ทฤษฎีบทของยูคลิดเป็นข้อความพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนที่ยืนยันว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ ยูคลิดเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งแรกในงานเขียนของเขาเรื่อง Elementsมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างน้อย 200 ครั้ง^{[ 1 ]}

ยูคลิดเสนอการพิสูจน์ในงานของเขาElements (เล่ม IX ข้อเสนอที่ 20) ^{[ 2 ]}ซึ่งสรุปไว้ที่นี่^{[ 3 ]}

พิจารณาลิสต์จำนวนเฉพาะp₁ p₂ , ...,  pₙ มี  จำกัด จะแสดงให้เห็นว่ามีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่ไม่รวมอยู่ในลิสต์นี้ ให้P เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดในลิสต์: P = p₁ p₂ ⋅⋅⋅ pₙ ให้q  =  P เนื่องจาก q เป็น  จำนวน  เฉพาะ  หรือไม่ เป็นจำนวนเฉพาะ :

• ถ้าqเป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่ามีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยอีกหนึ่งจำนวนที่ไม่อยู่ในรายการ ซึ่งก็คือqเอง
• ถ้าqไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แสดงว่าตัวประกอบเฉพาะ p บางตัวหารq ลงตัวถ้า  ตัวประกอบp นี้ อยู่ในรายการของเรา มันก็จะหารP ลงตัวด้วย (เนื่องจากPเป็นผลคูณของทุกจำนวนในรายการ) ถ้าpหารPและq ลงตัว แสดงว่าpต้องหารผลต่าง^{[ 4 ]}ของสองจำนวนนั้นลงตัวด้วย ซึ่งก็คือ ( P  + 1) −  Pหรือ 1 เนื่องจากไม่มีจำนวนเฉพาะใดหาร 1 ลงตัว ดังนั้นpจึงไม่สามารถอยู่ในรายการได้ ซึ่งหมายความว่ายังมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยอีกหนึ่งจำนวนที่ไม่ได้อยู่ในรายการ

สิ่งนี้พิสูจน์ว่าสำหรับรายการจำนวนเฉพาะที่จำกัดทุกรายการจะมีจำนวนเฉพาะที่ไม่อยู่ในรายการ^{[ 5 ]}ในงานดั้งเดิม ยูคลิดได้กำหนดให้เซตจำนวนเฉพาะที่จำกัดใดๆ เป็น A, B, Γ ^{[ 6 ]}

มักมีการรายงานผิดพลาดว่ายูคลิดพิสูจน์ผลลัพธ์นี้โดยการขัดแย้งโดยเริ่มจากสมมติฐานที่ว่าเซตจำกัดที่พิจารณาในตอนแรกประกอบด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมด^{[ 7 ]}แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วเป็นการพิสูจน์โดยกรณีซึ่ง เป็นวิธี การพิสูจน์โดยตรงนักปรัชญาTorkel Franzénในหนังสือเกี่ยวกับตรรกศาสตร์กล่าวว่า "การพิสูจน์ของยูคลิดที่ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์นั้นไม่ใช่การพิสูจน์ทางอ้อม [...] บางครั้งข้อโต้แย้งนี้ถูกกำหนดให้เป็นการพิสูจน์ทางอ้อมโดยการแทนที่ด้วยสมมติฐาน 'สมมติว่าq , ..., q เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด' อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมมติฐานนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ การกำหนดใหม่จึงไม่มีประโยชน์" ^{[ 8 ]}

การพิสูจน์ของยูคลิดมีหลายรูปแบบ รวมถึงรูปแบบต่อไปนี้:

แฟกทอเรียลn ! ของจำนวนเต็มบวกnหารลงตัวด้วยจำนวนเต็มทุกจำนวนตั้งแต่ 2 ถึงnเนื่องจากเป็นผลคูณของจำนวนเต็มเหล่านั้นทั้งหมด ดังนั้นn ! + 1จึงหารไม่ลงตัวด้วยจำนวนเต็มใดๆ ตั้งแต่ 2 ถึงnรวมทั้ง 2 ด้วย (เมื่อหารด้วยจำนวนเต็มแต่ละจำนวนจะเหลือเศษ 1) ดังนั้นn ! + 1จึงเป็นจำนวนเฉพาะหรือหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะที่มากกว่า  n ไม่ว่าในกรณีใด สำหรับจำนวนเต็มบวก nทุกจำนวนจะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่มากกว่า  nข้อสรุปคือจำนวนของจำนวนเฉพาะมีอนันต์^{[ 9 ]}

