ในทางคณิตศาสตร์สูตรELSVซึ่งตั้งชื่อตามผู้คิดค้นทั้งสี่คน ได้แก่Torsten Ekedahl , Sergei Lando , Michael ShapiroและAlek Vainshteinเป็นความเท่าเทียมกันระหว่างจำนวน Hurwitz (ซึ่งนับการปกคลุมแบบแตกแขนงของทรงกลม) และปริพันธ์เหนือ ปริภูมิ โม ดูลัสของเส้นโค้งเสถียร

ผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการในทฤษฎีจุดตัดของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งสามารถอนุมานได้จากสูตร ELSV รวมถึงข้อสันนิษฐานของ Witten ข้อจำกัด ของVirasoroและข้อสันนิษฐาน -conjecture ${\displaystyle \lambda _{g}}$

สูตรนี้ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดยสูตร Gopakumar–Mariño– Vafa

จงนิยามเลขฮูร์วิตซ์

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

โดยจำนวนของการปกคลุมแบบแตกแขนงของเส้นตรงเชิงซ้อน ( ทรงกลมรีมันน์ ) ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่เชื่อมต่อกันที่มีจีนัสgโดยมี ภาพก่อนหน้าที่มีหมายเลข nภาพของจุดที่อนันต์ซึ่งมีจำนวนซ้ำกันและ มี จุดแตกแขนงที่เรียบง่ายกว่าm จุด ในที่นี้ หากการปกคลุมมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นศูนย์Gก็ควรนับรวมด้วยน้ำหนัก ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$${\displaystyle 1/|G|}$

สูตร ELSV มีดังนี้

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}$

สัญลักษณ์ที่ใช้มีดังนี้:

• ${\displaystyle g\geq 0}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ;
• ${\displaystyle n\geq 1}$เป็นจำนวนเต็มบวก
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$เป็นจำนวนเต็มบวก
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$คือจำนวนออโตมอร์ฟิซึมของทู เพิล nตัว${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$คือปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเสถียรที่มีจีนัสg โดยมีจุดทำเครื่องหมายn จุด
• Eคือบันเดิลเวกเตอร์ Hodgeและc(E*) คือ คลาส Chernรวมของบันเดิลเวกเตอร์คู่ของมัน
• ψ _iคือชั้นเชิร์นแรกของกลุ่มเส้นสัมผัสร่วมที่จุดทำเครื่องหมายที่i

ตัวเลข

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

ด้านซ้ายมือมีนิยามเชิงการจัดเรียงและมีคุณสมบัติที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการจัดเรียง คุณสมบัติแต่ละข้อจะแปลงเป็นข้อความเกี่ยวกับปริพันธ์ทางด้านขวามือของสูตร ELSV ( Kazarian 2009 )

ตัวเลขของฮูร์วิตซ์

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความในเชิงพีชคณิตล้วนๆ ด้วย โดยที่K = k ₁ + ... + k _nและm = K + n + 2 g − 2 ให้ τ ₁ , ..., τ _mเป็นการสลับตำแหน่งในกลุ่มสมมาตรS _Kและ σ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่มีวัฏจักรจำนวนn วัฏจักรที่มีความยาว k ₁ , ..., k _nแล้ว

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

เป็นการแยกตัวประกอบแบบถ่ายทอดของเอกลักษณ์ประเภท ( k ₁ , ..., k _n ) ถ้าผลคูณ

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

เท่ากับการเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์และกลุ่มที่สร้างขึ้นโดย

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

เป็นกริยาที่ต้องการกรรม

นิยาม คือ จำนวนการแยกตัวประกอบแบบถ่ายทอดของเอกลักษณ์ประเภท ( k ₁ , ..., k _n ) หารด้วยK ! ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

ตัวอย่าง ก.จำนวนดังกล่าวคือ 1/ k ! เท่าของจำนวนรายการของการสลับตำแหน่งซึ่งผลคูณเป็น วัฏจักร kกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 1/ kเท่าของจำนวนการแยกตัวประกอบของ วัฏจักร k ที่กำหนด ให้เป็นผลคูณของ การสลับตำแหน่ง k + 2g − 1 ครั้ง ${\displaystyle h_{g;k}}$${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$${\displaystyle h_{g;k}}$

