ในพลวัตเชิงซ้อนเซตจูเลียและเซตฟาตูเป็นเซตเสริมกัน สองเซต (จูเลีย "เชือก" และฟาตู "ฝุ่น") ที่กำหนดจากฟังก์ชันโดยทั่วไปแล้ว เซตฟาตูของฟังก์ชันประกอบด้วยค่าที่มีคุณสมบัติว่าค่าใกล้เคียงทั้งหมดมีพฤติกรรมคล้ายกันภายใต้การวนซ้ำของฟังก์ชัน และเซตจูเลียประกอบด้วยค่าที่การรบกวน เพียงเล็กน้อย ก็สามารถทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากในลำดับของค่าฟังก์ชันที่วนซ้ำ ดังนั้นพฤติกรรมของฟังก์ชันบนเซตฟาตูจึง "เป็นระเบียบ" ในขณะที่บนเซตจูเลีย พฤติกรรมของฟังก์ชันนั้น " อลวน "

โดยทั่วไปแล้ว เซต Julia ของฟังก์ชัน f จะถูกแสดงด้วยและเซต Fatou จะถูกแสดงด้วย^{[ a ]} ​​เซตเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสGaston Julia ^{[ 1 ]}และPierre Fatou ^{[ 2 ]}ซึ่งผลงานของพวกเขาได้เริ่มต้นการศึกษาพลวัตเชิงซ้อนในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f),}$${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$

ให้ เป็น ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่จากทรงกลมรีมันน์ไปยังตัวมันเอง ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันตรรกยะเชิงซ้อน ที่ไม่คง ที่ นั่นคือโดยที่และเป็นพหุนาม เชิงซ้อน สมมติว่าpและq ไม่มีราก ร่วมกัน และอย่างน้อยหนึ่งรากมีดีกรีมากกว่า 1 ดังนั้นจะมีเซตเปิด จำนวนจำกัด ที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยและ เป็นเช่นนั้น: ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle q(z)}$${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$${\displaystyle f(z)}$

1. การรวมกันของเซตมีความหนาแน่นในระนาบและ${\displaystyle F_{i}}$
2. ${\displaystyle f(z)}$มีพฤติกรรมที่สม่ำเสมอและเท่าเทียมกัน ในแต่ละชุด${\displaystyle F_{i}}$

ข้อความสุดท้ายหมายความว่า จุดสิ้นสุดของลำดับการวนซ้ำที่สร้างขึ้นโดยจุดต่างๆ นั้นอาจเป็นเซตเดียวกันอย่างแม่นยำ ซึ่งก็คือวัฏจักรจำกัด หรืออาจเป็นวัฏจักรจำกัดของเซตที่มีรูปร่างเป็นวงกลมหรือวงแหวนซึ่งวางตัวอยู่ร่วมศูนย์กลาง ในกรณีแรก วัฏจักรนั้นจะเป็นแบบดึงดูดในกรณีที่สอง วัฏจักรนั้นจะเป็นแบบ เป็นกลาง${\displaystyle F_{i}}$

เซตเหล่านี้คือโดเมนฟาตูของ และผลรวม ของเซตเหล่านี้คือเซตฟาตูของ แต่ละโดเมนฟาตูประกอบด้วยจุดวิกฤต อย่างน้อยหนึ่งจุด ของนั่นคือ จุด (จำกัด) zที่สอดคล้องกับหรือถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าดีกรีของตัวส่วนอย่างน้อยสองหรือ ถ้าสำหรับค่าc บางค่า และฟังก์ชันตรรกยะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f'(z)=0}$${\displaystyle f(z)=\infty }$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle q(z)}$${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$${\displaystyle g(z)}$

ส่วนเติมเต็มของคือเซตจูเลียของถ้าจุดวิกฤตทั้งหมดเป็นแบบพรีคาบ นั่นคือ จุดเหล่านั้นไม่เป็นคาบ แต่ในที่สุดก็จะไปหยุดอยู่ที่วัฏจักรคาบ แล้ว ก็คือทรงกลมทั้งหมด มิฉะนั้นจะเป็นเซตที่ไม่มีจุดภายในหนาแน่น (ไม่มีจุดภายใน) และเป็น เซต ที่นับไม่ได้ (มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนจริง) เช่นเดียวกับจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อและบนเซตนี้ การวนซ้ำจะผลักออก หมายความว่าสำหรับทุกwในบริเวณใกล้เคียงของz (ภายใน) ซึ่งหมายความว่ามีพฤติกรรมอลหม่านบนเซตจูเลีย แม้ว่าจะมีจุดในเซตจูเลียที่มีลำดับการวนซ้ำจำกัด แต่ก็มีจุดดังกล่าวเพียง จำนวนนับ ได้ เท่านั้น (และจุดเหล่านั้นประกอบขึ้นเป็นส่วนเล็กน้อยของเซตจูเลีย) ลำดับที่สร้างขึ้นโดยจุดนอกเซตนี้มีพฤติกรรมอลหม่าน ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่า ความอลหม่าน เชิง กำหนด${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|zw|}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$

มีการวิจัยอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับเซตฟาตูและเซตจูเลียของฟังก์ชันตรรกยะ แบบวนซ้ำ ซึ่งรู้จักกันในชื่อแผนที่ตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่าเซตฟาตูของแผนที่ตรรกยะมีส่วนประกอบ 0, 1, 2 หรือ อนันต์^{[ 3 ]}ส่วนประกอบแต่ละส่วนของเซตฟาตูของแผนที่ตรรกยะสามารถจำแนกได้เป็น 4 ประเภท ที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$คือเซตปิดที่เล็กที่สุดที่มีจุดอย่างน้อยสามจุดซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ภายใต้f
• ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$คือการปิดเซตของจุดคาบที่ ผลักกัน
• สำหรับจุดเกือบทั้งหมด ยกเว้นอย่างมากที่สุดสองจุดเซตจูเลียคือเซตของจุดลิมิตของวงโคจรย้อนกลับทั้งหมด(ซึ่งชี้ให้เห็นถึงอัลกอริธึมง่ายๆ สำหรับการพล็อตเซตจูเลีย ดูด้านล่าง)${\displaystyle \;z\in X\;,}$${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$
• ถ้าfเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ (entire function ) แล้วจะเป็นขอบเขตของเซตของจุดที่ลู่เข้าสู่อนันต์ภายใต้การวนซ้ำ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$
• ถ้าfเป็นพหุนามขอบเขตของเซตจูเลียที่เติมเต็ม จะเป็น จุดเหล่านั้น กล่าวคือ จุดที่วงโคจรภายใต้การวนซ้ำของfยังคงมีขอบเขตจำกัด${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {J} (f)}$

เซต Julia และเซต Fatou ของfต่างก็ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างสมบูรณ์ภายใต้การวนซ้ำของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกf : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

สำหรับเซต Julia เซตนี้คือวงกลมหน่วย และการวนซ้ำจะทำได้โดยการคูณมุมด้วยสองเท่า (ซึ่งเป็นการดำเนินการที่วุ่นวายสำหรับจุดที่อาร์กิวเมนต์ไม่ใช่เศษส่วนตรรกยะของ) มีโดเมน Fatou สองโดเมน ได้แก่ ภายในและภายนอกวงกลม โดยมีการวนซ้ำไปยัง 0 และ ∞ ตามลำดับ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle 2\pi }$

สำหรับเซต Julia นั้นคือส่วนของเส้นตรงระหว่าง −2 และ 2 มีโดเมน Fatou หนึ่งเดียว : จุดที่ไม่ได้อยู่บนส่วนของเส้นตรงจะวนซ้ำไปสู่ ​​∞ (นอกเหนือจากการเลื่อนและการปรับขนาดของโดเมนแล้ว การวนซ้ำนี้เทียบเท่ากับการวนซ้ำบนช่วงหน่วย ซึ่งมักใช้เป็นตัวอย่างของระบบอลวน) ${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$

ฟังก์ชันfและgมีรูปแบบโดยที่cเป็นจำนวนเชิงซ้อน สำหรับการวนซ้ำเช่นนี้ เซตจูเลียโดยทั่วไปจะไม่ใช่เส้นโค้งธรรมดา แต่เป็นแฟรกทัล และสำหรับบางค่าของcมันอาจมีรูปร่างที่น่าประหลาดใจได้ ดูภาพด้านล่าง ${\displaystyle z^{2}+c}$

สำหรับฟังก์ชันf ( z ) บางฟังก์ชัน เราสามารถกล่าวได้ล่วงหน้าว่าเซตจูเลียเป็นแฟรกทัล ไม่ใช่เส้นโค้งธรรมดา เนื่องจากผลลัพธ์ต่อไปนี้เกี่ยวกับการวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ:

นี่หมายความว่าแต่ละจุดของเซตจูเลียเป็นจุดสะสมสำหรับแต่ละโดเมนฟาตู ดังนั้น หากมีโดเมนฟาตูมากกว่าสองโดเมนแต่ละจุดของเซตจูเลียจะต้องมีจุดของเซตเปิดที่แตกต่างกันมากกว่าสองเซตที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด และนี่หมายความว่าเซตจูเลียไม่สามารถเป็นเส้นโค้งแบบง่ายได้ ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อf ( z ) คือการวนซ้ำของนิวตันเพื่อแก้สมการ: ${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

ภาพทางด้านขวาแสดงกรณีที่n = 3

ระบบพลวัตเชิงซ้อนที่เป็นที่นิยมมากระบบหนึ่งคือตระกูลของพหุนามกำลังสองเชิงซ้อนซึ่งเป็นกรณีพิเศษของ แผนที่เชิงตรรกะพหุนามกำลังสองดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

