ในทางคณิตศาสตร์ พหุนามฮาห์นคู่ (Dual Hahn polynomials)คือตระกูลของพหุนามเชิงตั้งฉาก (orthogonal polynomials)ในโครงร่างของแอสกี (Askey scheme)ของพหุนามเชิงตั้งฉากไฮเปอร์จีโอเมตริก (hypergeometric orthogonal polynomials) โดยนิยามของพหุนามเหล่านี้อยู่บนโครงข่ายที่ไม่สม่ำเสมอ (non-uniform lattice)${\displaystyle x(s)=s(s+1)}$และถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,as,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)}$

สำหรับ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$และพารามิเตอร์${\displaystyle a,b,c}$ถูกจำกัดไว้ที่${\displaystyle -{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N}$.

โปรดทราบว่า${\displaystyle (u)_{k}}$คือแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นหรือที่รู้จักกันในชื่อสัญลักษณ์ Pochhammer และ${\displaystyle {}_{3}F_{2}(\cdot )}$คือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky และRené F. Swarttouw ( 2010 , 14)ให้รายการคุณสมบัติโดยละเอียด 

พหุนามฮาห์นคู่มีเงื่อนไขความเป็นตั้งฉาก

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}}$

สำหรับ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$. ที่ไหน${\displaystyle \Delta x(s)=x(s+1)-x(s)}$,

${\displaystyle \rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (bs)\Gamma (b+s+1)\Gamma (s-c+1)}}}$

และ

${\displaystyle d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(ban-1)!\Gamma (bcn)}}.}$

เนื่องจากค่าของ${\displaystyle n}$เมื่อค่าเพิ่มขึ้น ค่าที่พหุนามแบบไม่ต่อเนื่องได้รับก็จะเพิ่มขึ้นด้วย ดังนั้น เพื่อให้ได้ความเสถียรเชิงตัวเลขในการคำนวณพหุนาม คุณควรใช้พหุนามฮาห์นแบบคู่ที่ปรับค่าใหม่ตามที่กำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}}$

สำหรับ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$.

ดังนั้นเงื่อนไขความเป็นตั้งฉากจึงกลายเป็น

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}}$

สำหรับ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$

พหุนามฮาห์น${\displaystyle h_{n}(x,N;\alpha ,\beta )}$ถูกกำหนดบนโครงตาข่ายสม่ำเสมอ${\displaystyle x(s)=s}$และพารามิเตอร์${\displaystyle a,b,c}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle a=(\alpha +\beta )/2,b=a+N,c=(\beta -\alpha )/2}$จากนั้นจึงทำการตั้งค่า${\displaystyle \alpha =\beta =0}$พหุนามฮาห์นจะกลายเป็นพหุนามเชบิเชฟโปรดทราบว่าพหุนามฮาห์นคู่มี อนาล็อก qที่มีพารามิเตอร์เพิ่มเติมqซึ่งเรียกว่าพหุนามฮาห์นคู่ q

พหุนามราคาห์เป็นการขยายความของพหุนามฮาห์นแบบคู่ขนาน