ในทางเศรษฐศาสตร์กล่องเอ็ดจ์เวิร์ธ (Edgeworth box)หรือบางครั้งเรียกว่ากล่องเอ็ดจ์เวิร์ธ-โบว์ลีย์ (Edgeworth-Bowley box)เป็นแผนภาพแสดงตลาดที่มีสินค้าเพียงสองชนิด คือXและYและผู้บริโภคสองราย โดยมิติของกล่องแสดงถึงปริมาณรวม Ωx _และ Ωy _ของสินค้าทั้งสองชนิด

ให้ผู้บริโภคคืออ็อกตาบิโอและแอบบี้ มุมบนขวาของกล่องแสดงถึงการจัดสรรที่อ็อกตาบิโอถือครองสินค้าทั้งหมด ในขณะที่มุมล่างซ้ายแสดงถึงการเป็นเจ้าของโดยสมบูรณ์ของแอบบี้ จุดภายในกล่องแสดงถึงวิธีการจัดสรรสินค้าให้กับผู้บริโภคทั้งสอง

พฤติกรรมของตลาดจะถูกกำหนดโดย เส้นความไม่แตกต่างของผู้บริโภคเส้นโค้งสีน้ำเงินในแผนภาพแสดงถึงเส้นความไม่แตกต่างของอ็อกตาวิโอ และแสดงเป็นเส้นโค้งนูนเมื่อมองจากมุมมองของเขา (เช่น มองจากด้านล่างซ้าย) เส้นโค้งสีส้มแสดงถึงเส้นความไม่แตกต่างของแอบบี้ และเป็นเส้นโค้งนูนเมื่อมองจากด้านบนขวา การเคลื่อนที่ขึ้นและไปทางขวาจะเพิ่มการจัดสรรของอ็อกตาวิโอและทำให้เขาอยู่บนเส้นความไม่แตกต่างที่น่าพึงพอใจมากขึ้น ในขณะที่ทำให้แอบบี้อยู่บนเส้นความไม่แตกต่างที่น่าพึงพอใจน้อยลง

เส้นความไม่แตกต่างแบบนูนถือเป็นกรณีปกติ ซึ่งสอดคล้องกับผลตอบแทนที่ลดลงของสินค้าแต่ละชนิดเมื่อเทียบกับสินค้าชนิดอื่น

การแลกเปลี่ยนภายในตลาดเริ่มต้นจากการจัดสรรเบื้องต้นที่เรียกว่าเงินทุน เริ่ม ต้น

การใช้งานหลักของกล่อง Edgeworth คือการแนะนำหัวข้อในทฤษฎีสมดุลทั่วไปในรูปแบบที่สามารถแสดงคุณสมบัติได้ในรูปแบบกราฟิก นอกจากนี้ยังสามารถแสดงความยากลำบากในการเปลี่ยนไปสู่ผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพในกรณีที่มี การผูกขาด แบบทวิภาคี^{[ 1 ]}ในกรณีหลังนี้ มันทำหน้าที่เป็นตัวนำไปสู่ปัญหาการต่อรองของทฤษฎีเกมที่อนุญาตให้มีวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 2 ] [ 3 ]}

กล่องเอ็ดจ์เวิร์ธตั้งชื่อตาม ฟ ^รานซิส อิซิโดร เอ็ดจ์เวิร์ธ [ ^{4 ]}ผู้นำเสนอในหนังสือของเขาเรื่อง Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciencesในปี 1881 ^{[ 5 ]} ภาพสองแกนดั้งเดิมของเอ็ดจ์เวิร์ธได้รับการพัฒนาเป็นแผนภาพกล่องที่คุ้นเคยในปัจจุบันโดยพาเรโต ใน คู่มือเศรษฐศาสตร์การเมืองปี 1906 ของเขาและได้รับความนิยมในการอธิบายในภายหลังโดยโบว์ลีย์แผนภาพเวอร์ชันสมัยใหม่มักเรียกกันว่ากล่องเอ็ดจ์เวิร์ธ-โบว์ลีย์^{[ 6 ]}

กรอบแนวคิดของสมดุลในระบบเศรษฐกิจแบบตลาดได้รับการพัฒนาโดยLéon Walras ^{[ 7 ]}และขยายเพิ่มเติมโดยVilfredo Pareto [ ^{8 ] นัก เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ ใน}ศตวรรษที่ 20 ได้ตรวจสอบกรอบแนวคิดนี้โดยให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดกับความเป็นทั่วไปและความเข้มงวด รวมถึงAbraham Wald [ ^{9 ]} Paul Samuelson [ ^{10 ]} Kenneth ArrowและGérard Debreu [ ^{11 ] ซึ่ง}เป็นส่วนหนึ่งของการเคลื่อนไหวที่กว้างขึ้น โดย Wald ยังพยายามนำความเข้มงวดที่มากขึ้นมาสู่^{ทฤษฎี}การตัดสินใจและนักคณิตศาสตร์หลายคนมุ่งเน้นไปที่การลดการพึ่งพาหลักการของการเลือกให้ น้อยที่สุด