บทพิสูจน์อีกบทหนึ่งโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสLeonhard Eulerอาศัยทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตนั่นคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนมีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน สิ่งที่ Euler เขียน (ไม่ใช่ด้วยสัญลักษณ์สมัยใหม่นี้ และไม่เหมือนมาตรฐานสมัยใหม่ ที่ไม่ได้จำกัดอาร์กิวเมนต์ในการบวกและการคูณไว้เฉพาะเซตจำนวนเต็มจำกัดใดๆ) เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า^{[ 10 ]} โดยที่แทนเซตของ จำนวนเฉพาะ kตัวแรก และคือเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอยู่ใน$${\displaystyle \prod _{p\in P_{k}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}=\sum _{n\in N_{k}}{\frac {1}{n}},}$$${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle N_{k}}$${\displaystyle P_{k}.}$

เพื่อแสดงให้เห็นเช่นนี้ เราจะขยายแต่ละตัวประกอบในผลคูณออกเป็นอนุกรมเรขาคณิตและกระจายผลคูณนั้นไปทั่วผลรวม (นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตรผลคูณของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ) $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\in P_{k}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}&=\prod _{p\in P_{k}}\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{p^{i}}}\\&=\left(\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{2^{i}}}\right)\cdot \left(\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{3^{i}}}\right)\cdot \left(\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{5^{i}}}\right)\cdot \left(\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{7^{i}}}\right)\cdots \\&=\sum _{\ell ,m,n,p,\ldots \geq 0}{\frac {1}{2^{\ell }3^{m}5^{n}7^{p}\cdots }}\\&=\sum _{n\in N_{k}}{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

ในผลรวมก่อนสุดท้าย ผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกตัวปรากฏเพียงครั้งเดียว ดังนั้นความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงเป็นจริงตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ในบทสรุปแรกของผลลัพธ์นี้ ออยเลอร์ใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกับ"อนันต์สัมบูรณ์" และเขียนว่าผลรวมอนันต์ในข้อความเท่ากับ "ค่า" ซึ่งผลคูณอนันต์จึงเท่ากับ (ในศัพท์สมัยใหม่ นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าผลรวมย่อยจนถึงของอนุกรมฮาร์มอนิกลู่เข้าแบบไม่จำกัดเหมือน) จากนั้นในบทสรุปที่สอง ออยเลอร์สังเกตว่าผลคูณลู่ เข้าสู่ค่าจำกัด 2 และด้วยเหตุนี้จึงมีจำนวนเฉพาะมากกว่ากำลังสอง นี่เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทของยูคลิด^{[ 11 ]}${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \log \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \log x}$$${\displaystyle \prod _{n\geq 2}{\frac {1}{1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}$$

ในบทความเดียวกัน (ทฤษฎีบทที่ 19) ออยเลอร์ได้ใช้ความเท่าเทียมกันข้างต้นเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่แข็งแกร่งกว่ามากซึ่งไม่เป็นที่รู้จักมาก่อน นั่น คือ อนุกรม ลู่เข้าโดยที่Pแทนเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด (ออยเลอร์เขียนว่าผลรวมอนันต์เท่ากับซึ่งในศัพท์สมัยใหม่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าผลรวมย่อยจนถึง ของอนุกรมนี้มีพฤติกรรมเชิงอะซิ ม โท ติกเหมือน)$${\displaystyle \sum _{p\in P}{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle \log \log \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \log \log x}$

Paul Erdősได้ให้การพิสูจน์^{[ 12 ]}ที่อาศัยทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตเช่นกัน จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนมีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองrและจำนวนกำลังสองs ²ตัวอย่างเช่น75,600 = 2 ⁴ 3 3 5 2 ^{7 1} = ²¹ ⋅ 60 ²

