ในทางคณิตศาสตร์วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์เป็นวิธีแก้สมการเชิงฟังก์ชันของนิพจน์สองตัว เช่น พหุนาม สำหรับ ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจำนวนหนึ่ง วิธี นี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์สองตัวจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ ที่สอดคล้อง กันของแต่ละพจน์เท่ากัน วิธีนี้ใช้เพื่อทำให้สูตรอยู่ในรูปแบบที่ต้องการ

สมมติว่าเราต้องการใช้การแยกส่วนเศษส่วนกับนิพจน์ต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,}$

กล่าวคือ เราต้องการนำมันมาอยู่ในรูปแบบนี้:

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,}$

โดยที่พารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าคือA , BและCการคูณสูตรเหล่านี้ด้วยx ( x  − 1)( x  − 2) จะเปลี่ยนทั้งสองให้เป็นพหุนาม ซึ่งเราจะกำหนดให้เท่ากันดังนี้:

${\displaystyle A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,}$

หรือหลังจากขยายและรวบรวมพจน์ที่มีกำลังของx เท่ากันแล้ว :

${\displaystyle (A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,}$

^{ณ จุด นี้}จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องตระหนักว่าพหุนาม 1 นั้นเท่ากับพหุนาม 0x² +  0x +  1 โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สำหรับกำลังบวกของxการเทียบสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะทำให้ได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังนี้ :

${\displaystyle A+B+C=0,\,}$

${\displaystyle 3A+2B+C=0,\,}$

${\displaystyle 2A=1.\,}$

เมื่อแก้ปัญหาได้แล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,}$

ปัญหาที่คล้ายกัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเทียบพจน์ที่เหมือนกันแทนที่จะเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่เหมือนกัน จะเกิดขึ้นหากเราต้องการแยกรากที่ซ้อนกันออก เพื่อให้ได้นิพจน์ที่เทียบเท่ากันซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับรากที่สองของนิพจน์นั้นเองที่เกี่ยวข้องกับรากที่สอง เราสามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของพารามิเตอร์ตรรกยะd, eเช่นนั้น ${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}}$

${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.}$

เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.}$

ในการหาค่าdและeเราจะเทียบส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับรากที่สอง ดังนั้นและเทียบส่วนที่เกี่ยวข้องกับรากที่สอง ดังนั้นซึ่งเมื่อยกกำลังสองจะได้สิ่งนี้ทำให้เราได้สมการสองสมการ สมการหนึ่งเป็นสมการกำลัง สอง และอีกสมการหนึ่งเป็นสมการเชิงเส้น ในพารามิเตอร์dและe ที่เราต้องการ และเราสามารถแก้สม การเหล่านี้ เพื่อหาค่า ได้ ${\displaystyle a=d+e,}$${\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}}$${\displaystyle b^{2}c=4de.}$

${\displaystyle e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

${\displaystyle d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

ซึ่งจะเป็นคู่คำตอบที่ถูกต้องก็ต่อเมื่อ เป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$

พิจารณาระบบสมการที่มีตัวแปรเกินจำนวน นี้ (โดยมี 3 สมการใน 2 ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า):

${\displaystyle x-2y+1=0,}$

${\displaystyle 3x+5y-8=0,}$

${\displaystyle 4x+3y-7=0.}$

เพื่อทดสอบว่าสมการที่สามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นกับสองสมการแรกหรือไม่ ให้กำหนดพารามิเตอร์สองตัวคือaและbโดยที่aคูณสมการแรก บวกbคูณสมการที่สอง เท่ากับสมการที่สาม เนื่องจากเงื่อนไขนี้เป็นจริงเสมอสำหรับด้านขวา ซึ่งทั้งหมดเป็น 0 เราจึงเพียงแค่ต้องกำหนดให้เป็นจริงสำหรับด้านซ้ายด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.}$

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของxทั้งสองข้าง เทียบสัมประสิทธิ์ของyทั้งสองข้าง และเทียบค่าคงที่ทั้งสองข้าง จะได้ระบบสมการต่อไปนี้ในพารามิเตอร์aและb ที่ต้องการ :

${\displaystyle a+3b=4,}$

${\displaystyle -2a+5b=3,}$

${\displaystyle a-8b=-7.}$

เมื่อแก้สมการจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle a=1,\ b=1}$

คู่ค่าaและb ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งสอดคล้องกับสมการสองสมการแรกคือ ( a , b ) = (1, 1) เนื่องจากค่าเหล่านี้สอดคล้องกับสมการที่สามด้วย ดังนั้นจึงมีค่าaและb อยู่จริง ที่ทำให้aคูณสมการแรกเดิมบวกbคูณสมการที่สองเดิมเท่ากับสมการที่สามเดิม เราจึงสรุปได้ว่าสมการที่สามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นของสองสมการแรก

โปรดทราบว่า หากค่าคงที่ในสมการที่สามดั้งเดิมเป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ –7 ค่า ( a , b ) = (1, 1) ที่สอดคล้องกับสมการสองสมการแรกในพารามิเตอร์จะไม่สอดคล้องกับสมการที่สาม ( a – 8b =ค่าคงที่) ดังนั้นจะไม่มีค่าa , b ใดที่สอดคล้องกับสมการทั้งสามในพารามิเตอร์ และด้วยเหตุนี้สมการที่สามดั้งเดิมจึงเป็นอิสระจากสองสมการแรก

วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์มักใช้เมื่อต้องจัดการกับจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น ในการหารจำนวนเชิงซ้อนa + biด้วยจำนวนเชิงซ้อนc + diเราตั้งสมมติฐานว่าอัตราส่วนเท่ากับจำนวนเชิงซ้อนe + fiและเราต้องการหาค่าของพารามิเตอร์eและfที่ทำให้สมมติฐานนี้เป็นจริง เราเขียนว่า

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,}$

และคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนเพื่อให้ได้

${\displaystyle (ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.}$

การเทียบค่า จริง จะได้

${\displaystyle ce-fd=a,}$

และการเทียบสัมประสิทธิ์ของหน่วยจินตนาการiจะได้

${\displaystyle ed+cf=b.}$

นี่คือสมการสองสมการในพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าeและfซึ่งสามารถแก้หาค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ต้องการได้:

${\displaystyle e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{และ}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}$