ตัวรวมเชิงเลขชี้กำลัง (Exponential integrators) เป็น วิธีการเชิงตัวเลขประเภทหนึ่งสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีการกลุ่มใหญ่จากสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข นี้ อาศัยการหาปริพันธ์ที่แม่นยำของ ส่วน เชิงเส้นของปัญหาค่าเริ่มต้น เนื่องจากส่วนเชิงเส้นถูกหาปริพันธ์อย่างแม่นยำ จึงช่วยลดความซับซ้อนของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ ตัวรวมเชิงเลขชี้กำลังสามารถสร้างขึ้นให้เป็นแบบชัดแจ้งหรือแบบไม่ชัดแจ้งสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงตัวเลขหรือใช้เป็นตัวรวมเวลาสำหรับ สมการเชิง อนุพันธ์ย่อยเชิงตัวเลขได้

^{วิธีการเหล่านี้ได้รับการยอมรับโดย Certaine [ 1 ]}และ Pope ^{[ 2 ]}ย้อนกลับไปอย่างน้อยในช่วงทศวรรษ 1960 เมื่อไม่นานมานี้ ตัวรวมเลขชี้กำลังได้กลายเป็นหัวข้อวิจัยที่ได้รับความสนใจอย่างมาก ดูHochbruckและ Ostermann (2010) ^{[ 3 ]} เดิมทีพัฒนาขึ้นเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบแข็งวิธีการเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยรวมถึงปัญหาไฮเปอร์โบลิกและพาราโบลิ ก ^{[ 4 ]}เช่น สมการ ความร้อน

เราพิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้นในรูปแบบดังต่อไปนี้

$${\displaystyle u'(t)=Lu(t)+N(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$

1

โดยที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเส้นและประกอบด้วย พจน์ ที่ไม่เป็นเชิงเส้นปัญหาเหล่านี้อาจมาจากปัญหาค่าเริ่มต้นทั่วไป หลังจากทำการทำให้เป็นเชิงเส้นในระดับท้องถิ่นเกี่ยวกับสถานะคงที่หรือสถานะท้องถิ่น: ในที่นี้หมายถึงอนุพันธ์ย่อยของเทียบกับ(เมทริกซ์จาโคเบียนของf ) ${\displaystyle L}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle u'(t)=f(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$${\displaystyle u^{*}}$$${\displaystyle L={\frac {\บางส่วน f}{\บางส่วน u}}(u^{*});\qquad N=f(u)-Lu.}$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$

การบูรณาการที่แม่นยำของปัญหานี้ตั้งแต่เวลา 0 ถึงเวลาภายหลังสามารถทำได้โดยใช้เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลเพื่อกำหนดสมการอินทิกรัลสำหรับคำตอบที่แม่นยำ: ^{[ 3 ]}${\displaystyle t}$

$${\displaystyle u(t)=e^{Lt}u_{0}+\int _{0}^{t}e^{L(t-\tau )}N{\left(u{\left(\tau \right)}\right)}\,d\tau .}$$

2

นี่คล้ายกับปริพันธ์ที่แน่นอนที่ใช้ในทฤษฎีบท Picard–Lindelöfในกรณีของสูตรนี้เป็นคำตอบที่แน่นอนของ สมการ เชิง อนุพันธ์เชิงเส้น${\displaystyle N\equiv 0}$

วิธีการเชิงตัวเลขจำเป็นต้องมีการแบ่งส่วนสมการ (2) ออกเป็นส่วนย่อย ซึ่งสามารถอิงตาม การแบ่งส่วนRunge-Kutta ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นหรือตัวเลือกอื่นๆ อีกมากมาย

