เฟอเรนต์และเอพิไซเคิล

ในระบบ ดาราศาสตร์ของฮิปปาร์เคียนปโตเลมีและ โคเปอร์นิคัส วง โคจรย่อย (จากภาษากรีกโบราณἐπίκυκλος ( epíkuklos ) ' บนวงกลม'หมายถึง "วงกลมที่เคลื่อนที่บนวงกลมอีกวงหนึ่ง") ^[¹^]เป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงความเร็วและทิศทางของการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงจันทร์ดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันอธิบายการเคลื่อนที่ย้อนกลับปรากฏของดาวเคราะห์ทั้งห้าดวงที่รู้จักในขณะนั้น ประการที่สอง มันยังอธิบายการเปลี่ยนแปลงระยะทางปรากฏของดาวเคราะห์จากโลกด้วย

แบบจำลองนี้มักถูกยกให้เป็นผลงานของApollonius แห่ง Pergaซึ่งมีบทบาทในช่วงปลายศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} แบบจำลอง นี้ได้รับการพัฒนาโดย Apollonius แห่ง Perga และHipparchusแห่ง Rhodes ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในช่วงศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช จากนั้นได้รับการจัดทำเป็นรูปแบบอย่างเป็นทางการและใช้กันอย่างแพร่หลายโดยPtolemy ในตำราดาราศาสตร์Almagest ของเขาในศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช

การเคลื่อนที่แบบวงรีถูกนำมาใช้ในกลไกแอนติคิเธราซึ่งเป็นอุปกรณ์ทางดาราศาสตร์ของชาวกรีกโบราณ เพื่อชดเชยวงโคจรวงรีของดวงจันทร์ โดยเคลื่อนที่เร็วขึ้นที่จุดใกล้โลกที่สุดและช้าลงที่จุดไกลโลกที่สุด เมื่อเทียบกับวงโคจรแบบวงกลม โดยใช้เฟืองสี่ตัว ซึ่งสองตัวในนั้นขบกันในลักษณะเยื้องศูนย์ที่ใกล้เคียงกับกฎข้อที่สองของเคปเลอร์มาก

วงโคจรย่อยมีความแม่นยำสูงในการทำนายการเคลื่อนที่ปรากฏของดาวเคราะห์ เนื่องจากจากการวิเคราะห์ฟูริเยร์ในภายหลัง พบว่าเส้นโค้งเรียบใดๆ ก็สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำตามต้องการด้วยจำนวนวงโคจรย่อยที่เพียงพอ อย่างไรก็ตาม วงโคจรย่อยเหล่านี้ไม่เป็นที่นิยมอีกต่อไปเมื่อมีการค้นพบว่าการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ส่วนใหญ่เป็นรูปวงรีเมื่อพิจารณาจากกรอบอ้างอิงแบบเฮลิโอเซนตริกซึ่งนำไปสู่การค้นพบว่าแรงโน้มถ่วงที่ปฏิบัติตามกฎกำลังสองผกผันอย่างง่ายสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ทั้งหมดได้ดีกว่า

การแนะนำ

ในระบบฮิปปาร์เคียนและปโตเลมีดาวเคราะห์จะถือว่าเคลื่อนที่ในวงกลมเล็กๆ ที่เรียกว่าเอพิไซเคิลซึ่งเคลื่อนที่ไปตามวงกลมที่ใหญ่กว่าที่เรียกว่าดีเฟอเรนต์ (ปโตเลมีเองได้อธิบายจุดนี้ไว้ แต่ไม่ได้ตั้งชื่อให้^{[ 4 ]} ) วงกลมทั้งสองหมุนไปทางทิศตะวันออกและขนานกับระนาบวงโคจรปรากฏของดวงอาทิตย์ในระบบเหล่านั้นโดยประมาณ ( สุริยวิถี ) แม้ว่าระบบจะถือว่าเป็นระบบศูนย์กลางโลกแต่วงกลมทั้งสองไม่ได้มีศูนย์กลางอยู่ที่โลก แต่การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์แต่ละดวงมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเฉพาะของดาวเคราะห์แต่ละดวงซึ่งอยู่ห่างจากโลกเล็กน้อย เรียกว่าเอ็กแซทเทอ ร์ วงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบนี้คล้ายกับเอพิโทรคอยด์แต่ไม่ใช่เอพิโทรคอยด์อย่างแท้จริง เพราะมุมของเอพิไซเคิลไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้นของมุมของดีเฟอเรนต์

ในระบบของฮิปปาร์เคียน วงโคจรย่อยหมุนและโคจรไปตามวงโคจรหลักด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ อย่างไรก็ตาม ปโตเลมีพบว่าเขาไม่สามารถอธิบายให้สอดคล้องกับข้อมูลการสังเกตการณ์ของชาวบาบิโลนที่มีอยู่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปร่างและขนาดของการเคลื่อนที่ย้อนกลับที่ปรากฏนั้นแตกต่างกัน อัตราเชิงมุมที่วงโคจรย่อยเคลื่อนที่นั้นไม่คงที่ เว้นแต่เขาจะวัดจากจุดอื่นซึ่งปัจจุบันเรียกว่าจุดสมดุล (ปโตเลมีไม่ได้ตั้งชื่อให้มัน) อัตราเชิงมุมที่วงโคจรหลักเคลื่อนที่รอบจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสมดุลและโลก (จุดวงรี) นั้นคงที่ ศูนย์กลางของวงโคจรย่อยจะกวาดมุมเท่ากันในช่วงเวลาเท่ากันก็ต่อเมื่อมองจากจุดสมดุลเท่านั้น การใช้จุดสมดุลเพื่อแยกการเคลื่อนที่สม่ำเสมอออกจากศูนย์กลางของวงโคจรหลักที่เป็นวงกลมนั้นเป็นสิ่งที่ทำให้ระบบของปโตเลมีแตกต่างออกไป สำหรับดาวเคราะห์ชั้นนอก มุมระหว่างศูนย์กลางของวงโคจรย่อยและดาวเคราะห์นั้นเท่ากับมุมระหว่างโลกและดวงอาทิตย์

ปโตเลมีไม่ได้ทำนายขนาดสัมพัทธ์ของระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ในอัลมาเกสต์การคำนวณทั้งหมดของเขาทำโดยอ้างอิงจากระยะห่างมาตรฐาน โดยพิจารณาทีละกรณี นี่ไม่ได้หมายความว่าเขาเชื่อว่าดาวเคราะห์ทั้งหมดอยู่ห่างเท่ากัน แต่เขาไม่มีพื้นฐานใด ๆ ในการวัดระยะทาง ยกเว้นดวงจันทร์ โดยทั่วไปแล้วเขาเรียงลำดับดาวเคราะห์ออกไปจากโลกตามคาบการโคจร ต่อมาเขาคำนวณระยะทางของพวกมันในสมมติฐานเกี่ยวกับดาวเคราะห์และสรุปไว้ในคอลัมน์แรกของตารางนี้: ^{[ 5 ]}

การประมาณขนาดวงโคจรของปโตเลมี
ร่างกาย	ขนาดเฉลี่ย(ในหน่วยรัศมีโลก)	ค่าในปัจจุบัน( แกนกึ่งเอกซ์เรย์ในหน่วยรัศมีโลก)	อัตราส่วน(สมัยใหม่/ปโตเลมี)	อัตราส่วน(สมัยใหม่/ปโตเลมีปรับค่าให้เป็นมาตรฐานโดยให้ดวงอาทิตย์ = 1)
ดวงจันทร์	48	60.3	1.26	0.065
ปรอท	115	9,090	79.0	4.1
ดาวศุกร์	622.5	16,980	27.3	1.4
ดวงอาทิตย์	1,210	23,480	19.4	1.000
ดาวอังคาร	5,040	35,780	7.10	0.37
ดาวพฤหัสบดี	11,504.0	122,200.0	10.6	0.55
ดาวเสาร์	17,026.0	225,000.0	13.2	0.68
เปลือกหอยดาว	20,000.0	ไม่มีข้อมูล	ไม่มีข้อมูล	ไม่มีข้อมูล

