ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ArithmeticaของDiophantusฉบับปี 1670 มีคำอธิบายของ Fermat ซึ่งเรียกว่า "ทฤษฎีบทสุดท้าย" ของเขา ( Observatio Domini Petri de Fermat ) ซึ่งลูกชายของเขาตีพิมพ์หลังมรณกรรม
สนาม	ทฤษฎีจำนวน
คำแถลง	สำหรับจำนวนเต็มn ใดๆ ที่ มากกว่า 2สมการa n + b n = c nจะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ระบุครั้งแรกโดย	ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์
ระบุครั้งแรกใน	ประมาณ ค.ศ. 1637
หลักฐานชิ้นแรกโดย	แอนดรูว์ ไวลส์
หลักฐานชิ้นแรกใน	วางจำหน่ายในปี 1994 ตีพิมพ์ในปี 1995
โดยนัย	การคาดการณ์ ABC ที่มีประสิทธิภาพ สมมติฐาน Szpiro ที่ได้รับการดัดแปลงอย่างมีประสิทธิภาพ ทฤษฎีโมดูลาร์
การสรุปโดยทั่วไป	สมมติฐานของบีล สมมติฐานของแฟร์มาต์-คาตาลัน

ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (บางครั้งเรียกว่าข้อสันนิษฐานของแฟร์มาต์โดยเฉพาะในตำราเก่าๆ) ระบุว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่มีที่ทำให้^{[ 1 ]}กรณีและเป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่สมัยโบราณว่ามีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน^{[ 2 ]}${\displaystyle a,b,c,n}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในราวปี ค.ศ. 1637 ในขอบหน้ากระดาษของหนังสือArithmeticaแฟร์มาต์เพิ่มเติมว่าเขามีบทพิสูจน์ที่ยาวเกินกว่าจะเขียนลงในขอบกระดาษได้ แม้ว่าข้อความอื่นๆ ที่แฟร์มาต์กล่าวอ้างโดยไม่มีบทพิสูจน์นั้น ต่อมาได้รับการพิสูจน์โดยผู้อื่นและได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ) แต่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นพิสูจน์ไม่ได้ ทำให้เกิดข้อสงสัยว่าแฟร์มาต์เคยมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องหรือไม่ ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีบทนี้จึงกลายเป็นที่รู้จักในฐานะข้อสันนิษฐานมากกว่าทฤษฎีบท หลังจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์เป็นเวลา 358 ปีการพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จครั้งแรกได้รับการเผยแพร่ในปี 1994 โดยAndrew Wilesและตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี 1995 มีการอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าที่น่าทึ่ง" ในคำกล่าวอ้างสำหรับ รางวัล Abel Prize ของ Wiles ในปี 2016 ^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Taniyama–Shimura ได้มาก ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาร์ ลิตี้ และเปิดแนวทางใหม่ทั้งหมดสำหรับปัญหาอื่นๆ อีกมากมายและเทคนิค การยกโมดูลาร์ลิตี้ ที่มีประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกนี้เป็นแรงกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และ 20 ด้วยอิทธิพลที่มีต่อคณิตศาสตร์และวัฒนธรรมในวงกว้าง ทำให้ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์

สมการพีทาโกเรียน , , มีคำตอบจำนวนเต็มบวกอนันต์สำหรับ , , และ; คำตอบเหล่านี้เรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน (โดยตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ 3, 4, 5) ประมาณปี 1637 แฟร์มาต์เขียนไว้ที่ขอบหนังสือว่าสมการทั่วไปไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวกหากเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 แม้ว่าเขาจะอ้างว่ามีบทพิสูจน์ ทั่วไป ของข้อสันนิษฐานของเขา แต่แฟร์มาต์ไม่ได้ทิ้งรายละเอียดของบทพิสูจน์ไว้ และก็ไม่เคยมีการค้นพบเลย ข้ออ้างของเขาถูกค้นพบในอีกประมาณ 30 ปีต่อมาหลังจากที่เขาเสียชีวิต ข้ออ้างนี้ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยังคงไม่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลาสามศตวรรษครึ่ง และได้รับการแก้ไขด้วยคณิตศาสตร์ที่แฟร์มาต์ไม่รู้จัก^{[ 4 ]}${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$

ข้ออ้างดังกล่าวกลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกที่โดดเด่นที่สุดในคณิตศาสตร์ ความพยายามที่จะพิสูจน์ข้ออ้างนี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาอย่างมากในทฤษฎีจำนวนและเมื่อเวลาผ่านไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ได้รับความสำคัญในฐานะปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในคณิตศาสตร์

กรณีพิเศษที่แฟร์มาต์พิสูจน์เองนั้นเพียงพอที่จะสร้างข้อสรุปว่า หากทฤษฎีบทเป็นเท็จสำหรับเลขชี้กำลัง บางตัว ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ทฤษฎีบทนั้นจะต้องไม่เป็นเท็จสำหรับค่าที่เล็กกว่าด้วยดังนั้นจึงมีเพียงค่าจำนวนเฉพาะของเท่านั้นที่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติม^{[หมายเหตุ 1 ]}ในช่วงสองศตวรรษถัดมา (1637–1839) ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเฉพาะ 3, 5 และ 7 เท่านั้น แม้ว่าโซฟี แฌร์แม็งจะคิดค้นและพิสูจน์แนวทางที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะทั้งกลุ่มก็ตาม^{[ 5 ] [ 6 ]}ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เอิร์นสต์ คุมเมอร์ได้ขยายสิ่งนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับจำนวนเฉพาะปกติ ทั้งหมด โดยปล่อยให้จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติได้รับการวิเคราะห์เป็นรายบุคคล^{[ 5 ] [ 7 ]}โดยอาศัยงานของ Kummer และใช้การศึกษาคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ สามารถขยายการพิสูจน์ให้ครอบคลุมเลขชี้กำลังเฉพาะทั้งหมดได้ถึงสี่ล้าน^{[ 8 ]}แต่การพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมดถือว่ายากอย่างยิ่งหรือเป็นไปไม่ได้เลยด้วยความรู้ที่มีอยู่ในขณะนั้น^{[ 9 ]}${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นโกโร ชิมูระและยูทากะ ทานิยามะสงสัยว่าอาจมีความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีและรูปแบบมอดูลาร์ซึ่งเป็นสองสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ในเวลานั้นรู้จักกันในชื่อสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระซึ่งไม่มีความเชื่อมโยงที่ชัดเจนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ มันถูกมองว่ามีความสำคัญและมีคุณค่าในตัวของมันเอง แต่ (เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) ถือว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยสิ้นเชิง^{[ 10 ]}

ในปี 1984 Gerhard Freyสังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างปัญหาสองข้อที่ไม่เกี่ยวข้องกันและยังไม่ได้รับการแก้ไขมาก่อน และเขาก็ได้ให้โครงร่างที่แสดงให้เห็นว่าสามารถพิสูจน์ได้^{[ 11 ] [ 12 ]}การพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ว่าปัญหาทั้งสองเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดนั้นสำเร็จในปี 1986 โดยKen Ribetโดยอาศัยการพิสูจน์บางส่วนโดยJean-Pierre Serreซึ่งพิสูจน์ได้เกือบทั้งหมด ยกเว้นส่วนที่เรียกว่า "ข้อสันนิษฐานเอปซิลอน" (ดู: ทฤษฎีบทของ Ribetและเส้นโค้ง Frey ) ^{[ 3 ]}เอกสารเหล่านี้โดย Frey, Serre และ Ribet แสดงให้เห็นว่าหากข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura สามารถพิสูจน์ได้สำหรับอย่างน้อยคลาสกึ่งเสถียรของเส้นโค้งวงรี การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ก็จะตามมาโดยอัตโนมัติ ความเชื่อมโยงจะอธิบายไว้ด้านล่าง : วิธีแก้ปัญหาใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ก็สามารถใช้เพื่อขัดแย้งกับข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura ได้เช่นกัน ดังนั้น หากสมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริง ก็จะไม่มีคำตอบใดที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ต้องเป็นจริงด้วยเช่นกัน

แม้ว่าปัญหาทั้งสองจะยากลำบากและได้รับการพิจารณาอย่างกว้างขวางว่า "ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างสมบูรณ์" สำหรับการพิสูจน์ในขณะนั้น^{[ 3 ]}แต่นี่เป็นข้อเสนอแนะแรกของเส้นทางที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถขยายและพิสูจน์ได้สำหรับทุกจำนวน ไม่ใช่แค่บางจำนวน ต่างจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระเป็นพื้นที่วิจัยที่สำคัญและได้รับการมองว่าอยู่ในขอบเขตของคณิตศาสตร์ร่วมสมัยมากกว่า^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตาม ความคิดเห็นทั่วไปคือสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระ^{[ 14 ]} ปฏิกิริยาที่อ้างถึงของ นักคณิตศาสตร์จอห์น โคตส์เป็นปฏิกิริยาทั่วไป: ^{[ 14 ]}

ตัวผมเองค่อนข้างสงสัยว่าความเชื่อมโยงที่สวยงามระหว่างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กับข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระจะนำไปสู่สิ่งใดได้จริง เพราะผมต้องสารภาพว่าผมคิดว่าข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระนั้นพิสูจน์ได้ยาก แม้ปัญหาข้อนี้จะสวยงามเพียงใด แต่ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ได้จริง ผมต้องสารภาพว่าผมคิดว่าผมคงไม่ได้เห็นการพิสูจน์ในชั่วชีวิตของผม

