ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เอพิ-คอนเวอร์เจนซ์เป็นรูปแบบหนึ่งของการลู่เข้าสำหรับ ฟังก์ชัน ค่าจริงและฟังก์ชันค่าจริงแบบขยาย

การลู่เข้า แบบเอพิ (Epi-convergence) มีความสำคัญเพราะเป็นแนวคิดการลู่เข้าที่เหมาะสมสำหรับการประมาณปัญหาการหาค่าต่ำสุดในสาขาการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ส่วนแนวคิดสมมาตรของ การลู่ เข้าแบบไฮโป (Hypo-convergence)เหมาะสำหรับปัญหาการหาค่า สูงสุด การลู่เข้า แบบมอสโก (Mosco convergence)เป็นการขยายแนวคิดการลู่เข้าแบบเอพิไปยังปริภูมิที่มีมิติอนันต์

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกและ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$ฟังก์ชันค่าจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ แต่ละจำนวน${\displaystyle n}$เรากล่าวว่าลำดับ${\displaystyle (f_{n})}$ลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ถ้าสำหรับแต่ละ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ สำหรับทุก }}x_{n}\to x{\text{ และ }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ สำหรับบาง }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}$

สมมติว่าเรามีปัญหาการหาค่าต่ำสุดที่ค่อนข้างซับซ้อน

${\displaystyle \inf _{x\in C}g(x)}$

ที่ไหน${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$และ${\displaystyle C\subseteq X}$เราสามารถลองประมาณปัญหานี้โดยใช้ลำดับของปัญหาที่ง่ายกว่าได้

${\displaystyle \inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)}$

สำหรับฟังก์ชัน${\displaystyle g_{n}}$และชุด${\displaystyle C_{n}}$.

การลู่เข้าแบบเอพิ (Epi-convergence) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่ว่า: ในแง่ใดที่ค่าประมาณควรลู่เข้าสู่ปัญหาดั้งเดิม เพื่อรับประกันว่าคำตอบโดยประมาณจะลู่เข้าสู่คำตอบของปัญหาดั้งเดิม?

เราสามารถผนวกปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดเหล่านี้เข้ากับกรอบงานเอพิ-คอนเวอร์เจนซ์ได้โดยการกำหนดฟังก์ชันค่าจริงแบบขยาย

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

ดังนั้นปัญหาจึงเกิดขึ้น${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)}$และ${\displaystyle \inf _{x\in X}f_{n}(x)}$เทียบเท่ากับปัญหาดั้งเดิมและปัญหาโดยประมาณ ตามลำดับ

ถ้า${\displaystyle (f_{n})}$บรรจบกันของเอพิ${\displaystyle f}$, แล้ว${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f}$นอกจากนี้ หาก${\displaystyle x}$เป็นจุดจำกัดของตัวลดค่าต่ำสุดของ${\displaystyle f_{n}}$, แล้ว${\displaystyle x}$เป็นตัวลดค่าต่ำสุดของ${\displaystyle f}$ในแง่นี้

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {argmin} f_{n}\subseteq \operatorname {argmin} f.}$

การลู่เข้าแบบเอพิ (Epi-convergence) เป็นแนวคิดการลู่เข้าที่อ่อนที่สุดซึ่งผลลัพธ์นี้ยังคงใช้ได้

• ${\displaystyle (f_{n})}$บรรจบกันของเอพิ${\displaystyle f}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (-f_{n})}$ไฮโป-คอนเวอร์เจนซ์ไปยัง${\displaystyle -f}$.
• ${\displaystyle (f_{n})}$บรรจบกันของเอพิ${\displaystyle f}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (\operatorname {epi} f_{n})}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ในฐานะเซต ใน ความหมาย ของการบรรจบกันของเซตตามแนวคิดของ Painlevé–Kuratowski ณ ที่นี้${\displaystyle \operatorname {epi} f}$เป็นคำจารึกของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$.
• ถ้า${\displaystyle f_{n}}$ บรรจบกันของเอพิ${\displaystyle f}$, แล้ว${\displaystyle f}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า
• ถ้า${\displaystyle f_{n}}$เป็นนูนสำหรับแต่ละ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$และ${\displaystyle (f_{n})}$บรรจบกันของเอพิ${\displaystyle f}$, แล้ว${\displaystyle f}$เป็นรูปทรงนูน
• ถ้า${\displaystyle f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}}$และทั้งสอง${\displaystyle (f_{n}^{1})}$และ ${\displaystyle (f_{n}^{2})}$การบรรจบกันของเอพิสโตไปยัง ${\displaystyle f}$, แล้ว ${\displaystyle (f_{n})}$บรรจบกันของเอพิ ${\displaystyle f}$.
• ถ้า ${\displaystyle (f_{n})}$ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยัง ${\displaystyle f}$ในแต่ละชุดขนาดกะทัดรัดของ${\displaystyle \mathbb {R} _{n}}$และ${\displaystyle (f_{n})}$หากต่อเนื่องกัน ก็แสดงว่า${\displaystyle (f_{n})}$เอพิ-คอนเวอร์เจนซ์และไฮโป-คอนเวอร์เจนซ์ไปยัง ${\displaystyle f}$.
• โดยทั่วไปแล้ว การลู่เข้าแบบเอพิ (epi-convergence) ไม่ได้หมายความถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด (pointwise convergence ) และไม่ได้ถูกบ่งชี้โดยการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด (pointwise convergence) อาจมีการกำหนดข้อสมมติเพิ่มเติมให้กับกลุ่มฟังก์ชันที่ลู่เข้าแบบจุดต่อจุด เพื่อรับประกันการลู่เข้าแบบเอพิ