ราคาเงาคือมูลค่าทางการเงินที่กำหนดให้กับสินค้าที่เป็นนามธรรมหรือจับต้องไม่ได้ซึ่งไม่ได้มีการซื้อขายในตลาด^{[ 1 ]}ซึ่งมักอยู่ในรูปของผลกระทบภายนอกราคาเงายังเป็นที่รู้จักในชื่อการคำนวณราคาตลาดที่ทราบแล้วใหม่เพื่อพิจารณาถึงการมีอยู่ของเครื่องมือตลาดที่บิดเบือน (เช่น โควตา อัตราภาษีศุลกากร ภาษี หรือเงินอุดหนุน) ^{[ 2 ]}ราคาเงาคือราคาทางเศรษฐกิจที่แท้จริงที่กำหนดให้กับสินค้าและบริการหลังจากที่ได้ปรับอย่างเหมาะสมแล้วโดยการกำจัดเครื่องมือตลาดที่บิดเบือนและรวมผลกระทบทางสังคมของสินค้าหรือบริการนั้นๆ^{[ 3 ]}ราคาเงามักคำนวณจากกลุ่มของสมมติฐานและการประมาณการเนื่องจากขาดข้อมูลที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องส่วนตัวและไม่แม่นยำนัก^{[ 4 ]}

ความจำเป็นของราคาเงาเกิดขึ้นจาก “ผลกระทบภายนอก ” และการมีอยู่ของเครื่องมือตลาดที่บิดเบือน ผลกระทบภายนอกหมายถึงต้นทุนหรือผลประโยชน์ที่บุคคลที่สามได้รับอันเป็นผลมาจากการผลิตหรือการบริโภคสินค้าหรือบริการ โดยที่ผลกระทบภายนอกไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาในการวิเคราะห์ต้นทุนและผลประโยชน์ขั้นสุดท้ายของการผลิต ความไม่แม่นยำและผลลัพธ์ที่บิดเบือนเหล่านี้ทำให้เกิดกลไกตลาดที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งจัดสรรทรัพยากรอย่างไม่มีประสิทธิภาพ^{[ 3 ]}

การบิดเบือนตลาดเกิดขึ้นเมื่อตลาดไม่ได้มีพฤติกรรมเหมือนในการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบเนื่องจากการแทรกแซงของรัฐบาล บริษัท และตัวแทนทางเศรษฐกิจอื่นๆ^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การมีอยู่ของระบบผูกขาดหรือการผูกขาดผู้ซื้อซึ่งบริษัทต่างๆ ไม่ได้มีพฤติกรรมเหมือนการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบการแทรกแซงของรัฐบาลผ่านภาษีและเงินอุดหนุนสินค้าสาธารณะความไม่สมมาตรของข้อมูลและข้อจำกัดในตลาดแรงงาน ล้วนเป็นผลกระทบที่บิดเบือนต่อตลาด^{[ 6 ]}

ราคาเงามักถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ต้นทุนและผลประโยชน์โดยนักวิเคราะห์เศรษฐกิจและการเงินเมื่อประเมินคุณค่าของนโยบายสาธารณะและโครงการของรัฐบาล เมื่อมีปัจจัยภายนอกหรือเครื่องมือตลาดที่บิดเบือนอยู่^{[ 7 ]}การใช้ราคาเงาในการตัดสินใจนโยบายสาธารณะประเภทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งเนื่องจากผลกระทบต่อสังคมของการตัดสินใจเหล่านั้น หลังจากรวมราคาเงาเข้ากับการวิเคราะห์แล้ว ผลกระทบที่เกิดจากนโยบายหรือโครงการอาจแตกต่างจากมูลค่าที่ได้รับโดยใช้ราคาตลาด นี่เป็นข้อบ่งชี้ว่าตลาดไม่ได้กำหนดราคาต้นทุนหรือผลประโยชน์อย่างถูกต้องตั้งแต่แรก หรือตลาดไม่ได้กำหนดราคาเลย^{[ 8 ]}การวิเคราะห์โดยใช้ราคาเงาช่วยให้นักวิเคราะห์สามารถพิจารณาได้ว่าการดำเนินโครงการจะให้ผลประโยชน์มากกว่าต้นทุนที่เกิดขึ้นทั้งหมดหรือไม่ ไม่ใช่แค่ผลประโยชน์ของภาคเอกชนหรือกลุ่มอ้างอิงเท่านั้น