ทฤษฎีตลาดแบบวอลราเซียนได้พยายามอย่างยิ่งที่จะค้นหาสมมติฐานทั่วไปที่สุดที่สามารถนำไปสู่ข้อสรุปที่กำหนดได้ พื้นที่ที่สามารถเสริมความแข็งแกร่งหรือลดทอนสมมติฐานได้ ได้แก่:

• ฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้หรือไม่
• เส้นความไม่แยแสเป็นเส้นพื้นฐานหรือสามารถอนุมานได้จากฟังก์ชันอรรถประโยชน์หรือไม่ และ
• เส้นความไม่แยแสเป็นเส้นนูนหรือไม่

นอกจากนี้ยังมีการตั้งสมมติฐานในเชิงเทคนิคมากขึ้น เช่น การไม่สามารถย้อนกลับได้ความอิ่มตัวเป็นต้น

การแสวงหาความแม่นยำอย่างเคร่งครัดไม่ได้นำไปสู่ความเข้าใจง่ายเสมอไป ในบทความนี้ เส้นความไม่แตกต่างจะถูกมองว่าเป็นเส้นพื้นฐาน ในตอนแรกเราจะมองว่าเส้นเหล่านี้เป็นเส้นนูนและสามารถหาอนุพันธ์ได้ และมุ่งเน้นไปที่จุดสมดุลภายใน แต่ในภายหลังเราจะผ่อนคลายข้อสมมติเหล่านี้

เนื่องจากมีสินค้าเพียงสองชนิด ราคาที่แท้จริงจึงเป็นอัตราแลกเปลี่ยนระหว่างสินค้าทั้งสองชนิด เป้าหมายของเราคือการหาจุดที่ตลาดจะเข้าสู่ภาวะสมดุล ซึ่งจะเป็นจุดที่ไม่มีความต้องการทำธุรกรรมเพิ่มเติมอีกต่อไป โดยเริ่มต้นจากปริมาณสินค้าเริ่มต้นที่กำหนดไว้ ปริมาณเหล่านี้จะถูกกำหนดโดยเส้นความไม่แตกต่างของผู้บริโภคทั้งสอง ดังแสดงในรูปที่ 2

เราจะสมมติว่าทุกวัน Octavio และ Abby ไปตลาดพร้อมกับสินค้าสองชนิดในปริมาณ(ω _x ,ω _y )และ(Ω _x – ω _x , Ω _y – ω _y )ซึ่งสอดคล้องกับตำแหน่งωในแผนภาพ ผู้บริโภคทั้งสองจะแลกเปลี่ยนสินค้ากันเองภายใต้พฤติกรรมตลาดแข่งขันสมบูรณ์ สมมติฐานนี้ต้องการการยอมรับในระดับหนึ่ง เนื่องจากเงื่อนไขของตลาดแข่งขันสมบูรณ์ซึ่งรวมถึงจำนวนผู้บริโภคที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่เป็นไปตามที่กำหนด

ถ้าX สองตัวแลกเปลี่ยนกับ Yหนึ่งตัว การทำธุรกรรมของอ็อกตาวิโอและแอบบี้จะนำพวกเขาไปยังจุดใดจุดหนึ่งตามเส้นสีเทาทึบ ซึ่งเรียกว่าเส้นงบประมาณ (เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น เส้นงบประมาณอาจนิยามได้ว่าเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดทุน ซึ่งแสดงถึงการจัดสรรที่สามารถได้รับจากการแลกเปลี่ยนในราคาหนึ่งๆ) เส้นงบประมาณสำหรับราคาอื่นๆ อีกสองสามราคาก็แสดงไว้เป็นเส้นประและเส้นจุดในรูปที่ 2 ด้วย

จุดสมดุลที่สอดคล้องกับปริมาณทรัพยากรเริ่มต้นω ที่กำหนดไว้ จะถูกกำหนดโดยเส้นความไม่แตกต่างสองเส้นที่มีเส้นสัมผัสร่วมกัน โดยที่เส้นสัมผัสนี้ผ่านจุดωเราจะใช้คำว่า 'เส้นราคา' เพื่อหมายถึงเส้นสัมผัสร่วมของเส้นความไม่แตกต่างสองเส้น ดังนั้น จุดสมดุลจึงสอดคล้องกับเส้นงบประมาณซึ่งเป็นเส้นราคาด้วย และราคา ณ จุดสมดุลคือความชันของเส้นนั้น ในรูปที่ 3 ωคือปริมาณทรัพยากรเริ่มต้น และω 'คือการจัดสรร ณ จุดสมดุล