หากค่ารัศมีของวงโคจรชั้นนอกที่สัมพันธ์กับระยะห่างระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ของเขาแม่นยำกว่านี้ ขนาดของวงโคจรย่อยทั้งหมดก็จะเข้าใกล้ระยะห่างระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์มากขึ้น แม้ว่าดาวเคราะห์ทั้งหมดจะถูกพิจารณาแยกกัน แต่ในแง่หนึ่งที่แปลกประหลาด พวกมันทั้งหมดก็เชื่อมโยงกัน นั่นคือ เส้นที่ลากจากวัตถุผ่านจุดศูนย์กลางวงโคจรย่อยของดาวเคราะห์ทั้งหมดขนานกัน เช่นเดียวกับเส้นที่ลากจากดวงอาทิตย์ไปยังโลก ซึ่งดาวพุธและดาวศุกร์ตั้งอยู่บนเส้นนั้น นั่นหมายความว่าวัตถุทั้งหมดโคจรในวงโคจรย่อยของตนเองไปพร้อมกับดวงอาทิตย์ของปโตเลมี (กล่าวคือ พวกมันทั้งหมดมีคาบการโคจรหนึ่งปีพอดี)

จากการสังเกตการณ์ของชาวบาบิโลนพบว่า สำหรับดาวเคราะห์ชั้นนอก ดาวเคราะห์มักจะเคลื่อนที่ผ่านท้องฟ้ายามค่ำคืนช้ากว่าดวงดาว ในแต่ละคืน ดาวเคราะห์จะปรากฏว่าเคลื่อนที่ช้ากว่าดวงดาวเล็กน้อย ในสิ่งที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบตามหลัง (prograde motion ) เมื่อใกล้ถึงจุดตรงข้าม (opposition)ดาวเคราะห์จะปรากฏว่าเคลื่อนที่ย้อนกลับและเคลื่อนที่ผ่านท้องฟ้ายามค่ำคืนเร็วกว่าดวงดาวชั่วขณะหนึ่ง ในสิ่งที่เรียกว่าการ เคลื่อนที่ แบบตามหลัง (retrograde motion) ก่อนที่จะเคลื่อนที่ย้อนกลับอีกครั้งและกลับมาเคลื่อนที่แบบตามหลัง ทฤษฎีวงโคจรย่อย (Epicyclic theory) พยายามอธิบายพฤติกรรมนี้เป็นส่วนหนึ่ง

ดาวเคราะห์น้อยมักอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์เสมอ โดยจะปรากฏให้เห็นเพียงช่วงก่อนพระอาทิตย์ขึ้นหรือหลังพระอาทิตย์ตกไม่นาน การเคลื่อนที่ย้อนกลับที่ปรากฏให้เห็นนั้นเกิดขึ้นในช่วงเปลี่ยนผ่านจากดาวประจำเย็นไปเป็นดาวประจำเช้า ขณะที่พวกมันเคลื่อนที่ผ่านระหว่างโลกและดวงอาทิตย์

ประวัติศาสตร์

เมื่อนักดาราศาสตร์โบราณมองดูท้องฟ้า พวกเขาเห็นดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดวงดาวเคลื่อนที่อยู่เหนือศีรษะอย่างสม่ำเสมอ ชาวบาบิโลนทำการสังเกตการณ์ท้องฟ้า โดยส่วนใหญ่เป็นดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ เพื่อใช้ในการปรับเทียบและรักษาเวลาสำหรับพิธีกรรมทางศาสนา^{[ 6 ]}อารยธรรมยุคแรกอื่นๆ เช่น ชาวกรีก มีนักคิดอย่างเธลส์แห่งมิเลตุส ผู้ซึ่งเป็นคนแรกที่บันทึกและทำนายสุริยุปราคา (585 ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 7 ]}หรือเฮราคลิดส์ ปอนติคัสพวกเขายังเห็น "ผู้พเนจร" หรือ"ดาวเคราะห์" ( ดาวเคราะห์ ของเรา ) ความสม่ำเสมอในการเคลื่อนที่ของวัตถุที่พเนจรเหล่านี้ชี้ให้เห็นว่าตำแหน่งของพวกมันอาจสามารถทำนายได้

แนวทางที่ชัดเจนที่สุดในการแก้ปัญหาการทำนายการเคลื่อนที่ของเทห์ฟากฟ้าคือการทำแผนที่ตำแหน่งของเทห์ฟากฟ้าเทียบกับกลุ่มดาว แล้วจึงปรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ให้เข้ากับตำแหน่งที่เปลี่ยนแปลงไป^{[ 8 ]}การนำเครื่องมือวัดท้องฟ้าที่ดีขึ้นมาใช้ เช่น การนำนาฬิกาแดด มาใช้ โดยอนาซิแมนเดอร์^{[ 9 ]}ทำให้ชาวกรีกมีความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการผ่านไปของเวลา เช่น จำนวนวันในหนึ่งปีและความยาวของฤดูกาล^{[ 10 ]}ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการวัดทางดาราศาสตร์

คนโบราณใช้ มุมมอง แบบโลกเป็นศูนย์กลางด้วยเหตุผลง่ายๆ คือ โลกอยู่ตรงที่พวกเขายืนและสังเกตท้องฟ้า และเป็นท้องฟ้าที่ดูเหมือนจะเคลื่อนที่ ในขณะที่พื้นดินดูเหมือนจะนิ่งและมั่นคงอยู่ใต้ฝ่าเท้า นักดาราศาสตร์ชาวกรีกบางคน (เช่น อริสตาร์คัสแห่งซามอส ) คาดการณ์ว่าดาวเคราะห์ (รวมถึงโลก) โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่ทัศนศาสตร์ (และคณิตศาสตร์เฉพาะ – เช่นกฎแรงโน้มถ่วงของไอแซค นิวตัน ) ที่จำเป็นในการให้ข้อมูลที่สนับสนุนแบบ จำลองดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง ได้อย่างน่าเชื่อถือ ยังไม่มีในสมัยของปโตเลมี และจะไม่เกิดขึ้นอีกกว่าหนึ่งพันห้าร้อยปีหลังจากนั้น ยิ่งไปกว่านั้น ฟิสิกส์ของอริสโตเติลไม่ได้ออกแบบมาโดยคำนึงถึงการคำนวณประเภทนี้ และ ปรัชญาของ อริสโตเติลเกี่ยวกับท้องฟ้าก็ขัดแย้งกับแนวคิดเรื่องดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางอย่างสิ้นเชิง จนกระทั่งกาลิเลโอ กาลิเลอีสังเกตเห็นดวงจันทร์ของดาวพฤหัสบดีในวันที่ 7 มกราคม ค.ศ. 1610 และข้างขึ้นข้างแรมของดาวศุกร์ในเดือนกันยายน ค.ศ. 1610 แบบจำลองระบบสุริยะแบบดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางจึงเริ่มได้รับการสนับสนุนอย่างกว้างขวางจากนักดาราศาสตร์ ซึ่งยอมรับแนวคิดที่ว่าดาวเคราะห์เป็นโลกแต่ละดวงที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ (นั่นคือ โลกก็เป็นดาวเคราะห์เช่นกัน) โยฮันเนส เคปเลอร์ ได้กำหนด กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อซึ่งอธิบายวงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะได้อย่างแม่นยำอย่างน่าทึ่ง โดยใช้ระบบที่ใช้รูปวงรีแทนวงกลม กฎสามข้อของเคปเลอร์ยังคงถูกสอนในวิชาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ในมหาวิทยาลัยจนถึงทุกวันนี้ และถ้อยคำของกฎเหล่านี้ก็ไม่ได้เปลี่ยนแปลงไปนับตั้งแต่เคปเลอร์ได้กำหนดขึ้นครั้งแรกเมื่อสี่ร้อยปีก่อน

การเคลื่อนที่ปรากฏของเทห์ฟากฟ้าเมื่อเทียบกับเวลานั้นมีลักษณะเป็นวัฏจักร อะพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ตระหนักว่าการเปลี่ยนแปลงเป็นวัฏจักรนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยวงโคจรวงกลมขนาดเล็ก หรือวงโคจรย่อย (epicycles ) ที่โคจรรอบวงโคจรวงกลมขนาดใหญ่กว่า หรือวงโคจรหลัก (deferents ) ฮิปปาร์คัส (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) คำนวณวงโคจรที่จำเป็น วงโคจรหลักและวงโคจรย่อยในแบบจำลองโบราณไม่ได้แสดงถึงวงโคจรในความหมายสมัยใหม่ แต่เป็นชุดของเส้นทางวงกลมที่ซับซ้อนซึ่งมีจุดศูนย์กลางห่างกันในระยะทางที่กำหนด เพื่อประมาณการการเคลื่อนที่ที่สังเกตได้ของเทห์ฟากฟ้า

