ในคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์ทฤษฎีซองจดหมายเป็นผลลัพธ์สำคัญเกี่ยวกับคุณสมบัติการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบมีพารามิเตอร์^{[ 1 ]}เมื่อเราเปลี่ยนพารามิเตอร์ของวัตถุประสงค์ ทฤษฎีซองจดหมายแสดงให้เห็นว่าในแง่หนึ่ง การเปลี่ยนแปลงในตัวหาค่าเหมาะสมที่สุดของวัตถุประสงค์ไม่ได้มีส่วนทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ทฤษฎีซองจดหมายเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการเปรียบเทียบสถิติของแบบจำลองการหาค่าเหมาะสมที่สุด^{[ 2 ]}

คำว่า "ซอง" (envelope) มาจากการอธิบายกราฟของฟังก์ชันค่าว่าเป็น "ซองบน" ของกราฟของกลุ่มฟังก์ชันพารามิเตอร์ ที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม ${\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}$

ให้และ เป็น ฟังก์ชันค่าจริงที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องบนโดยที่เป็นตัวแปรเลือก และเป็นพารามิเตอร์ และพิจารณาปัญหาการเลือกสำหรับค่า ที่กำหนดให้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f(x,\alpha )}$${\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{l}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \max _{x}f(x,\alpha )}$ขึ้นอยู่กับและ.${\displaystyle g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m}$${\displaystyle x\geq 0}$

นิพจน์ลากรางจ์ของปัญหานี้แสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )}$

ตัวคูณลากรางจ์อยู่ที่ไหนตอนนี้ให้และเป็นคำตอบที่ทำให้ฟังก์ชันเป้าหมายf มีค่าสูงสุด ภายใต้ข้อจำกัด (และดังนั้นจึงเป็นจุดอานม้าของลากรางจ์) ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x^{\ast }(\alpha )}$${\displaystyle \lambda ^{\ast }(\alpha )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),}$

และกำหนดฟังก์ชันค่า

${\displaystyle V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).}$

จากนั้นเราจะมีทฤษฎีบทต่อไปนี้^{[ 3 ] [ 4 ]}

ทฤษฎีบท: สมมติว่าและเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง แล้ว${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l}$

ที่ไหน${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}}$ .

ให้แทนเซตตัวเลือก และให้ เป็นพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องโดยให้แทนฟังก์ชันเป้าหมายแบบมีพารามิเตอร์ ฟังก์ชันค่าและความสัมพันธ์ของตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด (ฟังก์ชันค่าเซต) จะกำหนดโดย: ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle f:X\times \lbrack 0,1]\rightarrow R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X^{\ast }}$

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X}f(x,t)}$

1

${\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X:f(x,t)=V(t)\}}$

2

"ทฤษฎีบทซองจดหมาย" อธิบายเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันค่าที่จะสามารถหาอนุพันธ์ได้ในพารามิเตอร์และอธิบายอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นดังนี้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle V^{\prime }\left(t\right)=f_{t}\left(x,t\right){\text{ for each }}x\in X^{\ast }\left(t\right),}$

3

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ย่อยของเทียบกับ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าเทียบกับพารามิเตอร์ เท่ากับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเป้าหมายเทียบกับ โดยคงค่าตัวเพิ่มค่าสูงสุดไว้ที่ระดับที่เหมาะสมที่สุด ${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