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วราคาเงาจะถูกนำมาใช้ในการวิจัยที่นำโดยรัฐบาล แต่การใช้ราคาเงาในภาคเอกชนกำลังเป็นที่แพร่หลายมากขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากบริษัทต่างๆ พยายามประเมินผลกระทบทางสังคมของการตัดสินใจของตน เมื่อความต้องการ การลงทุน ด้านสิ่งแวดล้อม สังคม และธรรมาภิบาลขององค์กร (ESG) เพิ่มขึ้น ความต้องการให้บริษัทและนักลงทุนประเมินผลกระทบทางสังคมของการตัดสินใจด้านการผลิตและการลงทุนก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน^{[ 9 ]}แนวโน้มนี้สามารถเห็นได้จากพันธสัญญาที่บริษัทข้ามชาติส่วน ใหญ่ให้ไว้ ในการลดการปล่อยก๊าซ_CO2และยอมรับผลกระทบที่กิจกรรมทางธุรกิจของพวกเขามีต่อสังคม^{[ 10 ]}

ตัวเลขด้านล่างแสดงให้เห็นว่าราคาเงาสามารถส่งผลต่อการจัดสรรทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพได้อย่างไร รูปที่ 1 แสดงให้เห็นราคาเงาที่เป็นบวกซึ่งต้นทุนส่วนเพิ่ม ทางสังคม น้อยกว่าต้นทุนส่วนเพิ่มส่วนตัว ตัวอย่างเช่น การฉีดวัคซีน ซึ่งให้ประโยชน์แก่ผู้อื่นในสังคม เพราะหลังจากได้รับวัคซีนแล้ว คุณจะไม่แพร่กระจายโรคติดต่ออีกต่อไป^{[ 11 ]}ต้นทุนส่วนเพิ่มส่วนตัว (PMC) คือต้นทุนในการผลิตวัคซีน ในขณะที่ต้นทุนส่วนเพิ่มทางสังคม (SMC) คือ PMC ลบด้วยผลประโยชน์ทางสังคมสุทธิของการได้รับวัคซีน

ภาพที่ 2 แสดงให้เห็นถึงราคาเงาที่เป็นลบ ซึ่งต้นทุนส่วนเพิ่มทางสังคมสูงกว่าต้นทุนส่วนเพิ่มส่วนบุคคล ตัวอย่างเช่น มลภาวะ การทิ้งสารเคมีที่เป็นพิษลงในแหล่งน้ำส่งผลเสียต่อปริมาณปลาในภูมิภาค ทำให้รายได้ของชาวประมงในท้องถิ่นลดลง ในกรณีนี้ ต้นทุนส่วนเพิ่มส่วนบุคคล (PMC) คือต้นทุนในการผลิตสารเคมี ในขณะที่ต้นทุนส่วนเพิ่มทางสังคม (SMC) คือ PMC ลบด้วยต้นทุนทางสังคมสุทธิของการทิ้งสารเคมีที่เป็นพิษ

แม้ว่าการกำหนดราคาแบบเงาอาจไม่แม่นยำ แต่ก็ยังคงถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในการวิเคราะห์ต้นทุนและผลประโยชน์เจ้าของธุรกิจและผู้กำหนดนโยบายหันมาใช้การกำหนดราคาแบบเงาเพื่อกำหนดต้นทุนและผลประโยชน์ที่จับต้องไม่ได้ของโครงการ โดยปกติแล้วจะมีเครื่องมือมากมายในการประเมินมูลค่าทางการเงินของสิ่งที่จับต้องไม่ได้เหล่านี้ ซึ่งรวมถึงการประเมินมูลค่าแบบมีเงื่อนไขการโอนมูลค่าผลประโยชน์ และการแสดงความชอบที่เปิดเผยซึ่งรวมถึงการกำหนดราคาแบบเฮโดนิกและวิธีการคำนวณต้นทุนการเดินทาง