เมื่อได้ยินว่า Ribet ได้พิสูจน์แล้วว่าการเชื่อมโยงของ Frey นั้นถูกต้อง นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษAndrew Wilesซึ่งหลงใหลในทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat มาตั้งแต่เด็กและมีพื้นฐานการทำงานกับเส้นโค้งวงรีและสาขาที่เกี่ยวข้อง จึงตัดสินใจลองพิสูจน์สมมติฐาน Taniyama–Shimura เพื่อเป็นวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ^{[ 15 ]}ในปี 1993 หลังจากทำงานอย่างลับๆ เกี่ยวกับปัญหานี้เป็นเวลาหกปี Wiles ก็ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์สมมติฐานได้มากพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ^{[ 16 ] [ 17 ]}บทความของ Wiles มีขนาดและขอบเขตที่ใหญ่มาก พบข้อบกพร่องในส่วนหนึ่งของบทความต้นฉบับของเขาในระหว่างการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิและต้องใช้เวลาอีกหนึ่งปีและร่วมมือกับอดีตนักศึกษาRichard Taylorเพื่อแก้ไข^{[ 16 ] [ 18 ]}ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ขั้นสุดท้ายในปี 1995 จึงมาพร้อมกับบทความร่วมขนาดเล็กกว่าที่แสดงให้เห็นว่าขั้นตอนที่กำหนดไว้นั้นถูกต้อง^{[ 18 ]}ความสำเร็จของไวลส์ได้รับการรายงานอย่างกว้างขวางในสื่อสิ่งพิมพ์ยอดนิยม และได้รับความนิยมในหนังสือและรายการโทรทัศน์^{[ 19 ] [ 20 ]}ส่วนที่เหลือของสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วและเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาริตี ได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ซึ่งต่อยอดจากงานของไวลส์ระหว่างปี 1996 ถึง 2001 ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} สำหรับการพิสูจน์ของเขา ไวลส์ได้รับเกียรติและได้รับรางวัลมากมาย รวมถึง รางวัลอาเบลประจำปี2016 ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

มีหลายวิธีในการกล่าวถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งมีความเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับข้อความดั้งเดิมของปัญหา

เพื่อที่จะกล่าวถึงสมการเหล่านี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: ให้เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติให้เป็นเซตของจำนวนเต็มและให้เป็นเซตของจำนวนตรรกยะโดยที่และอยู่ในโดย ที่ ในส่วนต่อไปนี้ เราจะเรียกคำตอบของสมการที่อย่างน้อยหนึ่งตัวของ, , หรือเป็นศูนย์ว่าคำตอบที่ไม่สำคัญส่วนคำตอบที่ทั้งสามตัวไม่เป็นศูนย์จะเรียกว่าคำตอบ ที่ไม่สำคัญ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle 1,2,3,\dots ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0,\pm 1,\pm 2,\dots ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle b\neq 0}$${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ เราจะเริ่มจากสูตรดั้งเดิมก่อน

• ข้อความต้นฉบับ . เมื่อ(หมายความว่าเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด) และสมการนี้ไม่มีคำตอบ${\displaystyle n,x,y,z\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n,x,y,z}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

การบำบัดที่เป็นที่นิยมส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้ระบุไว้ดังนี้^{[ 27 ]}แม้ว่าบางครั้งจะระบุไว้ว่า: ^{[ 28 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ประโยคที่เทียบเท่ากัน 1: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿโดยที่ ไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$

ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจนหากnเป็นจำนวนคู่ ถ้าn เป็นจำนวนคี่และ x , y , zทั้งสามตัวเป็นลบ เราสามารถแทนx , y , zด้วย−x , −y , −zเพื่อหาคำตอบในN ได้ ถ้าสองตัวเป็นลบ คำตอบนั้นต้องเป็น x และ z หรือ y และ z ถ้า x, z ^เป็นลบและ y เป็นบวกเราสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น ( −z ) n + yn ⁼ ( −x ) nซึ่ง^จะได้คำตอบในNกรณีอื่น ๆ ก็จัดการในทำนองเดียวกัน ทีนี้ถ้ามีเพียงตัวเดียวที่เป็นลบ คำตอบนั้นต้องเป็น^xหรือ y ถ้า x เป็นลบและyและzเป็นบวก เราสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น(−x ) n ⁺ zn = yn ^ซึ่งจะได้คำตอบในN อีกครั้ง ถ้าyเป็นลบ ผลลัพธ์ก็จะสมมาตรกัน ดังนั้น ในทุกกรณี คำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์ในZจะหมายความว่ามีคำตอบอยู่ในNซึ่งเป็นรูปแบบดั้งเดิมของปัญหา ด้วยเช่นกัน

• ข้อความที่เทียบเท่ากันข้อที่ 2: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿโดยที่จำนวนเต็มn ≥ 3ไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์x , y , z ∈ Q

เนื่องจากเลขชี้กำลังของx , yและzเท่ากัน (กับn ) ดังนั้นหากมีคำตอบในQก็สามารถคูณด้วยตัวส่วนร่วมที่เหมาะสมเพื่อให้ได้คำตอบในZ ^และด้วยเหตุนี้ในN [ ^{27 ]}

• ข้อความที่เทียบเท่ากัน 3: x ⁿ + y ⁿ = 1โดยที่จำนวนเต็มn ≥ 3ไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์x , y ∈ Q

คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์a , b , c ∈ Zสำหรับ สมการ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿจะให้คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์a / c , b / c ∈ Qสำหรับv ⁿ + w ⁿ = 1ในทางกลับกัน คำตอบa / b , c / d ∈ Qสำหรับ สม การ v ⁿ + w ⁿ = 1จะให้คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ad , cb , bdสำหรับx ⁿ + y ⁿ = z ⁿ

การกำหนดสูตรสุดท้ายนี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง เพราะช่วยลดปัญหาจากปัญหาเกี่ยวกับพื้นผิวในสามมิติไปเป็นปัญหาเกี่ยวกับเส้นโค้งในสองมิติ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถทำงานกับฟิลด์Qแทนที่จะเป็นวงแหวนZ ได้ ฟิลด์มีโครงสร้างมากกว่าวงแหวนซึ่งช่วยให้สามารถวิเคราะห์องค์ประกอบของฟิลด์ได้อย่างลึกซึ้งยิ่ง ขึ้น

• ข้อความที่เทียบเท่ากันข้อ 4 – การลดรูปเป็นเลขชี้กำลังเฉพาะ:ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle n=4}$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วx ⁿ + y ⁿ = z ⁿจะไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

แฟร์มาต์ ได้ พิสูจน์ กรณีนี้ไป${\displaystyle n=4}$แล้ว จึงสามารถละเว้นได้

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 2 สามารถเขียนได้ในรูป⁠ ⁠${\displaystyle pq}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle p=4}$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle p}$เป็นจำนวนเฉพาะคี่ (อาจเป็นไปได้ว่า⁠ ⁠${\displaystyle q=1}$ ) ความเท่าเทียมกันนี้เกิดจากความเท่ากัน ดังนั้น ทุกคำตอบสำหรับเลขชี้กำลังnถ้ามี จะให้คำตอบสำหรับเลขชี้กำลังpด้วย $${\displaystyle x^{pq}+y^{pq}-z^{pq}=(x^{q})^{p}+(y^{q})^{p}-(z^{q})^{p}.}$$

• ข้อความที่เทียบเท่า 5 – การเชื่อมต่อกับเส้นโค้งวงรี:ถ้าa , b , cเป็นคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบธรรมดาของa ^p + b ^p = c ^pโดย ที่ pเป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วy ² = x ( x − a ^p )( x + b ^p ) ( เส้นโค้ง Frey ) จะเป็นเส้นโค้งวงรีที่ไม่มีรูปแบบโมดูลาร์^{[ 29 ]}

การตรวจสอบเส้นโค้งวงรีนี้ด้วยทฤษฎีบทของ Ribetแสดงให้เห็นว่ามันไม่มีรูปแบบโมดูลาร์อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์โดย Andrew Wiles พิสูจน์ว่าสมการใดๆ ในรูปแบบy ² = x ( x − a ⁿ )( x + b ⁿ )มีรูปแบบโมดูลาร์ ดังนั้น คำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์ของx ^p + y ^p = z ^p (โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะคี่) จะสร้างความขัดแย้งซึ่งในทางกลับกันพิสูจน์ได้ว่าไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์^{[ 30 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ก็สามารถนำมาใช้ขัดแย้งกับทฤษฎีบทมอดูลาได้เช่นกัน ดังนั้น หากพบว่าทฤษฎีบทมอดูลาเป็นจริง ก็จะตามมาด้วยว่าไม่มีข้อขัดแย้งใดๆ กับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้เช่นกัน ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น การค้นพบข้อความที่เทียบเท่ากันนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการแก้ปัญหาทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในที่สุด เนื่องจากมันเป็นวิธีการที่สามารถ "โจมตี" ทฤษฎีบทนี้ได้สำหรับทุกจำนวนพร้อมกัน