การพิสูจน์ทฤษฎีซองจดหมายแบบดั้งเดิมใช้เงื่อนไขอันดับแรกสำหรับ ( 1 ) ซึ่งกำหนดให้เซตตัวเลือกต้องมีโครงสร้างนูนและเชิงโทโพโลยี และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ในตัวแปร(ข้อโต้แย้งคือการเปลี่ยนแปลงในตัวเพิ่มค่าสูงสุดจะมีเพียง "ผลกระทบอันดับสอง" ที่จุดเหมาะสมที่สุด ดังนั้นจึงสามารถละเลยได้) อย่างไรก็ตาม ในการใช้งานหลายอย่าง เช่น การวิเคราะห์ข้อจำกัดของแรงจูงใจในทฤษฎีสัญญาและทฤษฎีเกม ปัญหาการผลิตที่ไม่นูน และสถิติเปรียบเทียบแบบ "โมโนโทน" หรือ "แข็งแกร่ง" เซตตัวเลือกและฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยทั่วไปจะขาดคุณสมบัติเชิงโทโพโลยีและความนูนที่จำเป็นโดยทฤษฎีซองจดหมายแบบดั้งเดิม ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Paul MilgromและIlya Segal (2002) สังเกตว่าสูตรซองจดหมายแบบดั้งเดิมใช้ได้กับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดที่มีชุดตัวเลือกตามอำเภอใจ ณ จุดที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันค่า^{[ 5 ]}โดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์สามารถหาอนุพันธ์ได้ในพารามิเตอร์:

ทฤษฎีบท 1:ให้และ. ถ้าทั้งและมีอยู่ สูตรซองจดหมาย ( 3 ) เป็นจริง ${\displaystyle t\in \left(0,1\right)}$${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle V^{\prime }\left(t\right)}$${\displaystyle f_{t}\left(x,t\right)}$

พิสูจน์:สมการ ( 1 ) บ่งชี้ว่าสำหรับ, ${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$

${\displaystyle \max _{s\in \left[0,1\right]}\left[f\left(x,s\right)-V\left(s\right)\right]=f\left(x,t\right)-V\left(t\right)=0.}$

ภายใต้สมมติฐาน ฟังก์ชันเป้าหมายของปัญหาการเพิ่มค่าสูงสุดที่แสดงนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่และเงื่อนไขอันดับแรกสำหรับการเพิ่มค่าสูงสุดนี้คือสมการ ( 3 ) อย่างแน่นอน QED ${\displaystyle s=t}$

ในขณะที่การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าโดยทั่วไปต้องอาศัยสมมติฐานที่เข้มงวด แต่ในหลายๆ การใช้งาน เงื่อนไขที่อ่อนกว่า เช่นความต่อเนื่องสัมบูรณ์การหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ หรือการหาอนุพันธ์ได้ทั้งซ้ายและขวา ก็เพียงพอแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทที่ 2 ของ Milgrom และ Segal (2002) เสนอเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความต่อเนื่องสัมบูรณ์^{[ 5 ]}ซึ่งหมายความว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่และสามารถแสดงเป็นปริพันธ์ของอนุพันธ์ได้ ${\displaystyle V}$

ทฤษฎีบทที่ 2:สมมติว่ามีความต่อเนื่องสัมบูรณ์สำหรับทุกสมมติเพิ่มเติมว่ามีฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้เช่นนั้นสำหรับทุกและเกือบทุก แล้วมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์ สมมติเพิ่มเติมว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับทุกและเกือบทุกที่บนแล้วสำหรับการเลือกใดๆ ${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b:[0,1]}$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle |f_{t}(x,t)|\leq b(t)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X^{\ast }(t)\neq \varnothing }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}$

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}f_{t}(x^{\ast }(s),s)ds.}$

4

พิสูจน์:โดยใช้ ( 1 )(1) สังเกตว่าสำหรับใดๆที่มี, ${\displaystyle t^{\prime },t^{\prime \prime }\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle t^{\prime }<t^{\prime \prime }}$

${\displaystyle |V(t^{\prime \prime })-V(t^{\prime })|\leq \sup _{x\in X}|f(x,t^{\prime \prime })-f(x,t^{\prime })|=\sup _{x\in X}\left\vert \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}f_{t}(x,t)dt\right\vert \leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}\sup _{x\in X}|f_{t}(x,t)|dt\leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}b(t)dt.}$

สิ่งนี้หมายความว่ามีความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น จึงสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และการใช้ ( 3 ) จะได้ ( 4 ) QED ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