การกำหนดราคาเงา (Shadow pricing) มักใช้เพื่อหาค่าทางการเงินของสิ่งที่ไม่สามารถจับต้องได้ ซึ่งเป็นปัจจัยที่ยากต่อการวัดปริมาณในระหว่างการวิเคราะห์ต้นทุนและผลประโยชน์ ในบริบทของเศรษฐศาสตร์สาธารณะ การกำหนด ราคาเงาเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับรัฐบาลและผู้กำหนดนโยบายในการประเมินว่าควรดำเนินโครงการสาธารณะหรือไม่ เนื่องจากสินค้าสาธารณะมักไม่ค่อยมีการแลกเปลี่ยนในตลาด ทำให้ยากต่อการกำหนดราคา^{[ 12 ]}เพื่อช่วยในการกำหนดมูลค่าทางการเงินของสินค้าเหล่านี้ มักใช้เครื่องมือทั้งสามนี้ ตัวอย่างเช่น รัฐบาลกำลังพิจารณาว่าจะดำเนินโครงการทางด่วนที่จะช่วยประหยัดเวลาการเดินทางของผู้เดินทาง 500,000 ชั่วโมงต่อปี ช่วยชีวิตได้ 5 คนต่อปี และลดมลพิษทางอากาศเนื่องจากการจราจรติดขัดลดลง แต่มี ต้นทุน มูลค่าปัจจุบัน 250 ล้านดอลลาร์หรือไม่

การประเมินมูลค่าแบบมีเงื่อนไขเป็นเทคนิคการกำหนดความชอบ^{[ 13 ]}การประเมินมูลค่าแบบมีเงื่อนไขจะประเมินมูลค่าที่บุคคลกำหนดให้กับสินค้าโดยการถามเขาหรือเธอโดยตรง^{[ 14 ]}โดยพื้นฐานแล้วเป็นการสำรวจบุคคลเกี่ยวกับจำนวนเงินที่พวกเขายินดีจ่ายสำหรับผลประโยชน์ที่จับต้องไม่ได้บางอย่างหรือเพื่อหลีกเลี่ยงอันตรายที่จับต้องไม่ได้บางอย่าง โดยทั่วไป การสำรวจเหล่านี้จะมีคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสินค้าหรือบริการสาธารณะสมมติ ถามผู้ตอบแบบสอบถามว่าพวกเขาจะจ่ายเงินเท่าใด และรวบรวมข้อมูลประชากรที่เกี่ยวข้องของผู้ตอบแบบสอบถามเหล่านี้ ประเภทของคำถามสำรวจเหล่านี้ที่พบได้ทั่วไป ได้แก่ คำถามปลายเปิด คำถามแบบประชามติ คำถามแบบบัตรชำระเงิน และคำถามแบบประชามติแบบสองขอบเขต^{[ 15 ]}

ข้อดีของการประเมินมูลค่าแบบมีเงื่อนไขคือบางครั้งเป็นวิธีเดียวที่เป็นไปได้ในการประเมินมูลค่าสินค้าสาธารณะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ไม่มีราคาตลาดที่ชัดเจนที่สามารถใช้กำหนดมูลค่าได้^{[ 16 ]}ในทางกลับกัน วิธีนี้ก็มีข้อเสียหลายประการเช่นกัน ตัวอย่างเช่น โครงสร้างของแบบสำรวจและวิธีการตั้งคำถามอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมากและอาจทำให้เกิดอคติในผลลัพธ์ได้^{[ 17 ]}ในบางครั้ง ผู้ตอบแบบสอบถามอาจไม่ทราบว่าพวกเขาให้คุณค่ากับสินค้าสาธารณะนั้นมากน้อยเพียงใด