เหตุผลเบื้องหลังเรื่องนี้มีดังต่อไปนี้

ประการแรก จุดใดๆ ในกล่องจะต้องอยู่บนเส้นความไม่แตกต่างของแอบบี้เพียงเส้นเดียว และอยู่บนเส้นความไม่แตกต่างของอ็อกตาวิโอเพียงเส้นเดียวเท่านั้น หากเส้นความไม่แตกต่างตัดกัน (ดังแสดงในรูปที่ 4) เส้นเหล่านั้นจะแบ่งบริเวณใกล้เคียงออกเป็นสี่ส่วน โดยส่วนหนึ่ง (แสดงเป็นสีเขียวอ่อน) เป็นที่พึงปรารถนาสำหรับผู้บริโภคทั้งสอง ดังนั้น จุดที่เส้นความไม่แตกต่างตัดกันจึงไม่ใช่จุดสมดุล และจุดสมดุลจะต้องเป็นจุดสัมผัส

ประการที่สอง ราคาเดียวที่สามารถคงอยู่ในการตลาด ณ จุดสัมผัสได้ คือราคาที่ได้จากความชันของเส้นสัมผัส เนื่องจากที่ราคานี้เท่านั้นที่ผู้บริโภคจะยินดีรับการแลกเปลี่ยนที่เล็กน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ประการที่สาม (ซึ่งเป็นจุดที่ยากที่สุด) การแลกเปลี่ยนทั้งหมดที่นำพาผู้บริโภคไปตามเส้นทางจากωไปสู่จุดสมดุลจะต้องเกิดขึ้นในราคาเดียวกัน หากยอมรับข้อนี้แล้ว ราคาดังกล่าวจะต้องเป็นราคาที่ใช้บังคับ ณ จุดสัมผัส และผลลัพธ์ก็จะตามมา

ในระบบเศรษฐกิจที่มีผู้เล่นสองคนนั้นไม่มีการรับประกันว่าการแลกเปลี่ยนทั้งหมดจะเกิดขึ้นในราคาเดียวกัน แต่จุดประสงค์ของกล่อง Edgeworth ไม่ใช่เพื่อแสดงให้เห็นถึงการกำหนดราคาที่สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อไม่มีการแข่งขัน แต่เพื่อแสดงให้เห็นถึงระบบเศรษฐกิจที่มีการแข่งขันในกรณีที่น้อยที่สุด ดังนั้นเราอาจจินตนาการได้ว่าแทนที่จะมี Abby เพียงคนเดียวและ Octavio เพียงคนเดียว เรามีโคลนของแต่ละคนเป็นจำนวนอนันต์ โดยทั้งหมดเข้ามาในตลาดด้วยทรัพยากรที่เหมือนกันในเวลาที่ต่างกัน และเจรจาต่อรองกันไปเรื่อยๆ จนถึงจุดสมดุล Octavio ที่เพิ่งเข้ามาใหม่อาจแลกเปลี่ยนในราคาตลาดกับ Abby ที่ใกล้ถึงจุดสมดุลแล้ว และตราบใดที่ Abby ที่เพิ่งเข้ามาใหม่แลกเปลี่ยนกับ Octavio ที่เกือบจะพอใจแล้ว จำนวนก็จะสมดุลกัน สำหรับการแลกเปลี่ยนที่จะเกิดขึ้นในเศรษฐกิจที่มีการแข่งขันขนาดใหญ่ ราคาเดียวกันจะต้องมีผลบังคับใช้กับทุกคน ดังนั้นการแลกเปลี่ยนจะต้องทำให้การจัดสรรเคลื่อนไปตามเส้นราคาที่เรากำหนดไว้^{[ 12 ]}

ดังนั้น ภารกิจในการค้นหาสมดุลการแข่งขันจึงลดลงเหลือเพียงภารกิจในการค้นหาจุดสัมผัสระหว่างเส้นความไม่แตกต่างสองเส้น โดยที่เส้นสัมผัสผ่านจุดที่กำหนด การใช้เส้นอุปทาน (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) จะช่วยให้มีขั้นตอนที่เป็นระบบในการทำเช่นนี้

การจัดสรรสินค้าอย่างหนึ่งจะเรียกว่า "เหนือกว่าแบบพาเรโต" (Pareto dominate) หากการจัดสรรนั้นดีกว่าสำหรับผู้บริโภคคนหนึ่งและไม่แย่กว่าสำหรับผู้บริโภคอีกคนหนึ่ง การจัดสรรนั้นจะเรียกว่า " เหมาะสมที่สุดแบบ พาเรโต" (Pareto optimal ) (หรือ "มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต") (Pareto efficient) หากไม่มีการจัดสรรอื่นใดที่เหนือกว่าแบบพาเรโตนั้น เซตของการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโตเรียกว่าเซตพาเรโต (หรือ "ตำแหน่งที่มีประสิทธิภาพ")