ในสมัยโบราณ เป็นที่ทราบกันว่าสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นอัตราส่วน3:4:5จะมีมุมฉากเป็นมุมหนึ่ง หลักการนี้ถูกนำมาใช้ในการก่อสร้างและต่อมาในเรขาคณิตยุคแรก นอกจากนี้ยังเป็นที่ทราบกันว่าเป็นตัวอย่างหนึ่งของกฎทั่วไปที่ว่า สามเหลี่ยมใดๆ ที่ความยาวของด้านสองด้านแต่ละด้านยกกำลังสองแล้วบวกกัน( ^3² + 4² ⁼ 9 + 16 = 25)เท่ากับกำลังสองของความยาวด้านที่สาม(5² ⁼ 25)ก็จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเช่นกัน ปัจจุบันนี้ หลักการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและชุดตัวเลขสามตัวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าชุดตัวเลขพีทาโกรัส ทั้งสองอย่างตั้งชื่อตามพีทาโกรัส ชาวกรีกโบราณ ดังนั้น ชุดตัวเลขพีทา ^{โก รัส} จึงเป็นชุดของจำนวนเต็มสามจำนวน( a , b , c )ที่ สอดคล้อง กับสมการ^{[ 31 ]} a² + ^b² = ^c²ตัวอย่างได้แก่(3, 4, 5)และ(5, 12, 13)มีทริปเปิลดังกล่าวอยู่มากมายนับไม่ถ้วน^{[ 32 ]}และวิธีการสร้างทริปเปิลดังกล่าวได้รับการศึกษาในหลายวัฒนธรรม เริ่มต้นจากชาวบาบิโลน^{[ 33 ]}และต่อมานักคณิตศาสตร์ ชาว กรีกโบราณชาวจีนและชาวอินเดีย^{[ 2 ]}

สมการของแฟร์มาต์x ⁿ + y ⁿ = z ⁿที่มี คำตอบเป็น จำนวนเต็มบวก เป็นตัวอย่างของสมการไดโอแฟนไทน์ [ ^{34 ] ซึ่ง} ตั้งชื่อตาม นักคณิตศาสตร์ชาวอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 3 ชื่อไดโอแฟนตัสผู้ซึ่งศึกษาสมการเหล่านี้และพัฒนาวิธีการแก้สมการไดโอแฟนไทน์บางประเภท ปัญหาไดโอแฟนไทน์ทั่วไปคือการหาจำนวนเต็มสองจำนวนxและyที่ผลรวมของจำนวนทั้งสองและผลรวมของกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับจำนวนAและB ที่กำหนด ให้ตามลำดับ: $${\displaystyle A=x+y,\qquad B=x^{2}+y^{2}.}$$

^{ผลงาน ชิ้น}สำคัญของดิโอแฟนตัสคือArithmeticaซึ่งเหลือรอดมาเพียงบางส่วนเท่านั้น^{[ 35 ]}ข้อสันนิษฐานของแฟร์มาต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของเขานั้นได้รับแรงบันดาลใจมาจากการอ่านArithmetica ฉบับพิมพ์ใหม่ [ ^{36 ]}ซึ่งได้รับการแปลเป็นภาษาละตินและตีพิมพ์ในปี 1621 โดยClaude Bachet ^{[ 37 ] [ 38 ]}

สมการไดโอแฟนไทน์ได้รับการศึกษามาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง^{x² +} y² = z²นั้น^ได้มาจากสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนซึ่งเดิมทีชาวบาบิโลนเป็นผู้แก้ ( ประมาณ 1800 ปีก่อนคริสตกาล ) ^{[ 39 ]}คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น เช่น26x + 65y = 13สามารถหาได้โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด (ประมาณศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล) [ ^{40 ] สม}การไดโอแฟนไทน์ จำนวนมากมีรูปแบบคล้ายกับสมการทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จากมุมมองของพีชคณิต กล่าวคือไม่มีพจน์ไขว้ที่ผสมตัวอักษรสองตัวโดยไม่แบ่งปันคุณสมบัติเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่ามีจำนวนเต็มบวก x, y และ z มากมายนับไม่ถ้วน^ที่ xn + yn = zmโดยที่ n และ m ^เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน^{[ หมายเหตุ 2 ]}

สมการเฟอร์มาต์กำลังสามx³ + y³ = ^{z³ ได้ รับ}การศึกษาโดยAbu-Mahmud Khujandi ( ^{ประมาณ}ค.ศ. 940–1000) ในยุคคณิตศาสตร์ของโลกอิสลามสมัยกลางเขาอ้างว่าได้พิสูจน์แล้วว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ แต่การพิสูจน์ของเขาในปัจจุบันถือว่าผิดพลาด^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}นักคณิตศาสตร์อีกคนหนึ่งจากช่วงหลังของยุคอิสลามสมัยกลางAbdallah ibn Muhhammad ibn Abd al-Razzāq Ibn al-Khawwām (ค.ศ. 1243 – หลัง ค.ศ. 1324) ศิษย์ของNasir al-Din al-Tusiได้ตีพิมพ์รายการปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ซึ่งรวมถึงกรณีดีกรี 3 และดีกรี 4 ของทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์ด้วย^{[ 44 ]}

การปรับปรุงพีชคณิตสมัยใหม่ของปัญหา II.8 ของArithmeticaถามว่าจำนวนตรรกยะกำลังสอง ที่กำหนด จะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนตรรกยะกำลังสองอีกสองจำนวนได้อย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับจำนวนตรรกยะ k ที่กำหนด^{จะถาม}ถึงการหาจำนวนตรรกยะuและvที่ทำให้k² = u² + v²ไดโอแฟนตัสแสดงวิธีแก้ปัญหาผลรวมของกำลังสองนี้สำหรับk = 4 ^โดยคำตอบคือu = 16/5และv = 12/5 ^{[ 45 ]}

ประมาณปี ค.ศ. 1637 แฟร์มาต์เขียนทฤษฎีบทสุดท้ายของเขาเป็นภาษาละตินไว้ที่ขอบของสำเนาหนังสือArithmetica ของเขา ข้างๆปัญหาผลรวมของกำลังสองของดิโอแฟนตัส : ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}

หลังจากแฟร์มาต์เสียชีวิตในปี 1665 ลูกชายของเขา เคลมองต์-ซามูเอล แฟร์มาต์ ได้จัดทำหนังสือฉบับใหม่ (1670) โดยเพิ่มเติมความคิดเห็นของบิดาเข้าไป^{[ 52 ]}แม้ว่าในขณะนั้นจะยังไม่ใช่ทฤษฎีบท (หมายถึงข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ มี การพิสูจน์ แล้ว) แต่บันทึกย่อที่เขียนไว้ที่ขอบหน้ากระดาษ ^นี้ก็เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ [ ^{46 ]}เนื่องจากเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายที่แฟร์มาต์กล่าวอ้างแต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์^{[ 53 ] [ 54 ]}

ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าแฟร์มาต์ได้ค้นพบวิธีพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับเลขชี้กำลังn ทุกตัว หรือไม่ แต่ดูเหมือนจะไม่น่าเป็นไปได้ มีเพียงวิธีพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องเพียงวิธีเดียวของเขาที่ยังหลงเหลืออยู่ นั่นคือสำหรับกรณีn = 4ดังที่อธิบายไว้ในหัวข้อ § วิธีพิสูจน์สำหรับ เลขชี้กำลัง เฉพาะ

ในขณะที่แฟร์มาต์ตั้งกรณีn = 4และn = 3เป็นความท้าทายสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ติดต่อกับเขา เช่นมาริน เมอร์เซนน์ , บลาส์ ปาสคาลและจอห์น วอลลิส [ ^{55 ] เขา}ไม่เคยตั้งกรณีทั่วไป^{[ 56 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ในช่วงสามสิบปีสุดท้ายของชีวิต แฟร์มาต์ไม่เคยเขียนถึง "การพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์อย่างแท้จริง" ของกรณีทั่วไปอีกเลย และไม่เคยตีพิมพ์เผยแพร่ แวน เดอร์ ปอร์เทน^{[ 56 ]}แนะนำว่าในขณะที่การไม่มีการพิสูจน์นั้นไม่สำคัญ แต่การขาดความท้าทายหมายความว่าแฟร์มาต์ตระหนักว่าเขาไม่มีการพิสูจน์ เขาอ้างคำพูดของไวล์^{[ 57 ]}ว่าแฟร์มาต์ต้องหลอกตัวเองชั่วครู่ด้วยความคิดที่แก้ไขไม่ได้ เทคนิคที่แฟร์มาต์อาจใช้ในการพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์ดังกล่าวยังไม่เป็นที่รู้จัก

การพิสูจน์ของ Wiles และ Taylor อาศัยเทคนิคในศตวรรษที่ 20 ^{[ 58 ]}เมื่อเทียบกันแล้ว การพิสูจน์ของ Fermat จะต้องเป็นพื้นฐานอย่างแน่นอน เมื่อพิจารณาจากความรู้ทางคณิตศาสตร์ในสมัยของเขา^{[ 59 ]}

แม้ว่าสมมติฐานอันยิ่งใหญ่ของHarvey Friedmanจะบ่งชี้ว่าทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ใดๆ (รวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat) สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เพียงเลขคณิตฟังก์ชันพื้นฐาน [ ^{60 ] การพิสูจน์ดังกล่าวจะต้องเป็น 'พื้นฐาน' ในแง่เทคนิคเท่านั้น และอาจเกี่ยวข้องกับขั้น ตอน}นับล้าน และดังนั้นจึงยาวเกินกว่าจะเป็นการพิสูจน์ของ Fermat

มีเพียงบทพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องเพียงบทเดียวของแฟร์มาต์ที่ยังหลงเหลืออยู่ ซึ่งเขาใช้เทคนิคการลดทอนแบบอนันต์เพื่อแสดงว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มไม่สามารถเท่ากับกำลังสองของจำนวนเต็มได้^{[ 61 ] [ 62 ]}บทพิสูจน์ของเขาเทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่าสมการ ไม่มีคำตอบดั้งเดิมในจำนวนเต็ม (ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นคู่ๆ)ซึ่ง ในทางกลับกันเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับกรณีn = 4เนื่องจากสมการa ⁴ + b ⁴ = c ⁴สามารถเขียนได้เป็นc ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ²$${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$$

ต่อมามีผู้เขียนหลายท่านพัฒนาวิธีการพิสูจน์ทางเลือกสำหรับกรณีn = 4 ^{[ 63 ] [หมายเหตุ 3 ]}

หลังจากที่แฟร์มาต์พิสูจน์กรณีพิเศษn = 4แล้ว การพิสูจน์ทั่วไปสำหรับn ทั้งหมด ต้องการเพียงแค่ให้ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเฉพาะคี่ทั้งหมด^{[ 90 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องพิสูจน์เพียงว่าสมการa ⁿ + b ⁿ = c ⁿไม่มีคำตอบจำนวนเต็มบวก( a , b , c )เมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะ คี่ ซึ่งเป็นผลมาจากคำตอบ( a , b , c )สำหรับn ที่กำหนด เทียบเท่ากับคำตอบสำหรับตัวประกอบทั้งหมดของnตัวอย่างเช่น ให้nแยกตัวประกอบเป็นdและe , n = deสมการทั่วไป บ่งชี้ว่า( a ^d , b ^d , c ^d )เป็นคำตอบสำหรับเลขชี้กำลังe$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$$$${\displaystyle (a^{d})^{e}+(b^{d})^{e}=(c^{d})^{e}.}$$

ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ว่าสมการของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบสำหรับn > 2ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่ามันไม่มีคำตอบสำหรับตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัวของทุกn จำนวนเต็ม n > 2ทุกตัวหารลงตัวด้วย 4 หรือด้วยจำนวนเฉพาะคี่ (หรือทั้งสองอย่าง) ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงสามารถพิสูจน์ได้สำหรับทุกnหากสามารถพิสูจน์ได้สำหรับn = 4และสำหรับจำนวนเฉพาะคี่p ทุก ตัว

ในช่วงสองศตวรรษหลังจากการคาดการณ์ (1637–1839) ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเฉพาะคี่สามตัวp = 3, 5, 7ในปี 1770 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้พิสูจน์p = 3 ^{[ 91 ]}แต่การพิสูจน์ของเขามีช่องว่างสำคัญ^{[ 92 ] [ 93 ] [ 94 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากออยเลอร์เองได้พิสูจน์บทตั้งที่จำเป็นในการพิสูจน์ให้เสร็จสมบูรณ์ในงานอื่น เขาจึงได้รับการยกย่องโดยทั่วไปว่าเป็นผู้พิสูจน์คนแรก^{[ 62 ] [ 95 ] [ 59 ]}มีการตีพิมพ์ข้อพิสูจน์อิสระ^{[ 96 ]}โดย Kausler (1802), ^{[ 66 ]} Legendre (1823, 1830), ^{[ 68 ] [ 97 ]} Calzolari (1855), ^{[ 98 ]} Gabriel Lamé (1865), ^{[ 99 ]} Peter Guthrie Tait (1872), ^{[ 100 ]}ซิกมุนด์ กึนเธอร์ (1878), ^{[ 101 ]}แกมบิโอลี (1901), ^{[ 77 ]}เครย์ (1909), ^{[ 102 ]} Rychlík (1910), ^{[ 82 ]} Stockhaus (1910), ^{[ 103 ]}คาร์ไมเคิล (1915), ^{[ 104 ]}โยฮันเนส ฟาน เดอร์ คอร์ปุต (1915) ^{[ 105 ]}แอ็กเซล ทู (พ.ศ. 2460) ^{[ 106 ]}และ Duarte (พ.ศ. 2487) ^{[ 107 ]}

กรณีp = 5ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดย Legendre และPeter Gustav Lejeune Dirichletประมาณปี 1825 ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 62 ] [ 110 ]}มีการพัฒนาวิธีการพิสูจน์ทางเลือก^{[ 111 ]}โดยCarl Friedrich Gauss (1875, หลังมรณกรรม) ^{[ 112 ]} Lebesgue (1843) ^{[ 113 ]} Lamé (1847) ^{[ 114 ]} Gambioli (1901) ^{[ 77 ] [ 115 ]} Werebrusow (1905) ^{[ 116 ]} Rychlík (1910) ^{[ 117 ]} van der Corput (1915) ^{[ 105 ]}และGuy Terjanian (1987) ^{[ 118 ]}

กรณีp = 7ได้รับการพิสูจน์^{[ 119 ] [ 120 ] [ 62 ] [ 110 ]}โดย Lamé ในปี พ.ศ. 2382 ^{[ 121 ]}การพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อนของเขาได้รับการทำให้ง่ายขึ้นในปี พ.ศ. 2483 โดย Lebesgue ^{[ 122 ]}และมีการตีพิมพ์การพิสูจน์ที่ง่ายกว่าโดยAngelo Genocchiในปี พ.ศ. 2407, พ.ศ. 2417 และ พ.ศ. 2419 ^{[ 123 ]}การพิสูจน์ทางเลือกได้รับการพัฒนาโดย Théophile Pépin (พ.ศ. 2419) ^{[ 124 ]}และ Edmond Maillet (พ.ศ. 2440) ^{[ 125 ]}

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับเลขชี้กำลังn = 6, 10, 14การพิสูจน์สำหรับn = 6ได้รับการตีพิมพ์โดย Kausler, ^{[ 66 ]} Thue, ^{[ 126 ]} Tafelmacher, ^{[ 127 ]} Lind, ^{[ 128 ]} Kapferer, ^{[ 129 ]} Swift, ^{[ 130 ]}และ Breusch ^{[ 131 ]}ในทำนองเดียวกัน Dirichlet ^{[ 132 ]}และ Terjanian ^{[ 133 ]}ต่างก็พิสูจน์กรณีn = 14ในขณะที่ Kapferer ^{[ 129 ]}และ Breusch ^{[ 131 ]}ต่างก็พิสูจน์กรณีn = 10กล่าวอย่างเคร่งครัด การพิสูจน์เหล่านี้ไม่จำเป็น เนื่องจากกรณีเหล่านี้เป็นผลมาจากการพิสูจน์สำหรับn = 3, 5, 7ตามลำดับ อย่างไรก็ตาม เหตุผลของการพิสูจน์เลขชี้กำลังคู่เหล่านี้แตกต่างจากการพิสูจน์เลขชี้กำลังคี่ การพิสูจน์ของ Dirichlet สำหรับn = 14ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2475 ก่อนการพิสูจน์ของ Lamé ในปี พ.ศ. 2482 สำหรับn = 7 ^{[ 134 ]}

การพิสูจน์ทั้งหมดสำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะใช้เทคนิคการลดทอนอนันต์ ของแฟร์มาต์ ไม่ว่าจะในรูปแบบดั้งเดิมหรือในรูปแบบของการลดทอนบนเส้นโค้งวงรีหรือวาไรตี้อาเบลอย่างไรก็ตาม รายละเอียดและข้อโต้แย้งเสริมมักจะเป็นไปแบบเฉพาะกิจและผูกติดกับเลขชี้กำลังแต่ละตัวที่กำลังพิจารณา^{[ 135 ]}เนื่องจากมีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อpเพิ่มขึ้น จึงดูไม่น่าเป็นไปได้ที่กรณีทั่วไปของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะสามารถพิสูจน์ได้โดยการสร้างจากหลักฐานการพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังแต่ละตัว^{[ 135 ]}แม้ว่าผลลัพธ์ทั่วไปบางอย่างเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะได้รับการตีพิมพ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 โดยNiels Henrik AbelและPeter Barlow [ ^{136 ] [ 137 ] แต่งานสำคัญชิ้นแรกเกี่ยวกับทฤษฎีบททั่วไป นั้น}ทำโดยSophie Germain ^{[ 138 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 โซฟี แฌร์แมงได้พัฒนาแนวทางใหม่หลายประการเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมด^{[ 139 ]}ประการแรก เธอได้กำหนดเซตของจำนวนเฉพาะเสริมθที่สร้างขึ้นจากเลขชี้กำลังเฉพาะpโดยสมการθ = 2 hp + 1โดยที่hเป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วยสามไม่ลงตัว เธอแสดงให้เห็นว่า หากไม่มีจำนวนเต็มที่ยก กำลัง pติดกันแบบมอดูล θ ( เงื่อนไขการไม่ต่อเนื่อง ) แล้วθจะต้องหารผลคูณxyz ลงตัว เป้าหมายของเธอคือการใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่า สำหรับp ใดๆ จำนวนเฉพาะเสริม θที่เป็นอนันต์จำนวนจะตรงตามเงื่อนไขการไม่ต่อเนื่องและหารxyz ลงตัว เนื่องจากผลคูณxyzสามารถมีตัวประกอบเฉพาะได้มากที่สุดจำนวนจำกัด การพิสูจน์เช่นนี้จะสร้างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ขึ้นมาได้ แม้ว่าเธอจะพัฒนาเทคนิคมากมายเพื่อสร้างเงื่อนไขที่ไม่ต่อเนื่อง แต่เธอก็ไม่ประสบความสำเร็จในเป้าหมายเชิงกลยุทธ์ของเธอ เธอยังทำงานเพื่อกำหนดขีดจำกัดล่างของขนาดของคำตอบของสมการของแฟร์มาต์สำหรับเลขชี้กำลังp ที่กำหนด ซึ่งAdrien-Marie Legendre ได้ตีพิมพ์เวอร์ชันที่แก้ไขแล้ว ผลพลอยได้จากงานหลังนี้ เธอได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Sophie Germainซึ่งตรวจสอบกรณีแรกของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (กล่าวคือ กรณีที่pไม่หารxyz ) สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเฉพาะคี่ทุกตัวที่น้อยกว่า 270 ^{[ 139 ] [ 140 ]}และสำหรับจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด ที่อย่างน้อยหนึ่งใน2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1และ16 p + 1เป็นจำนวนเฉพาะ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเฉพาะpที่2 p + 1เป็นจำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ Sophie Germain ) Germain พยายามพิสูจน์กรณีแรกของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับเลขชี้กำลังคู่ทั้งหมดอย่างไม่สำเร็จ โดยเฉพาะสำหรับn = 2p ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยGuy Terjanianในปี 1977 ^{[ 141 ]}ในปี 1985 Leonard AdlemanRoger Heath-BrownและÉtienne Fouvryพิสูจน์ว่ากรณีแรกของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นจริงสำหรับจำนวนเฉพาะคี่pที่ เป็นอนันต์ ^{[ 142 ]}