ในตัวอย่างโครงการทางด่วน นักกำหนดนโยบายสามารถออกแบบแบบสอบถามที่ถามผู้ตอบแบบสอบถามว่าพวกเขาจะจ่ายเงินเท่าไหร่เพื่อประหยัดเวลาในระยะเวลาที่กำหนด หรือเพื่อลดเวลาในการเดินทางบนท้องถนน อย่างไรก็ตาม ผู้ตอบแบบสอบถามอาจพบว่าการตีค่าชีวิตเป็นเรื่องยากหรือไม่สะดวกใจ

วิธีการถ่ายโอนคุณค่าของผลประโยชน์จะประเมินคุณค่าหรือผลประโยชน์ของโครงการโดยใช้ข้อมูล แบบจำลอง ฟังก์ชัน และผลลัพธ์จากโครงการหรือการศึกษาที่คล้ายคลึงกันที่มีลักษณะคล้ายคลึงกัน^{[ 18 ]}มีสองแนวทางสำหรับการถ่ายโอนคุณค่าของผลประโยชน์ ได้แก่ การถ่ายโอนคุณค่าและการถ่ายโอนฟังก์ชัน^{[ 18 ]}การถ่ายโอนคุณค่าเกี่ยวข้องกับการถ่ายโอนคุณค่าต่อหน่วยแต่ละหน่วยจากโครงการหรือไซต์ก่อนหน้าเพื่อประเมินสำหรับโครงการใหม่ การจับคู่หรือการระบุงานวิจัยที่คล้ายคลึงกันและถูกต้องมีความสำคัญต่อการประเมินผลลัพธ์^{[ 19 ]}ในทางตรงกันข้าม การถ่ายโอนฟังก์ชันใช้ฟังก์ชันการประเมินค่าที่ได้มาจากงานวิจัยหลายชิ้น^{[ 19 ]} สามารถใช้การวิเคราะห์เมตา เพื่อสร้างการถ่ายโอนคุณค่าได้ ^{[ 18 ]}ด้วยเหตุนี้ การใช้การถ่ายโอนฟังก์ชันจึงสามารถให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น^{[ 19 ]}

อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดทั่วไปในวิธีการโอนผลประโยชน์ ได้แก่ ข้อผิดพลาดในการวัดและข้อผิดพลาดในการโอน^{[ 18 ]}ข้อผิดพลาดในการวัดอาจเกิดขึ้นจากอคติในการเลือกการศึกษาและสมมติฐานที่ทำขึ้น^{[ 18 ]}ข้อผิดพลาดในการโอนพบได้ในความคล้ายคลึง ความถูกต้อง หรือความสอดคล้องกันของค่า^{[ 18 ] [ 19 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีการโอนผลประโยชน์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจในการคำนวณมูลค่าทางเศรษฐกิจของโครงการเมื่อมีข้อจำกัดในการดำเนินการวิจัยดั้งเดิม รวมถึงข้อจำกัดด้านเวลาและต้นทุน^{[ 18 ]}

การเปิดเผยความชอบนั้นอิงจากการสังเกตพฤติกรรมในโลกแห่งความเป็นจริงเพื่อกำหนดว่าบุคคลให้ความสำคัญกับผลลัพธ์ที่ไม่ใช่ตัวเงินมากน้อยเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง การสังเกตพฤติกรรมการซื้อของบุคคลเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการกำหนดความชอบของพวกเขา โดยถือว่าบุคคลได้ตัดสินใจซื้อเหนือทางเลือกอื่น ๆ แล้ว ทำให้การซื้อครั้งสุดท้ายของพวกเขาเป็นสิ่งที่พวกเขาชื่นชอบ นอกจากนี้ยังเปิดโอกาสให้ตัวเลือกที่ต้องการแตกต่างกันไปตามราคาและข้อจำกัดด้านงบประมาณ ดังนั้น ด้วยการเปลี่ยนแปลงราคาและข้อจำกัดด้านงบประมาณ จึงสามารถสร้างตารางตัวเลือกที่ต้องการของบุคคล/กลุ่มบุคคลภายใต้ราคาและข้อจำกัดบางอย่างได้^{[ 20 ]}