วิธีการของ Rosenbrock แบบเอกซ์โพเนนเชียลได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพมากในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบแข็งขนาดใหญ่ ซึ่งมักเกิดจากการแยกส่วนเชิงพื้นที่ของ PDE ที่ขึ้นอยู่กับเวลา (พาราโบลิก) ตัวรวมเหล่านี้สร้างขึ้นบนพื้นฐานของการทำให้เป็นเชิงเส้นอย่างต่อเนื่องของ (1) ตามการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข${\displaystyle u_{n}}$

$${\displaystyle u'(t)=L_{n}u(t)+N_{n}(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$

3

โดยที่, . ขั้นตอนนี้มีข้อดีในแต่ละขั้นตอนคือ วิธี นี้ช่วยลดความซับซ้อนในการหาเงื่อนไขลำดับและปรับปรุงเสถียรภาพเมื่อรวมความไม่เป็นเชิงเส้นอีกครั้ง การใช้สูตรการแปรผันของค่าคงที่ (2) จะให้คำตอบที่แน่นอน ณ เวลาเป็น ${\displaystyle L_{n}={\frac {\partial f}{\partial u}}(u_{n})}$${\displaystyle N_{n}(u)=f(u)-L_{n}u}$${\displaystyle {\frac {\partial N_{n}}{\partial u}}(u_{n})=0.}$${\displaystyle N(u(t))}$${\displaystyle t_{n+1}}$

$${\displaystyle u(t_{n+1})=e^{h_{n}L_{n}}u(t_{n})+\int _{0}^{h_{n}}e^{(h_{n}-\tau )L_{n}}N_{n}(u(t_{n}+\tau ))d\tau .}$$

4

แนวคิดในขณะนี้คือการประมาณค่าอินทิกรัลใน (4) โดยใช้กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขบางอย่างที่มีโหนดและน้ำหนัก( ) ซึ่งจะให้คลาสของวิธีการ Rosenbrock แบบเอกซ์โพเนนเชียลแบบชัดเจน 4 ขั้นตอนดังต่อไปนี้ ดู Hochbruck และ Ostermann (2006), Hochbruck, Ostermann และ Schweitzer (2009): โดยที่, , .สัมประสิทธิ์มักจะถูกเลือกเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันทั้งหมดตามลำดับ โดยที่ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยการแนะนำความแตกต่างพวกมันสามารถถูกกำหนดรูปแบบใหม่ให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการใช้งาน (ดู^{[ 3 ]} ด้วย ) เป็น ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle b_{i}(h_{n}L_{n})}$${\displaystyle 1\leq i\leq s}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=e^{c_{i}h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{nj}),\\u_{n+1}&=e^{h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{i=1}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{ni})\end{aligned}}}$$${\displaystyle u_{n}\approx u(t_{n})}$${\displaystyle U_{ni}\approx u(t_{n}+c_{i}h_{n})}$${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$${\displaystyle a_{ij}(z),b_{i}(z)}$${\displaystyle \varphi _{k}(c_{i}z),\varphi _{k}(z)}$$${\displaystyle \varphi _{0}(z)=e^{z},\quad \varphi _{k}(z)=\int _{0}^{1}e^{(1-\theta )z}{\frac {\theta ^{k-1}}{(k-1)!}}d\theta ,\quad k\geq 1.}$$$${\displaystyle \varphi _{k+1}(z)={\frac {\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(0)}{z}},\ k\geq 0.}$$${\displaystyle D_{ni}=N_{n}(U_{ni})-N_{n}(u_{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=u_{n}+c_{i}h_{n}\varphi _{1}(c_{i}h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{j=2}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})D_{nj},\\u_{n+1}&=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})D_{ni}.\end{aligned}}}$$

เพื่อนำแผนการนี้ไปใช้กับขนาดขั้นตอนที่ปรับเปลี่ยนได้ เราสามารถพิจารณาใช้วิธีฝังตัวต่อไปนี้เพื่อวัตถุประสงค์ในการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนเฉพาะที่ ซึ่งใช้ขั้นตอนเดียวกันแต่มีน้ำหนักถ่วง $${\displaystyle {\bar {u}__{n+1}=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}{\bar {b}__{i}(h_{n}L_{n})D_{ni},}$$${\displaystyle U_{ni}}$${\displaystyle {\bar {b}__{i}}$

