1063/1.1319188 . hdl : 11244/19868 . ISSN 0003-6951 .
^ M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "พลวัตของตัวพาอิเล็กตรอนและโฮลในซิลิคอนที่เจือจางปานกลาง" (PDF) . Physical Review B . 41 (17): 12140– 12149. Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .
^ PJ Burke; IB Spielman; JP Eisenstein; LN Pfeiffer; KW West (2000). "การนำไฟฟ้าความถี่สูงของก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติที่มีความคล่องตัวสูง" (PDF) . Applied Physics Letters . 76 (6): 745– 747. Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . doi : 10.1063/1.125881 .
^ M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "การผ่อนคลายแบบ Drude ที่ช้ามากของอิเล็กตรอนที่สัมพันธ์กัน" Nature . 438 (7071): 1135– 1137. Bibcode : 2005Natur.438.1135S . doi : 10.1038/nature04232 . PMID 16372004 . S2CID 4391917 .

ทั่วไป

Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). ฟิสิกส์ของของแข็ง . นิวยอร์ก: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
Kittel, Charles (2005). บทนำสู่ฟิสิกส์ของของแข็ง (ฉบับที่ 8). John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-41526-X.
Ziman, JM (1972). หลักการของทฤษฎีของของแข็ง (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-29733-8.

ลิงก์ภายนอก

Heaney, Michael B (2003). "การนำไฟฟ้าและความต้านทานไฟฟ้า"ใน Webster, John G. (บรรณาธิการ). การวัดทางไฟฟ้า การประมวลผลสัญญาณ และการแสดงผล CRC Press. ISBN 9780203009406.

[1] สปริงเกอร์, บรรณาธิการ (2009). "อิเล็กตรอนอิสระในของแข็งอิเล็กตรอนอิสระในของแข็งหน้า 135–158 doi : 10.1007 /978-3-540-93804-0_6 ISBN 978-3-540-93803-3.

[:11-2] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 6

[:9-3] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 4 และรูปที่ 1.1

[:10-4] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 3 หมายเหตุหน้า 7 และรูปที่ 1.2

[:12-5] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 8 ตาราง 1.2

[:13-6] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 5 ตาราง 1.1

[:0-7] อรรถ เป็น^ข^แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 6–7

[8] เอ็ดเวิร์ด เอ็ม. เพอร์เซลล์ (1965). ไฟฟ้าและแม่เหล็ก . แมคกรอว์-ฮิลล์. หน้า 117–122 . ISBN 978-0-07-004908-6.

[9] David J. Griffiths (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า . Prentice-Hall. หน้า 289. ISBN 978-0-13-805326-0.

[:3-10] {d e}^f^g^hⁱ^j^k^l^mⁿ^o^p^q^r^Hoddeson , Lillian; Braun, Ernst; Teichmann, Jurgen; Weart, Spencer (1992-10-01). Out of the Crystal Maze: Chapters from The History of Solid State Physics . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-534532-2.

[11] ดรู๊ด, พอล (1900) "ซูร์ อิเล็คโทรเนนเธโอรี เดอร์ เมทัล " อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 306 (3): 566– 613. รหัสสินค้า : 1900AnP...306..566D . ดอย : 10.1002/andp.19003060312 .

[12] ดรู๊ด, พอล (1900) "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte" . อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 308 (11): 369– 402. รหัสสินค้า : 1900AnP...308..369D . ดอย : 10.1002/andp.19003081102 .

[:8-13] เอ^บี^ซีแอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 2–3

[14] สเตลีย์, ริชาร์ด (2008). รุ่นของไอน์สไตน์: จุดเริ่มต้นของการปฏิวัติทฤษฎีสัมพัทธภาพสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกISBN 978-0-226-77057-4.