ให้Nเป็นจำนวนเต็มบวก และให้kเป็นจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับNเรียกจำนวนเฉพาะเหล่านั้นว่า^p₁ , , pₙจำนวนเต็มบวกใดๆaที่น้อยกว่าหรือเท่ากับNสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ eᵢ แต่ละตัว 0 หรือ 1 มี 2ᵏ วิธีในการสร้างส่วนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองของaและs² มี ได้มากที่สุดเท่ากับNดังนั้นs ≤ √N ดังนั้นจึง ^มี จำนวน อย่างมากที่สุด2ᵏ√N จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปนี้ ได้กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หรือเมื่อจัดเรียงใหม่k ซึ่ง^เป็นจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับNจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ⁠$${\displaystyle a=\left(p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\right)s^{2},}$$$${\displaystyle N\leq 2^{k}{\sqrt {N}}.}$$1/2log Nเนื่องจาก Nเป็นค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้น kจึงสามารถมีค่ามากเท่าที่ต้องการได้โดยการเลือก N อย่างเหมาะสม

ในช่วงทศวรรษ 1950 ฮิลเลล เฟอร์สเตนเบิร์กได้นำเสนอการพิสูจน์โดยการขัดแย้งโดยใช้ โทโพโลยี เซตจุด^{[ 13 ]}

กำหนดโทโพโลยีบนจำนวนเต็ม⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งเรียกว่าโทโพโลยีจำนวนเต็มที่มีระยะห่างเท่ากันโดยประกาศว่าเซตย่อย⁠ ⁠${\displaystyle U\subseteq \mathbb {Z} }$เป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อ เซตย่อย นั้นเป็นเซตว่าง ⁠ ⁠${\displaystyle \emptyset }$หรือเป็นผลรวมของลำดับเลขคณิต(สำหรับ⁠ ⁠ ) โดยที่ ${\textstyle S(a,b)}$${\displaystyle a\neq 0}$$${\displaystyle S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.}$$

ดังนั้นจึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้นจากคุณสมบัติที่ว่าเซตจำนวนเต็มจำกัดไม่สามารถเป็นเซตเปิดได้ และคุณสมบัติที่ว่าเซตฐานเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดเนื่องจาก เซตฐาน ไม่สามารถเป็นเซตปิดได้เพราะเซตส่วนเติมเต็มของมันเป็นเซตจำกัด แต่เป็นเซตปิดได้เพราะมันเป็นผลรวมจำกัดของเซตปิด ${\textstyle S(a,b)}$$${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p{\text{ prime}}}S(p,0)}$$

Juan Pablo Pinasco ได้เขียนบทพิสูจน์ต่อไปนี้^{[ 14 ]}

ให้p , ...,  p เป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดNตัว แล้วโดยหลักการรวม-แยกจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxที่หารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะเหล่านั้นคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor -\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor &+\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor -\cdots \\&\cdots \pm (-1)^{N+1}\left\lfloor {\frac {x}{p_{1}\cdots p_{N}}}\right\rfloor .\qquad (1)\end{aligned}}}$$

หารด้วยxและให้x  → ∞ จะได้

$${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{p_{i}}}-\sum _{i<j}{\frac {1}{p_{i}p_{j}}}+\sum _{i<j<k}{\frac {1}{p_{i}p_{j}p_{k}}}-\cdots \pm (-1)^{N+1}{\frac {1}{p_{1}\cdots p_{N}}}.\qquad (2)}$$

สามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle 1-\prod _{i=1}^{N}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\qquad (3)}$$

ถ้าไม่มีจำนวนเฉพาะอื่นนอกจากp , ...,  p แล้ว นิพจน์ใน (1) จะเท่ากับ  และนิพจน์ใน (2) จะเท่ากับ 1 แต่เห็นได้ชัดว่านิพจน์ใน (3) ไม่เท่ากับ 1 ดังนั้น จะต้องมีจำนวนเฉพาะมากกว่า   p 1 ...,  p ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