เพื่อความสะดวก สัมประสิทธิ์ของวิธีการเลขชี้กำลังแบบชัดเจนของ Rosenbrock รวมทั้งวิธีการแบบฝังตัว สามารถแสดงได้โดยใช้ตาราง Butcher แบบลดรูป ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle c_{2}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{32}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle a_{s3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle b_{3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$
	${\displaystyle {\bar {b}__{2}}$	${\displaystyle {\bar {b}__{3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle {\bar {b}}_{s-1}}$	${\displaystyle {\bar {b}}_{s}}$

ยิ่งไปกว่านั้น มีการแสดงให้เห็นใน Luan และ Ostermann (2014a) ^{[ 8 ]}ว่าแนวทางการกำหนดรูปแบบใหม่นำเสนอวิธีใหม่และง่ายในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดเฉพาะที่และด้วยเหตุนี้จึงสามารถอนุมานเงื่อนไขลำดับที่แข็งสำหรับวิธีการ Rosenbrock แบบเอกซ์โพเนนเชียลได้ถึงลำดับที่ 5 ด้วยความช่วยเหลือของเทคนิคใหม่นี้ร่วมกับการขยายแนวคิด B-series ทฤษฎีสำหรับการอนุมานเงื่อนไขลำดับที่แข็งสำหรับตัวรวม Rosenbrock แบบเอกซ์โพเนนเชียลของลำดับใด ๆ ได้รับการนำเสนอในที่สุดใน Luan และ Ostermann (2013) ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น ในงานนั้นได้มีการอนุมานเงื่อนไขลำดับที่แข็งสำหรับวิธีการ Rosenbrock แบบเอกซ์โพเนนเชียลได้ถึงลำดับที่ 6 ซึ่งระบุไว้ในตารางต่อไปนี้:

เลขที่	เงื่อนไขการสั่งซื้อที่เข้มงวด	คำสั่ง
1	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}=2\varphi _{3}(Z)}$	3
2	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{3}=6\varphi _{4}(Z)}$	4
3	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{4}=24\varphi _{5}(Z)}$	5
4	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{3,i}(Z)=0}$
5	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{3,i}(Z)=0}$	6
6	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}M\psi _{3,i}(Z)=0}$
7	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{4,i}(Z)=0}$

ในที่นี้ , , และแทนเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

มีการพิสูจน์ผลลัพธ์ด้านเสถียรภาพและการลู่เข้าของวิธีการ Rosenbrock แบบเอกซ์โปเนนเชียลในกรอบของเซมิกรุปต่อเนื่องอย่างเข้มข้นในปริภูมิ Banach บางส่วน

แผนการทั้งหมดที่นำเสนอไว้ด้านล่างนี้เป็นไปตามเงื่อนไขลำดับที่เข้มงวด และจึงเหมาะสมสำหรับการแก้ปัญหาที่เข้มงวดเช่นกัน

วิธีการ Rosenbrock แบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคือแบบแผน Rosenbrock–Euler แบบเลขชี้กำลัง ซึ่งมีอันดับ 2 ดูตัวอย่างเช่น Hochbruck et al. (2009): $${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}).}$$

วิธีการ Rosenbrock แบบเอกซ์โปเนนเชียลลำดับที่สามประเภทหนึ่งได้รับการพัฒนาขึ้นในงานของ Hochbruck et al. (2009) โดยตั้งชื่อว่า exprb32 ซึ่งมีรูปแบบดังนี้:

เอ็กซ์พร์บ32:

1
	${\displaystyle 2\varphi _{3}}$
	0

ซึ่งอ่านได้ว่า ที่ไหน$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n2}&=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}),\\[1ex]u_{n+1}&=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\ 2\varphi _{3}(h_{n}L_{n})D_{n2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle D_{n2}=N_{n}(U_{n2})-N_{n}(u_{n}).}$