ผลลัพธ์นี้ขจัดความเข้าใจผิดทั่วไปที่ว่าพฤติกรรมที่ดีของฟังก์ชันค่าจำเป็นต้องมีพฤติกรรมที่ดีของตัวเพิ่มค่าสูงสุดด้วย ทฤษฎีบทที่ 2 รับประกันความต่อเนื่องสัมบูรณ์ของฟังก์ชันค่าแม้ว่าตัวเพิ่มค่าสูงสุดอาจไม่ต่อเนื่องก็ตาม ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทที่ 3 ของ Milgrom และ Segal (2002) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันค่าจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่และด้วยเหตุนี้จึงต้องสอดคล้องกับสูตรซองจดหมาย ( 3 ) เมื่อตระกูลสามารถหาอนุพันธ์ได้เท่ากันที่และมีค่าเดียวและต่อเนื่องที่แม้ว่าตัวเพิ่มค่าสูงสุดจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่(เช่น ถ้าอธิบายโดยชุดของข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน และชุดของข้อจำกัดที่ผูกมัดเปลี่ยนที่) ^{[ 5 ]}${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}$${\displaystyle t_{0}\in \left(0,1\right)}$${\displaystyle f_{t}\left(X^{\ast }\left(t\right),t_{0}\right)}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t_{0}}$

ทฤษฎีบทที่ 1 บ่งชี้ถึงบทพิสูจน์ของ Hotellingณ จุดใดๆ ที่ฟังก์ชันกำไรสามารถหาอนุพันธ์ได้ และทฤษฎีบทที่ 2 บ่งชี้ถึง สูตร ส่วนเกินของผู้ผลิตในทางทฤษฎี ให้แทนฟังก์ชันกำไรทางอ้อมของบริษัทที่รับราคา โดยมีชุดการผลิตที่เผชิญกับราคาและให้แทนฟังก์ชันอุปทานของบริษัท กล่าวคือ ${\displaystyle \pi \left(p\right)}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle x^{\ast }\left(p\right)}$

${\displaystyle \pi (p)=\max _{x\in X}p\cdot x=p\cdot x^{\ast }\left(p\right){\text{.}}}$

ให้(ราคาของสินค้า) และกำหนดราคาสินค้าอื่น ๆ ไว้ที่การนำทฤษฎีบทที่ 1 มาใช้กับจะได้(ปริมาณสินค้าที่เหมาะสมที่สุดของบริษัท) การนำทฤษฎีบทที่ 2 (ซึ่งสมมติฐานได้รับการตรวจสอบแล้วเมื่อถูกจำกัดอยู่ในช่วงที่กำหนด) จะได้ ${\displaystyle t=p_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{-i}\in \mathbb {R} ^{L-1}}$${\displaystyle f(x,t)=tx_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}}$${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p)}{\partial p_{i}}}=x_{i}^{\ast }(p)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})=\int _{0}^{p_{i}}x_{i}^{\ast }(s,p_{-i})ds,}$

กล่าวคือ ส่วนเกินของผู้ผลิตสามารถหาได้จากการบูรณาการภายใต้เส้นอุปทานของบริษัทสำหรับสินค้า ${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})}$${\displaystyle i}$

พิจารณาตัวแทนที่มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ต่อผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับประเภทของเขาให้แทน "เมนู" ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่ตัวแทนจะได้รับในกลไกโดยการส่งข้อความที่แตกต่างกัน อรรถประโยชน์สมดุลของตัวแทนในกลไกจะกำหนดโดย (1) และเซตของผลลัพธ์สมดุลของกลไกจะกำหนดโดย (2) การเลือกใดๆเป็นกฎการเลือกที่กลไกนำไปใช้ สมมติว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของตัวแทนสามารถหาอนุพันธ์ได้และต่อเนื่องสัมบูรณ์ในสำหรับทุกและสามารถหาปริพันธ์ได้บนจากนั้นทฤษฎีบท 2 บ่งชี้ว่าอรรถประโยชน์สมดุลของตัวแทนในกลไกใดๆ ที่นำกฎการเลือกที่กำหนดไปใช้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขปริพันธ์ (4) ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x\in {\bar {X}}}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$${\displaystyle V(t)}$${\displaystyle X^{\ast }(t)}$${\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}$${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x\in Y}$${\displaystyle \sup _{x\in {\bar {X}}}|f_{t}(x,t)|}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x^{\ast }}$