ความเท่าเทียมกันระหว่างนิยามทั้งสองของจำนวนฮูร์วิตซ์ (การนับการปกคลุมแบบแตกแขนงของทรงกลม หรือการนับการแยกตัวประกอบแบบถ่ายทอด) นั้นถูกกำหนดขึ้นโดยการอธิบายการปกคลุมแบบแตกแขนงด้วยโมโนโดรมี ของมัน กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เลือกจุดฐานบนทรงกลม กำหนดหมายเลขให้กับภาพก่อนหน้าของมันตั้งแต่ 1 ถึงK (ซึ่งจะนำไปสู่ตัวประกอบK ! ซึ่งอธิบายถึงการหารด้วยตัวประกอบนี้) และพิจารณาโมโนโดรมีของการปกคลุมรอบจุดแตกแขนง ซึ่งจะนำไปสู่การแยกตัวประกอบแบบถ่ายทอด

ปริภูมิโมดูลัส${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$เป็นสแต็ก Deligne–Mumfordที่เรียบเนียน มีมิติ (เชิงซ้อน) 3 g − 3 + n (โดยคร่าวๆ แล้ว ปริพันธ์นี้มีพฤติกรรมคล้ายกับแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ยกเว้นว่าปริพันธ์ของชั้นลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับแมนิโฟลด์จะเป็นจำนวนตรรกยะสำหรับสแต็ก Deligne–Mumford)

บันเดิลฮอดจ์ Eคือบันเดิลเวกเตอร์อันดับgบนปริภูมิโมดูลัสซึ่งไฟเบอร์บนเส้นโค้ง ( C , x ₁ , ..., x _n ) ที่มี จุดทำเครื่องหมาย nจุด คือปริภูมิของอนุพันธ์อาเบเลียนบนCชั้นเชิร์นของมันแสดงด้วย ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}__{g,n},\mathbf {Q} )}$

เรามี

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

คลาส ψแนะนำกลุ่มเส้นตรงเหนือไฟเบอร์ของเหนือเส้นโค้ง ( C , x ₁ , ..., x _n ) คือเส้นสัมผัสร่วมของCที่x _iคลาส Chern แรกของจะถูกแทนด้วย ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {L}__{i}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {L}__{i}}$

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}__{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} )}$

ตัวอินทิกรัลเศษส่วนนี้ตีความได้เป็น โดยที่ผลรวมสามารถตัดได้ที่ระดับ3g − 3 + n (มิติของปริภูมิโมดูลัส) ดังนั้น ตัวอินทิกรัลจึงเป็นผลคูณของตัวประกอบn + 1 ตัว เราขยายผลคูณนี้ ดึงส่วนที่มีระดับ 3g − 3 + n ออกมา แล้วทำการอินทิเกรตเหนือปริภูมิโมดูลัส ${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$

อินทิกรัลในรูปพหุนาม ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าอินทิกรัล

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}__{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

เป็นพหุนามสมมาตรในตัวแปรk ₁ , ..., k _nซึ่งเอกนามมีดีกรีระหว่าง 3 g − 3 + nและ 2 g − 3 + nสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ ${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

หมายเหตุความเป็นพหุนามของจำนวน

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

ข้อสันนิษฐานนี้ถูกเสนอขึ้นครั้งแรกโดย IP Goulden และ DM Jackson ยังไม่มีหลักฐานพิสูจน์ใดๆ ที่เป็นอิสระจากสูตร ELSV

ตัวอย่าง ข.ให้g = n = 1 แล้ว

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

ให้n = g = 1 เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน เราจะใช้สัญลักษณ์kแทนk ₁เราจะได้m = K + n + 2 g − 2 = k + 1

จากตัวอย่าง B สูตร ELSV ในกรณีนี้มีดังนี้

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

ในทางกลับกัน ตามตัวอย่าง A จำนวนฮูร์วิตซ์h _{1, k}เท่ากับ 1/ kคูณด้วยจำนวนวิธีในการแยกส่วน วัฏจักร kในกลุ่มสมมาตรS _kออกเป็นผลคูณของ การสลับตำแหน่ง k + 1 ครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งh _{1, 1} = 0 (เนื่องจากไม่มีการสลับตำแหน่งในS ₁ ) ในขณะที่h _{1, 2} = 1/2 (เนื่องจากมีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของการสลับตำแหน่ง (1 2) ในS ₂ออกเป็นผลคูณของการสลับตำแหน่งสามครั้ง)