พิจารณาเส้นโค้งสัมผัสสองเส้น เส้นหนึ่งสำหรับผู้บริโภคแต่ละคน ดังแสดงในรูปที่ 5 โดยจุดสัมผัสแสดงด้วยจุดสีม่วง ความนูนรับประกันว่าเส้นโค้งจะไม่ตัดกันที่จุดอื่นนอกจากจุดสัมผัส และกล่องจะถูกแบ่งออกเป็น 3 บริเวณ บริเวณสีฟ้าอ่อนดีกว่าจุดสัมผัสสำหรับอ็อกตาวิโอ แต่แย่กว่าสำหรับแอบบี้ บริเวณสีส้มอ่อนดีกว่าสำหรับแอบบี้ แต่แย่กว่าสำหรับอ็อกตาวิโอ และบริเวณสีขาวแย่กว่าสำหรับทั้งสองคน การพิจารณาที่คล้ายกันนี้ใช้กับขอบเขตด้วย ดังนั้น จุดสัมผัสจึงเป็นจุดที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต

ดังนั้น เซตพาเรโตจึงเป็นตำแหน่งของจุดสัมผัสของเส้นโค้งต่างๆ ซึ่งเป็นเส้นที่เชื่อมจุดกำเนิด (O) ของอ็อกตาบิโอ กับจุดกำเนิด (A) ของแอบบี ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 6 โดยเส้นสีม่วงคือเซตพาเรโตที่สอดคล้องกับเส้นความไม่แตกต่างของผู้บริโภคทั้งสอง

คำศัพท์ที่ใช้ในการอธิบายวัตถุต่าง ๆ ที่เป็นส่วนหนึ่งของกล่อง Edgeworth แตกต่างกันออกไป บางครั้งชุด Pareto ทั้งหมดเรียกว่าเส้นโค้งสัญญาในขณะที่ Mas-Colell และคณะจำกัดคำจำกัดความของเส้นโค้งสัญญาไว้เฉพาะจุดบนชุด Pareto ที่ทำให้ทั้ง Abby และ Octavio มีฐานะดีอย่างน้อยเท่ากับที่พวกเขามีอยู่เมื่อเริ่มต้น ผู้เขียนคนอื่น ๆ ที่มี แนวคิด เชิงทฤษฎีเกม มากกว่า เช่น Martin Osborne และAriel Rubinstein [ ^{13 ] ใช้}คำว่าแกนหลักสำหรับส่วนของชุด Pareto ที่ดีอย่างน้อยเท่ากับที่ผู้บริโภคแต่ละรายมีอยู่เมื่อเริ่มต้น

เนื่องจากเซตพาเรโตเป็นเซตของจุดที่เส้นความไม่แตกต่างของผู้บริโภคสัมผัสกัน ดังนั้นจึงเป็นเซตของจุดที่อัตราการทดแทนส่วนเพิ่มของผู้บริโภคแต่ละรายเท่ากับของบุคคลอื่นด้วย^{[ 14 ]}

เราได้เห็นแล้วว่าจุดที่เส้นความไม่แตกต่างสัมผัสกับเส้นราคาเดียวกันนั้นคือจุดเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต แต่เราก็ได้เห็นไปแล้วเช่นกันว่าดุลยภาพทางเศรษฐกิจคือจุดที่เส้นความไม่แตกต่างสัมผัสกับเส้นราคาเดียวกัน ดังนั้น ดุลยภาพจึงเป็นจุดเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโตอย่างแม่นยำ

ข้อโต้แย้งนี้ใช้ได้โดยมีข้อจำกัดหนึ่งข้อ แม้ว่าเส้นโค้งจะหาอนุพันธ์ไม่ได้หรือสมดุลจะอยู่บนขอบเขตก็ตาม เงื่อนไขสำหรับสมดุลคือจะไม่มีการแลกเปลี่ยนเพิ่มเติมเกิดขึ้น และเงื่อนไขสำหรับการไม่มีการแลกเปลี่ยนเพิ่มเติมเกิดขึ้นคือไม่มีทิศทางการเคลื่อนที่ใดที่ให้ประโยชน์แก่ผู้บริโภครายหนึ่งโดยไม่ทำร้ายผู้บริโภคอีกรายหนึ่ง และนี่เทียบเท่ากับคำจำกัดความของ Pareto optimum ^{[ 15 ]}

ข้อจำกัดคือสมดุลหมายความว่าไม่สามารถปรับปรุงในระดับท้องถิ่น ได้อีกต่อไป กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดนั้นเป็นจุด Pareto ที่เหมาะสมที่สุดในระดับ 'ท้องถิ่น' แต่ปัจจุบันถือว่าความเหมาะสมที่สุดแบบ Pareto เป็นแบบทั่วโลกตามคำจำกัดความ ^{[ 16 ]}ดังนั้น หากลักษณะของเส้นความไม่แตกต่างทำให้เกิดจุดเหมาะสมที่สุดที่ไม่ใช่แบบทั่วโลก (ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้หากเส้นเหล่านั้นเป็นนูน) ก็เป็นไปได้ที่สมดุลจะไม่ใช่จุดเหมาะสมที่สุดแบบ Pareto