ข้อดีของการแสดงความชอบที่เปิดเผยคือช่วยลดอคติที่การประเมินค่าตามเงื่อนไขอาจนำมา^{[ 16 ]}เนื่องจากอิงตามพฤติกรรมในโลกแห่งความเป็นจริง จึงทำให้บุคคลยากที่จะบิดเบือนหรือเดาคำตอบของตนเองได้ ในทางกลับกัน เครื่องมือนี้ก็มีข้อจำกัดเช่นกัน ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องยากที่จะควบคุมปัจจัยอื่นๆ ที่อาจทำให้บุคคลหนึ่งชอบทางเลือกหนึ่งมากกว่าอีกทางเลือกหนึ่ง นอกจากนี้ยังไม่สามารถรวมความไม่แยแสระหว่างสองทางเลือกที่ชอบเท่ากันได้อย่างสมบูรณ์^{[ 21 ]}

ในตัวอย่างโครงการทางด่วน ที่การประเมินมูลค่าแบบมีเงื่อนไขอาจไม่สามารถระบุได้อย่างแน่ชัดว่าแต่ละบุคคลให้คุณค่ากับชีวิตมากน้อยเพียงใด การประเมินมูลค่าจากความชอบที่แสดงออกมาอาจเหมาะสมกว่า ตัวอย่างเช่น ผู้กำหนดนโยบายสามารถพิจารณาได้ว่าควรจ่ายเงินให้บุคคลเหล่านั้นเพิ่มขึ้นเท่าใดเพื่อให้พวกเขาทำงานที่มีความเสี่ยงสูงขึ้นซึ่งเพิ่มโอกาสการเสียชีวิต อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของการประเมินมูลค่าจากความชอบที่แสดงออกมาก็เกิดขึ้นเช่นกัน ในกรณีนี้ หากงานที่มีความเสี่ยงสูงขึ้นไม่เพียงแต่เพิ่มโอกาสการเสียชีวิต แต่ยังเพิ่มโอกาสการบาดเจ็บ หรือเป็นงานที่ไม่พึงประสงค์ในด้านอื่นๆ ด้วย ค่าจ้างที่สูงขึ้นอาจรวมปัจจัยอื่นๆ เข้าไปด้วย ทำให้ผลลัพธ์คลาดเคลื่อนไป

การกำหนดราคาแบบเฮโดนิกเป็นแบบจำลองที่ใช้การวิเคราะห์การถดถอยเพื่อแยกคุณค่าของต้นทุนหรือผลประโยชน์ที่จับต้องไม่ได้โดยเฉพาะ โดยอิงจากสมมติฐานที่ว่าราคาถูกกำหนดโดยทั้งลักษณะภายในและปัจจัยภายนอก^{[ 22 ]}นอกจากนี้ยังถือว่าบุคคลให้คุณค่ากับลักษณะของสินค้ามากกว่าตัวสินค้าเอง ซึ่งหมายความว่าราคาจะสะท้อนถึงชุดของลักษณะภายในและภายนอก แบบจำลองนี้มักใช้ในการคำนวณความแปรปรวนของราคาที่อยู่อาศัยที่สะท้อนถึงคุณค่าของปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อมในท้องถิ่น แบบจำลองนี้อิงจากข้อมูลตลาดที่มีอยู่ทั่วไปและค่อนข้างแม่นยำ ทำให้วิธีการนี้ไม่มีข้อโต้แย้งและใช้งานได้ไม่แพง^{[ 23 ]}