โดยที่cเป็นพารามิเตอร์เชิงซ้อน กำหนดค่า c ให้มีขนาดใหญ่พอสมควร(ตัวอย่างเช่น ถ้าcอยู่ในเซต Mandelbrotแล้วเราอาจกำหนดให้ c = 0 ก็ได้) จากนั้นเซต Julia ที่เต็มแล้วสำหรับระบบนี้คือเซตย่อยของระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดย ${\displaystyle R>0}$${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$${\displaystyle |c|\leq 2,}$${\displaystyle R=2~.}$

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}$

โดยที่ค่าการวนซ้ำ ครั้งที่ nของเซตจูเลียของฟังก์ชันนี้คือขอบเขตของ ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$${\displaystyle f_{c}(z).}$${\displaystyle J(f_{c})}$${\displaystyle K(f_{c})}$

• 
  จูเลียกำหนดค่า a โดยที่a อยู่ ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$${\displaystyle 2\pi }$
• วิดีโอแสดงชุด Julia ทางด้านซ้าย
• 
  เซต Julia ที่เติมเต็มสำหรับf _c , c = 1 − φโดยที่φคืออัตราส่วนทองคำ
• 
  จูเลียกำหนดf _c , c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0.4 + 0.6 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = 0.285 + 0 i
• 
  จูเลียตั้งค่าf _c , c = 0.285 + 0.01 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = 0.45 + 0.1428 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = −0.70176 − 0.3842 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = −0.835 − 0.2321 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = −0.8 + 0.156 i
• 
  จูเลียตั้งค่าf _c , v c = −0.7269 + 0.1889 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = -0.8 i
• 
  จูเลียตั้งค่าf _c , c = 0.35 + 0.35 i
• 
  จูเลียตั้งค่าสำหรับf _c , c = 0.4 + 0.4 i
• 
  ชุดของเซตจูเลียที่จัดเรียงในตาราง 100 × 100 โดยที่จุดศูนย์กลางของแต่ละภาพตรงกับตำแหน่งเดียวกันในระนาบเชิงซ้อนกับค่าของเซต เมื่อจัดเรียงในลักษณะนี้ ภาพรวมจะคล้ายกับภาพโมเสกที่แสดงถึงเซตแมนเดลบร็อต

ระนาบพารามิเตอร์ของพหุนามกำลังสอง – กล่าวคือ ระนาบของ ค่า c ที่เป็นไปได้ – ก่อให้เกิดเซตแมนเดลบร็อต อันโด่งดัง แท้จริงแล้ว เซตแมนเดลบร็อตถูกนิยามว่าเป็นเซตของค่าc ทั้งหมด ที่ทำให้เป็นเซตเชื่อมต่อสำหรับพารามิเตอร์ที่อยู่นอกเซตแมนเดลบร็อต เซตจูเลียเป็นปริภูมิแคนเตอร์ในกรณีนี้บางครั้งเรียกว่าฝุ่นฟาตู ${\displaystyle J(f_{c})}$

ในหลายกรณี เซต Julia ของcจะมีลักษณะคล้ายเซต Mandelbrot ในบริเวณใกล้เคียงc ที่มีขนาดเล็กพอสมควร โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับพารามิเตอร์ที่เรียกว่าMisiurewiczซึ่งก็คือพารามิเตอร์cที่จุดวิกฤตเป็นแบบก่อนคาบ ตัวอย่างเช่น:

• ที่จุดc = iซึ่งเป็นนิ้วเท้าด้านหน้าที่สั้นกว่าของส่วนหน้าเท้า ชุดอักษรจูเลียจะมีลักษณะคล้ายสายฟ้าที่แตกแขนงออกไป
• ที่ค่า c = −2 ซึ่งเป็นจุดปลายของหางแหลมยาวนั้น เซตจูเลียจะเป็นส่วนของเส้นตรง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซต Julia มีความคล้ายคลึงกันในระดับท้องถิ่นรอบจุด Misiurewicz ^{[ 6 ]}${\displaystyle J(f_{c})}$

นิยามของเซต Julia และ Fatou สามารถนำไปใช้กับกรณีของแผนที่บางประเภทที่มีภาพของโดเมนอยู่ภายในได้อย่างง่ายดาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกเชิงอภิปรัชญาและแผนที่ประเภทจำกัดของAdam Epstein

เซตจูเลียยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาพลวัตของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวอีกด้วย

โค้ดจำลองด้านล่างนี้กำหนดฟังก์ชันสำหรับแต่ละแฟร็กทัลไว้ตายตัว ควรพิจารณาใช้ การคำนวณ จำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้ได้โค้ดที่ยืดหยุ่นและนำกลับมาใช้ใหม่ได้มากขึ้น

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

R = รัศมีหลบหนี# เลือก R > 0 โดยที่ R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)สำหรับแต่ละพิกเซล( x , y ) บนหน้าจอให้ทำดังนี้: { zx = พิกเซลพิกัดx ที่ปรับขนาดแล้ว; # (ปรับขนาดให้อยู่ระหว่าง -R และ R) # zx แทนส่วนจริงของ z zy = พิกเซลพิกัดy ที่ปรับขนาดแล้ว; # (ปรับขนาดให้อยู่ระหว่าง -R และ R) # zy แทนส่วนจินตภาพของ z }iteration = 0 ; max_iteration = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ; zy = 2 * zx * zy + cy ; zx = xtemp + cx ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration ) return black ; else return iteration ; }