[15] ทอมสัน เจเจ (1900) "ตัวชี้วัดญาติ à la matière fournis par les recherches récentes sur le Passage de l'électricité à travers les gaz" Rapports présentés au Congrès international de physique (ภาษาฝรั่งเศส) ปารีส: 138– 151 – ผ่าน Gauthier-Villars

[16] Howard, Don; Stachel, John J. (2000). Einstein: The Formative Years, 1879-1909 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4030-9.

[17] Renn, Jürgen (1997-12-01). "ข้อโต้แย้งของไอน์สไตน์กับดรูดและต้นกำเนิดของกลศาสตร์เชิงสถิติ: มุมมองใหม่จาก "จดหมายรัก"" . คลังข้อมูลสำหรับประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำ . 51 (4): 315– 354. doi : 10.1007/BF00518232 . hdl : 11858/00-001M-0000-002A-7399-A . ISSN 1432-0657 .

[18] Lorentz, Hendrik (1905). "การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในวัตถุโลหะ I" (PDF) . KNAW, Proceedings . 7 : 438– 453 – via KNAW.

[19] คิม, คี ยัง (24 ตุลาคม 2555). พลาสโมนิกส์: หลักการและการประยุกต์ใช้ . BoD – Books on Demand. ISBN 978-953-51-0797-2.

[:15-20] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 4

[:1-21] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 2–6

[:5-22] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 4

[einstein24-23] ไอน์สไตน์ (1924) "ทฤษฎีควอนตัมของก๊าซในอุดมคติเชิงโมเลกุล" Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse : 261– 267.

[24] "ฟิสิกส์ของแข็ง, บรรยายที่ 17: พลศาสตร์ของอิเล็กตรอนในแถบพลังงาน" . YouTube .

[:2-25] อรรถ เป็น^ข^แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 2519พี. 11

[:16-26] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 16

[:17-27] แอ^ชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 17

[Kittel2-28] C. Kittel (1953–1976). บทนำสู่ฟิสิกส์ของของแข็ง . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

[:18-29] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 18 ตาราง 1.5

[:19-30] Ashcroft & Mermin 1976 , หน้า 18 ตาราง 1.6

[:20-31] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 25 ปัญหา 1

[:22-32] แอ^ชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 25

[:21-33] แอชครอฟต์ แอนด์ เมอร์มิน 1976 , หน้า 24

[Dressel-34] M. Dressel; M. Scheffler (2006). "การตรวจสอบการตอบสนองของ Drude". Annalen der Physik . 15 ( 7– 8): 535– 544. Bibcode : 2006AnP...518..535D . doi : 10.1002/andp.200510198 . S2CID 14153937 .

[35] Jeon, Tae-In; Grischkowsky, D.; Mukherjee, AK; Menon, Reghu (16 ตุลาคม 2000). "การวิเคราะห์คุณสมบัติทางไฟฟ้าของโพลีไพร์โรลนำไฟฟ้าด้วยสเปกโทรสโกปีโดเมนเวลา THz" . Applied Physics Letters . 77 (16): 2452– 2454. Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J . doi : 10.1063/1.1319188 . hdl : 11244/19868 . ISSN 0003-6951 .

[36] M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "พลวัตของตัวพาอิเล็กตรอนและโฮลในซิลิคอนที่เจือจางปานกลาง" (PDF) . Physical Review B . 41 (17): 12140– 12149. Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .

[37] PJ Burke; IB Spielman; JP Eisenstein; LN Pfeiffer; KW West (2000). "การนำไฟฟ้าความถี่สูงของก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติที่มีความคล่องตัวสูง" (PDF) . Applied Physics Letters . 76 (6): 745– 747. Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . doi : 10.1063/1.125881 .

[38] M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "การผ่อนคลายแบบ Drude ที่ช้ามากของอิเล็กตรอนที่สัมพันธ์กัน" Nature . 438 (7071): 1135– 1137. Bibcode : 2005Natur.438.1135S . doi : 10.1038/nature04232 . PMID 16372004 . S2CID 4391917 .

[ 1 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

18 ] [

19 ] [

[ 23 ]

[ 24 ]

[

[

[

[ 36 ]

ที่

37