คลอเดียส ปโตเลมี ได้ปรับปรุงแนวคิด deferent-and-epicycle และแนะนำequantเป็นกลไกที่อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงความเร็วในการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ วิธีการ เชิงประจักษ์ที่เขาพัฒนาขึ้นพิสูจน์แล้วว่ามีความแม่นยำเป็นพิเศษสำหรับยุคนั้น และยังคงใช้กันอยู่จนถึงสมัยของโคเปอร์นิคัสและเคปเลอร์ แบบจำลองเฮลิโอเซนทริกไม่จำเป็นต้องแม่นยำกว่าระบบจีโอเซนทริกในการติดตามและทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุบนท้องฟ้าเมื่อพิจารณาเฉพาะวงโคจรเป็นวงกลมเท่านั้น ระบบเฮลิโอเซนทริกจะต้องใช้ระบบที่ซับซ้อนกว่าเพื่อชดเชยการเปลี่ยนแปลงจุดอ้างอิง จนกระทั่งเคปเลอร์เสนอวงโคจรวงรี ระบบดังกล่าวจึงมีความแม่นยำมากกว่าแบบจำลองจีโอเซนทริกแบบเอพิไซเคิลเพียงอย่างเดียว^{[ 11 ]}

ความเรียบง่ายพื้นฐานของจักรวาลแบบโคเปอร์นิคัส จากหนังสือของโทมัส ดิกเกส

Owen Gingerich ^{[ 12 ]}อธิบายถึงการเรียงตัวของดาวเคราะห์ที่เกิดขึ้นในปี 1504 และเห็นได้ชัดว่า Copernicus ได้สังเกตเห็น ในบันทึกที่แนบมากับสำเนาตาราง Alfonsine ของเขา Copernicus ได้แสดงความคิดเห็นว่า "ดาวอังคารเกินกว่าตัวเลขไปมากกว่าสององศา ดาวเสาร์เกินกว่าตัวเลขไปหนึ่งองศาครึ่ง" Gingerich ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ค้นพบว่า ในช่วงเวลาของการเรียงตัว ดาวเสาร์นั้นล้าหลังตารางไปหนึ่งองศาครึ่ง และดาวอังคารนำหน้าการทำนายไปเกือบสององศา ยิ่งไปกว่านั้น เขาพบว่าการทำนายของ Ptolemy สำหรับดาวพฤหัสบดีในเวลาเดียวกันนั้นค่อนข้างแม่นยำ ดังนั้น Copernicus และคนร่วมสมัยของเขาจึงใช้วิธีการของ Ptolemy และพบว่าวิธีการเหล่านั้นน่าเชื่อถือมานานกว่าพันปีหลังจากที่งานดั้งเดิมของ Ptolemy ได้รับการตีพิมพ์

เมื่อโคเปอร์นิคัสแปลงการสังเกตการณ์จากโลกเป็นพิกัดเฮลิโอเซนทริก^{[ 13 ]}เขาต้องเผชิญกับปัญหาใหม่ทั้งหมด ตำแหน่งศูนย์กลางดวงอาทิตย์แสดงการเคลื่อนที่แบบเป็นวัฏจักรเมื่อเทียบกับเวลา แต่ไม่มีวงวนย้อนกลับในกรณีของดาวเคราะห์ชั้นนอก โดยหลักการแล้ว การเคลื่อนที่แบบเฮลิโอเซนทริกนั้นง่ายกว่า แต่มีความละเอียดอ่อนใหม่เนื่องจากรูปร่างวงรีของวงโคจรที่ยังไม่ถูกค้นพบ ความซับซ้อนอีกประการหนึ่งเกิดจากปัญหาที่โคเปอร์นิคัสไม่เคยแก้ไขได้ นั่นคือ การคำนึงถึงการเคลื่อนที่ของโลกในการแปลงพิกัดอย่างถูกต้อง^{[ 14 ]}^{: 267}ตามแนวทางปฏิบัติในอดีต โคเปอร์นิคัสใช้แบบจำลองวงโคจรชั้นนอก/วงโคจรย่อยในทฤษฎีของเขา แต่วงโคจรย่อยของเขามีขนาดเล็กและเรียกว่า "วงโคจรย่อย"

ในระบบของปโตเลมี แบบจำลองสำหรับดาวเคราะห์แต่ละดวงนั้นแตกต่างกัน และแบบจำลองเริ่มต้นของโคเปอร์นิคัสก็เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ขณะที่เขาทำงานผ่านคณิตศาสตร์ โคเปอร์นิคัสค้นพบว่าแบบจำลองของเขาสามารถรวมกันเป็นระบบเดียวได้ ยิ่งไปกว่านั้น หากปรับขนาดเพื่อให้วงโคจรของโลกเหมือนกันในทุกแบบจำลอง ลำดับของดาวเคราะห์ที่เราเห็นในปัจจุบันก็สามารถอธิบายได้ง่ายๆ จากคณิตศาสตร์ ดาวพุธโคจรใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด และดาวเคราะห์ดวงอื่นๆ ก็เรียงตัวตามลำดับออกไปด้านนอก โดยเรียงตามระยะทางตามคาบการโคจร^{[ 14 ]}^{: 54}

แม้ว่าแบบจำลองของโคเปอร์นิคัสจะลดขนาดของวงโคจรย่อยลงอย่างมาก แต่ก็ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าแบบจำลองของเขาจะเรียบง่ายกว่าของปโตเลมีหรือไม่ โคเปอร์นิคัสได้กำจัดวงโคจรย่อยที่ถูกวิพากษ์วิจารณ์ของปโตเลมีออกไป แต่ต้องแลกมาด้วยการเพิ่มวงโคจรย่อยมากขึ้น หนังสือต่างๆ ในศตวรรษที่ 16 ที่อ้างอิงจากปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสใช้จำนวนวงโคจรย่อยที่ใกล้เคียงกัน^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}แนวคิดที่ว่าโคเปอร์นิคัสใช้เพียง 34 วงกลมในระบบของเขานั้นมาจากคำกล่าวของเขาเองในร่างเบื้องต้นที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ชื่อCommentariolusเมื่อถึงเวลาที่เขาตีพิมพ์De revolutionibus orbium coelestiumเขาก็ได้เพิ่มวงกลมเข้าไปอีก การนับจำนวนทั้งหมดนั้นทำได้ยาก แต่มีการประมาณการว่าเขาได้สร้างระบบที่ซับซ้อนไม่แพ้กัน หรืออาจจะซับซ้อนกว่าด้วยซ้ำ^{[ 18 ]} Koestler ในประวัติศาสตร์การมองเห็นจักรวาลของมนุษย์ ได้เทียบจำนวนวงโคจรย่อยที่ Copernicus ใช้ไว้ที่ 48 วง^{[ 19 ]}จำนวนวงโคจรย่อยที่นิยมประมาณ 80 วงสำหรับระบบปโตเลมี ดูเหมือนจะปรากฏขึ้นในปี 1898 อาจได้รับแรงบันดาลใจจาก ระบบ ที่ไม่ใช่ปโตเลมีของGirolamo Fracastoroซึ่งใช้วงโคจรย่อย 77 หรือ 79 วงในระบบของเขาที่ได้รับแรงบันดาลใจจากEudoxus แห่ง Cnidus [ ^{20 ] Copernicus}ในงานของเขาได้กล่าวเกินจริงถึงจำนวนวงโคจรย่อยที่ใช้ในระบบปโตเลมี แม้ว่าจำนวนดั้งเดิมจะอยู่ในช่วง 80 วง แต่ในสมัยของ Copernicus ระบบปโตเลมีได้รับการปรับปรุงโดย Peurbach ให้มีจำนวนใกล้เคียงกันที่ 40 ดังนั้น Copernicus จึงแทนที่ปัญหาการย้อนกลับด้วยวงโคจรย่อยเพิ่มเติมอย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 21 ]}