การแข่งขันที่สมบูรณ์แบบไม่ใช่เงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับทฤษฎีบท ตราบใดที่ผู้บริโภคมีอิสระในการแลกเปลี่ยน และจะยังคงทำเช่นนั้นต่อไปจนกว่าจะไม่มีการแลกเปลี่ยนที่ยอมรับร่วมกันได้อีกต่อไป สมดุลจะเกิดขึ้นและจะเป็น (อย่างน้อยในระดับ 'ท้องถิ่น') ที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต^{[ 17 ]}

ทีนี้ลองพิจารณาเศรษฐกิจที่ผู้บริโภคมีสินทรัพย์เริ่มต้นωดังแสดงในรูปที่ 7 หากปล่อยให้เป็นไปตามกลไกตลาดเสรี สินทรัพย์เหล่านั้นจะนำพาพวกเขาไปสู่​​ω'แต่สมมติว่าตำแหน่งอื่นในกล่อง – เช่นα' – ถือว่าเหมาะสมทางสังคมมากกว่า เราสามารถสมมติได้ว่าตำแหน่งที่สังคมต้องการนั้นคือตำแหน่งที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต

เราอาจมองว่าเส้นราคา (แสดงเป็นเส้นประในแผนภาพ) สอดคล้องกับการกระจายตัวของรายได้ที่แท้จริงที่แตกต่างกัน และการเคลื่อนที่ไปตามเส้นเหล่านั้นเป็นการจัดสรรทรัพยากรใหม่ในขณะที่รายได้ยังคงที่

ดังนั้น เพื่อที่จะปรับตำแหน่งของสังคมให้อยู่ในจุดที่ต้องการα'รัฐบาลจึงไม่จำเป็นต้องกระจายทรัพยากรในลักษณะที่ Octavio ถือครอง (α)^' _x,α^' _yและแอบบี้ถือส่วนเติมเต็ม: การจัดสรรทรัพยากรใหม่ก็เพียงพอที่จะนำเศรษฐกิจไปสู่ จุด ใดๆ (เช่นα ) บนเส้นราคาที่ผ่านα'แล้วปล่อยให้ตลาดหาจุดสมดุลของตัวเอง อันที่จริง ตราบใดที่รัฐบาลตระหนักถึงการกระจายรายได้ที่พึงประสงค์ ก็ไม่จำเป็นต้องมีความคิดใดๆ เกี่ยวกับการจัดสรรทรัพยากรที่เหมาะสมที่สุด

ในบริบทเศรษฐกิจทั่วไป ทฤษฎีบทนี้จะถูกตีความว่าα'สามารถบรรลุได้ด้วยการโอนเงินตามด้วยการแลกเปลี่ยนในตลาดอย่างเสรี แต่เงินนั้นไม่มีอยู่ในกล่องของเอ็ดจ์เวิร์ธ

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองไม่ได้ให้พิมพ์เขียวสำหรับการแก้ไขปัญหาของสังคม รัฐบาลอาจตัดสินใจจัดสรรทรัพยากรใหม่ระหว่าง Octavio และ Abby โดยย้ายจากωไปยังαก่อนการซื้อขายในแต่ละวัน และผลที่ตามมาคือใครก็ตามที่เสียเปรียบอาจตัดสินใจนำสินค้าไปขายในตลาดน้อยลงในวันถัดไป ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองไม่ได้คำนึงถึงความบิดเบือนที่เกิดจากการจัดสรรใหม่^{[ 18 ]}

เส้นอุปทานเป็นเครื่องมือในการค้นหาจุดสมดุล และยังมีประโยชน์ในการตรวจสอบการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของจุดสมดุลเหล่านั้นด้วย

สามารถวาดเส้นโค้งดังกล่าวสองเส้นลงในกรอบได้ โดยเส้นหนึ่งสำหรับผู้บริโภคแต่ละราย และทั้งสองเส้นขึ้นอยู่กับสินทรัพย์เริ่มต้น เราหมุนเส้นงบประมาณรอบจุดωและลากจุดที่ผู้บริโภคทั้งสองชื่นชอบมากที่สุดไปตามเส้นนั้น ดังแสดงด้วยจุดสีในรูปที่ 8 จุดเหล่านี้คือจุดที่เส้นสัมผัสกับเส้นความไม่แตกต่างของแต่ละคน

เส้นแสดงจุดที่ผู้บริโภคชื่นชอบมากที่สุดคือเส้นแสดงความต้องการ (offer curve) ภาพที่ 9 แสดงเส้นแสดงความต้องการ (offer curve) ของ Octavio เป็นสีน้ำเงินเข้ม และของ Abby เป็นสีน้ำตาล เส้นทั้งสองมาบรรจบกันที่จุดω 'และเส้นงบประมาณสมดุล (วาดด้วยสีเทา) คือเส้นที่ผ่านจุดนี้ เส้นความไม่แตกต่าง (indifference curve) ที่ผ่านจุดω 'สำหรับผู้บริโภคทั้งสองแสดงด้วยสีที่อ่อนกว่า