${\displaystyle f(z)=z^{n}+c}$

R = รัศมีหลบหนี# เลือก R > 0 โดยที่ R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)สำหรับแต่ละพิกเซล( x , y ) บนหน้าจอให้ทำดังนี้: { zx = พิกเซลพิกัดx ที่ปรับขนาดแล้ว; # ( ปรับขนาดให้อยู่ระหว่าง -R และ R) zy = พิกเซลพิกัดy ที่ปรับขนาดแล้ว; # (ปรับขนาดให้อยู่ระหว่าง -R และ R) iteration = 0 ; max_iteration = 1001 ; ในขณะที่( zx * zx + zy * zy < R ** 2 และiteration < max_iteration ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy , zx )) + cx ; zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy , zx )) + cy ; zx = xtmp ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration ) return black ; else return iteration ; }

ตัวเลือกที่แนะนำอีกอย่างคือการลดแถบสีระหว่างการวนซ้ำโดยใช้สูตรการปรับค่าใหม่สำหรับการวนซ้ำ^{[ 7 ]}

สูตรดังกล่าวมีดังนี้

${\displaystyle mu=k+1-{\frac {\log {\log {|z_{k}|}}}{\log {n}}}}$

${\displaystyle \forall f_{c,n}(z)=z^{n}+{\text{พจน์กำลังต่ำกว่า}}+c}$

โดยที่คือการวนซ้ำที่หลุดออกไป ซึ่งถูกจำกัดด้วยค่าบางค่าที่ทำให้และและคือขนาดของการวนซ้ำครั้งสุดท้ายก่อนที่จะหลุดออกไป ${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\leq k<K}$${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |z_{k}|}$

สามารถนำไปปฏิบัติได้อย่างง่ายดายดังนี้:

# เพียงแค่แทนที่โค้ด 4 บรรทัดสุดท้ายจากตัวอย่างที่แล้วด้วยโค้ดเหล่านี้:ถ้า( iteration == max_iteration ) ให้คืนค่าblack ; มิฉะนั้นabs_z = zx * zx + zy * zy ; คืนค่าiteration + 1 - log ( log ( abs_z )) / log ( n );

ความแตกต่างแสดงไว้ด้านล่าง โดยใช้เซต Julia ที่กำหนดดังนี้ โดยที่. ${\displaystyle f_{c,2}(z)}$${\displaystyle c=-0.835-0.321i}$

เซต Julia สำหรับคือวงกลมหน่วย และในโดเมน Fatou ภายนอกฟังก์ชันศักย์φ ( z ) ถูกกำหนดโดยφ ( z ) = log| z | เส้นสมศักดิ์สำหรับฟังก์ชันนี้เป็นวงกลมศูนย์กลางร่วมกัน เนื่องจากเรามี ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

โดยที่ลำดับการวนซ้ำที่สร้างขึ้นโดยzสำหรับการวนซ้ำทั่วไปมากขึ้น ได้มีการพิสูจน์แล้วว่าหากเซต Julia เชื่อมต่อกัน (นั่นคือ ถ้าcอยู่ในเซต Mandelbrot (ปกติ)) แล้วจะมีแผนที่biholomorphic ψระหว่างโดเมน Fatou ภายนอกและวงกลมหน่วยภายนอกเช่นนั้น[ ^{8 ] ซึ่ง}หมายความว่าฟังก์ชันศักย์บนโดเมน Fatou ภายนอกที่กำหนดโดยการจับคู่นี้จะได้รับโดย: ${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

สูตรนี้มีความหมายแม้ว่าเซต Julia จะไม่เชื่อมต่อกัน ดังนั้นสำหรับทุกค่า c เรา จึงสามารถกำหนดฟังก์ชันศักย์บนโดเมน Fatou ที่มี ∞ โดยใช้สูตรนี้ได้ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะทั่วไปf ( z ) ที่ ∞ เป็นจุดวิกฤตและจุดตรึง กล่าวคือ ดีกรีmของตัวเศษมากกว่าดีกรีnของตัวส่วนอย่างน้อยสอง เรากำหนดฟังก์ชันศักย์บนโดเมน Fatou ที่มี ∞ โดย:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

โดยที่d = m − nคือระดับของฟังก์ชันตรรกยะ^{[ 9 ]}

ถ้าNเป็นจำนวนมากมาก (เช่น 10 ¹⁰⁰ ) และถ้าkเป็นจำนวนการวนซ้ำครั้งแรกที่ทำให้เราจะได้ว่า ${\displaystyle |z_{k}|>N}$

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

สำหรับจำนวนจริงบางจำนวนซึ่งควรพิจารณาว่าเป็นจำนวนการวนซ้ำจริงและเรามีว่า: ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

โดยที่ตัวเลขสุดท้ายอยู่ในช่วง [0, 1)