ทฤษฎีของโคเปอร์นิคัสมีความแม่นยำอย่างน้อยก็เทียบเท่ากับทฤษฎีของปโตเลมี แต่ก็ไม่ได้รับการยอมรับและมีชื่อเสียงเท่ากับทฤษฎีของปโตเลมี สิ่งที่จำเป็นคือทฤษฎีวงโคจรวงรีของเคปเลอร์ ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1609 และ 1619 งานของโคเปอร์นิคัสให้คำอธิบายสำหรับปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น การเคลื่อนที่ย้อนกลับ แต่ไม่ได้พิสูจน์อย่างแท้จริงว่าดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์

ทฤษฎีของปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสพิสูจน์ถึงความทนทานและความสามารถในการปรับตัวของอุปกรณ์วงโคจรย่อย/วงโคจรย่อยสำหรับการแสดงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ แบบจำลองวงโคจรย่อย/วงโคจรย่อยทำงานได้ดีเช่นนั้นเนื่องจากความเสถียรของวงโคจรที่ยอดเยี่ยมของระบบสุริยะ ทฤษฎีทั้งสองอาจใช้ได้ในปัจจุบันหากก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซและไอแซค นิวตันไม่ได้คิดค้นแคลคูลัส^{[ 22 ]}

ตามที่ไมโมนิเดสกล่าว ระบบดาราศาสตร์ที่สูญหายไปแล้วของอิบนู บัจญะห์ในสเปนอันดาลูเซีย ในศตวรรษที่ 12 ขาดวงโคจรย่อยเกอร์โซนิเดสแห่งฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 14 ก็ได้กำจัดวงโคจรย่อยเช่นกัน โดยให้เหตุผลว่ามันไม่สอดคล้องกับการสังเกตการณ์ของเขา^{[ 23 ]}แม้จะมีแบบจำลองทางเลือกเหล่านี้ วงโคจรย่อยก็ยังไม่ถูกกำจัดจนกระทั่งศตวรรษที่ 17 เมื่อแบบจำลองวงโคจรวงรีของโยฮันเนส เคปเลอร์ค่อยๆ เข้ามาแทนที่แบบจำลองของโคเปอร์นิคัสที่อิงจากวงกลมที่สมบูรณ์แบบ

กลศาสตร์แบบนิวตันหรือ กลศาสตร์คลาสสิกได้ ขจัดความจำเป็นในการใช้วิธีการวงโคจรย่อย/วงโคจรย่อยไปโดยสิ้นเชิง และสร้างทฤษฎีที่แม่นยำยิ่งขึ้น โดยการถือว่าดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์เป็นมวลจุด และใช้กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน สมการการเคลื่อนที่จึงถูกสร้างขึ้น ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยวิธีการต่างๆ เพื่อคำนวณการทำนายความเร็วและตำแหน่งวงโคจรของดาวเคราะห์ ตัวอย่างเช่น หากประมาณเป็นปัญหาแบบสองวัตถุ อย่างง่าย ก็สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ ในขณะที่ ปัญหาแบบหลายวัตถุที่สมจริงกว่านั้นจำเป็นต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหา

พลังของกลศาสตร์นิวตันในการแก้ปัญหาในกลศาสตร์วงโคจรแสดงให้เห็นได้จากการค้นพบดาวเนปจูนการวิเคราะห์การรบกวนที่สังเกตได้ในวงโคจรของดาวยูเรนัสทำให้ได้ค่าประมาณตำแหน่งของดาวเคราะห์ที่สงสัยภายในหนึ่งองศาจากตำแหน่งที่พบ ซึ่งไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีการวงโคจรย่อย/วงโคจรย่อย อย่างไรก็ตาม ในปี ค.ศ. 1702 นิวตันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ซึ่งใช้วงโคจรย่อยและยังคงใช้ในประเทศจีนจนถึงศตวรรษที่ 19 ตารางที่ตามมาซึ่งอิงตามทฤษฎี ของนิวตัน อาจมีความแม่นยำถึงระดับอาร์คมินิต^{[ 24 ]}

จำนวนเอพิไซเคิล

ตามทฤษฎีหนึ่งในประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ ข้อบกพร่องเล็กน้อยในระบบปโตเลมีดั้งเดิมถูกค้นพบจากการสังเกตการณ์ที่สะสมมาเรื่อย ๆ มีความเข้าใจผิดว่ามีการเพิ่มวงโคจรย่อย (วงกลมซ้อนวงกลม) เข้าไปในแบบจำลองเพื่อให้ตรงกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ที่สังเกตได้แม่นยำยิ่งขึ้น เชื่อกันว่าการเพิ่มจำนวนวงโคจรย่อยนี้ทำให้ระบบแทบใช้งานไม่ได้ในศตวรรษที่ 16 และโคเปอร์นิคัสได้สร้างระบบสุริยจักรวาล ขึ้นมา เพื่อลดความซับซ้อนของดาราศาสตร์ปโตเลมีในสมัยของเขา จึงประสบความสำเร็จในการลดจำนวนวงกลมลงอย่างมาก

ด้วยการสังเกตที่ดีขึ้น จึงมีการใช้เอพิไซเคิลและเอคเรเดียนเพิ่มเติมเพื่อแสดงปรากฏการณ์ที่สังเกตได้ใหม่ จนกระทั่งในยุคกลางตอนปลาย จักรวาลจึงกลายเป็น 'ทรงกลม/ที่มีศูนย์กลางและเอคเรเดียนขีดเขียนทับ/วัฏจักรและเอพิไซเคิล ทรงกลมซ้อนทรงกลม'

— Dorothy Stimson , การยอมรับทฤษฎีจักรวาลของโคเปอร์นิคัสอย่างค่อยเป็นค่อยไป , 1917 ^{[ 25 ]}

เพื่อเป็นการวัดความซับซ้อน จำนวนวงกลมถูกกำหนดไว้ที่ 80 สำหรับปโตเลมี เทียบกับเพียง 34 สำหรับโคเปอร์นิคัส^{[ 26 ]}จำนวนสูงสุดปรากฏในสารานุกรมบริแทนนิกาเกี่ยวกับดาราศาสตร์ในช่วงทศวรรษ 1960 ในการอภิปรายเกี่ยวกับความสนใจของกษัตริย์อัลฟอนโซที่ 10 แห่งกัสติยาในด้านดาราศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 13 (อัลฟอนโซได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้สั่งการให้จัดทำตารางอัลฟอนซีน )

มาถึงตอนนี้ ดาวเคราะห์แต่ละดวงมีวงโคจรย่อยประมาณ 40 ถึง 60 วง เพื่อแสดงถึงการเคลื่อนที่อันซับซ้อนของมันท่ามกลางดวงดาว อัลฟอนโซรู้สึกทึ่งกับความยากลำบากของโครงการนี้ และกล่าวกันว่าหากเขาอยู่ในเหตุการณ์การสร้างโลก เขาคงให้คำแนะนำที่ดีเยี่ยมได้

— สารานุกรมบริแทนนิกา , 1968 ^{[ 27 ]}

ปรากฏว่า ปัญหาสำคัญของทฤษฎีวงโคจรย่อยซ้อนวงโคจรย่อยนี้คือ นักประวัติศาสตร์ที่ตรวจสอบหนังสือเกี่ยวกับดาราศาสตร์ปโตเลมีจากยุคกลางและยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ไม่พบร่องรอยการใช้วงโคจรย่อยหลายวงสำหรับดาวเคราะห์แต่ละดวงเลย ตัวอย่างเช่น ตารางอัลฟอนซีน เห็นได้ชัดว่าคำนวณโดยใช้วิธีการดั้งเดิมที่ไม่ซับซ้อนของปโตเลมี^{[ 14 ]}^{: 57}

อีกปัญหาหนึ่งคือแบบจำลองเหล่านั้นเองก็ไม่เอื้อต่อการปรับแต่งแก้ไข ในแบบจำลองกาแล็กซีหลักและกาแล็กซีรอง ส่วนต่างๆ ของระบบทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เพื่อปรับปรุงความเหมาะสมในที่หนึ่งจะทำให้ความเหมาะสมในที่อื่นผิดเพี้ยนไป แบบจำลองของปโตเลมีน่าจะเป็นแบบจำลองที่ดีที่สุดในแง่นี้ โดยรวมแล้วให้ผลลัพธ์ที่ดี แต่ก็มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยในบางจุด นักดาราศาสตร์ที่มีประสบการณ์จะตระหนักถึงข้อบกพร่องเหล่านี้และเตรียมรับมือไว้แล้ว