เส้นอุปทานจะต้องผ่านจุดωเสมอ ถ้าเรายกตัวอย่างแอบบี้ เราจะสังเกตได้ว่าเส้นความไม่แตกต่างเส้นหนึ่งของเธอจะต้องผ่านจุดωและเราสามารถเลือกเส้นงบประมาณให้มีความชันเท่ากับเส้นความไม่แตกต่างตรงจุดนี้ได้ ทำให้ωเป็นจุดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเส้นนี้

ด้วยเหตุนี้ เส้นข้อเสนอของผู้บริโภคทั้งสองจึงตัดกันที่จุดω อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่คุณสมบัติที่ทำให้เกิดสิ่งนี้ขึ้นก็คือωเป็นจุดตัดที่เป็นไปได้เพียงจุดเดียวที่สอดคล้องกับเส้นงบประมาณที่มีความชันต่างกัน และด้วยเหตุนี้จึงไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสมดุลเสมอไป

จุดตัดใดๆ ของเส้นโค้งข้อเสนอที่จุดอื่นที่ไม่ใช่ωจะกำหนดสมดุลที่เสถียร หากเส้นโค้งข้อเสนอทั้งสองสัมผัสกันที่จุดเงินทุน จุดนี้ถือเป็นจุดสมดุล และเส้นสัมผัสร่วมของเส้นโค้งทั้งสองจะเป็นเส้นงบประมาณที่สอดคล้องกัน^{[ 19 ]}

เส้นอุปทานถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดย วิลเฟ รโด ปาเรโต – ดูได้จากคู่มือของ เขา บทที่ 3 ข้อ 97 เขาเรียกเส้นเหล่านี้ว่า 'เส้นแลกเปลี่ยน' ( linee dei baratti  /  lignes des échanges ) และเขาเรียกการจัดสรรที่อ็อกตาบิโอต้องการตามเส้นงบประมาณว่า 'จุดสมดุล'

การจัดสรรที่ต้องการนี้บางครั้งในปัจจุบันถูกเรียกว่า 'ความต้องการ' ของอ็อกตาวิโอ ซึ่งเป็นการอธิบายแบบไม่สมมาตรของข้อเท็จจริงที่สมมาตร การจัดสรรนี้กำหนดปริมาณการถือครองของแอบบี้มากพอๆ กับของอ็อกตาวิโอ ดังนั้นจึงเป็นทั้งอุปทานและอุปสงค์ในเวลาเดียวกัน

คำว่า Offreในภาษาฝรั่งเศสแปลว่า 'อุปทาน' ดังนั้นการเรียกเส้นอุปทานว่าจุดเชื่อมต่อของอุปสงค์จึงเท่ากับการเรียกเส้นอุปทานว่าจุดเชื่อมต่อของอุปสงค์

จากการพิจารณาทางเศรษฐศาสตร์ อาจสันนิษฐานได้ว่า หากมีเส้นสัมผัสร่วมกันผ่านปัจจัยพื้นฐานที่กำหนด และหากเส้นความไม่แตกต่างไม่ได้มีรูปร่างผิดปกติ จุดสัมผัสก็จะมีเพียงจุดเดียว แต่ความจริงแล้วไม่ใช่เช่นนั้น เงื่อนไขสำหรับความมีเพียงจุดเดียวของจุดสมดุลเป็นหัวข้อของการวิจัยอย่างกว้างขวาง: ดูทฤษฎี สมดุลทั่วไป

ภาพที่ 9 และ 10 แสดงตัวอย่างจาก Mas-Colell et al. ซึ่งจุดสมดุลω ที่แตกต่างกันสามจุดสอดคล้องกับจุดการจัดสรร เส้นความไม่แตกต่างมีดังนี้:

${\displaystyle \quad x-{\tfrac {1}{8}}y^{-8}=u}$(อ็อกตาวิโอ)

${\displaystyle \quad y-{\tfrac {1}{8}}x^{-8}=u}$(แอบบี้)

เส้นความไม่แยแสจะเติมเต็มกรอบ แต่จะแสดงเฉพาะเมื่อสัมผัสกับเส้นงบประมาณที่เป็นตัวแทนบางเส้นเท่านั้น เส้นอุปทานที่วาดในรูปที่ 11 ตัดกันที่สามจุดซึ่งแสดงด้วยจุดสีเทาขนาดใหญ่ และสอดคล้องกับอัตราแลกเปลี่ยน1/2 , 1และ 2

การตรวจสอบคุณสมบัติของสมดุลในระยะแรกนั้นอาศัยคำจำกัดความโดยปริยายว่าคือการสัมผัส และดูเหมือนว่าจะมีการสันนิษฐานโดยปริยายว่ามีความนูน^{[ 20 ]}ไม่มีข้อสงสัยเลยว่าสมดุลจะเกิดขึ้นได้: การเพิ่มขึ้นของความชันจะนำไปสู่สมดุล แต่ผลลัพธ์นั้นขาดความเป็นทั่วไป

