การทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยการป้อนกลับ (Feedback linearization)เป็นกลยุทธ์ทั่วไปที่ใช้ในการควบคุมแบบไม่เชิงเส้นเพื่อควบคุมระบบที่ไม่เชิงเส้นเทคนิคการทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยการป้อนกลับสามารถนำไปใช้กับระบบควบคุมแบบไม่เชิงเส้นในรูปแบบต่างๆ ได้

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t))+\sum _{i=1}^{m}\,g_{i}(x(t))\,u_{i}(t)}$[ 1 ]

1

โดยที่ สถานะและอินพุตอยู่ที่ไหน แนวทางนี้เกี่ยวข้องกับการแปลงระบบควบคุมแบบไม่เชิงเส้นให้เป็นระบบควบคุมเชิงเส้นที่เทียบเท่ากันผ่านการเปลี่ยนตัวแปรและอินพุตควบคุมที่เหมาะสม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราต้องการเปลี่ยนพิกัด และอินพุตควบคุมเพื่อให้พลวัตในพิกัด นั้น อยู่ในรูปแบบของระบบควบคุมเชิงเส้นที่ควบคุมได้ ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=\Phi (x)}$${\displaystyle u=a(x)+b(x)\,v,}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle z(t)}$

${\displaystyle {\dot {z}}(t)=A\,z(t)+\sum _{i=1}^{m}b_{i}\,v(t).}$[ 2 ]

2

จากนั้นจึงสามารถนำกลยุทธ์การควบคุมแบบวงนอกมาใช้กับระบบควบคุมเชิงเส้นที่ได้ เพื่อให้บรรลุวัตถุประสงค์การควบคุม

ในที่นี้ ให้พิจารณากรณีของการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบป้อนกลับของระบบอินพุตเดียวเอาต์พุตเดียว (SISO) ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสามารถขยายไปยังระบบอินพุตหลายตัวเอาต์พุตหลายตัว (MIMO) ได้ ในกรณีนี้และวัตถุประสงค์คือการหาการแปลงพิกัด ที่แปลงระบบ (1) ให้เป็น รูปแบบปกติที่เรียกว่าซึ่งจะเปิดเผยกฎการป้อนกลับในรูปแบบ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=T(x)}$

${\displaystyle u=a(x)+b(x)v\,}$[ 3 ]

3

ซึ่งจะสร้างแผนที่อินพุต-เอาต์พุตเชิงเส้นจากอินพุตใหม่ไปยังเอาต์พุตเพื่อให้แน่ใจว่าระบบที่แปลงแล้วเป็นตัวแทนที่เทียบเท่ากับระบบเดิม การแปลงจะต้องเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมนั่นคือ การแปลงจะต้องไม่เพียงแต่ผกผันได้ (เช่น เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) แต่ทั้งการแปลงและตัวผกผันจะต้องเรียบเพื่อให้ความสามารถในการหาอนุพันธ์ในระบบพิกัดเดิมยังคงอยู่ในระบบพิกัดใหม่ ในทางปฏิบัติ การแปลงอาจเป็นดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่เท่านั้น และผลลัพธ์ของการทำให้เป็นเชิงเส้นจะใช้ได้เฉพาะในบริเวณที่เล็กกว่านี้เท่านั้น ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$

จำเป็นต้องใช้เครื่องมือหลายอย่างในการแก้ปัญหานี้

เป้าหมายของการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบป้อนกลับคือการสร้างระบบที่แปลงแล้วซึ่งสถานะเป็นเอาต์พุตและอนุพันธ์อันดับแรกของมัน เพื่อทำความเข้าใจโครงสร้างของระบบเป้าหมายนี้ เราใช้อนุพันธ์ของ Lieพิจารณาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ (2) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎ ลูกโซ่${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {{\mathord {\operatorname {d} }}h(x)}{{\mathord {\operatorname {d} }}t}}&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x)+{\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x)u\end{aligned}}}$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดอนุพันธ์ลีของตาม ได้ดังนี้ ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle L_{f}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x),}$

และในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ Lie ของalong as ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle L_{g}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x).}$

ด้วยสัญลักษณ์ใหม่นี้ เราสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle {\dot {y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