อันที่จริง ในAlmagest ของปโตเล มี ดวงอาทิตย์มีหนึ่งรอบ และดวงจันทร์มีสามรอบ ได้แก่ รอบหลัก รอบย่อย และวงกลมเล็กด้านในหรือ "รอบย่อย" ดาวเคราะห์ชั้นนอกแต่ละดวงมีสี่รอบ ได้แก่ รอบหลัก รอบย่อย รอบสมดุล และวงล้อละติจูด ดาวศุกร์มีวงล้อละติจูดมากกว่าดาวเคราะห์ชั้นนอกสองวง ดังนั้นจึงมีหกวง ดาวพุธมีรอบทั้งหมดของดาวศุกร์บวกกับรอบย่อยอีกหนึ่งวง หรือเจ็ดวง หากเรารวมทรงกลมของดาวฤกษ์คงที่ และทรงกลมอีกอันเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของจุดวิษุวัต จำนวนรอบและทรงกลมทั้งหมดจะเท่ากับ 31 ^{[ 28 ]}

รูปแบบทางคณิตศาสตร์

ตามที่นอร์วูด รัสเซลล์ แฮนสัน นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ กล่าวไว้ว่า :

ไม่มีเส้นโค้งสมมาตรทวิภาคหรือเส้นโค้งคาบแบบเยื้องศูนย์ใดๆ ที่ใช้ในสาขาฟิสิกส์ดาราศาสตร์หรือดาราศาสตร์เชิงสังเกตการณ์ ซึ่งไม่สามารถวาดเป็นกราฟได้อย่างราบรื่น โดยเป็นการเคลื่อนที่ของจุดที่หมุนอยู่ภายในกลุ่มของวงโคจรย่อยที่มีจำนวนจำกัด ซึ่งหมุนรอบแกนหลักคงที่

— Norwood Russell Hanson , "พลังทางคณิตศาสตร์ของดาราศาสตร์วงโคจร", 1960 ^{[ 29 ]}

เส้นทางใดๆ—ไม่ว่าจะเป็นคาบหรือไม่ ปิดหรือเปิด—สามารถแสดงได้ด้วยเอพิไซเคิลจำนวนอนันต์ เนื่องจากเอพิไซเคิลสามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูริเยร์เชิงซ้อนได้ ดังนั้น ด้วยเอพิไซเคิลจำนวนมาก เส้นทางที่ซับซ้อนมากจึงสามารถแสดงได้ในระนาบเชิงซ้อน^[³⁰^]

ให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเชิงซ้อน

z_{0}=a_{0}e^{ik_{0}t}\,,

โดยที่ $a₀$ และ $k₀$ เป็นค่าคงที่ $คือ$ หน่วยจินตนาการและ $t คือเวลา สอดคล้องกับดิฟเฟ$ $อ เรนเชีย$ $ล$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบเชิงซ้อนและหมุนด้วยรัศมี $a₀$ และความเร็วเชิงมุม $i={\sqrt {-1}}$

k_{0}={\frac {2\pi }{T}}\,,

โดยที่T $คือ$ คาบเวลา

ถ้า $z 1$ คือเส้นทางของเอพิไซเคิลแล้ว ดีเฟอเรนต์บวกเอพิไซเคิลจะถูกแสดงเป็นผลรวม

z_{2}=z_{0}+z_{1}=a_{0}e^{ik_{0}t}+a_{1}e^{ik_{1}t}\,.

นี่คือฟังก์ชันเกือบเป็นคาบและจะเป็นฟังก์ชันคาบก็ต่อเมื่ออัตราส่วนของค่าคงที่ $k j$ เป็นจำนวนตรรกยะการขยายไปสู่ เอพิไซเคิล $N$ จะได้ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ

z_{N}=\sum _{j=0}^{N}a_{j}e^{ik_{j}t}\,,

ซึ่งเป็นคาบเมื่อทุกคู่ของ $k j$ มีความสัมพันธ์เชิงตรรกะ การหาค่าสัมประสิทธิ์ $a j$ เพื่อแสดงเส้นทางที่ขึ้นอยู่กับเวลาในระนาบเชิงซ้อน z $=$ $f$ $($ $t$ $)$ คือเป้าหมายของการสร้างวงโคจรขึ้นใหม่ด้วยวงโคจรชั้นนอกและวงโคจรย่อย และนี่เป็นวิธีหนึ่งในการ " $บันทึก$ ปรากฏการณ์ " (σώζειν τα φαινόμενα) ^{[ 31 ]}

Giovanni Schiaparelliได้ตั้งข้อสังเกตถึงความคล้ายคลึงกันนี้^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}เกี่ยวข้องกับการอภิปรายของการปฏิวัติโคเปอร์นิคัส เกี่ยวกับ " การรักษาปรากฏการณ์ " เทียบกับการเสนอคำอธิบาย เราสามารถเข้าใจได้ว่าทำไมโทมัส อควินัสในศตวรรษที่ 13 จึงเขียนว่า:

เหตุผลอาจถูกนำมาใช้สองวิธีเพื่อยืนยันประเด็น: ประการแรก เพื่อจุดประสงค์ในการให้หลักฐานที่เพียงพอสำหรับหลักการบางอย่าง [...] เหตุผลถูกนำมาใช้ในอีกวิธีหนึ่ง ไม่ใช่เพื่อเป็นหลักฐานที่เพียงพอสำหรับหลักการ แต่เพื่อยืนยันหลักการที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว โดยแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องของผลลัพธ์ เช่น ในทางดาราศาสตร์ ทฤษฎีวงโคจรวงรีและวงโคจรย่อยถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว เพราะสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่รับรู้ได้ของการเคลื่อนที่บนท้องฟ้าได้ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าหลักฐานนี้เพียงพอแล้ว เพราะอาจมีทฤษฎีอื่นที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์เหล่านั้นได้

— โธมัส อไควนัส , ซุมมา เทววิทยา^{[ 34 ]}

วงโคจรย่อยและศาสนจักรคาทอลิก

เนื่องจากเป็นระบบที่ส่วนใหญ่ใช้เพื่อพิสูจน์แบบจำลองโลกเป็นศูนย์กลาง ยกเว้นจักรวาลของโคเปอร์นิคัส แบบจำลองวงโคจรชั้นนอกและวงโคจรชั้นในจึงได้รับความนิยมมากกว่าแนวคิดดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางที่เคปเลอร์และกาลิเลโอเสนอ ผู้ที่นำแบบจำลองวงโคจรชั้นนอกมาใช้ในภายหลัง เช่นไทโค บราเฮซึ่งพิจารณาพระคัมภีร์ของศาสนจักรเมื่อสร้างแบบจำลองของเขา^{[ 35 ]}ได้รับการยอมรับมากยิ่งขึ้นแบบจำลองของไทโคเป็นแบบจำลองลูกผสมที่ผสมผสานลักษณะของโลกเป็นศูนย์กลางและดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง โดยมีโลกที่นิ่งซึ่งมีดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ล้อมรอบ และดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ สำหรับบราเฮ แนวคิดเรื่องโลกที่หมุนและเคลื่อนที่นั้นเป็นไปไม่ได้ และพระคัมภีร์ควรมีความสำคัญสูงสุดและควรได้รับการเคารพเสมอ^{[ 36 ]}เมื่อกาลิเลโอพยายามท้าทายระบบของไทโค บราเฮ ศาสนจักรไม่พอใจที่มุมมองของพวกเขาถูกท้าทาย การตีพิมพ์ของกาลิเลโอไม่ได้ช่วยกรณีของเขาในการพิจารณาคดี

