ในทางคณิตศาสตร์การแปลงแบบแข็ง (เรียกอีกอย่างว่าการแปลงแบบยุคลิดหรือไอโซเมตรีแบบยุคลิด ) คือการแปลงทางเรขาคณิตของปริภูมิยุคลิดที่รักษาระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดทุกคู่^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

การแปลงแบบคงรูป (Rigid transformation) ได้แก่การหมุนการเลื่อนการสะท้อนหรือลำดับของการกระทำเหล่านี้ การสะท้อนบางครั้งถูกยกเว้นจากคำจำกัดความของการแปลงแบบคงรูป โดยกำหนดให้การแปลงนั้นต้องรักษาความเป็นมือซ้ายหรือมือขวาของวัตถุในปริภูมิยูคลิดด้วย (การสะท้อนจะไม่รักษาความเป็นมือซ้ายหรือมือขวา ตัวอย่างเช่น มันจะแปลงมือซ้ายให้เป็นมือขวา) เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม การแปลงที่รักษาความเป็นมือซ้ายหรือมือขวาเรียกว่า การเคลื่อนที่แบบคงรูป ( Rigid motion) การเคลื่อนที่ แบบยูคลิด ( Euclidean motion ) หรือการแปลงแบบคงรูปที่เหมาะสม (Proper rigid transformation )

ในมิติที่สอง การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งจะเป็นการเลื่อนหรือการหมุนในมิติที่สาม การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งทุกแบบสามารถแยกย่อยได้เป็นการประกอบกันของการหมุนและการเลื่อน จึงเรียกอีกอย่างว่าการหมุนและการเลื่อน (rototranslation ) ในมิติที่สาม การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งทั้งหมดเป็นการเคลื่อนที่แบบเกลียว ด้วย (นี่คือทฤษฎีบทของชาลส์ )

ในมิติไม่เกินสามมิติการแปลงรูปทรงแข็งที่ไม่เหมาะสม ใดๆ สามารถแยกย่อยออกเป็นการหมุนที่ไม่เหมาะสมตามด้วยการเลื่อน หรือเป็นลำดับของการสะท้อนได้

วัตถุใดๆ จะคงรูปทรงและขนาดเดิมไว้หลังจากได้รับการแปลงรูปทรงแบบแข็งตัวอย่างเหมาะสม

การแปลงแบบแข็งทั้งหมดเป็นตัวอย่างของการแปลงแบบแอฟฟินเซตของการแปลงแบบแข็งทั้งหมด (ทั้งแบบเหมาะสมและไม่เหมาะสม) เป็นกลุ่มทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่ากลุ่มยุคลิดซึ่งเขียนแทนด้วยE( n )สำหรับ ปริภูมิยุคลิดมิติ n เซตของการ เคลื่อนที่ แบบแข็งเรียกว่ากลุ่มยุคลิดพิเศษ และเขียนแทนด้วยSE( n )

ในจลศาสตร์การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ ใช้เพื่อแสดงการกระจัดของวัตถุแข็งเกร็งตามทฤษฎีบทของชาลส์การแปลงแบบแข็งเกร็งทุกรูปแบบสามารถแสดงได้ในรูปของ การเคลื่อนที่ แบบ เกลียว

การแปลงแบบแข็ง (rigid transformation) ถูกนิยามอย่างเป็นทางการว่าเป็นการแปลงที่เมื่อกระทำกับเวกเตอร์v ใดๆ จะสร้างเวกเตอร์ที่แปลงแล้วT ( v )ในรูปแบบ

โดยที่R ^T = R ⁻¹ (นั่น คือ Rเป็นการแปลงเชิงตั้งฉาก ) และtเป็นเวกเตอร์ที่แสดงการเลื่อนของจุดกำเนิด

นอกจากนี้ การแปลงแบบแข็งตัวที่เหมาะสมยังมีคุณสมบัติเพิ่มเติมดังนี้

ซึ่งหมายความว่าRไม่ก่อให้เกิดการสะท้อน และดังนั้นจึงแสดงถึงการหมุน (การแปลงเชิงตั้งฉากที่รักษาทิศทาง) อันที่จริง เมื่อเมทริกซ์การแปลง เชิงตั้งฉาก ก่อให้เกิดการสะท้อน ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของมันจะเป็น −1

จำเป็นต้องมี มาตรวัดระยะห่างระหว่างจุด หรือเมตริกเพื่อยืนยันว่าการแปลงนั้นมีความแข็งแกร่ง สูตร ระยะทางแบบยุคลิดสำหรับR ⁿเป็นการขยายความของทฤษฎีบทพีทาโก รัส สูตรนี้ให้ระยะทางยกกำลังสองระหว่างจุดสองจุดXและYเป็นผลรวมของกำลังสองของระยะทางตามแกนพิกัด นั่นคือ โดยที่X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )และY = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n )และจุดหมายถึงผลคูณเชิงสเกลาร์ $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$

เมื่อใช้สูตรระยะทางนี้ การแปลงแบบแข็งตัวg  : R ⁿ → R ⁿจะมีคุณสมบัติดังนี้ $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

การเลื่อนตำแหน่งของปริภูมิเวกเตอร์เป็นการเพิ่มเวกเตอร์dให้กับทุกเวกเตอร์ในปริภูมิ ซึ่งหมายความว่ามันคือการแปลง

สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายๆ ว่านี่คือการแปลงแบบคงรูป (rigid transformation) โดยการแสดงให้เห็นว่าระยะห่างระหว่างเวกเตอร์ที่ถูกเลื่อนเท่ากับระยะห่างระหว่างเวกเตอร์เดิม: $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

การแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์L  : R ⁿ → R ⁿจะรักษาผลรวมเชิงเส้นไว้การ แปลงเชิงเส้นLสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ ซึ่งหมายความว่า $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} )}$$

โดยที่[ L ]คือเมทริกซ์ขนาด n × n

การแปลงเชิงเส้นเป็นการแปลงแบบแข็ง (rigid transformation) ก็ต่อเมื่อมันเป็นไปตามเงื่อนไข นั่นคือ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวv . wสามารถเขียนได้เป็นการดำเนินการเมทริกซ์v ^T wโดยที่ T หมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เราจะได้ ดังนั้น การแปลงเชิงเส้นLจะเป็นแบบแข็งก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของมันเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่[ I ]คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrices) เงื่อนไขนี้ต้องการให้คอลัมน์ของเมทริกซ์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์หน่วยเชิงตั้งฉากกัน $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )}$$$${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$

เมทริกซ์ที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะก่อตัวเป็นกลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ ภายใต้การดำเนินการคูณเมทริกซ์ เรียกว่ากลุ่ม เชิงตั้งฉากของเมทริกซ์ n×nและใช้สัญลักษณ์O ( n )

คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเงื่อนไขสำหรับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากเพื่อให้ได้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์[ L ]สามารถมีดีเทอร์มิแนนต์เป็น +1 หรือ −1 ได้ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 คือการสะท้อน และเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 คือการหมุน สังเกตว่าเซตของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากสามารถมองได้ว่าประกอบด้วยแมนิโฟลด์สองอันในR ^{n × n}ที่คั่นด้วยเซตของเมทริกซ์เอกฐาน $${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$

เซตของเมทริกซ์การหมุนเรียกว่ากลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษและใช้สัญลักษณ์SO( n )เป็นตัวอย่างของกลุ่มลีเนื่องจากมีโครงสร้างแบบแมนิโฟลด์

• การเปลี่ยนรูป (กลศาสตร์)
• การเคลื่อนที่ (เรขาคณิต)
• พลศาสตร์ของวัตถุแข็ง