ด้วยเหตุนี้ ข้อดีหลักประการหนึ่งของการกำหนดราคาตามความชอบคือ สามารถใช้เพื่อประเมินค่าของทางเลือกที่แท้จริงได้ วิธีนี้มีความหลากหลายมากและสามารถปรับเปลี่ยนให้รวมปฏิสัมพันธ์อื่นๆ กับปัจจัยอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม ข้อเสียที่สำคัญประการหนึ่งคือ มีข้อจำกัดค่อนข้างมาก โดยส่วนใหญ่สามารถวัดได้เฉพาะสิ่งที่เกี่ยวข้องกับราคาที่อยู่อาศัยเท่านั้น นอกจากนี้ยังถือว่าบุคคลมีอิสระและอำนาจในการเลือกชุดค่าผสมที่ต้องการตามรายได้ของตน แต่ในความเป็นจริงแล้ว อาจไม่ใช่เช่นนั้น เนื่องจากตลาดอาจได้รับอิทธิพลจากการเปลี่ยนแปลงของภาษีและอัตราดอกเบี้ย^{[ 24 ]}

ในตัวอย่างโครงการทางด่วน การกำหนดราคาแบบเฮโดนิกอาจมีประโยชน์ในการประเมินผลประโยชน์จากการลดมลพิษทางอากาศ โดยสามารถทำการวิเคราะห์การถดถอยของมูลค่าบ้านกับอากาศที่สะอาดขึ้น โดยใช้ตัวแปรควบคุมที่หลากหลาย เช่น ขนาดบ้าน อายุของบ้าน จำนวนห้องนอนและห้องน้ำ สถิติอาชญากรรม คุณภาพโรงเรียน เป็นต้น นอกจากนี้ การกำหนดราคาแบบเฮโดนิกยังสามารถนำมาพิจารณาในการประเมินมูลค่าทางการเงินของเวลาที่ประหยัดได้ โดยสามารถทำการวิเคราะห์การถดถอยของมูลค่าบ้านกับระยะทางที่ใกล้กับที่ทำงาน โดยใช้ชุดตัวแปรควบคุมที่คล้ายกัน

สมมติว่าผู้บริโภคที่มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ เผชิญกับราคาและมีรายได้ดังนั้นปัญหาของผู้บริโภคคือ: ${\displaystyle u}$${\displaystyle \,\!p_{1},p_{2}}$${\displaystyle \,\!m.}$

${\displaystyle \max\{u(x_{1},x_{2}):p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m\}.}$

โดยการสร้างฟังก์ชันช่วยลากรางจ์โดยใช้เงื่อนไขอันดับแรกและแก้หาจุดอานม้า เราจะได้ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว ${\displaystyle L(x_{1},x_{2},\lambda ):=u(x_{1},x_{2})+\lambda (m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}),}$${\displaystyle x_{1}^{*},\,x_{2}^{*},\,\lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}=\left.{\frac {\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{1}}}\right/p_{1}=\left.{\frac {\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{2}}}\right/p_{2}.}$

สิ่งนี้ทำให้เราเข้าใจความหมายของตัวคูณลากรางจ์ได้อย่างชัดเจนในบริบทของการเพิ่มความพึงพอใจของผู้บริโภค หากผู้บริโภคได้รับรายได้เพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย (ข้อจำกัดด้านงบประมาณผ่อนคลายลง) ณ ระดับการบริโภคที่เหมาะสม ซึ่งอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มต่อหน่วยรายได้สำหรับสินค้าแต่ละชนิดเท่ากับค่าข้างต้น การเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์สูงสุดต่อหน่วยรายได้ที่เพิ่มขึ้นจะเท่ากับค่าดังกล่าวเนื่องจาก ณ จุดที่เหมาะสม ผู้บริโภคจะได้รับอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มต่อหน่วยรายได้เท่ากันจากการใช้รายได้ที่เพิ่มขึ้นไปกับสินค้าชนิดใดชนิดหนึ่ง ${\displaystyle \,\!\แลมบ์ดา ^{*}}$${\displaystyle \,\!\แลมบ์ดา ^{*}}$

หากเรากำหนดฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทางอ้อม โดยคงราคาไว้คงที่ ดังนี้

${\displaystyle U(p_{1},p_{2},m)=\max\{\,\!u(x_{1},x_{2}){\mbox{ }}:{\mbox{ }}p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m\},}$

จากนั้นเราก็มีอัตลักษณ์

${\displaystyle \,\!U(p_{1},p_{2},m)=u(x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m),x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m)),}$