ตัวอย่างหนึ่งของวิทยาศาสตร์ที่ผิดพลาด

คำว่า "การเพิ่มวงโคจรย่อย" ถูกนำมาใช้เป็นคำวิจารณ์เชิงลบในการอภิปรายทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น คำนี้อาจใช้เพื่ออธิบายการพยายามปรับทฤษฎีอย่างต่อเนื่องเพื่อให้การคาดการณ์ตรงกับข้อเท็จจริง มีแนวคิดที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าวงโคจรย่อยพิเศษถูกสร้างขึ้นเพื่อบรรเทาข้อผิดพลาดที่เพิ่มขึ้นซึ่งระบบปโตเลมีบันทึกไว้เมื่อการวัดมีความแม่นยำมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับดาวอังคาร ตามแนวคิดนี้ วงโคจรย่อยจึงถูกมองว่าเป็นตัวอย่างของวิทยาศาสตร์ที่ไม่ดี^{[ 37 ]}

โคเปอร์นิคัสได้เพิ่มวงโคจรย่อยพิเศษให้กับดาวเคราะห์ของเขา แต่เป็นเพียงความพยายามที่จะกำจัดวงโคจรของปโตเลมี ซึ่งเขาถือว่าเป็นการแตกแยกทางปรัชญาจากความสมบูรณ์แบบของท้องฟ้าของอริสโตเติล ในทางคณิตศาสตร์ วงโคจรย่อยที่สองและวงโคจรให้ผลลัพธ์ที่เกือบจะเหมือนกัน และนักดาราศาสตร์โคเปอร์นิคัสหลายคนก่อนเคปเลอร์ยังคงใช้วงโคจรต่อไป เนื่องจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ง่ายกว่า วงโคจรย่อยของโคเปอร์นิคัสยังมีขนาดเล็กกว่าของปโตเลมีมาก และจำเป็นต้องใช้เพราะดาวเคราะห์ในแบบจำลองของเขาเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบโยฮันเนส เคปเลอร์จะแสดงให้เห็นในภายหลังว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่เป็นวงรี ซึ่งทำให้ไม่จำเป็นต้องใช้วงโคจรย่อยของโคเปอร์นิคัสอีกต่อไป^{[ 38 ]}

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

^ฮาร์เปอร์, ดักลาส. "epicycle" . พจนานุกรมรากศัพท์ออนไลน์ .
^ van der Waerden, BL (ตุลาคม 1974). "รูปแบบแรกสุดของทฤษฎีวงโคจรย่อย". วารสารประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ 5 ( 3): 175– 185. Bibcode : 1974JHA.....5..175V . doi : 10.1177/002182867400500303 .
↑โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; Robertson, Edmund F. (1999), "Apollonius of Perga" , MacTutor History of Mathematics Archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์
^ดูหน้า 21 ของบทนำในหนังสือ Almagest ของปโตเลมี (PDF)แปลโดยGerald J. Toomerปี 1984
^ Murschel, Andrea (1995). "โครงสร้างและหน้าที่ของสมมติฐานทางกายภาพของปโตเลมีเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์"วารสารประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ 26 ( xxvii): 33– 61. Bibcode : 1995JHA....26...33M . doi : 10.1177/002182869502600102 . S2CID 116006562 . สืบค้นเมื่อ2 สิงหาคม 2014 .
^ Olmstead, AT (1938). "ดาราศาสตร์บาบิโลน: ภาพร่างทางประวัติศาสตร์"วารสารภาษาและวรรณคดีเซมิติกของอเมริกา 55 ( 2): 113– 129. doi : 10.1086/amerjsemilanglit.55.2.3088090 . ISSN 1062-0516 . JSTOR 3088090 . S2CID 170628425 .
^ Mosshammer, Alden A. (1981). "สุริยุปราคาแห่งเธลส์" . วารสารสมาคมภาษาศาสตร์อเมริกัน . 111 : 145– 155. doi : 10.2307/284125 . ISSN 0360-5949 . JSTOR 284125 .
^สำหรับตัวอย่างความซับซ้อนของปัญหา โปรดดู Owen Gingerich (2004)'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศร หน้า 50 ISBN 978-0099476443.
^ไดโอเจเนส แลร์ติอุส (กันยายน 2013). ชีวประวัติและความคิดเห็นของนักปรัชญาผู้มีชื่อเสียง . สำนักพิมพ์ทั่วไป. ISBN 978-1-230-21699-7. OCLC 881385989 .
^ Pedersen, Olaf (1993). ฟิสิกส์และดาราศาสตร์ยุคแรก: บทนำทางประวัติศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง). เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-40340-5. OCLC 24173447 .
^อีแวนส์, เจมส์ (1998). ประวัติศาสตร์และการปฏิบัติของดาราศาสตร์โบราณ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-987445-3. OCLC 729872798 .
^ Owen Gingerich (2004). "4".'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศรISBN 978-0099476443.
^หนังสือเล่มหนึ่งของ De Revolutionibusอุทิศให้กับการอธิบายตรีโกณมิติที่ใช้ในการแปลงระหว่างพิกัดโลกเป็นศูนย์กลางและพิกัดดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง
^ ^a ^b ^cโอเวน จิงเกอริช (2004)'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศรISBN 978-0099476443.
^ Palter, Robert (1970). "แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์" การศึกษาประวัติศาสตร์และปรัชญาวิทยาศาสตร์ 1 : 94. doi : 10.1016/0039-3681(70)90001-4 .
^ Owen Gingerich , "Alfonso X ในฐานะผู้อุปถัมภ์ดาราศาสตร์", ใน The Eye of Heaven: Ptolemy, Copernicus, Kepler (นิวยอร์ก: American Institute of Physics, 1993), หน้า 125
^ Gingerich, "วิกฤตการณ์กับสุนทรียภาพในการปฏิวัติโคเปอร์นิคัส" ใน Eye of Heaven , หน้า 193–204
^ "ความเชื่อที่แพร่หลายว่าระบบสุริยจักรวาลของโคเปอร์นิคัสเป็นการลดทอนระบบของปโตเลมีอย่างมีนัยสำคัญนั้นผิดอย่างเห็นได้ชัด ... แบบจำลองของโคเปอร์นิคัสเองนั้นต้องการวงกลมประมาณสองเท่าของแบบจำลองของปโตเลมี และมีความสง่างามและปรับใช้ได้ยากกว่ามาก" Neugebauer, Otto (1969) [1957]. วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำในสมัยโบราณ (ฉบับ ที่ 2). สำนักพิมพ์โดเวอร์ ISBN 978-0-486-22332-2.หน้า 204 นี่เป็นการประมาณการสุดโต่งที่สนับสนุนปโตเลมี
^ Koestler, Arthur (1989) [1959]. The Sleepwalkers . Arkana, Penguin Books .หน้า 195
^ Palter,แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ , หน้า 113–114.
^ Koestler, Arthur (1989) [1959]. The Sleepwalkers . Arkana, Penguin Books .หน้า 194–195
^ในความเป็นจริงแล้ว แบบจำลองวงโคจรย่อย/วงโคจรเสริมถูกนำมาใช้ในการคำนวณตำแหน่งดวงจันทร์ที่จำเป็นต่อการกำหนดปฏิทินฮินดูสมัยใหม่ ดูได้จาก Nachum Dershovitz และ Edward M. Reingold: Calendrical Calculations , Cambridge University Press, 1997, บทที่ 14 ( ISBN) 0-521-56474-3)
^ Goldstein, Bernard R. (1972). "ทฤษฎีและการสังเกตในดาราศาสตร์ยุคกลาง". Isis . 63 (1): 39–47 [40–41]. doi : 10.1086/350839 . S2CID 120700705 .
^ Kollerstrom, Nicholas (2000). ทฤษฎีดวงจันทร์ที่ถูกลืมของนิวตัน . สำนักพิมพ์ Green Lion. ISBN 1-888009-08-X.
^โดโรธี สติมสัน ,การยอมรับทฤษฎีจักรวาลของโคเปอร์นิคัสอย่างค่อยเป็นค่อยไป (นิวยอร์ก, 1917),หน้า 14 .. ข้อความที่ยกมานี้มาจาก Paradise Lostของจอห์น มิลตัน , เล่ม 8, 11.82–85
^โรเบิร์ต พัลเตอร์,แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ยุคแรก
^สารานุกรมบริแทนนิกา , 1968, เล่ม 2, หน้า 645 นี่คือจำนวนสูงสุดที่ระบุในหนังสือของ โอเวน จิงเกอริช เรื่อง อั ลฟอนโซที่ 10 จิงเกอริชยังแสดงความสงสัยเกี่ยวกับคำกล่าวอ้างที่อ้างถึงอัลฟอนโซด้วยอย่างไรก็ตาม ในหนังสือ The Book Nobody Read (หน้า 56) จิงเกอริชเล่าว่าเขาได้ท้าทายสารานุกรมบริแทนนิกาเกี่ยวกับจำนวนวงโคจรย่อย คำตอบของพวกเขาคือผู้เขียนต้นฉบับของบทความนั้นเสียชีวิตไปแล้วและไม่สามารถตรวจสอบแหล่งที่มาได้
^ไวส์, ไมเคิล (20 พฤษภาคม 2025). "จากเคปเลอร์ถึงปโตเลมี 15" . ข้อโต้แย้งแนวทแยง. สืบค้นเมื่อ20 พฤษภาคม 2025 .
^ Hanson, Norwood Russell (1 มิถุนายน 1960). "พลังทางคณิตศาสตร์ของดาราศาสตร์วงโคจร" (PDF) . Isis . 51 (2): 150– 158. doi : 10.1086/348869 . ISSN 0021-1753 . JSTOR 226846 . S2CID 33083254 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 1 พฤศจิกายน 2020 . สืบค้นเมื่อ21 ตุลาคม 2011 .
↑ดู เช่นแอนิเมชันนี้สร้างโดย Christián Carman และ Ramiro Serra ซึ่งใช้ 1,000 เอพิไซเคิลเพื่อย้อนรอยตัวการ์ตูนโฮเมอร์ ซิมป์สัน ; ดูผลงานของคริสเตียน คาร์มานเรื่อง Deferentes, epiciclos y adaptacionesด้วย และ" La refutabilidad del Sistema de Epiciclos y Deferentes de Ptolomeo"
^ Duhem, Pierre (1969). เพื่อรักษาปรากฏการณ์ บทความว่าด้วยแนวคิดทฤษฎีฟิสิกส์จากเพลโตถึงกาลิเลโอชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกOCLC 681213472 ( ส่วนหนึ่ง )
↑จิโอวานนี กัลลาวอตติ: "การเคลื่อนที่เป็นระยะเสมือนจากฮิปปาร์ชุสถึงโคลโมโกรอฟ " ใน: Rendiconti Lincei – Matematica e Applicazioniซีรีส์ 9 แบนด์ 12 ฉบับที่ 2 พ.ศ. 2544 หน้า 125–152. ( PDF; 205 กิโลไบต์ )
^ลูซิโอ รุสโซ:การปฏิวัติที่ถูกลืมเลือน กำเนิดวิทยาศาสตร์ใน 300 ปีก่อนคริสตกาล และเหตุใดจึงต้องมีการเกิดใหม่สปริงเกอร์ เบอร์ลิน 2004 ISBN 3-540-20068-1หน้า 91
↑ ซัมมา เทววิทยา ,ฉันถาม. 32 ก. 1โฆษณา 2.
^ Håkansson, Håkan (2007), "ไทโคผู้เผยพระวจนะ: ประวัติศาสตร์ โหราศาสตร์ และวิวรณ์ในวิทยาศาสตร์ยุคต้นสมัยใหม่" , พระวจนะและโลก , ลอนดอน: Palgrave Macmillan UK, หน้า 137–156 , doi : 10.1057/9780230206472_8 , ISBN 978-1-349-35338-5สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 6 ธันวาคม 2021.
^ Repcheck, Jack (2008). ความลับของโคเปอร์นิคัส: การปฏิวัติวิทยาศาสตร์เริ่มต้นอย่างไร . นิวยอร์ก: Simon & Schuster Paperbacks. ISBN 978-0-7432-8952-8. OCLC 209693599 .
^ดูตัวอย่างเช่น Kolb, Rocky, Blind Watchers of the Sky , Addison–Wesley, 1996. หน้า 299. ( ISBN) 0-201-48992-9)
^ "การปฏิวัติของใคร? โคเปอร์นิคัส บราเฮ และเคปเลอร์ | การสร้างแบบจำลองจักรวาล | บทความและเรียงความ | การค้นหาที่ของเราในจักรวาล: จากกาลิเลโอถึงซาแกนและอื่นๆ | คอลเลกชันดิจิทัล | หอสมุดรัฐสภา"หอสมุดรัฐสภาวอชิงตัน ดี.ซี. สืบค้นเมื่อ6 ธันวาคม 2021