ในปี พ.ศ. 2390 Gabriel Laméได้ร่างบทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยอาศัยการแยกตัวประกอบสมการx ^p + y ^p = z ^pในจำนวนเชิงซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิลด์ไซโคลโทมิกที่อิงตามรากของจำนวน 1อย่างไรก็ตาม บทพิสูจน์ของเขาล้มเหลวเนื่องจากสมมติอย่างไม่ถูกต้องว่าจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าวสามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้อย่างไม่ซ้ำกัน คล้ายกับจำนวนเต็ม ช่องว่างนี้ถูกชี้ให้เห็นทันทีโดยJoseph Liouville [ ^{143 ]}ซึ่งต่อมาได้อ่านบทความที่แสดงให้เห็นถึงความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนี้ ซึ่งเขียน^โดย Ernst Kummer

คุมเมอร์ตั้งเป้าหมายที่จะตรวจสอบว่าฟิลด์ไซโคลโทมิกสามารถขยายให้ครอบคลุมจำนวนเฉพาะใหม่ ๆ ได้หรือไม่ เพื่อให้การแยกตัวประกอบที่เป็นเอกลักษณ์กลับคืนมา เขาประสบความสำเร็จในภารกิจนั้นโดยการพัฒนา จำนวน ใน อุดมคติ

(มักกล่าวกันว่า คุมเมอร์ได้รับแรงบันดาลใจจาก "จำนวนเชิงซ้อนในอุดมคติ" จากความสนใจในทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ มีเรื่องเล่ากันบ่อยครั้งว่า คุมเมอร์ เช่นเดียวกับลาเมเชื่อว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว จนกระทั่งเลอฌูน ดิริชเลต์บอกเขาว่าข้อโต้แย้งของเขาอาศัยการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน แต่เรื่องนี้ถูกเล่าครั้งแรกโดยเคิร์ต เฮนเซลในปี 1910 และหลักฐานบ่งชี้ว่าน่าจะมาจากความสับสนของแหล่งข้อมูลแหล่งหนึ่งของเฮนเซล ฮาโรลด์ เอ็ดเวิร์ดส์กล่าวว่า ความเชื่อที่ว่าคุมเมอร์สนใจทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นหลัก "เป็นความเข้าใจผิดอย่างแน่นอน" ^{[ 144 ]}ดูประวัติของจำนวนในอุดมคติ )

โดยใช้วิธีการทั่วไปที่ Lamé ได้อธิบายไว้ Kummer ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ทั้งสองกรณีสำหรับจำนวนเฉพาะปกติ ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เขาไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับจำนวนเฉพาะพิเศษ (จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติ) ซึ่งคาดว่าจะเกิดขึ้นประมาณ 39% ของเวลาจำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติที่ต่ำกว่า 270 มีเพียง 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 และ 263 เท่านั้น

ในช่วงทศวรรษ 1920 Louis Mordellได้ตั้งสมมติฐานที่บ่งชี้ว่าสมการของ Fermat มีจำนวนคำตอบจำนวนเต็มดั้งเดิมที่ไม่เป็นศูนย์อย่างมากที่สุดเพียงจำนวนจำกัด หากเลขชี้กำลังnมากกว่าสอง^{[ 145 ] [ 146 ]}สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1983 โดยGerd Faltings [ ^{147 ]}และปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันในชื่อ^{ทฤษฎีบท}ของ Faltings

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 วิธีการคำนวณถูกนำมาใช้เพื่อขยายแนวทางของ Kummer ไปสู่จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติ ในปี 1954 Harry Vandiverใช้คอมพิวเตอร์ SWACเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึง 2521 ^{[ 148 ]}ในปี 1978 Samuel Wagstaffได้ขยายสิ่งนี้ไปถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่า 125,000 ^{[ 149 ]}ในปี 1993 ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าสี่ล้าน^{[ 8 ]}

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีความพยายามและผลลัพธ์เหล่านั้นแล้ว ก็ยังไม่มีหลักฐานพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ หลักฐานของเลขชี้กำลังแต่ละตัวโดยธรรมชาติแล้วไม่สามารถพิสูจน์ กรณี ทั่วไปได้แม้ว่าเลขชี้กำลังทั้งหมดจะได้รับการตรวจสอบแล้วจนถึงจำนวน X ที่มากมหาศาล แต่ก็อาจยังมีเลขชี้กำลังที่สูงกว่า X ซึ่งข้ออ้างนั้นไม่เป็นจริง (นี่เป็นกรณีที่เกิดขึ้นกับข้อสันนิษฐานอื่นๆ ในอดีต เช่นจำนวนของสกิวส์และไม่สามารถตัดความเป็นไปได้นี้ออกไปได้ในข้อสันนิษฐานนี้)

กลยุทธ์ที่นำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้สำเร็จในที่สุด เกิดขึ้นจากสมมติฐาน Taniyama–Shimura–Weil ที่ "น่าทึ่ง" ^{[ 150 ]} ซึ่งเสนอขึ้นราวปี 1955 ซึ่งนักคณิตศาสตร์หลายคนเชื่อว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์^{[ 9 ]}และถูกเชื่อมโยงในช่วงทศวรรษ 1980 โดยGerhard Frey , Jean-Pierre SerreและKen Ribetกับสมการของแฟร์มาต์ ด้วยการพิสูจน์สมมติฐานนี้บางส่วนในปี 1994 Andrew Wilesจึงประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในที่สุด รวมถึงเป็นผู้นำทางไปสู่การพิสูจน์อย่างสมบูรณ์โดยผู้อื่นของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาริตี

ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นโกโร ชิมูระและยูทากะ ทานิยามะสังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาของคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ได้แก่เส้นโค้งวงรีและรูปแบบมอดูลาร์ทฤษฎีบทมอดูลาร์ที่เกิดขึ้น(ซึ่งในขณะนั้นรู้จักกันในชื่อสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระ) ระบุว่าเส้นโค้งวงรีทุกเส้นเป็นมอดูลาร์หมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบมอดูลาร์ที่ ไม่ซ้ำกันได้

ในตอนแรก การเชื่อมโยงนี้ถูกมองข้ามว่าเป็นไปได้ยากหรือเป็นการคาดเดาอย่างมาก แต่ได้รับการพิจารณาอย่างจริงจังมากขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวนAndré Weilพบหลักฐานที่สนับสนุน แม้ว่าจะไม่ได้พิสูจน์ก็ตาม ส่งผลให้ข้อสันนิษฐานนี้มักถูกเรียกว่าข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura–Weil ^{[ 151 ]}

แม้หลังจากได้รับความสนใจอย่างจริงจังแล้ว นักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยก็ยังมองว่าข้อสันนิษฐานนี้ยากเป็นพิเศษหรืออาจพิสูจน์ไม่ได้เลย^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่นจอห์น โคตส์ อาจารย์ที่ปรึกษาปริญญาเอกของไวลส์ กล่าวว่าดูเหมือน "เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ได้จริง" ^{[ 152 ]}และเคน ริเบต ถือว่าตัวเองเป็น "หนึ่งในคนส่วนใหญ่ที่เชื่อว่า [มัน] เป็นไปไม่ได้โดยสิ้นเชิง" โดยเสริมว่า "แอนดรูว์ ไวลส์ อาจเป็นหนึ่งในไม่กี่คนบนโลกที่มีความกล้าที่จะฝันว่าคุณสามารถไปพิสูจน์ [มัน] ได้จริง ๆ" ^{[ 9 ]}