ฟังก์ชันอุปสงค์อยู่ที่ไหน กล่าวคือ${\displaystyle \,\!x_{1}^{*}(\cdot ,\cdot ,\cdot ),x_{2}^{*}(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle x_{i}^{*}(p_{1},p_{2},m)=\arg \max\{\,\!u(x_{1},x_{2}){\mbox{ }}:{\mbox{ }}p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m\}{\mbox{ สำหรับ }}i=1,2.}$

ต่อไปให้กำหนดฟังก์ชันการใช้จ่ายที่เหมาะสมที่สุด

${\displaystyle \,\!E(p_{1},p_{2},m)=p_{1}x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m)+p_{2}x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m).}$

สมมติว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ และนั่นคือคำตอบที่แล้วเราจะได้จากกฎลูกโซ่หลายตัวแปร: ${\displaystyle \,\!\แลมบ์ดา ^{*}}$${\displaystyle \,\!p_{1},p_{2},m}$

${\displaystyle \,\!{\frac {\partial U}{\partial m}}={\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}^{*}}{\partial m}}+{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}^{*}}{\partial m}}=\lambda ^{*}p_{1}{\frac {\partial x_{1}^{*}}{\partial m}}+\lambda ^{*}p_{2}{\frac {\partial x_{2}^{*}}{\partial m}}=\lambda ^{*}\left(p_{1}{\frac {\partial x_{1}^{*}}{\partial m}}+p_{2}{\frac {\partial x_{2}^{*}}{\partial m}}\right)=\lambda ^{*}{\frac {\partial E}{\partial m}}.}$

จากนี้เราจึงสามารถสรุปได้ว่า

${\displaystyle \,\!\lambda ^{*}={\frac {\partial U/\partial m}{\partial E/\partial m}}\approx {\frac {\Delta {\text{optimal utility }}}{\Delta {\text{optimal expenditure}}}}.}$

สิ่งนี้ให้การตีความที่ชัดเจนอีกครั้ง กล่าวคือ การใช้จ่ายที่เหมาะสมเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย จะนำไปสู่ประโยชน์ใช้สอยที่เหมาะสมเพิ่มขึ้นหลายหน่วย ${\displaystyle \,\!\lambda ^{*}}$

วิธีต้นทุนการเดินทางใช้ในการประมาณมูลค่าทางเศรษฐกิจของสถานที่พักผ่อนหย่อนใจ^{[ 25 ]}โดยใช้ต้นทุนการเดินทางที่แต่ละบุคคลต้องเสียไปในการเดินทางไปยังสถานที่พักผ่อนหย่อนใจ^{[ 26 ]}ต้นทุนรวมถึงต้นทุนค่าเสียโอกาสของเวลาที่ใช้ในการเดินทางไปยังสถานที่ ต้นทุนการขนส่ง ต้นทุนที่พัก ค่าธรรมเนียมที่จอดรถ และอื่นๆ นอกจากนี้ พื้นที่ที่บุคคลเหล่านั้นอาศัยอยู่จะถูกจัดประเภทเป็นโซน^{[ 26 ]}ดังนั้น ต้นทุนที่แต่ละบุคคลต้องเสียไปจึงแตกต่างกันไป ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนครั้งที่เข้าเยี่ยมชมต่อปีก็ถูกนำมาพิจารณาด้วยเพื่อแสดงถึงความเต็มใจที่จะจ่ายด้วยข้อมูลดังกล่าว จึงได้สร้าง เส้นโค้งอุปสงค์รวมขึ้น

มีสองแนวทาง ได้แก่ วิธีต้นทุนการเดินทางรายบุคคลและวิธีต้นทุนการเดินทางตามโซน^{[ 27 ]}แนวทางแรกเน้นที่ต้นทุนการเดินทางรายบุคคล จำนวนครั้งที่เข้าเยี่ยมต่อปี และตัวแปรอื่นๆ ส่วนแนวทางหลังเน้นที่จำนวนครั้งที่เข้าเยี่ยมต่อปีจากโซนต่างๆ