เมื่อนำค่าทั้งสองนี้ไปแทนในสูตร ELSV เราจะพบว่า

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

จากนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

สูตร ELSV ถูกประกาศโดยEkedahl et al. (1999)แต่มีเครื่องหมายที่ผิดพลาดFantechi & Pandharipande (2002)พิสูจน์สูตรนี้สำหรับk ₁ = ... = k _n = 1 (โดยมีเครื่องหมายที่ถูกต้อง) Graber & Vakil (2003)พิสูจน์สูตรนี้ในรูปแบบทั่วไปโดยใช้เทคนิคการหาตำแหน่ง การพิสูจน์ที่ประกาศโดยผู้เขียนเริ่มต้นทั้งสี่คนตามมา ( Ekedahl et al. 2001 ) ในปัจจุบัน พื้นที่ของแผนที่เสถียรไปยังเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟที่สัมพันธ์กับจุดหนึ่งได้รับการสร้างขึ้นโดยLi (2001)แล้ว จึงสามารถพิสูจน์ได้ทันทีโดยการใช้การหาตำแหน่งเสมือนกับพื้นที่นี้

Kazarian (2009)ได้ต่อยอดจากงานวิจัยก่อนหน้าของหลายท่าน และได้นำเสนอวิธีการที่เป็นเอกภาพในการอนุมานผลลัพธ์ส่วนใหญ่ที่ทราบกันดีในทฤษฎีจุดตัดจากสูตร ELSV ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

ให้เป็นปริภูมิของแผนที่เสถียรf จาก เส้นโค้งจีนัสg ไปยัง P ¹ ( C ) โดยที่fมี ขั้ว nขั้วที่มีอันดับ n พอดี ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$

มอร์ฟิซึมการแตกแขนงbrหรือแผนที่ Lyashko–Looijengaกำหนด จุดแตกแขนง mจุดในCที่ไม่มีลำดับโดยคำนึงถึงความซ้ำซ้อน อันที่จริง นิยามนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อfเป็นแผนที่เรียบเท่านั้น แต่ก็มีการขยายไปสู่ปริภูมิของแผนที่เสถียรอย่างเป็นธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ค่าของfที่จุดหนึ่งถือเป็นจุดแตกแขนงคู่ ดังที่เห็นได้จากการพิจารณาตระกูลของเส้นโค้งC _tที่กำหนดโดยสมการxy = tและตระกูลของแผนที่f _t ( x , y ) = x + yเมื่อt → 0 จุดแตกแขนงสองจุดของf _t จะ มี แนวโน้มเข้าหาค่าของf ₀ที่จุดของC ₀${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

มอร์ฟิซึมแบบแตกแขนงมีดีกรีจำกัด แต่มีไฟเบอร์อนันต์ เป้าหมายของเราในตอนนี้คือการคำนวณดีกรีของมันในสองวิธีที่แตกต่างกัน

วิธีแรกคือการนับพรีอิมเมจของจุดทั่วไปในภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เรานับการครอบคลุมแบบแตกแขนงของP ¹ ( C ) ที่มีจุดแตกแขนงประเภท ( k ₁ , ..., k _n ) ที่ ∞ และ จุดแตกแขนงแบบง่ายคงที่อีก mจุด นี่คือจำนวนฮูร์วิตซ์อย่างแม่นยำ ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

วิธีที่สองในการหาดีกรีของbr คือการ พิจารณา พรีอิมเมจของจุดที่เสื่อมสภาพมากที่สุด กล่าวคือ นำจุดแตกแขนงทั้งmจุดมารวมกันที่ 0 ในC

ภาพผกผันของจุดนี้ในคือไฟเบอร์อนันต์ของbrที่สมมาตรกับปริภูมิโมดูลัส อัน ที่ จริง เมื่อกำหนดเส้นโค้งเสถียรที่มี จุดทำเครื่องหมาย nจุด เราจะส่งเส้นโค้งนี้ไปยัง 0 ในP ¹ ( C ) และแนบส่วนประกอบเชิงตรรกะn ส่วนเข้ากับจุดทำเครื่องหมาย ซึ่งแผนที่เสถียรจะมีรูปแบบดังนั้นเราจึงได้แผนที่เสถียรทั้งหมดในที่ไม่แตกแขนงนอก 0 และ ∞ วิธีการมาตรฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตช่วยให้สามารถหาดีกรีของแผนที่ได้โดยการพิจารณาไฟเบอร์อนันต์และบันเดิลปกติของมัน ผลลัพธ์จะแสดงเป็นปริพันธ์ของชั้นลักษณะเฉพาะบางอย่างเหนือไฟเบอร์อนันต์ ในกรณีของเรา ปริพันธ์นี้บังเอิญเท่ากับด้านขวามือของสูตร ELSV ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

ดังนั้นสูตร ELSV จึงแสดงถึงความเท่าเทียมกันระหว่างสองวิธีในการคำนวณระดับของมอร์ฟิซึมการแตกแขนง