โปรดทราบว่าสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ลีนั้นสะดวกเมื่อเราทำการหาอนุพันธ์หลายครั้งเทียบกับสนามเวกเตอร์ เดียวกัน หรือต่างกัน ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}f(x),}$

และ

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}g(x).}$

ในระบบเชิงเส้นป้อนกลับของเราซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์สถานะของเอาต์พุตและอนุพันธ์อันดับแรก เราต้องเข้าใจว่าอินพุตเข้าสู่ระบบได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจึงแนะนำแนวคิดของระดับสัมพัทธ์ ระบบของเราที่กำหนดโดย (1) และ (2) กล่าวได้ว่ามีระดับสัมพัทธ์ที่จุดหนึ่งถ้า ${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$ใน ละแวก ใกล้เคียงและทั้งหมด${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle k\leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

เมื่อพิจารณาคำจำกัดความของระดับสัมพัทธ์นี้โดยคำนึงถึงการแสดงออกของอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเอาต์พุตเราสามารถพิจารณาระดับสัมพัทธ์ของระบบของเรา (1) และ (2) ว่าเป็นจำนวนครั้งที่เราต้องหาอนุพันธ์ของเอาต์พุตก่อนที่อินพุตจะปรากฏอย่างชัดเจน ในระบบ LTIระดับสัมพัทธ์คือความแตกต่างระหว่างระดับของ พหุนามตัวส่วนของ ฟังก์ชันถ่ายโอน (เช่น จำนวนขั้ว ) และระดับของพหุนามตัวเศษ (เช่น จำนวนศูนย์ ) ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$

สำหรับการอธิบายต่อไปนี้ เราจะถือว่าระดับสัมพัทธ์ของระบบคือในกรณีนี้ หลังจากหาอนุพันธ์ของเวลาเอาต์พุตแล้วเราจะได้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}}$

โดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงอนุพันธ์ลำดับที่ ของเนื่องจากเราสมมติว่าระดับสัมพัทธ์ของระบบคืออนุพันธ์ของ Lie ในรูปแบบสำหรับ จึงเป็นศูนย์ทั้งหมด นั่นคือ อินพุตไม่มีส่วนร่วมโดยตรงต่ออนุพันธ์ลำดับที่ แรกๆ เลย${\displaystyle y^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (n-1)}$

การแปลงพิกัดที่ทำให้ระบบอยู่ในรูปแบบปกติมาจากการหาอนุพันธ์อันดับแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

แปลงวิถีการเคลื่อนที่จากระบบพิกัดเดิมไปสู่ระบบพิกัดใหม่ตราบใดที่การแปลงนี้เป็นการแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึม วิถีการเคลื่อนที่เรียบในระบบพิกัดเดิมจะมีวิถีการเคลื่อนที่เรียบที่ไม่ซ้ำกันในระบบพิกัดใหม่วิถีการเคลื่อนที่เหล่านั้นจะถูกอธิบายโดยระบบพิกัดใหม่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

ดังนั้น กฎการควบคุมแบบป้อนกลับ

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$

แปลงเป็นแผนที่อินพุต-เอาต์พุตเชิงเส้นจากไปยังระบบเชิงเส้นที่ได้ ${\displaystyle v}$${\displaystyle z_{1}=y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

เป็นการเรียงลำดับของตัวรวมสัญญาณ และสามารถเลือกการควบคุมวงนอกได้โดยใช้วิธีการระบบเชิงเส้นมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กฎการควบคุมแบบป้อนกลับสถานะของ ${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

โดยที่เวกเตอร์สถานะคือเอาต์พุตและอนุพันธ์อันดับแรกของมัน ส่งผลให้เกิดระบบ LTI${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az}$

กับ,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

ดังนั้น ด้วยการเลือกค่า ที่เหมาะสมเราสามารถกำหนดตำแหน่งของขั้ววงปิดของระบบเชิงเส้นได้ตามอำเภอใจ ${\displaystyle K}$

การทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยการป้อนกลับสามารถทำได้กับระบบที่มีระดับสัมพัทธ์น้อยกว่าอย่างไรก็ตาม รูปแบบปกติของระบบจะรวมถึงไดนามิกศูนย์ (เช่น สถานะที่ไม่สามารถสังเกตได้จากเอาต์พุตของระบบ) ซึ่งอาจไม่เสถียร ในทางปฏิบัติ ไดนามิกที่ไม่เสถียรอาจส่งผลเสียต่อระบบ (เช่น อาจเป็นอันตรายหากสถานะภายในของระบบเติบโตอย่างไม่มีขอบเขต) สถานะที่ไม่สามารถสังเกตได้เหล่านี้อาจควบคุมได้หรืออย่างน้อยก็เสถียร ดังนั้นจึงสามารถใช้มาตรการต่างๆ เพื่อให้แน่ใจว่าสถานะเหล่านี้จะไม่ก่อให้เกิดปัญหาในทางปฏิบัติ ระบบ เฟสต่ำสุดให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่างเกี่ยวกับไดนามิกศูนย์ ${\displaystyle n}$

แม้ว่า NDI จะไม่จำเป็นต้องจำกัดอยู่เฉพาะระบบประเภทนี้ แต่ลองพิจารณาระบบ MIMO แบบไม่เชิงเส้นที่มีอินพุตเป็นเชิงเส้นดังแสดงในภาพด้านล่าง ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {u} } }$

ถือว่าจำนวนอินพุตเท่ากับจำนวนเอาต์พุต สมมติว่ามีอินพุตและเอาต์พุตจำนวนหนึ่ง จากนั้น จะ เป็น เมทริกซ์ โดยที่คือเวกเตอร์ที่ประกอบเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ นอกจากนี้และ. เพื่อใช้การพิสูจน์ที่คล้ายคลึงกับ SISO ระบบจากสมการที่ 4 สามารถแยกออกได้โดยการแยกเอาต์พุตที่ แต่ละตัวดังแสดงในสมการที่ 5 ${\displaystyle m}$${\displaystyle G=[\mathbf {g} _{1}\,\mathbf {g} _{2}\,\cdots \,\mathbf {g} _{m}]}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle \mathbf {g} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}}$

ในทำนองเดียวกันกับ SISO สามารถแสดงได้ว่าจนถึงอนุพันธ์ลำดับที่ ' ของเทอมในที่นี้หมายถึงระดับสัมพัทธ์ของเอาต์พุตลำดับที่ ' ในทำนองเดียวกันนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle (r_{i}-1)}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle L_{g_{j}}h_{i}(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle i}$

เมื่อคำนวณด้วยวิธีเดียวกับ SISO จะพบว่าการกำหนดอินพุตเสมือนในลักษณะที่ว่า ${\displaystyle v_{i}}$

การแปลงระบบที่ 'th' นี้เป็นเชิงเส้นอย่างไรก็ตาม ถ้าเห็นได้ชัดว่าไม่สามารถแก้ได้เมื่อกำหนดค่าให้กับอย่างไรก็ตาม การตั้งสมการดังกล่าวสำหรับเอาต์พุต ทั้งหมด จะส่งผลให้ได้สมการในรูปแบบที่แสดงในสมการที่ 7 การรวมสมการเหล่านี้จะส่งผลให้ได้สมการเมทริกซ์ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะช่วยให้สามารถแก้หาค่าอินพุตได้ดังที่แสดงด้านล่าง ${\displaystyle i}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

• การควบคุมแบบไม่เชิงเส้น

• Fabio Celani และ Alberto Isidori (บรรณาธิการ) (2009). "การทำให้เป็นเส้นตรงแบบป้อนกลับ" . Scholarpedia . สืบค้นเมื่อ31 ธันวาคม 2022 .
• ECE 758: การสร้างแบบจำลองและการควบคุมแบบไม่เชิงเส้นของหุ่นยนต์แขนกลข้อต่อยืดหยุ่นแบบข้อต่อเดียว  – อธิบายและประยุกต์ใช้การทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยการป้อนกลับ
• ECE 758: ตัวอย่างการทำให้เป็นเชิงเส้นของระบบลูกบอลในท่อ  – การประยุกต์ใช้การทำให้เป็นเชิงเส้นอย่างง่ายสำหรับระบบที่อยู่ในรูปแบบปกติอยู่แล้ว (กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องมีการแปลงพิกัด)
• ฟังก์ชันภาษา Wolfram ใช้สำหรับ ทำการแปลงสัญญาณป้อนกลับให้เป็นเชิงเส้นคำนวณลำดับสัมพัทธ์และกำหนดไดนามิกศูนย์