อย่างไรก็ตาม การได้รับข้อมูลเกี่ยวกับต้นทุนที่เกิดขึ้นอย่างแม่นยำอาจเป็นเรื่องท้าทาย วิธีการคำนวณต้นทุนการเดินทางไม่ได้คำนึงถึงคุณค่าหรือความพึงพอใจที่แต่ละบุคคลได้รับจากการเดินทาง^{[ 26 ]}นอกจากนี้ วิธีการนี้ยังไม่ได้พิจารณาการเดินทางที่มีจุดประสงค์หลายอย่างต้นทุนส่วนเพิ่มและประเมินเฉพาะคุณค่าของสถานที่โดยรวมเท่านั้น^{[ 26 ]}

ในการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีข้อจำกัดในทางเศรษฐศาสตร์ราคาเงาคือการเปลี่ยนแปลงต่อ หน่วย เล็กน้อยของข้อจำกัดในค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันเป้าหมายของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่ได้มาจากการผ่อนคลายข้อจำกัดหากฟังก์ชันเป้าหมายคืออรรถประโยชน์ ราคาเงาคืออรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มของการผ่อนคลายข้อจำกัด หากฟังก์ชันเป้าหมายคือต้นทุน ราคาเงา คือต้นทุนส่วนเพิ่มของการเสริมความแข็งแกร่งของข้อจำกัด ใน การประยุกต์ใช้ ทางธุรกิจราคาเงาคือราคาสูงสุดที่ฝ่ายบริหารยินดีจ่ายสำหรับทรัพยากรที่มีจำกัดเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย^{[ 28 ]}ตัวอย่างเช่น หากสายการผลิตกำลังทำงานที่ขีดจำกัดสูงสุด 40 ชั่วโมงอยู่แล้ว ราคาเงาจะเป็นราคาสูงสุดที่ผู้จัดการยินดีจ่ายสำหรับการทำงานเพิ่มอีกหนึ่งชั่วโมง โดยพิจารณาจากผลประโยชน์ที่พวกเขาจะได้รับจากการเปลี่ยนแปลงนี้

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ราคาเงาคือค่าของตัวคูณลากรางจ์ณ คำตอบที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งหมายความว่ามันคือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในฟังก์ชันเป้าหมายที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในข้อจำกัด สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ คำตอบที่เหมาะสมที่สุด เกรเดียนต์ของฟังก์ชันเป้าหมายคือการรวมเชิงเส้นของเกรเดียนต์ของฟังก์ชันข้อจำกัด โดยมีน้ำหนักเท่ากับตัวคูณลากรางจ์ แต่ละข้อจำกัดใน ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดจะมีราคาเงาหรือตัวแปร คู่

ใน ทฤษฎี การควบคุมที่เหมาะสมแนวคิดของราคาเงาจะถูกกำหนดใหม่เป็นสมการโคสเตทและเราจะแก้ปัญหาโดยการลดค่าแฮมิลโทเนียน ที่เกี่ยวข้องให้เหลือน้อยที่สุด ผ่านหลักการขั้นต่ำของปอนทรียาจิน

• Kanbur, Ravi (1987), "การกำหนดราคาแบบเงา", ในEatwell, John ; Milgate, Murray ; Newman, Peter K. (บรรณาธิการ), The New Palgrave: พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์ เล่มที่ 4 (ฉบับที่ 2), ลอนดอน นิวยอร์ก โตเกียว: Macmillan Stockton Press Maruzen, หน้า  316– 317, ISBN 9780333740408.
• Misra, SK; Puri, VK (2012). เศรษฐศาสตร์การพัฒนาและการวางแผน: ทฤษฎีและการปฏิบัติ . มุมไบ: สำนักพิมพ์หิมาลัย. ISBN 9789350518403.
• Hueting, Roefie (2011). "อนาคตของรายได้ประชาชาติที่ยั่งยืนด้านสิ่งแวดล้อม" . Ökologisches Wirtschaften . 25 (4). oekom: 30– 35. doi : 10.14512/oew.v25i4.1161 .