เงื่อนไขอินทิกรัล (4) เป็นขั้นตอนสำคัญในการวิเคราะห์ ปัญหา การออกแบบกลไกที่มีปริภูมิประเภทต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการวิเคราะห์การประมูลสินค้าชิ้นเดียวของ Myerson (1981) ผลลัพธ์จากมุมมองของผู้เสนอราคาหนึ่งรายสามารถอธิบายได้เป็น โดยที่คือความน่าจะเป็นที่ผู้เสนอราคาจะได้รับวัตถุ และคือการชำระเงินที่คาดหวังของเขา และอรรถประโยชน์ที่คาดหวังของผู้เสนอราคามีรูปแบบเป็นในกรณีนี้ ให้แทนประเภทต่ำสุดที่เป็นไปได้ของผู้เสนอราคา เงื่อนไขอินทิกรัล (4) สำหรับอรรถประโยชน์ที่คาดหวังในภาวะสมดุลของผู้เสนอราคาจะมีรูปแบบเป็น ${\displaystyle x=\left(y,z\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f\left(\left(y,z\right),t\right)=ty-z}$${\displaystyle {\underline {t}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(t)-V({\underline {t}})=\int _{0}^{t}y^{\ast }(s)ds.}$

(สมการนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นสูตรส่วนเกินของผู้ผลิตสำหรับบริษัทที่มีเทคโนโลยีการผลิตในการแปลงค่าอ้างอิงเป็นความน่าจะเป็นที่จะชนะวัตถุซึ่งกำหนดโดยการประมูล และซึ่งขายวัตถุนั้นในราคาคงที่) เงื่อนไขนี้ส่งผลให้เกิดทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของรายได้อัน โด่งดังของ Myerson (1981) กล่าว คือ รายได้ที่คาดหวังที่เกิดขึ้นในการประมูลซึ่งผู้เสนอราคามีมูลค่าส่วนตัวที่เป็นอิสระนั้นถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยความน่าจะเป็นที่ผู้เสนอราคาจะได้รับวัตถุสำหรับทุกประเภทเช่นเดียวกับผลตอบแทนที่คาดหวังของประเภทที่ต่ำที่สุดของผู้เสนอราคา สุดท้าย เงื่อนไขนี้เป็นขั้นตอนสำคัญในการประมูลที่เหมาะสมที่สุดของ Myerson (1981) ^{[ 6 ]}${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V({\underline {t}})}$

สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีซองจดหมายอื่นๆ ในการออกแบบกลไก โปรดดู Mirrlees (1971), ^{[ 7 ]} Holmstrom (1979), ^{[ 8 ]} Laffont และ Maskin (1980), ^{[ 9 ]} Riley และ Samuelson (1981), ^{[ 10 ]} Fudenberg และ Tirole (1991), ^{[ 11 ]}และ Williams (1999) ^{[ 12 ]}แม้ว่าผู้เขียนเหล่านี้จะได้รับและใช้ประโยชน์จากทฤษฎีซองจดหมายโดยจำกัดความสนใจไปที่กฎการเลือกที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (เป็นช่วงๆ) หรือแม้แต่คลาสที่แคบกว่านั้น แต่บางครั้งอาจเป็นการดีที่สุดที่จะใช้กฎการเลือกที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นช่วงๆ (ตัวอย่างหนึ่งคือคลาสของปัญหาการซื้อขายที่มีอรรถประโยชน์เชิงเส้นที่อธิบายไว้ในบทที่ 6.5 ของ Myerson (1991) ^{[ 13 ]} ) โปรดทราบว่าเงื่อนไขอินทิกรัล (3) ยังคงใช้ได้ในการตั้งค่านี้และบ่งบอกถึงผลลัพธ์ที่สำคัญเช่น เลมมาของ Holmstrom (Holmstrom, 1979) ^{[ 8 ]}เลมมาของ Myerson (Myerson, 1981) ^{[ 6 ]}ทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของรายได้ (สำหรับการประมูล) ทฤษฎีบท Green–Laffont–Holmstrom (Green และ Laffont, 1979; Holmstrom, 1979) ^{[ 14 ] [ 8 ]}ทฤษฎีบทความไม่มีประสิทธิภาพของ Myerson–Satterthwaite (Myerson และ Satterthwaite, 1983) ^{[ 15 ]}ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของ Jehiel–Moldovanu (Jehiel และ Moldovanu, 2001) ^{[ 16 ]}ทฤษฎีบทคาร์เทลอ่อนของ McAfee–McMillan (McAfee และ McMillan, 1992) ^{[ 17 ]}และทฤษฎีบทมาร์ติงเกลของ Weber (Weber, 1983) ^{[ 18 ]}เป็นต้น รายละเอียดของการประยุกต์ใช้เหล่านี้มีอยู่ในบทที่ 3 ของ Milgrom (2004) ^{[ 19 ]}ซึ่งนำเสนอกรอบการทำงานที่สง่างามและเป็นหนึ่งเดียวในการวิเคราะห์การประมูลและการออกแบบกลไก โดยส่วนใหญ่อิงตามทฤษฎีบทซองจดหมายและเทคนิคและแนวคิดที่คุ้นเคยอื่นๆ ในทฤษฎีความต้องการ

สำหรับปริภูมิพารามิเตอร์หลายมิติทฤษฎีบทที่ 1 สามารถนำไปใช้กับอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์ทิศทางของฟังก์ชันค่าได้ หากทั้งฟังก์ชันเป้าหมายและฟังก์ชันค่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ (โดยสมบูรณ์) ในทฤษฎีบทที่ 1 บ่งชี้ถึงสูตรซองจดหมายสำหรับเกรเดียนต์ของฟังก์ชันทั้งสอง: สำหรับแต่ละในขณะที่การหาอนุพันธ์โดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันค่าอาจทำได้ยาก ทฤษฎีบทที่ 2 ยังคงสามารถนำไปใช้กับเส้นทางเรียบใดๆ ที่เชื่อมต่อค่าพารามิเตอร์สองค่าและได้ กล่าวคือ สมมติว่าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับทุก โดยที่สำหรับทุกเส้นทางเรียบจากไปยัง อธิบายได้ด้วยการแมปที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีอนุพันธ์ที่มีขอบเขต โดยที่และทฤษฎีบทที่ 2 บ่งชี้ว่าสำหรับเส้นทางเรียบดังกล่าว การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสามารถแสดงได้เป็นปริพันธ์เส้นทางของเกรเดียนต์ย่อยของฟังก์ชันเป้าหมายตามเส้นทาง: ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{K}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \nabla V\left(t\right)=\nabla _{t}f\left(x,t\right)}$${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |\nabla _{t}f(x,t)|\leq B}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow T}$${\displaystyle \gamma \left(0\right)=t_{0}}$${\displaystyle \gamma \left(1\right)=t}$${\displaystyle \nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)}$

${\displaystyle V(t)-V(t_{0})=\int _{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกรณีนี้ จะแสดงให้เห็นว่าปริพันธ์เส้นทางวัฏจักรตามเส้นทางเรียบใดๆจะต้องเป็นศูนย์: ${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int \nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds=0.}$