ในปี 2010 Junho Peter Whang ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์โดยการขัดแย้งดังต่อไปนี้^{[ 15 ]} ให้kเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จากนั้นตามสูตรของ Legendre (บางครั้งมีการกล่าวอ้างว่าเป็นของde Polignac ) โดยที่ $${\displaystyle k!=\prod _{p{\text{ prime}}}p^{f(p,k)}}$$$${\displaystyle f(p,k)=\left\lfloor {\frac {k}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {k}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots .}$$$${\displaystyle f(p,k)<{\frac {k}{p}}+{\frac {k}{p^{2}}}+\cdots ={\frac {k}{p-1}}\leq k.}$$

แต่ถ้ามีจำนวนเฉพาะอยู่เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น (ตัวเศษของเศษส่วนจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังเดี่ยวในขณะที่ตามการประมาณของสเตอร์ลิงตัวส่วนจะเพิ่มขึ้นเร็วกว่าแบบเลขชี้กำลังเดี่ยว) ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับแต่ละkตัวเศษจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left(\prod _{p}p\right)^{k}}{k!}}=0,}$$

Filip Saidak ได้ให้การพิสูจน์ต่อไปนี้โดยการสร้างซึ่งไม่ได้ใช้การหักล้างแบบไร้เหตุผล^{[ 16 ]}หรือเลมมาของยูคลิด (ที่ว่าถ้าจำนวนเฉพาะp หาร abลงตัวก็ต้องหารaหรือ  b ลงตัวด้วย )

เนื่องจากจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนที่มากกว่า 1 มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัวและจำนวนสองจำนวนที่อยู่ติดกันnและ ( n  + 1) ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ดังนั้นผลคูณn ( n  + 1) จึงมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันมากกว่าจำนวนnเอง ดังนั้นลำดับของจำนวนเฉพาะ 1 × 2 = 2 {2}, 2 × 3 = 6 {2, 3}, 6 × 7 = 42 {2, 3, 7}, 42 × 43 = 1806 {2, 3, 7, 43}, 1806 × 1807 = 3263442 {2, 3, 7, 43, 13, 139}, ... จึงเป็นลำดับของเซตของจำนวนเฉพาะที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด

สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะkตัว ( p , ..., p ) ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ก็สามารถแสดงได้เป็น โดย ที่เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบe พร้อมกับรายการจำนวนเฉพาะที่มีขนาดจำกัดก็เพียงพอที่จะสร้างจำนวนนั้นขึ้นมาใหม่ได้ เนื่องจากสำหรับทุกiจึงสรุปได้ว่าสำหรับทุกi (โดยที่หมายถึงลอการิทึมฐาน 2) ซึ่งทำให้ได้การเข้ารหัสสำหรับnที่มีขนาดดังต่อไปนี้ (โดยใช้สัญกรณ์บิ๊กโอ ): บิต นี่เป็นการเข้ารหัสที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการแสดงnโดยตรงในรูปแบบไบนารี ซึ่งใช้บิต ผลลัพธ์ที่ได้รับการยอมรับในการบีบอัดข้อมูลแบบไม่สูญเสียระบุว่าโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถบีบอัดข้อมูลN บิตให้น้อยกว่า N บิต ได้การแสดงข้างต้นละเมิดสิ่งนี้อย่างมากเมื่อnมีขนาดใหญ่พอ เนื่องจากดังนั้นจำนวนจำนวนเฉพาะต้องไม่จำกัด^{[ 17 ]}$${\displaystyle n={p_{1}}^{e_{1}}{p_{2}}^{e_{2}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$$${\displaystyle p_{i}\geq 2}$${\displaystyle e_{i}\leq \lg n}$${\displaystyle \lg }$$${\displaystyle O({\text{ขนาดรายการจำนวนเฉพาะ}}+k\lg \lg n)=O(\lg \lg n)}$$${\displaystyle N=O(\lg n)}$${\displaystyle {1}}$

Romeo Meštrović ใช้การโต้แย้งแบบคู่-คี่เพื่อแสดงว่าถ้าจำนวนจำนวนเฉพาะไม่เป็นอนันต์ 3 จะเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง^{[ 18 ]}