ลิงก์ภายนอก

ระบบพิกัดปโตเลมี – ในโครงการกาลิเลโอ มหาวิทยาลัยไรซ์
รูปทรงประหลาด รูปทรงวงรี รูปทรงวงรีซ้อน และรูปทรงสมดุลที่ MathPages

ภาพประกอบแอนิเมชั่น

โปรแกรมจำลองระบบสมการปโตเลมีแบบโต้ตอบ วิทยาลัยฟุตฮิลล์
การโคจรที่มีวงโคจรย่อยบนแกนอ้างอิงการสาธิตแบบโต้ตอบของ Wolfram
สร้างภาพเคลื่อนไหว: วงโคจรย่อย (Epicycles)ตัวอย่างการเขียนโค้ด JavaScript แบบโต้ตอบ จาก Khan Academy
ปโตเลมีและโฮเมอร์ (ซิมป์สัน)การสร้างวงโคจรที่แปลกประหลาดของดาวเคราะห์ขึ้นใหม่ด้วยระบบวงโคจรย่อยและวงโคจรหลักแบบปโตเลมี

[1] ฮาร์เปอร์, ดักลาส. "epicycle" . พจนานุกรมรากศัพท์ออนไลน์ .

[2] van der Waerden, BL (ตุลาคม 1974). "รูปแบบแรกสุดของทฤษฎีวงโคจรย่อย". วารสารประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ 5 ( 3): 175– 185. Bibcode : 1974JHA.....5..175V . doi : 10.1177/002182867400500303 .

[3] โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; Robertson, Edmund F. (1999), "Apollonius of Perga" , MacTutor History of Mathematics Archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์

[4] ดูหน้า 21 ของบทนำในหนังสือ Almagest ของปโตเลมี (PDF)แปลโดยGerald J. Toomerปี 1984

[5] Murschel, Andrea (1995). "โครงสร้างและหน้าที่ของสมมติฐานทางกายภาพของปโตเลมีเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์"วารสารประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ 26 ( xxvii): 33– 61. Bibcode : 1995JHA....26...33M . doi : 10.1177/002182869502600102 . S2CID 116006562 . สืบค้นเมื่อ2 สิงหาคม 2014 .

[6] Olmstead, AT (1938). "ดาราศาสตร์บาบิโลน: ภาพร่างทางประวัติศาสตร์"วารสารภาษาและวรรณคดีเซมิติกของอเมริกา 55 ( 2): 113– 129. doi : 10.1086/amerjsemilanglit.55.2.3088090 . ISSN 1062-0516 . JSTOR 3088090 . S2CID 170628425 .

[7] Mosshammer, Alden A. (1981). "สุริยุปราคาแห่งเธลส์" . วารสารสมาคมภาษาศาสตร์อเมริกัน . 111 : 145– 155. doi : 10.2307/284125 . ISSN 0360-5949 . JSTOR 284125 .

[8] สำหรับตัวอย่างความซับซ้อนของปัญหา โปรดดู Owen Gingerich (2004)'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศร หน้า 50 ISBN 978-0099476443.

[9] ไดโอเจเนส แลร์ติอุส (กันยายน 2013). ชีวประวัติและความคิดเห็นของนักปรัชญาผู้มีชื่อเสียง . สำนักพิมพ์ทั่วไป. ISBN 978-1-230-21699-7. OCLC 881385989 .

[10] Pedersen, Olaf (1993). ฟิสิกส์และดาราศาสตร์ยุคแรก: บทนำทางประวัติศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง). เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-40340-5. OCLC 24173447 .

[11] อีแวนส์, เจมส์ (1998). ประวัติศาสตร์และการปฏิบัติของดาราศาสตร์โบราณ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-987445-3. OCLC 729872798 .

[12] Owen Gingerich (2004). "4".'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศรISBN 978-0099476443.