สำหรับการวนซ้ำเพื่อสร้างวัฏจักรดึงดูดแบบจำกัดลำดับrนั้น เราจะได้ว่า ถ้าเป็นจุดหนึ่งของวัฏจักรแล้ว( การประกอบแบบ rเท่า) และจำนวน ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

คือแรงดึงดูดของวัฏจักร ถ้าwเป็นจุดที่อยู่ใกล้มากและw ′ คือwที่ทำซ้ำrครั้ง เราจะได้ว่า ${\displaystyle z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|wz^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

ดังนั้น จำนวนจึงแทบไม่ขึ้นอยู่กับkเรากำหนดฟังก์ชันศักย์บนโดเมน Fatou ดังนี้: ${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\อัลฟา ^{k}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

ถ้า ε เป็นจำนวนที่เล็กมาก และkเป็นจำนวนรอบการทำซ้ำครั้งแรกที่ทำให้เราจะได้ว่า ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

สำหรับจำนวนจริงบางจำนวนซึ่งควรพิจารณาว่าเป็นจำนวนการวนซ้ำจริง และเรามีว่า: ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

ถ้าแรงดึงดูดเป็นอนันต์ หมายความว่าวัฏจักรนั้นมีแรงดึงดูดสูงมากซึ่งหมายความว่าจุดหนึ่งของวัฏจักรเป็นจุดวิกฤต เราต้องแทนαด้วย

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

โดยที่w ′ คือwที่ทำซ้ำrครั้ง และสูตรสำหรับφ ( z ) คือ:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

และตอนนี้หมายเลขการวนซ้ำที่แท้จริงจะกำหนดโดย:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

สำหรับการระบายสี เราต้องมีมาตราส่วนสีแบบวงจร (สร้างขึ้นทางคณิตศาสตร์เป็นต้น) และประกอบด้วย สี Hสีที่กำหนดหมายเลขตั้งแต่ 0 ถึงH −1 ( เช่นH = 500) เราคูณจำนวนจริง ด้วยจำนวนจริงคงที่ที่กำหนดความหนาแน่นของสีในภาพ และหาค่าส่วนจำนวนเต็มของจำนวนนี้โมดูลัส H${\displaystyle \nu (z)}$

นิยามของฟังก์ชันศักยภาพและวิธีการระบายสีของเราตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าวงจรนั้นเป็นแบบดึงดูด กล่าวคือไม่ใช่แบบเป็นกลาง หากวงจรเป็นกลาง เราจะไม่สามารถระบายสีโดเมนฟาตูในลักษณะที่เป็นธรรมชาติได้ เนื่องจากจุดสิ้นสุดของการวนซ้ำเป็นการเคลื่อนที่แบบหมุน เราจึงสามารถระบายสีตามระยะทางที่น้อยที่สุดจากวงจรที่คงที่โดยการวนซ้ำได้

ในแต่ละโดเมนของฟาตู (ที่ไม่ใช่โดเมนที่เป็นกลาง) จะมีระบบเส้นสองระบบที่ตั้งฉากกัน ได้แก่เส้นสมศักดิ์ (สำหรับฟังก์ชันศักย์หรือจำนวนการวนซ้ำจริง) และเส้น สนาม

ถ้าเรากำหนดสีให้กับโดเมนฟาตูตามหมายเลขการวนซ้ำ (และไม่ใช่หมายเลขการวนซ้ำจริงตามที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า) แถบการวนซ้ำจะแสดงเส้นทางของเส้นศักย์เท่ากัน ถ้าการวนซ้ำมุ่งไปสู่ค่าอนันต์ (เช่นเดียวกับโดเมนฟาตูภายนอกสำหรับการวนซ้ำปกติ) เราสามารถแสดงเส้นทางของเส้นสนามได้อย่างง่ายดาย กล่าวคือโดยการเปลี่ยนสีตามจุดสุดท้ายในลำดับการวนซ้ำว่าอยู่เหนือหรือใต้ แกน x (ภาพแรก) แต่ในกรณีนี้ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น: เมื่อโดเมนฟาตูเป็นแบบดึงดูดอย่างมาก) เราไม่สามารถวาดเส้นสนามได้อย่างสอดคล้องกัน อย่างน้อยก็ไม่ใช่ด้วยวิธีที่เราอธิบายไว้ที่นี่ ในกรณีนี้ เส้นสนามยังเรียกว่ารังสีภายนอกด้วย ${\displaystyle \nu (z)}$${\displaystyle z^{2}+c}$

ให้zเป็นจุดในโดเมน Fatou ที่ดึงดูด ถ้าเราวนซ้ำzเป็นจำนวนมากครั้ง จุดสิ้นสุดของลำดับการวนซ้ำจะเป็นวัฏจักรจำกัดCและโดเมน Fatou คือ (ตามคำนิยาม) เซตของจุดที่ลำดับการวนซ้ำลู่เข้าสู่Cเส้นสนามจะออกมาจากจุดของCและจากจุด (จำนวนอนันต์) ที่วนซ้ำเข้าสู่จุดของCและสิ้นสุดที่เซต Julia ในจุดที่ไม่อลวน (นั่นคือ สร้างวัฏจักรจำกัด) ให้rเป็นอันดับของวัฏจักรC (จำนวนจุด) และให้เป็นจุดในCเรามี(การประกอบแบบ r เท่า) และเรากำหนดจำนวนเชิงซ้อน α โดย ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

