ในทางคณิตศาสตร์พหุนามฮาห์นเป็นกลุ่มของพหุนามเชิงตั้งฉากในโครงร่างของแอสกี (Askey scheme ) ของพหุนามเชิงตั้งฉากไฮเปอร์จีโอเมตริก (hypergeometric orthogonal polynomials) ซึ่งแนะนำโดยปาฟนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev) ในปี 1875 ( Chebyshev 1907 )และค้นพบใหม่โดยโวล์ฟกัง ฮาห์น( Wolfgang Hahn) ( Hahn 1949 )คลาสฮาห์น (Hahn class)เป็นชื่อเรียกกรณีพิเศษของพหุนามฮาห์น ซึ่งรวมถึงพหุนามฮาห์น พหุ นามไมซ์เนอร์พหุนามคราวชุกและพหุนามชาร์เลียร์บางครั้งคลาสฮาห์นก็รวมถึงกรณีลิมิตของพหุนามเหล่านี้ด้วย ซึ่งในกรณีนี้ก็จะรวมถึงพหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิกด้วย

พหุนามฮาห์นถูกนิยามโดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปโดย

${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={__{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ }$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky และRené F. Swarttouw ( 2010 , 14)ให้รายการคุณสมบัติโดยละเอียด 

ถ้า${\displaystyle \alpha =\beta =0}$พหุนามเหล่านี้เหมือนกับพหุนามเชบิเชฟแบบไม่ต่อเนื่องทุกประการยกเว้นเพียงตัวประกอบมาตราส่วน

พหุนามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ได้แก่พหุนามฮาห์นคู่R ( x ;γ,δ, N ), พหุนามฮาห์นต่อเนื่องp ( x , a , b , a , b ) และพหุนามฮาห์นคู่ต่อเนื่องS ( x ; a , b , c ) พหุนามเหล่านี้ทั้งหมดมีq-อนาล็อกที่มีพารามิเตอร์เพิ่มเติมqเช่นพหุนาม q-ฮาห์นQ ( x ;α,β, N ; q ) และอื่นๆ

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}}$

โดยที่δ คือฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์ และฟังก์ชันน้ำหนักคือ

${\displaystyle \rho (x)=\rho (x;\alpha$ ;\beta ,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}}

และ

${\displaystyle \pi _{n}=\pi _{n}(\alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}}$.

• พหุนามราคาห์เป็นการขยายความของพหุนามฮาห์น