[13] หนังสือเล่มหนึ่งของ De Revolutionibusอุทิศให้กับการอธิบายตรีโกณมิติที่ใช้ในการแปลงระหว่างพิกัดโลกเป็นศูนย์กลางและพิกัดดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง

[Nobody-14] โอเวน จิงเกอริช (2004)'หนังสือที่ไม่มีใครอ่าน'ลูกศรISBN 978-0099476443.

[15] Palter, Robert (1970). "แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์" การศึกษาประวัติศาสตร์และปรัชญาวิทยาศาสตร์ 1 : 94. doi : 10.1016/0039-3681(70)90001-4 .

[16] Owen Gingerich , "Alfonso X ในฐานะผู้อุปถัมภ์ดาราศาสตร์", ใน The Eye of Heaven: Ptolemy, Copernicus, Kepler (นิวยอร์ก: American Institute of Physics, 1993), หน้า 125

[17] Gingerich, "วิกฤตการณ์กับสุนทรียภาพในการปฏิวัติโคเปอร์นิคัส" ใน Eye of Heaven , หน้า 193–204

[18] "ความเชื่อที่แพร่หลายว่าระบบสุริยจักรวาลของโคเปอร์นิคัสเป็นการลดทอนระบบของปโตเลมีอย่างมีนัยสำคัญนั้นผิดอย่างเห็นได้ชัด ... แบบจำลองของโคเปอร์นิคัสเองนั้นต้องการวงกลมประมาณสองเท่าของแบบจำลองของปโตเลมี และมีความสง่างามและปรับใช้ได้ยากกว่ามาก" Neugebauer, Otto (1969) [1957]. วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำในสมัยโบราณ (ฉบับ ที่ 2). สำนักพิมพ์โดเวอร์ ISBN 978-0-486-22332-2.หน้า 204 นี่เป็นการประมาณการสุดโต่งที่สนับสนุนปโตเลมี

[19] Koestler, Arthur (1989) [1959]. The Sleepwalkers . Arkana, Penguin Books .หน้า 195

[20] Palter,แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ , หน้า 113–114.

[21] Koestler, Arthur (1989) [1959]. The Sleepwalkers . Arkana, Penguin Books .หน้า 194–195

[22] ในความเป็นจริงแล้ว แบบจำลองวงโคจรย่อย/วงโคจรเสริมถูกนำมาใช้ในการคำนวณตำแหน่งดวงจันทร์ที่จำเป็นต่อการกำหนดปฏิทินฮินดูสมัยใหม่ ดูได้จาก Nachum Dershovitz และ Edward M. Reingold: Calendrical Calculations , Cambridge University Press, 1997, บทที่ 14 ( ISBN) 0-521-56474-3)

[23] Goldstein, Bernard R. (1972). "ทฤษฎีและการสังเกตในดาราศาสตร์ยุคกลาง". Isis . 63 (1): 39–47 [40–41]. doi : 10.1086/350839 . S2CID 120700705 .

[24] Kollerstrom, Nicholas (2000). ทฤษฎีดวงจันทร์ที่ถูกลืมของนิวตัน . สำนักพิมพ์ Green Lion. ISBN 1-888009-08-X.

[25] โดโรธี สติมสัน ,การยอมรับทฤษฎีจักรวาลของโคเปอร์นิคัสอย่างค่อยเป็นค่อยไป (นิวยอร์ก, 1917),หน้า 14 .. ข้อความที่ยกมานี้มาจาก Paradise Lostของจอห์น มิลตัน , เล่ม 8, 11.82–85

[26] โรเบิร์ต พัลเตอร์,แนวทางสู่ประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ยุคแรก

[27] สารานุกรมบริแทนนิกา , 1968, เล่ม 2, หน้า 645 นี่คือจำนวนสูงสุดที่ระบุในหนังสือของ โอเวน จิงเกอริช เรื่อง อั ลฟอนโซที่ 10 จิงเกอริชยังแสดงความสงสัยเกี่ยวกับคำกล่าวอ้างที่อ้างถึงอัลฟอนโซด้วยอย่างไรก็ตาม ในหนังสือ The Book Nobody Read (หน้า 56) จิงเกอริชเล่าว่าเขาได้ท้าทายสารานุกรมบริแทนนิกาเกี่ยวกับจำนวนวงโคจรย่อย คำตอบของพวกเขาคือผู้เขียนต้นฉบับของบทความนั้นเสียชีวิตไปแล้วและไม่สามารถตรวจสอบแหล่งที่มาได้

[28] ไวส์, ไมเคิล (20 พฤษภาคม 2025). "จากเคปเลอร์ถึงปโตเลมี 15" . ข้อโต้แย้งแนวทแยง. สืบค้นเมื่อ20 พฤษภาคม 2025 .

[Hanson-29] Hanson, Norwood Russell (1 มิถุนายน 1960). "พลังทางคณิตศาสตร์ของดาราศาสตร์วงโคจร" (PDF) . Isis . 51 (2): 150– 158. doi : 10.1086/348869 . ISSN 0021-1753 . JSTOR 226846 . S2CID 33083254 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 1 พฤศจิกายน 2020 . สืบค้นเมื่อ21 ตุลาคม 2011 .

[30] ดู เช่นแอนิเมชันนี้สร้างโดย Christián Carman และ Ramiro Serra ซึ่งใช้ 1,000 เอพิไซเคิลเพื่อย้อนรอยตัวการ์ตูนโฮเมอร์ ซิมป์สัน ; ดูผลงานของคริสเตียน คาร์มานเรื่อง Deferentes, epiciclos y adaptacionesด้วย และ" La refutabilidad del Sistema de Epiciclos y Deferentes de Ptolomeo"

[31] Duhem, Pierre (1969). เพื่อรักษาปรากฏการณ์ บทความว่าด้วยแนวคิดทฤษฎีฟิสิกส์จากเพลโตถึงกาลิเลโอชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกOCLC 681213472 ( ส่วนหนึ่ง )

[32] จิโอวานนี กัลลาวอตติ: "การเคลื่อนที่เป็นระยะเสมือนจากฮิปปาร์ชุสถึงโคลโมโกรอฟ " ใน: Rendiconti Lincei – Matematica e Applicazioniซีรีส์ 9 แบนด์ 12 ฉบับที่ 2 พ.ศ. 2544 หน้า 125–152. ( PDF; 205 กิโลไบต์ )

[33] ลูซิโอ รุสโซ:การปฏิวัติที่ถูกลืมเลือน กำเนิดวิทยาศาสตร์ใน 300 ปีก่อนคริสตกาล และเหตุใดจึงต้องมีการเกิดใหม่สปริงเกอร์ เบอร์ลิน 2004 ISBN 3-540-20068-1หน้า 91

[34] ซัมมา เทววิทยา ,ฉันถาม. 32 ก. 1โฆษณา 2.

[35] Håkansson, Håkan (2007), "ไทโคผู้เผยพระวจนะ: ประวัติศาสตร์ โหราศาสตร์ และวิวรณ์ในวิทยาศาสตร์ยุคต้นสมัยใหม่" , พระวจนะและโลก , ลอนดอน: Palgrave Macmillan UK, หน้า 137–156 , doi : 10.1057/9780230206472_8 , ISBN 978-1-349-35338-5สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 6 ธันวาคม 2021.

[36] Repcheck, Jack (2008). ความลับของโคเปอร์นิคัส: การปฏิวัติวิทยาศาสตร์เริ่มต้นอย่างไร . นิวยอร์ก: Simon & Schuster Paperbacks. ISBN 978-0-7432-8952-8. OCLC 209693599 .

[37] ดูตัวอย่างเช่น Kolb, Rocky, Blind Watchers of the Sky , Addison–Wesley, 1996. หน้า 299. ( ISBN) 0-201-48992-9)

[38] "การปฏิวัติของใคร? โคเปอร์นิคัส บราเฮ และเคปเลอร์ | การสร้างแบบจำลองจักรวาล | บทความและเรียงความ | การค้นหาที่ของเราในจักรวาล: จากกาลิเลโอถึงซาแกนและอื่นๆ | คอลเลกชันดิจิทัล | หอสมุดรัฐสภา"หอสมุดรัฐสภาวอชิงตัน ดี.ซี. สืบค้นเมื่อ6 ธันวาคม 2021

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

20 ] Copernicus

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]