ถ้าจุดของCคือα คือผลคูณของจำนวนrจำนวนจริง 1/|α| คือแรงดึงดูดของวัฏจักร และสมมติฐานของเราที่ว่าวัฏจักรนั้นไม่ใช่ทั้งกลางหรือดึงดูดมากเกินไป หมายความว่า1 < ⁠${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$${\displaystyle f'(z_{i})}$1/| α |< ∞จุดนี้เป็นจุดคงที่สำหรับและใกล้จุดนี้ แผนที่จะมีลักษณะ (เมื่อเชื่อมโยงกับเส้นสนาม) ของการหมุนด้วยอาร์กิวเมนต์ β ของ α (นั่นคือ) ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$

เพื่อระบายสีโดเมนฟาตู เราได้เลือกจำนวนเล็กๆ ε และกำหนดลำดับการวนซ้ำให้หยุดเมื่อและเราจะระบายสีจุดzตามจำนวนk (หรือจำนวนการวนซ้ำจริง หากเราต้องการการระบายสีที่เรียบเนียน) หากเราเลือกทิศทางจากที่กำหนดโดยมุมθเส้นสนามที่ออกจากในทิศทางนี้จะประกอบด้วยจุดzที่อาร์กิวเมนต์ψของจำนวนนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า ${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

เพราะถ้าเราเคลื่อนแถบการวนซ้ำไปในทิศทางของเส้นสนาม (และออกจากวงจร) จำนวนการวนซ้ำkจะเพิ่มขึ้น 1 และจำนวน ψ จะเพิ่มขึ้น β ดังนั้นจำนวนจึงคงที่ตลอดแนวเส้นสนาม ${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$

การระบายสีเส้นสนามของโดเมนฟาตู หมายถึงการระบายสีช่องว่างระหว่างเส้นสนามแต่ละคู่ โดยเราเลือกทิศทางที่เรียงตัวอย่างสม่ำเสมอจำนวนหนึ่งที่ออกจากจุดศูนย์กลางและในแต่ละทิศทางนั้น เราเลือกทิศทางอีกสองทิศทางรอบๆ ทิศทางนี้ เนื่องจากเส้นสนามสองเส้นในแต่ละคู่อาจไม่ได้สิ้นสุดที่จุดเดียวกันในเซตจูเลีย เส้นสนามที่เราระบายสีจึงอาจแตกแขนงออกไป (อย่างไม่สิ้นสุด) ไปสู่เซตจูเลีย เราสามารถระบายสีโดยพิจารณาจากระยะห่างจากเส้นกึ่งกลางของเส้นสนาม และเราสามารถผสมการระบายสีนี้กับการระบายสีแบบปกติได้ ภาพที่ได้อาจสวยงามมาก (ภาพที่สอง) ${\displaystyle z^{*}}$

เส้นสนามสี (บริเวณระหว่างเส้นสนามสองเส้น) ถูกแบ่งออกโดยแถบการวนซ้ำ และส่วนดังกล่าวสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยได้ โดยพิกัดหนึ่งคำนวณจากระยะห่างจากเส้นสนามที่ล้อมรอบเส้นหนึ่ง และอีกพิกัดหนึ่งคำนวณจากระยะห่างจากด้านในของแถบการวนซ้ำที่ล้อมรอบ (ตัวเลขนี้คือส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของจำนวนการวนซ้ำจริง) ดังนั้น เราจึงสามารถใส่ภาพลงในเส้นสนามได้ (ภาพที่สาม)

วิธีการ :

• วิธีการประมาณระยะทางสำหรับชุดข้อมูล Julia (DEM/J)
• วิธีการวนซ้ำแบบผกผัน (IIM)

ดังที่กล่าวมาข้างต้น เซตจูเลียสามารถพบได้ในฐานะเซตของจุดลิมิตของเซตของภาพก่อนหน้าของ (โดยพื้นฐานแล้ว) จุดใดๆ ที่กำหนดให้ ดังนั้นเราจึงสามารถลองพล็อตเซตจูเลียของฟังก์ชันที่กำหนดได้ดังนี้ เริ่มต้นด้วยจุดz ใดๆ ที่ เรารู้ว่าอยู่ในเซตจูเลีย เช่น จุดคาบแบบผลักออก และคำนวณภาพก่อนหน้าทั้งหมดของzภายใต้การวนซ้ำสูงๆของf${\displaystyle f^{n}}$

น่าเสียดายที่เมื่อจำนวนภาพก่อนหน้าซ้ำเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ วิธีนี้จึงไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม เราสามารถปรับวิธีการนี้ได้ในลักษณะเดียวกับวิธีการ "เกมสุ่ม" สำหรับระบบฟังก์ชันที่ทำซ้ำกล่าวคือ ในแต่ละขั้นตอน เราจะเลือกภาพผกผันของf หนึ่งภาพ แบบ สุ่ม