ในปี 1984 เกอร์ฮาร์ด เฟรย์สังเกตเห็นความเชื่อมโยงระหว่างสมการของแฟร์มาต์กับทฤษฎีบทโมดูลาร์ ซึ่งในขณะนั้นยังเป็นเพียงข้อสันนิษฐาน หากสมการของแฟร์มาต์มีคำตอบใดๆ( a , b , c )สำหรับเลขชี้กำลังp > 2แล้ว จะสามารถแสดงได้ว่าเส้นโค้งวงรี แบบกึ่งเสถียร (ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อFrey-Hellegouarch ^{[หมายเหตุ 4 ]} ) จะมีคุณสมบัติที่ผิดปกติจนไม่น่าจะเป็นโมดูลาร์^{[ 11 ]}ซึ่งจะขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ที่ยืนยันว่าเส้นโค้งวงรีทั้งหมดเป็นโมดูลาร์ ด้วยเหตุนี้ เฟรย์จึงสังเกตว่าการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์อาจพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้พร้อมกัน^{[ 12 ] [ 153 ]}โดยการแย้งการพิสูจน์หักล้างหรือการปฏิเสธทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะหักล้างข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ $${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$$

กล่าวโดยสรุป เฟรย์ได้แสดงให้เห็นว่า หากสัญชาตญาณเกี่ยวกับสมการของเขานั้นถูกต้องแล้ว ชุดตัวเลขสี่ตัวใดๆ( a , b , c , n )ที่สามารถหักล้างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ ก็สามารถนำมาใช้หักล้างข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ได้เช่นกัน ดังนั้น หากข้อสันนิษฐานหลังเป็นจริง ข้อสันนิษฐานแรกก็จะไม่สามารถหักล้างได้ และจะต้องเป็นจริงด้วยเช่นกัน

ตามกลยุทธ์นี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ต้องใช้สองขั้นตอน ขั้นแรก จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์ หรืออย่างน้อยก็พิสูจน์สำหรับเส้นโค้งวงรีประเภทที่รวมสมการของเฟรย์ (ที่รู้จักกันในชื่อเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียร ) ซึ่งนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้^{[ 10 ]}ขั้นที่สอง จำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าสัญชาตญาณของเฟรย์ถูกต้อง กล่าวคือ หากเส้นโค้งวงรีถูกสร้างขึ้นในลักษณะนี้ โดยใช้ชุดตัวเลขที่เป็นคำตอบของสมการของแฟร์มาต์ เส้นโค้งวงรีที่ได้จะไม่สามารถเป็นโมดูลาร์ได้ เฟรย์แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นไปได้แต่ไม่ได้ให้การพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ ส่วนที่ขาดหายไป (ที่เรียกว่า "ข้อสันนิษฐานเอปซิลอน" ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของริเบต์ ) ถูกระบุโดยฌอง-ปิแอร์ แซร์ผู้ซึ่งให้การพิสูจน์ที่เกือบสมบูรณ์ และความเชื่อมโยงที่เฟรย์แนะนำได้รับการพิสูจน์ในที่สุดในปี 1986 โดยเคน ริเบต์^{[ 154 ]}

จากการศึกษาผลงานของ Frey, Serre และ Ribet สถานการณ์เป็นดังนี้:

• หากทฤษฎีบทโมดูลาร์ได้รับการพิสูจน์สำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียรแล้ว ก็จะหมายความว่าเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียรทั้งหมดจะต้องเป็นโมดูลาร์
• ทฤษฎีบทของริเบต์แสดงให้เห็นว่า คำตอบใดๆ ของสมการของแฟร์มาต์สำหรับจำนวนเฉพาะ สามารถนำมาใช้สร้างเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียรที่ไม่สามารถเป็นมอดูลาร์ได้
• ดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างเส้นโค้งดังกล่าวได้ เนื่องจากไม่มีคำตอบสำหรับสมการของแฟร์มาต์ หรือทฤษฎีบทโมดูลาริตีนั้นเป็นเท็จ

นั่นหมายความว่า การพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้โดยอัตโนมัติเช่นกัน

การพิสูจน์ ทฤษฎีบทเอปซิลอนของริเบต์ในปี 1986 ประสบความสำเร็จในเป้าหมายแรกจากสองเป้าหมายที่เฟรย์เสนอ เมื่อได้ยินถึงความสำเร็จของริเบต์แอนดรูว์ ไวลส์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้หลงใหลในทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตั้งแต่เด็ก และเคยทำงานเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรี จึงตัดสินใจทุ่มเทให้กับการบรรลุเป้าหมายส่วนที่สอง นั่นคือ การพิสูจน์กรณีพิเศษของทฤษฎีบทโมดูลาริตี (ซึ่งในขณะนั้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบททานิยามะ-ชิมูระ) สำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียร^{[ 155 ] [ 156 ]}

^{ไวลส์ทำงานในภารกิจนั้นเป็นเวลาหกปีโดยแทบไม่มีใคร รู้}โดยปกปิดความพยายามของเขาด้วยการเผยแพร่ผลงานก่อนหน้าเป็นส่วนเล็ก ๆ ในรูปแบบเอกสารแยกต่างหาก และบอกเล่าให้ภรรยาของเขาฟังเท่านั้น^{[ 157 ]}การศึกษาเบื้องต้นของเขาแนะนำการพิสูจน์โดยการอุปมาน [ ^{158 ]} และเขาใช้ ทฤษฎีกาโลอิสเป็นพื้นฐานในการทำงานเบื้องต้นและความก้าวหน้าครั้งสำคัญครั้งแรกของเขา^{[ 159 ]}ก่อนที่จะเปลี่ยนไปพยายามขยายทฤษฎีอิวาซาวะในแนวนอนสำหรับการโต้แย้งแบบอุปมานในช่วงปี 1990–91 เมื่อดูเหมือนว่าไม่มีแนวทางที่มีอยู่ซึ่งเพียงพอสำหรับปัญหานี้^{[ 160 ]}อย่างไรก็ตาม ในช่วงกลางปี ​​1991 ทฤษฎีอิวาซาวะก็ดูเหมือนจะไม่สามารถเข้าถึงประเด็นสำคัญในปัญหาได้เช่นกัน^{[ 161 ] [ 162 ]}เพื่อเป็นการตอบสนอง เขาจึงเข้าหาเพื่อนร่วมงานเพื่อค้นหาเบาะแสของการวิจัยที่ล้ำสมัยและเทคนิคใหม่ ๆ และค้นพบระบบออยเลอร์ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้โดยวิกเตอร์ โคลีวาจินและแมทเทียส ฟลาชซึ่งดูเหมือนจะ "เหมาะสมอย่างยิ่ง" สำหรับส่วนอุปมานของการพิสูจน์ของเขา^{[ 163 ]}ไวลส์ศึกษาและขยายแนวทางนี้ ซึ่งได้ผล เนื่องจากงานของเขาอาศัยแนวทางนี้อย่างกว้างขวาง ซึ่งเป็นแนวทางใหม่สำหรับคณิตศาสตร์และสำหรับไวลส์เอง ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2536 เขาจึงขอให้นิค แคทซ์ เพื่อนร่วมงานจากพรินซ์ตัน ช่วยตรวจสอบเหตุผลของเขาเพื่อหาข้อผิดพลาดเล็กน้อย ข้อสรุปของพวกเขาในเวลานั้นคือ เทคนิคที่ไวลส์ใช้ดูเหมือนจะได้ผลอย่างถูกต้อง^{[ 164 ] [ 165 ]}

ภายในกลางเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2536 ไวลส์พร้อมที่จะบอกภรรยาของเขาว่าเขาคิดว่าเขาสามารถแก้บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้แล้ว^{[ 166 ]}และภายในเดือนมิถุนายน เขารู้สึกมั่นใจเพียงพอที่จะนำเสนอผลลัพธ์ของเขาในการบรรยายสามครั้งที่จัดขึ้นในวันที่ 21–23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ที่สถาบันไอแซค นิวตันเพื่อวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ [ ^{167 ] [ 168 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง ไวลส์ได้นำเสนอบทพิสูจน์ข้อสันนิษฐานทานิยามะ-ชิมูระสำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียร ซึ่งเมื่อรวมกับบทพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเอปซิลอนของริเบต์แล้ว สิ่งนี้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ อย่างไรก็ตาม ในระหว่าง การตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญปรากฏชัดว่าจุดสำคัญในบทพิสูจน์นั้นไม่ถูกต้อง มันมีข้อผิดพลาดในขอบเขตของลำดับของกลุ่มเฉพาะกลุ่มหนึ่ง ข้อผิดพลาดดังกล่าวถูกตรวจพบโดยนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ตรวจสอบต้นฉบับของไวลส์ รวมถึงแคทซ์ (ในบทบาทผู้ตรวจสอบ) ^{[ 169 ]}ซึ่งได้แจ้งให้ไวลส์ทราบเมื่อวันที่ 23 สิงหาคม พ.ศ. 2536 ^{[ 170 ]}

ข้อผิดพลาดดังกล่าวจะไม่ทำให้งานของเขาไร้ค่า: งานแต่ละส่วนของไวลส์มีความสำคัญและสร้างสรรค์อย่างมากด้วยตัวของมันเอง เช่นเดียวกับการพัฒนาและเทคนิคมากมายที่เขาสร้างขึ้นในระหว่างการทำงาน และมีเพียงส่วนเดียวเท่านั้นที่ได้รับผลกระทบ^{[ 171 ]}อย่างไรก็ตาม หากไม่มีการพิสูจน์ส่วนนี้ ก็จะไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างแท้จริง ไวลส์ใช้เวลาเกือบหนึ่งปีในการพยายามแก้ไขการพิสูจน์ของเขา โดยเริ่มแรกทำด้วยตัวเองและต่อมาได้ร่วมมือกับริชาร์ด เทย์เลอร์ อดีตนักศึกษาของเขา แต่ ก็ไม่ประสบความสำเร็จ^{[ 172 ] [ 173 ]}ในช่วงปลายปี 1993 มีข่าวลือแพร่กระจายว่าการพิสูจน์ของไวลส์ล้มเหลวภายใต้การตรวจสอบ แต่ไม่ทราบว่าร้ายแรงเพียงใด นักคณิตศาสตร์เริ่มกดดันไวลส์ให้เปิดเผยงานของเขาไม่ว่าจะเป็นงานที่สมบูรณ์หรือไม่ เพื่อให้ชุมชนที่กว้างขึ้นสามารถสำรวจและใช้สิ่งที่เขาทำได้สำเร็จ แต่แทนที่จะได้รับการแก้ไข ปัญหาซึ่งเดิมดูเหมือนเล็กน้อย กลับดูเหมือนมีความสำคัญมาก ร้ายแรงกว่ามาก และแก้ไขได้ยากกว่า^{[ 174 ]}