สำหรับการใช้งานแผนการนี้โดยปรับขนาดขั้นตอนได้ สามารถผนวกรวมเข้ากับฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลของ Rosenbrock–Euler ได้: $${\displaystyle {\hat {u}}_{n+1}=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}).}$$

Cox และ Matthews ^{[ 5 ]}อธิบายวิธีการลำดับที่สี่ของการหาผลต่างเวลาแบบเอกซ์โพเนนเชียล (ETD) ซึ่งพวกเขาใช้Mapleในการสร้าง

เราใช้สัญลักษณ์ของพวกเขา และสมมติว่าฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าคือและเรามีคำตอบที่ทราบแล้วณ เวลานอกจากนี้ เราจะใช้ด้านขวามือที่อาจขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน: ${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(t,u)}$

ค่าสามขั้นตอนแรกถูกสร้างขึ้น: การอัปเดตครั้งสุดท้ายจะได้รับโดย: $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\b_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})\\c_{n}&=e^{Lh/2}a_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right)\left(2{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})-{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{n+1}=e^{Lh}u_{n}+h^{-2}L^{-3}{\Bigl \{}{\hphantom {{}+2}}&\left[-4-Lh+e^{Lh}\left(4-3Lh+(Lh)^{2}\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\{}+2&\left[2+Lh+e^{Lh}\left(-2+Lh\right)\right]\left[{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})+{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})\right]\\{}+{\hphantom {2}}&\left[-4-3Lh-(Lh)^{2}+e^{Lh}\left(4-Lh\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n}{+}h,c_{n}){\Bigr \}}.\end{aligned}}}$$

หากนำไปใช้อย่างไม่รอบคอบ อัลกอริทึมข้างต้นจะประสบปัญหาความไม่เสถียรทางตัวเลขเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษจุดลอยตัว^{[ 10 ]} เพื่อดูว่าทำไม ลองพิจารณาฟังก์ชันแรก ซึ่งมีอยู่ในวิธีออยเลอร์ลำดับที่หนึ่ง เช่นเดียวกับทั้งสามขั้นตอนของ ETDRK4 สำหรับค่าเล็กๆ ของฟังก์ชันนี้จะประสบปัญหาข้อผิดพลาดในการตัดทอนทางตัวเลข อย่างไรก็ตาม ปัญหาทางตัวเลขเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการประเมินฟังก์ชันผ่านวิธีการอินทิกรัลเส้นโค้ง^{[ 10 ]}หรือโดยตัวประมาณ Padé ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \varphi _{1}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle \varphi _{1}}$

ตัวรวมเลขชี้กำลังถูกใช้สำหรับการจำลองสถานการณ์ที่ซับซ้อนใน การคำนวณ ทางวิทยาศาสตร์และภาพเช่น ในพลศาสตร์โมเลกุล [ ^{12 ] สำหรับ}การจำลองวงจรVLSI ^{[ 13 ] [ 14 ]}และในกราฟิกคอมพิวเตอร์ [ ^{15 ] นอกจาก}นี้ยังใช้ในบริบทของวิธีการมอนเตคาร์โลแบบไฮบริด^{[ 16 ]}ในการใช้งานเหล่านี้ ตัวรวมเลขชี้กำลังแสดงให้เห็นถึงข้อได้เปรียบของความสามารถในการก้าวเวลาขนาดใหญ่และความแม่นยำสูง เพื่อเร่งการประเมินฟังก์ชันเมทริกซ์ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนดังกล่าว ตัวรวมเลขชี้กำลังมักจะถูกรวมเข้ากับวิธีการฉายภาพพื้นที่ย่อย Krylov

• วิธีการเชิงเส้นทั่วไป

• ตัวรวมสัญญาณบน GPGPU
• โค้ดสำหรับอินทิเกรเตอร์เลขชี้กำลังแบบไร้ตาข่าย