เงื่อนไข "ความสามารถในการบูรณาการ" นี้มีบทบาทสำคัญในการออกแบบกลไกที่มีหลายมิติ โดยจำกัดว่ากฎการเลือกแบบใดที่สามารถรองรับได้โดยเมนูที่เกิดจากกลไกในการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีผู้ผลิต โดยที่เป็นเวกเตอร์การผลิตของบริษัท และเป็นเวกเตอร์ราคาและเงื่อนไขความสามารถในการบูรณาการกล่าวว่าฟังก์ชันอุปทานที่สมเหตุสมผลใดๆจะต้องเป็นไปตาม เงื่อนไขนี้${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle f\left(x,t\right)=t\cdot x}$${\displaystyle x^{\ast }}$

${\displaystyle \int x^{\ast }(s)\cdot ds=0.}$

เมื่อ เมทริก ซ์ สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง เงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์นี้จะเทียบเท่ากับความสมมาตรของ เมทริกซ์ การ แทนที่ (ในทฤษฎีผู้บริโภคการนำเหตุผลเดียวกันนี้ไปใช้กับปัญหาการลดค่าใช้จ่ายให้น้อยที่สุดจะทำให้เกิดความสมมาตรของเมทริกซ์สลุตสกี ) ${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle \left(\partial x_{i}^{\ast }\left(t\right)/\partial t_{j}\right)_{i,j=1}^{L}}$

สมมติว่าเซตที่เป็นไปได้นั้นขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ กล่าวคือ ${\displaystyle X\left(t\right)}$

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X\left(t\right)}f(x,t)}$

${\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X\left(t\right):f(x,t)=V(t)\}{\text{, }}}$

ซึ่งสำหรับบางคน${\displaystyle X\left(t\right)=\left\{x\in X:g\left(x,t\right)\geq 0\right\}}$${\displaystyle g:X\times \left[0,1\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{K}.}$

สมมติว่าเป็นเซตแบบนูนและเป็นเซตแบบเว้าในและมีอยู่เช่นนั้นสำหรับทุก ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ เป็นที่ทราบกันดีว่าโปรแกรมการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบมีข้อจำกัดข้างต้นสามารถแสดงเป็นปัญหาจุดอานม้าสำหรับลากรางเจียนโดยที่เป็นเวกเตอร์ของตัวคูณลากรางเจียนที่ฝ่ายตรงข้ามเลือกเพื่อลดค่าลากรางเจียนให้เหลือน้อยที่สุด^{[ 20 ] [ 21 ]}ซึ่งทำให้สามารถนำทฤษฎีบทซองจดหมายของ Milgrom และ Segal (2002, ทฤษฎีบท 4) มาใช้กับปัญหาจุดอานม้าได้^{[ 5 ]}ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมว่าเป็นเซตกระชับในปริภูมิเชิงเส้นแบบมีบรรทัดฐานและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในและและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อให้แทนจุดอานม้าของลากรางเจียนสำหรับค่าพารามิเตอร์ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์และเป็นไปตาม ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$${\displaystyle g\left({\hat {x}},t\right)>0}$${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle L\left(x,\lambda ,t\right)=f(x,t)+\lambda \cdot g\left(x,t\right)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}^{K}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle \left(x,t\right)}$${\displaystyle \left(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right)\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}L_{t}(x^{\ast }(s),\lambda ^{\ast }\left(s\right),s)ds.}$

สำหรับกรณีพิเศษที่เป็นอิสระจาก, , และสูตรนี้บ่งชี้ว่าสำหรับ ae นั่นคือ ตัวคูณลากรางจ์บนข้อจำกัดคือ " ราคาเงา " ในโปรแกรมการเพิ่มประสิทธิภาพ^{[ 21 ]}${\displaystyle f\left(x,t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K=1}$${\displaystyle g\left(x,t\right)=h\left(x\right)+t}$${\displaystyle V^{\prime }(t)=L_{t}(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right),t)=\lambda ^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda ^{\ast }\left(t\right)}$

Milgrom และ Segal (2002) แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทซองจดหมายเวอร์ชันทั่วไปสามารถนำไปใช้กับการเขียนโปรแกรมแบบนูน ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบต่อเนื่องปัญหาจุดอานม้า และปัญหาการหยุดที่เหมาะสมที่สุด ได้เช่นกัน ^{[ 5 ]}