Kenneth Arrow และ Gérard Debreu ได้ตีพิมพ์เอกสารแยกกันในปี พ.ศ. 2494 โดยดึงความสนใจไปที่ข้อจำกัดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสมดุลด้วยแคลคูลัส^{[ 21 ]} Arrow กล่าวถึงความยากลำบากที่เกิดจากสมดุลบนขอบเขตโดยเฉพาะ และ Debreu กล่าวถึงปัญหาของเส้นโค้งความไม่แตกต่างที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

โดยไม่จำเป็นต้องครอบคลุมทุกรายละเอียดอย่างครบถ้วน เราสามารถเข้าใจได้ง่ายๆ ด้วยสัญชาตญาณว่าเราจะขยายวิธีการของเราไปใช้กับกรณีเหล่านี้ได้อย่างไร เราจำเป็นต้องขยายแนวคิดของเส้นสัมผัสให้ครอบคลุมถึงเส้นใดๆ ที่สัมผัสกับเส้นโค้ง: เส้นสัมผัสในความหมายทางนิรุกติศาสตร์มากกว่าความหมายในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ในตัวอย่างของรูปที่ 12 มีส่วนโค้งของเส้นราคาตามกฎหมายผ่านจุดสัมผัส แต่ละเส้นสัมผัสกับเส้นความไม่แตกต่างโดยไม่ตัดผ่านภายในกรอบ และด้วยเหตุนี้จึงมีช่วงของสมดุลที่เป็นไปได้สำหรับการจัดสรรทรัพยากรที่กำหนด

จุดสมดุลในรูปที่ 12 ไม่ใช่จุดที่เส้นโค้งสัมผัสกันอย่างแท้จริง อย่างไรก็ตาม จุดสมดุลเหล่านี้มีคุณสมบัติที่ทำให้คำจำกัดความของเส้นสัมผัสมีความทั่วไปมากขึ้น นั่นคือ เส้นโค้งทั้งสองสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยเส้นตรงในบริเวณนั้น

Arrow และ Debreu นิยามสมดุลในลักษณะเดียวกันในบทความ (อิสระ) ของพวกเขาในปี 1951 โดยไม่ได้ให้แหล่งที่มาหรือเหตุผลใดๆ สำหรับคำนิยามของพวกเขา พวกเขายังคงใช้คำนิยามเดียวกันในบทความร่วมกัน (เกี่ยวกับการมีอยู่ของสมดุล) ในปี 1954 ^{[ 22 ]}คำนิยามใหม่นี้จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเทคนิคทางคณิตศาสตร์จากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ไปเป็นทฤษฎี เซตแบบนูน

โดยสรุปแล้ว นิยามของพวกเขาก็คือ สมดุลที่สามารถบรรลุได้จากทรัพยากรเริ่มต้นωประกอบด้วยการจัดสรรxและเส้นงบประมาณที่ลากผ่านxและωโดยที่ไม่มีจุดใดบนเส้นนั้นที่ผู้บริโภคฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง (อย่างเคร่งครัด) จะเลือกxมากกว่า คู่ที่ประกอบด้วยการจัดสรรและเส้นงบประมาณที่ตรงตามคุณสมบัตินี้เรียกว่า สมดุลแบบ 'วอลราเซียน' หรือ' สมดุลแบบแข่งขัน '

เส้นงบประมาณตามคำนิยามนี้คือเส้นที่แบ่งเส้นความไม่แตกต่างของผู้บริโภคทั้งสองกลุ่ม แต่เป็นการแบ่งแยกในระดับโดยรวมมากกว่าระดับเฉพาะที่ แอร์โรว์และเดอบรูไม่ได้อธิบายว่าเหตุใดพวกเขาจึงต้องการการแบ่งแยกในระดับโดยรวม ซึ่งอาจทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้น แต่ก็อาจส่งผลที่ไม่คาดคิดได้ ในรูปที่ 13 จุดxคือจุดสัมผัส ซึ่งเป็นจุดที่เส้นความไม่แตกต่างถูกแบ่งแยกในระดับเฉพาะที่โดยเส้นราคาประ แต่เนื่องจากเส้นความไม่แตกต่างไม่ได้ถูกแบ่งแยกในระดับโดยรวม จุดนี้จึงไม่ใช่จุดสมดุลตามคำนิยามของแอร์โรว์และเดอบรู

ในรูปที่ 14 จุดxคือจุดเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต ซึ่งไม่ตรงตามนิยามของสมดุลการแข่งขัน คำถามที่ว่าเศรษฐกิจจะเข้าสู่จุดสมดุล ณ จุดดังกล่าวหรือไม่นั้น เป็นเรื่องที่แยกต่างหากจากคำถามที่ว่ามันตรงตามนิยามของสมดุลที่กำหนดไว้หรือไม่ เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ เศรษฐกิจจะเข้าสู่จุดสมดุล ณ จุดนั้นอย่างแน่นอน

