ในทางคณิตศาสตร์พหุนามฮาห์นแบบต่อเนื่องเป็นกลุ่มของพหุนามเชิงตั้งฉากในแบบแผนของแอสกี (Askey scheme ) ของพหุนามเชิงตั้งฉากไฮเปอร์จีโอเมตริก โดยนิยาม ของพหุนามเหล่านี้อยู่ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบทั่วไป

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky และRené F. Swarttouw ( 2010 , 14)ให้รายการคุณสมบัติโดยละเอียด 

พหุนามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ได้แก่พหุนามฮาห์นคู่R ( x ;γ,δ, N ), พหุนามฮาห์นQ ( x ; a , b , c ) และพหุนามฮาห์นคู่ต่อเนื่องS ( x ; a , b , c ) พหุนามเหล่านี้ทั้งหมดมีq-อนาล็อกที่มีพารามิเตอร์เพิ่มเติมqเช่นพหุนาม q-ฮาห์นQ ( x ;α,β, N ; q ) และอื่นๆ

พหุนามฮาห์นต่อเนื่องp ( x ; a , b , c , d ) ตั้งฉากกันโดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันน้ำหนัก

${\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันเป็นไปตามความสัมพันธ์เชิงตั้งฉาก^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}$

สำหรับ${\displaystyle \Re (a)>0}$,${\displaystyle \Re (b)>0}$,${\displaystyle \Re (c)>0}$,${\displaystyle \Re (d)>0}$,${\displaystyle c={\overline {a}}}$,${\displaystyle d={\overline {b}}}$.

ลำดับของพหุนาม Hahn ต่อเนื่องเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด^{[ 4 ]}

${\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}$

พหุนาม Hahn ต่อเนื่องจะได้รับจากสูตรที่คล้ายกับ Rodrigues ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}$

พหุนาม Hahn ต่อเนื่องมีฟังก์ชันก่อกำเนิดดังต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่สองซึ่งแตกต่างกันนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}$

• พหุนามวิลสันเป็นการขยายความของพหุนามฮาห์นแบบต่อเนื่อง
• พหุนาม Bateman F (x) เกี่ยวข้องกับกรณีพิเศษa = b = c = d = 1/2 ของพหุนาม Hahn ต่อเนื่องโดย

${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}$

• พหุนาม Jacobi P ^(α,β) (x) สามารถหาได้เป็นกรณีจำกัดของพหุนาม Hahn ต่อเนื่อง: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}$