สมมติ ว่า และคือจำนวนเฉพาะทั้งหมด พิจารณาและสังเกตว่าตามสมมติฐาน จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ จะอยู่ในเซตโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับและ ก็เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ เช่นกันอย่างไรก็ตามนี่หมายความว่าเป็นจำนวนคี่ในเซตดังนั้นหรือซึ่งหมายความว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งขัดแย้ง กัน${\displaystyle p_{1}=2<p_{2}=3<p_{3}<\cdots <p_{k}}$${\displaystyle P=3p_{3}p_{4}\cdots p_{k}}$${\displaystyle S=\{1,2,2^{2},2^{3},\dots \}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P-2}$${\displaystyle P-2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P-2=1}$${\displaystyle P=3}$${\displaystyle 3}$

การพิสูจน์ข้างต้นยังคงใช้ได้หากแทนที่ด้วยจำนวนเฉพาะใดๆที่มี⁠ ⁠ผลคูณจะกลายเป็นและข้อโต้แย้งเรื่องจำนวนคู่หรือจำนวนคี่จะถูกแทนที่ด้วยข้อโต้แย้งเรื่องจำนวนที่หารลงตัวหรือหารไม่ลงตัวด้วย^ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นคือ^จะต้องเท่ากับและมากกว่า⁠ ⁠ พร้อมกัน ^ซึ่งเป็นไปไม่ ได้${\displaystyle 2}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle j\in \{1,2,\dots ,k-1\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{j-1}\cdot p_{j+1}\cdots p_{k}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle P-p_{j}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$

ทฤษฎีบทในส่วนนี้แสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทของยูคลิดและผลลัพธ์อื่นๆ ไปพร้อมๆ กัน

ทฤษฎีบทของ Dirichlet กล่าวว่า สำหรับจำนวนเต็มบวกที่ ไม่มีตัวหารร่วมที่เท่ากันสองจำนวนใดๆ aและ  dจะมีจำนวนเฉพาะในรูปแบบa  +  nd อยู่เป็นอนันต์ โดยที่nก็เป็นจำนวนเต็มบวกเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีจำนวนเฉพาะที่สมมูลกับa มอดูลd อยู่ เป็น อนันต์

ให้π ( x )เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะที่ให้จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxสำหรับจำนวนจริง  x ใดๆ ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่าx /log xเป็นค่าประมาณที่ดีของπ ( x )ในแง่ที่ว่าลิมิตของผลหารของฟังก์ชันπ ( x )และx /log xเมื่อxเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตคือ 1: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.}$$

เมื่อใช้สัญกรณ์เชิงอะซิมโทติกผลลัพธ์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$$

ซึ่งจะนำไปสู่ทฤษฎีบทของยูคลิด เนื่องจาก${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x}{\log x}}=\infty .}$

ในทฤษฎีจำนวน สัจพจน์ของเบอร์ทรานด์เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่า สำหรับจำนวนเต็ม ใด ๆจะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งจำนวนเสมอซึ่งสอดคล้อง กับเงื่อนไข หรือเขียนแทนฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (จำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ) ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าสำหรับ ทุกจำนวนเฉพาะ${\displaystyle n>1}$$${\displaystyle n<p<2n.}$$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$${\textstyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1}$${\displaystyle x\geq 2}$

ข้อความนี้ได้รับการตั้งสมมติฐานครั้งแรกในปี พ.ศ. 2388 โดยJoseph Bertrand ^{[ 19 ]} (พ.ศ. 2365–2443) Bertrand เองได้ตรวจสอบข้อความของเขาสำหรับตัวเลขทั้งหมดในช่วง[2, 3 × 10 ⁶ ] สมมติฐานของเขาได้ รับการพิสูจน์ อย่างสมบูรณ์โดยChebyshev (พ.ศ. 2364–2437) ในปี พ.ศ. 2395 ^{[ 20 ]}ดังนั้นสมมติฐานนี้จึงเรียกว่าทฤษฎีบท Bertrand–Chebyshevหรือทฤษฎีบทของ Chebyshev

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของยูคลิด" . แมธเวิลด์ .
• ตำราเรขาคณิตของยูคลิด เล่มที่ 9 ข้อที่ 20 (บทพิสูจน์ของยูคลิด จากเว็บไซต์ของเดวิด จอยซ์ ที่มหาวิทยาลัยคลาร์ก)