แอร์โรว์และเดอบรูว์มักรวมความนูนของเส้นความไม่แตกต่างไว้ใน "ข้อสมมติ" ของพวกเขาเสมอ คำว่า "ข้อสมมติ" เป็นคำที่คลุมเครือ ซึ่งอาจหมายถึงข้อสันนิษฐานที่อยู่เบื้องหลังคำจำกัดความและทฤษฎีบท หรืออาจหมายถึงข้อตั้งต้นที่จำเป็นเฉพาะสำหรับทฤษฎีบทเท่านั้น เนื่องจากคำจำกัดความของพวกเขาไม่ได้ครอบคลุมดุลยภาพทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นเมื่อเส้นโค้งอาจไม่นูน จึงเป็นไปได้ว่าพวกเขาหมายถึงข้อสมมติเรื่องความนูนในความหมายแรก ไม่ว่าจะเป็นเช่นนั้นหรือไม่ก็ตาม คำจำกัดความนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางโดยไม่มีข้อจำกัดด้านขอบเขต

บางครั้งพบว่าสามารถได้ผลลัพธ์ภายใต้นิยามเหล่านั้นโดยไม่ต้องสมมติความเป็นนูนในการพิสูจน์ (ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการเป็นตัวอย่างหนึ่ง)

ในบางระบบเศรษฐกิจ จะไม่มีจุดสมดุลที่สามารถเข้าถึงได้จากทรัพยากรที่มีอยู่โดยการแลกเปลี่ยนในราคาเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีจุดสมดุลใดที่สอดคล้องกับนิยามของสมดุลการแข่งขัน กลุ่มเส้นโค้งที่มีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 14 เป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีนี้

เมื่อกำหนดภาวะสมดุลเป็น 'ภาวะสมดุลเชิงแข่งขัน' ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกสามารถพิสูจน์ได้แม้ว่าเส้นความไม่แตกต่างไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นนูนก็ตาม กล่าวคือ ภาวะสมดุลเชิงแข่งขันใดๆ ก็ตาม (ในระดับโลก) ถือว่าเหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์นั้นไม่ชัดเจนอีกต่อไปแล้ว และผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากบทความเรื่องทฤษฎีบทพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ

ผลลัพธ์เดียวกันนี้จะไม่ถือว่าใช้ได้ (กับเส้นความไม่แตกต่างที่ไม่นูน) ภายใต้นิยามสมดุลโดยอาศัยการสัมผัส จุดxในรูปที่ 13 จะถูกพิจารณาว่าเป็นจุดสมดุลที่ไม่ใช่ จุดสมดุล ที่เหมาะสมที่สุด (โดยรวม) เนื่องจากบริเวณสีเหลืองแบบพาเรโตครอบงำจุดนั้น

การที่ความเป็นไปได้ในการบรรลุสมดุลกลายเป็นเรื่องที่น่าสงสัย ไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์จะดีขึ้นเสมอไป ในรูปที่ 13 จุดxอาจไม่ใช่ 'สมดุลเชิงแข่งขัน' แต่เศรษฐกิจอาจติดอยู่ที่จุดนั้น ทำให้ไม่สามารถบรรลุสมดุลที่ 'แท้จริง' (และเหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต) ในบริเวณสีเหลืองได้

ถือเป็นสิ่งสำคัญเสมอสำหรับทฤษฎีสวัสดิการข้อแรกว่าสมดุลจะต้องเกิดขึ้นจริง การตีความทฤษฎีของเลอร์เนอร์คือ "โชคดีที่การจัดสรรสินค้าที่เหมาะสมที่สุดสามารถบรรลุได้โดยอัตโนมัติ" ^{[ 23 ]}อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรรับประกันได้ว่าค่าที่เหมาะสมที่สุดทั่วโลกจะเกิดขึ้นได้เมื่อมีค่าที่เหมาะสมที่สุดเฉพาะที่ หากแนวคิดของสมดุลรวมถึงค่าที่เหมาะสมที่สุดเฉพาะที่ เช่นxแล้วสมดุลอาจเกิดขึ้นได้แต่ต่ำกว่าค่าที่เหมาะสมที่สุด หากไม่รวมจุดดังกล่าว สมดุลอาจเหมาะสมที่สุดแต่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้

ความแตกต่างที่เกิดจากความไม่นูนจะฝังรากลึกมากขึ้นเมื่อเราพิจารณาทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สอง ไม่ใช่ทุกจุดเหมาะสมที่สุดของพาเรโตจะเป็นดุลยภาพในการแข่งขัน (แม้ว่ามันอาจจะเป็นจุดพักสำหรับเศรษฐกิจก็ตาม) ดังนั้น ทฤษฎีบทนี้จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าความชอบมีความนูนเป็นพื้นฐาน หรือไม่ก็ต้องระบุในลักษณะที่ว่า 'ดุลยภาพ' ไม่ได้หมายถึง 'ดุลยภาพในการแข่งขัน' ตามที่นิยามไว้ข้างต้น

• การจำลองที่ Wolfram.com
• คำอธิบายกล่อง Edgeworth ที่ economic-ruth
• คำอธิบายเกี่ยวกับกล่อง Edgeworth ที่ Digital Economist