ไวลส์ระบุว่าในเช้าวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 เขาเกือบจะยอมรับแล้วว่าตนเองล้มเหลว และจะเผยแพร่รายละเอียดของวิธีการต่างๆ ที่ล้มเหลวซึ่งเขาได้ลองใช้ เพื่อให้ผู้อื่นที่อาจสามารถหาทางผ่านความยากลำบากเหล่านั้นได้นำไปใช้ ในขณะที่เขาพยายามสรุปเหตุผลพื้นฐานที่ทำให้วิธีการของเขาไม่ได้ผล เขาก็เกิดความเข้าใจอย่างฉับพลัน: เหตุผลเฉพาะที่วิธีการของ Kolyvagin–Flach ไม่ได้ผลโดยตรงนั้นหมายความว่าความพยายามดั้งเดิมของเขาโดยใช้ทฤษฎีของ Iwasawa จะได้ผล หากเขาเสริมความแข็งแกร่งให้กับมันโดยใช้ประสบการณ์ที่ได้รับจากวิธีการของ Kolyvagin–Flach การแก้ไขวิธีการหนึ่งด้วยเครื่องมือจากอีกวิธีการหนึ่งจะแก้ปัญหาสำหรับทุกกรณีที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์โดยบทความที่ได้รับการตรวจสอบของเขา^{[ 175 ] [ 176 ]}ต่อมาเขาอธิบายว่าทฤษฎีของ Iwasawa และวิธีการของ Kolyvagin–Flach ต่างก็ไม่เพียงพอในตัวเอง แต่เมื่อรวมกันแล้วพวกมันจะมีประสิทธิภาพมากพอที่จะเอาชนะอุปสรรคสุดท้ายนี้ได้

ฉันนั่งอยู่ที่โต๊ะทำงาน กำลังพิจารณาวิธีการของ Kolyvagin–Flach ไม่ใช่ว่าฉันเชื่อว่าฉันจะทำให้มันได้ผล แต่ฉันคิดว่าอย่างน้อยฉันก็สามารถอธิบายได้ว่าทำไมมันถึงไม่ได้ผล ทันใดนั้นฉันก็เกิดความเข้าใจอย่างเหลือเชื่อ ฉันตระหนักว่า วิธีการของ Kolyvagin–Flach ไม่ได้ผล แต่เป็นสิ่งที่ฉันต้องการทั้งหมดเพื่อทำให้ทฤษฎี Iwasawa ที่ฉันคิดไว้เมื่อสามปีก่อนได้ผล ดังนั้นจากซากปรักหักพังของ Kolyvagin–Flach ดูเหมือนจะผุดขึ้นมาเป็นคำตอบที่แท้จริงของปัญหา มันงดงามอย่างเหลือเชื่อ มันเรียบง่ายและสง่างามมาก ฉันไม่เข้าใจว่าฉันมองข้ามมันไปได้อย่างไร และฉันก็จ้องมองมันด้วยความไม่เชื่อเป็นเวลา 20 นาที จากนั้นในระหว่างวัน ฉันเดินไปรอบๆ แผนก และฉันก็กลับมาที่โต๊ะทำงานของฉันเรื่อยๆ เพื่อดูว่ามันยังอยู่ตรงนั้นหรือไม่ มันยังอยู่ตรงนั้น ฉันควบคุมตัวเองไม่ได้ ฉันตื่นเต้นมาก มันเป็นช่วงเวลาที่สำคัญที่สุดในชีวิตการทำงานของฉัน ไม่มีอะไรที่ฉันทำอีกต่อไปจะมีความหมายมากเท่านี้

เมื่อวันที่ 24 ตุลาคม พ.ศ. 2537 ไวลส์ได้ส่งต้นฉบับสองฉบับ ได้แก่ "เส้นโค้งวงรีแบบโมดูลาร์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" ^{[ 16 ]}และ "คุณสมบัติทางทฤษฎีวงแหวนของพีชคณิตเฮคเคบางชนิด" ^{[ 178 ]}ซึ่งฉบับที่สองเขียนร่วมกับเทย์เลอร์และพิสูจน์ว่าตรงตามเงื่อนไขบางประการที่จำเป็นในการพิสูจน์ขั้นตอนที่แก้ไขในบทความหลัก บทความทั้งสองได้รับการตรวจสอบและตีพิมพ์เป็นฉบับเต็มของวารสารAnnals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 วิธีการพิสูจน์การระบุวงแหวนการเปลี่ยนรูปด้วยพีชคณิตเฮคเค (ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบท R=T ) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทการยกโมดูลาร์นั้นเป็นพัฒนาการที่มีอิทธิพลในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต

เอกสารเหล่านี้ได้สร้างทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียร ซึ่งเป็นขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 358 ปีหลังจากที่มีการตั้งสมมติฐานไว้

ข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura–Weil ฉบับสมบูรณ์ได้รับการพิสูจน์ในที่สุดโดย Diamond (1996) ^{[ 21 ]} Conrad et al. (1999) ^{[ 22 ]}และ Breuil et al. (2001) ^{[ 23 ]}ซึ่งต่อยอดจากงานของ Wiles และค่อยๆ พิสูจน์กรณีที่เหลือจนกระทั่งได้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ ข้อสันนิษฐานที่ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์นี้จึงกลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาริตี

ทฤษฎีบทอื่นๆ ในทฤษฎีจำนวนที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ล้วนมาจากการให้เหตุผลเดียวกัน โดยใช้ทฤษฎีบทโมดูลาร์ ตัวอย่างเช่น ไม่มีลูกบาศก์ใดที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังn สองตัวที่ไม่มีตัวหารร่วม n ≥ 3ได้ (กรณีn = 3 นั้น ออยเลอร์ทราบอยู่แล้ว)

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์พิจารณาคำตอบของสมการแฟร์มาต์: โดยที่ a , bและc เป็นจำนวนเต็มบวก และ nเป็นจำนวนเต็มมากกว่า 2 มีการขยายสมการแฟร์มาต์ไปสู่สมการทั่วไปหลายแบบที่อนุญาตให้เลขชี้กำลังnเป็นจำนวนเต็มลบหรือจำนวนตรรกยะ หรือพิจารณาเลขชี้กำลังที่แตกต่างกันสามค่าได้ $${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$$

สมการเฟอร์มาต์ทั่วไปขยายข้อความของทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์โดยพิจารณาคำตอบจำนวนเต็มบวกa , b , c , m , nและkที่สอดคล้องกับ^{[ 179 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เลขชี้กำลังm , nและk ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ในขณะที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์ มาต์พิจารณากรณีm = n = k$${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}.}$$

ข้อสันนิษฐาน ของBealระบุว่าไม่มีคำตอบสำหรับสมการ Fermat ทั่วไปในจำนวนเต็มบวกa , b , c , m , n , kโดยที่a , bและc เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และ m , n , kทั้งหมดมีค่ามากกว่า 2 ^{[ 180 ]}

ข้อสันนิษฐาน ของแฟร์มาต์-คาตาลันได้ขยายทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยแนวคิดของข้อสันนิษฐานของคาตาลัน [ ^{181 ] [ 182 ] ข้อ}สันนิษฐานนี้กล่าวว่าสมการแฟร์มาต์ทั่วไปมีคำตอบ เพียง จำนวนจำกัด ( a , b , c , m , n , k ) ที่มีค่าสามค่าที่แตกต่างกัน( a ^m , b ⁿ , c ^k )โดยที่a , b , cเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วม และm , n , kเป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ข้อความนี้กล่าวถึงความจำกัดของเซตของคำตอบเนื่องจากมีคำ ตอบที่ทราบแล้ว 10 คำตอบ ^{[ 179 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$$

เมื่อเราอนุญาตให้เลขชี้กำลังnเป็นส่วนกลับของจำนวนเต็ม นั่นคือn = 1/ mสำหรับจำนวนเต็มm บางตัว เราจะได้สมการเฟอร์มาต์ผกผัน คำตอบทั้งหมดของสมการนี้คำนวณโดยเฮนดริก เลนสตราในปี 1992 ^{[ 183 ]}ในกรณีที่ รากที่ mต้องเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก คำตอบทั้งหมดจะได้รับจาก^{[ 184 ]} สำหรับจำนวนเต็มบวกr , s , tโดยที่sและt เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ $${\displaystyle a^{\frac {1}{m}}+b^{\frac {1}{m}}=c^{\frac {1}{m}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=rs^{m}\\b&=rt^{m}\\c&=r(s+t)^{m}\end{aligned}}}$$

สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ ที่มีnไม่เท่ากับ 1 เบนเน็ตต์ กลาส และเซเกลี ได้พิสูจน์ในปี 2547 สำหรับn > 2ว่าถ้าnและmเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 6 หารm ลงตัว และa ^{1/ m} , b ^{1/ m}และc ^{1/ m}เป็นรากที่ 6 เชิงซ้อนที่แตกต่างกันของ^{จำนวน}จริง เดียวกัน ^[ 185 ^]$${\displaystyle a^{\frac {n}{m}}+b^{\frac {n}{m}}=c^{\frac {n}{m}}}$$

คำตอบจำนวนเต็มดั้งเดิมทั้งหมด (นั่นคือ คำตอบที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันของa , bและc ทั้งหมด ) ของสมการออปติกa ⁻¹ + b ⁻¹ = c ⁻¹สามารถเขียนได้เป็น^{[ 186 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=mk+m^{2}\\b&=mk+k^{2}\\c&=mk\end{aligned}}}$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกmและk ที่ เป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

กรณีn = −2ยังมีคำตอบอนันต์ และคำตอบเหล่านี้มีการตีความทางเรขาคณิตในแง่ของ สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มและความสูงเป็นจำนวนเต็มไปยังด้านตรง ข้ามมุมฉาก^{[ 187 ] [ 188 ]}คำตอบดั้งเดิมทั้งหมดของa ⁻² + b ⁻² = d ⁻²ได้รับจาก

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2})\\b&=2uv(v^{2}+u^{2})\\d&=2uv(v^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$$

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมuและvโดยที่v > uการตีความทางเรขาคณิตคือaและbเป็นด้านประกอบมุมฉากที่เป็นจำนวนเต็ม และdเป็นความสูงที่เป็นจำนวนเต็มไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากเองก็เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น( a , b , c )จึงเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน $${\displaystyle c=(v^{2}+u^{2})^{2},}$$

ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับสมการa ⁿ + b ⁿ = c ⁿสำหรับจำนวนเต็มn < −2ถ้ามี สมการจะสามารถคูณด้วยa ^{| n |} b ^{| n |} c ^{| n |}ได้ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ตามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ $${\displaystyle (bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|},}$$

ข้อสันนิษฐาน abcระบุคร่าวๆ ว่า ถ้าจำนวนเต็มบวกสามจำนวนa , bและc (จึงเป็นที่มาของชื่อ) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และสอดคล้องกับa + b = cแล้วรากที่dของabcมักจะไม่น้อยกว่าc มาก นัก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อสันนิษฐาน abc ในรูปแบบมาตรฐานที่สุดบ่งชี้ถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับnที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ^{[ 189 ] [ 190 ] [ 191 ]}ข้อสันนิษฐาน Szpiro ที่แก้ไขแล้วเทียบเท่ากับข้อสันนิษฐาน abc และดังนั้นจึงมีนัยเดียวกัน^{[ 192 ] [ 191 ]}เวอร์ชันที่มีประสิทธิภาพของข้อสันนิษฐาน abc หรือเวอร์ชันที่มีประสิทธิภาพของข้อสันนิษฐาน Szpiro ที่แก้ไขแล้ว บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยตรง^{[ 191 ]}

ในปี ค.ศ. 1816 และอีกครั้งในปี ค.ศ. 1850 สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสได้มอบรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทั่วไปของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์^{[ 193 ] [ 194 ]}ในปี ค.ศ. 1857 สถาบันได้มอบเงิน 3,000 ฟรังก์และเหรียญทองให้แก่คุมเมอร์สำหรับการวิจัยเกี่ยวกับจำนวนในอุดมคติ แม้ว่าเขาจะไม่ได้ส่งผลงานเข้าประกวดก็ตาม^{[ 193 ]}สถาบันแห่งบรัสเซลส์ได้มอบรางวัลอีกครั้งในปี ค.ศ. 1883 ^{[ 195 ]}

ในปี ค.ศ. 1908 พอล วูล์ฟสเกห์ลนักอุตสาหกรรมชาวเยอรมันและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นได้มอบเงิน 100,000 มาร์คทองคำซึ่งเป็นจำนวนเงินมากในสมัยนั้น ให้แก่สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเกิตติงเงน เพื่อมอบเป็นรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้อย่างสมบูรณ์^{[ 196 ] [ 197 ]}เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน ค.ศ. 1908 สถาบันได้เผยแพร่กฎเก้าข้อสำหรับการมอบรางวัล ในบรรดาข้อกำหนดอื่นๆ กฎเหล่านี้กำหนดให้การพิสูจน์ต้องได้รับการตีพิมพ์ในวารสารที่ได้รับการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ รางวัลจะไม่ถูกมอบให้จนกว่าจะผ่านไปสองปีหลังจากการตีพิมพ์ และจะไม่มีการมอบรางวัลใดๆ หลังจากวันที่ 13 กันยายน ค.ศ. 2007 ซึ่งเป็นเวลาประมาณหนึ่งศตวรรษหลังจากที่การแข่งขันเริ่มต้นขึ้น^{[ 198 ]}ไวลส์ได้รับเงินรางวัลวูล์ฟสเกห์ล ซึ่งมีมูลค่า 50,000 ดอลลาร์สหรัฐฯ ในวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2540 ^{[ 199 ]} ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2559 ไวลส์ได้รับ รางวัลอาเบลจากรัฐบาลนอร์เวย์มูลค่า 600,000 ยูโร สำหรับ "การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างน่าทึ่งโดยใช้สมมติฐานโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียร ซึ่งเป็นการเปิดยุคใหม่ในทฤษฎีจำนวน" ^{[ 200 ]}

ก่อนที่ไวลส์จะพิสูจน์ได้ มีการส่งหลักฐานการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องหลายพันฉบับไปยังคณะกรรมการวูล์ฟสเกห์ล ซึ่งคิดเป็นความยาวประมาณ 10 ฟุต (3.0 เมตร) ^{[ 201 ]}ในปีแรกเพียงปีเดียว (1907–1908) มีการส่งหลักฐานการพิสูจน์ที่พยายามแก้ไขถึง 621 ฉบับ แม้ว่าในช่วงทศวรรษ 1970 อัตราการส่งหลักฐานการพิสูจน์ที่พยายามแก้ไขจะลดลงเหลือประมาณ 3–4 ฉบับต่อเดือน ตามคำกล่าวอ้างบางประการเอ็ดมุนด์ แลนเดามักใช้แบบฟอร์มที่พิมพ์ไว้ล่วงหน้าสำหรับหลักฐานการพิสูจน์ดังกล่าว โดยเว้นช่องว่างในตำแหน่งที่มีข้อผิดพลาดแรกไว้ให้นักศึกษาปริญญาโทของเขากรอก^{[ 202 ]}ตามคำกล่าวของ เอฟ. ชลิชติง ผู้ตรวจสอบของวูล์ฟสเกห์ล หลักฐานการพิสูจน์ส่วนใหญ่มีพื้นฐานมาจากวิธีการพื้นฐานที่สอนในโรงเรียน และมักส่งโดย "ผู้ที่มีการศึกษาด้านเทคนิคแต่มีอาชีพที่ไม่ประสบความสำเร็จ" ^{[ 203 ]}ตามคำกล่าวของนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์Howard Eves "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มีความโดดเด่นเป็นพิเศษตรงที่เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีการตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องมากที่สุด" ^{[ 195 ]}

ความนิยมของทฤษฎีบทนอกวงการวิทยาศาสตร์ทำให้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการอธิบายว่าเป็น "ความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่หายากที่สุด: บทบาทเฉพาะกลุ่มในวัฒนธรรมป๊อป " ^{[ 204 ]}

เรื่องสั้น " The Devil and Simon Flagg " ของ Arthur Porges ในปี 1954 กล่าวถึง นักคณิตศาสตร์ที่ต่อรองกับปีศาจว่าปีศาจไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ภายในยี่สิบสี่ชั่วโมง^{[ 205 ]}

ในตอน " The Royale " ของ Star Trek: The Next Generation ปี 1989 กัปตัน Picardกล่าวว่าทฤษฎีบทนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ในศตวรรษที่ 24 การพิสูจน์ถูกเผยแพร่ห้าปีหลังจากที่ตอนดังกล่าวออกอากาศครั้งแรก^{[ 206 ]}ในตอน" The Wizard of Evergreen Terrace " ของ The Simpsons ปี 1998 Homer Simpsonเขียนสมการ3987 ¹² + 4365 ¹² = 4472 ¹²บนกระดานดำ ซึ่งดูเหมือนจะเป็นตัวอย่างค้านของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ สมการนี้ผิด แต่ดูเหมือนจะถูกต้องหากป้อนลงในเครื่องคิดเลขที่มีตัวเลขสำคัญ 10 หลัก^{[ 207 ]}

หนังสือFermat's Last Theorem ปี 1997 โดยผู้เขียนSimon Singhกลายเป็นหนังสือคณิตศาสตร์เล่มแรกที่ขึ้นอันดับหนึ่งในสหราชอาณาจักร^{[ 208 ]} ในขณะที่สารคดี The Proofของ Singh ซึ่งเป็นพื้นฐานของหนังสือเล่มนี้ ได้รับ รางวัล BAFTAในปี 1997 ^{[ 209 ]}

• ข้อสันนิษฐานผลรวมของกำลังของออยเลอร์
• หลักฐานของความเป็นไปไม่ได้
• ผลรวมของกำลัง รายชื่อข้อสันนิษฐานและทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง
• วอลล์-ซัน-ซัน ไพรม์