ตัวอย่างเช่น สำหรับพหุนามกำลังสองf _cการวนซ้ำแบบย้อนกลับจะอธิบายได้ดังนี้

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

ในแต่ละขั้นตอน จะมีการสุ่มเลือกค่ารากที่สองหนึ่งในสองค่า

โปรดทราบว่าบางส่วนของชุด Julia ค่อนข้างยากที่จะเข้าถึงด้วยอัลกอริธึม Julia แบบย้อนกลับ ด้วยเหตุนี้จึงต้องแก้ไข IIM/J (ตัวอย่างเช่น MIIM/J ^{[ 10 ]} ) หรือใช้วิธีการอื่นเพื่อสร้างภาพที่ดีขึ้น

• ภาพถ่าย ของจูเลียสำหรับ...${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.74543+0.11301*i}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.75+0.11*i}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.1+0.651*i}$
• 
  เซต Julia ถูกสร้างขึ้นโดยการประมาณระยะทาง การวนซ้ำมีรูปแบบดังนี้⁠ ⁠${\displaystyle 1-z^{2}+z^{5}/(2+4z)+c}$
• 
  การสร้างภาพสามมิติของเซต Julia โดยใช้การประมาณระยะทาง

เนื่องจากเซต Julia มีความบางอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เราจึงไม่สามารถวาดมันได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้การวนซ้ำย้อนกลับจากพิกเซล มันจะปรากฏเป็นชิ้นส่วนกระจัดกระจายเนื่องจากความไม่สะดวกในการตรวจสอบจุดเริ่มต้นจำนวนอนันต์ เนื่องจากจำนวนการวนซ้ำเปลี่ยนแปลงอย่างมากใกล้กับเซต Julia วิธีแก้ปัญหาบางส่วนคือการกำหนดขอบเขตของเซตจากเส้นขอบสีที่ใกล้ที่สุด แต่เซตจะดูไม่ชัดเจน

วิธีที่ดีกว่าในการวาดเซต Julia ในแบบขาวดำคือการประมาณระยะห่างของพิกเซล (DEM) จากเซตและระบายสีพิกเซลทุกพิกเซลที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ใกล้กับเซต สูตรสำหรับการประมาณระยะห่างได้มาจากสูตรสำหรับฟังก์ชันศักย์φ ( z ) เมื่อเส้นศักย์เท่ากันสำหรับφ ( z ) อยู่ใกล้กัน จำนวนจะมีขนาดใหญ่ และในทางกลับกัน เส้นศักย์เท่ากันสำหรับฟังก์ชันควรจะอยู่ใกล้กันอย่างสม่ำเสมอ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าค่าที่พบโดยสูตรนี้ (จนถึงปัจจัยคงที่) ลู่เข้าสู่ระยะห่างที่แท้จริงสำหรับ z ที่ลู่เข้าสู่เซต Julia ^{[ 9 ]}${\displaystyle |\varphi '(z)|}$${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|}$

เราสมมติว่าf ( z ) เป็นจำนวนตรรกยะ นั่นคือโดยที่p ( z ) และq ( z ) เป็นพหุนามเชิงซ้อนที่มีดีกรีmและnตามลำดับ และเราต้องหาอนุพันธ์ของนิพจน์ข้างต้นสำหรับφ ( z ) และเนื่องจากมีเพียงที่เปลี่ยนแปลงเท่านั้น เราจึงต้องคำนวณอนุพันธ์ของเทียบกับzแต่เนื่องจาก( การประกอบ kเท่า) เป็นผลคูณของจำนวนและลำดับนี้สามารถคำนวณแบบเวียนซ้ำได้โดยเริ่มต้นด้วย( ก่อนการคำนวณการวนซ้ำครั้งถัดไป) ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}=f(f(\cdots f(z)))}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle f'(z_{k})}$${\displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}}$${\displaystyle z'_{0}=1}$${\displaystyle z_{k+1}=f(z_{k})}$

สำหรับการวนซ้ำไปสู่ ​​∞ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อm ≥ n + 2ซึ่งทำให้ ∞ เป็นจุดคงที่ที่ดึงดูดอย่างมาก) เรามี

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},}$

( d = m − n ) และด้วยเหตุนี้:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,}$

สำหรับการวนซ้ำเพื่อสร้างวงจรดึงดูดแบบจำกัด (ที่ไม่ใช่แบบดึงดูดพิเศษ) ที่มีจุด⁠ ⁠${\displaystyle z^{*}}$และมีลำดับrเราจะได้ว่า

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,}$

และด้วยเหตุนี้:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,}$

สำหรับวงจรดึงดูดขั้นสุดยอด สูตรคือ:

${\displaystyle \delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,}$

เราคำนวณตัวเลขนี้เมื่อการวนซ้ำหยุดลง โปรดทราบว่าการประมาณระยะทางนั้นเป็นอิสระจากแรงดึงดูดของวงจร ซึ่งหมายความว่ามันมีความหมายสำหรับฟังก์ชันอดิศัยที่มี "ดีกรีอนันต์" (เช่น sin( z ) และ tan( z ))

นอกจากการวาดเส้นขอบแล้ว ยังสามารถนำฟังก์ชันระยะทางมาใช้เป็นมิติที่ 3 เพื่อสร้างภูมิทัศน์แฟร็กทัลที่แข็งแกร่งได้

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ ชุด ข้อมูลJulia

• กระต่ายดูอาดี
• ตั้งค่าขีดจำกัด
• ชุดที่เสถียรและไม่เสถียร
• ทฤษฎีบทโดเมนไม่เคลื่อนที่
• ทฤษฎีความโกลาหล

• คาร์เลสัน, เลนนาร์ท ; กาเมลิน, ธีโอดอร์ ดับเบิลยู (1993). พลวัตเชิงซ้อน . สปริงเกอร์.
• ดูอาดี, เอเดรียน ; ฮับบาร์ด, จอห์น เอช. (1984) "เอทูดี้ ไดนามิก เด โพลีโนมส์ คอมเพล็กซ์" การเผยแพร่ทางคณิตศาสตร์ d' Orsay 2 ;   "[ op.cit. ]". การเผยแพร่ทางคณิตศาสตร์ d' Orsay 4 . 1985.
• Milnor, JW (2006) [1990]. พลวัตในตัวแปรเชิงซ้อนหนึ่งตัว . วารสารคณิตศาสตร์ศึกษา. เล่มที่ 160 (ฉบับที่สาม). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน;เผยแพร่ครั้งแรกในรูปแบบ"เอกสารก่อนตีพิมพ์ของ Stony Brook IMS"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 24 เมษายน 2549สามารถดูได้ในMilnor, John W. (1990). "Dynamics in one complex variable: Introductory lectures". arXiv : math.DS/9201272 .
• Bogomolny, Alexander . "เซตแมนเดลบร็อตและดัชนีของเซตจูเลีย" cut-the-knot . หลักสูตรพีชคณิต
• เดมิดอฟ, เยฟเกนี (2003). "กายวิภาคของเซตแมนเดลบร็อตและจูเลีย "
• เบียร์ดอน, อลัน เอฟ. (1991). การวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ . สปริงเกอร์. ISBN 0-387-95151-2.

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: แฟรกทัล

• "ชุดจูเลีย" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "จูเลีย เซ็ต" . แมทเวิลด์ .
• บอร์ก, พอล. "ชุดแฟร็กทัลจูเลีย (2 มิติ)" (เว็บไซต์ส่วนตัว).
• ซอว์เยอร์, ​​เจมี่ (6 เมษายน 2550). "ชุดจูเลีย" (บล็อก).
• แม็กกูดวิน, ไมเคิล. "เครื่องประดับจูเลีย: การสำรวจชุดเครื่องประดับจูเลีย" (เว็บไซต์ส่วนตัว).
• พริงเกิล, ลูซี่. "วงกลมปริศนาจูเลียเซ็ต" (เว็บไซต์ส่วนตัว).
• เกรก, จอช. "แอปเพล็ต Julia Set แบบโต้ตอบ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-03-26.
• จอยซ์, เดวิด อี. "จูเลียและเซตแมนเดลบร็อตสำรวจ" (เว็บไซต์ส่วนตัวทางวิชาการ) มหาวิทยาลัยคลาร์ก
• "โปรแกรมง่ายๆ สำหรับสร้างชุดข้อมูล Julia" liazardie.com เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 17 มีนาคม 2011– ระบบปฏิบัติการ Windows, 370 กิโลไบต์
• "ชุดแอปเพล็ต" . SourceForge .– แอปเพล็ตตัวหนึ่งสามารถแสดงผลชุดข้อมูล Julia ผ่านระบบฟังก์ชันวนซ้ำได้
• "Julia พบกับ HTML5" Google Labs. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 18 กุมภาพันธ์ 2011 เครื่องมือสร้างแฟร็กทัล HTML5 สำหรับเบราว์เซอร์ของคุณ
• "Julia" . r-project.org . แพ็คเกจ GNU R. 25 พฤศจิกายน 2014. สร้างชุด Julia หรือ Mandelbrot ในบริเวณและความละเอียดที่กำหนด
• "Julia sets" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-06-16 . เรียกดูเมื่อ2011-08-24 .– คำอธิบายเชิงภาพของเซตจูเลีย
• "FractalTS" . github.io .– แมนเดลบร็อต, เรือที่กำลังลุกไหม้ และตัวสร้างเซตจูเลียที่เกี่ยวข้อง
• "ภาพชุด Julia, การแสดงผลออนไลน์" finengin.netเก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2019-06-22 เรียกดูเมื่อ2017-01-24
• "ทำความเข้าใจเกี่ยวกับชุดจูเลียและชุดแมนเดลบร็อต "- คำอธิบายด้วยภาพ