ทฤษฎีนี้กล่าวถึงอนุภาคสามประเภทที่สันนิษฐานว่ามีปฏิสัมพันธ์โดยตรง โดยเริ่มแรกเป็น " อนุภาคหนัก " ใน "สถานะนิวตรอน" (${\displaystyle \rho =+1}$) ซึ่งจากนั้นจะเปลี่ยนไปสู่ ​​"สถานะโปรตอน" (${\displaystyle \rho =-1}$) โดยมีการปล่อยอิเล็กตรอนและนิวตริโนออกมา

แฮมิลโทเนียนประกอบด้วยสามส่วน:${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$ซึ่งแสดงถึงพลังงานของอนุภาคหนักอิสระ${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$โดยแสดงถึงพลังงานของอนุภาคแสงอิสระ และส่วนที่แสดงถึงปฏิสัมพันธ์${\displaystyle H_{\text{int.}}}$.

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

ที่ไหน${\displaystyle N}$และ${\displaystyle P}$เป็นตัวดำเนินการพลังงานของนิวตรอนและโปรตอนตามลำดับ ดังนั้นถ้า${\displaystyle \rho =1}$,${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$และถ้า${\displaystyle \rho =-1}$,${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$.

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

ที่ไหน${\displaystyle H_{s}}$คือพลังงานของอิเล็กตรอนใน${\displaystyle s^{\text{th}}}$สถานะในสนามคูลอมบ์ของนิวเคลียส และ ${\displaystyle N_{s}}$คือจำนวนอิเล็กตรอนในสถานะนั้น${\displaystyle M_{\sigma }}$คือจำนวนนิวตริโนใน${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$รัฐ และ${\displaystyle K_{\sigma }}$พลังงานของนิวตริโนแต่ละตัว (โดยถือว่าอยู่ในสถานะคลื่นระนาบอิสระ)

ส่วนปฏิสัมพันธ์จะต้องมีพจน์ที่แสดงถึงการเปลี่ยนรูปของโปรตอนเป็นนิวตรอน พร้อมกับการปล่อยอิเล็กตรอนและนิวตริโน (ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อแอนตินิวตริโน) รวมถึงพจน์สำหรับกระบวนการผกผันด้วย แรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนและโปรตอนจะถูกละเลยเนื่องจากไม่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \beta }$-กระบวนการผุพัง

เฟอร์มิเสนอค่าที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$: ประการแรก เวอร์ชันที่ไม่ใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพซึ่งไม่คำนึงถึงสปิน:

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

และต่อมาเป็นเวอร์ชันที่สมมติว่าอนุภาคเบาเป็นสปินเนอร์ดิ แรกสี่องค์ประกอบ แต่ความเร็วของอนุภาคหนักนั้นน้อยเมื่อเทียบกับ${\displaystyle c}$และสามารถละเว้นพิจารณาเงื่อนไขปฏิสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกับศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าได้:

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \phi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \phi ^{*}\right],}$

ที่ไหน${\displaystyle \psi }$และ${\displaystyle \phi }$ขณะนี้เป็นสปินเนอร์ Dirac สี่องค์ประกอบแล้ว${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$แสดงถึงคู่ควบเฮอร์มิเชียนของ${\displaystyle \psi }$, และ${\displaystyle \delta }$เป็นเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

สถานะของระบบถือว่ากำหนดโดยทูเปิล${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$ที่ไหน${\displaystyle \rho =\pm 1}$ระบุว่าอนุภาคหนักนั้นเป็นนิวตรอนหรือโปรตอน${\displaystyle n}$คือสถานะควอนตัมของอนุภาคหนัก${\displaystyle N_{s}}$คือจำนวนอิเล็กตรอนในสถานะ${\displaystyle s}$และ${\displaystyle M_{\sigma }}$คือจำนวนนิวตริโนในสถานะ${\displaystyle \sigma }$.

โดยใช้เวอร์ชันสัมพัทธภาพของ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$เฟอร์มิให้เมทริกซ์อิลิเมนต์ระหว่างสถานะที่มีนิวตรอนในสถานะ${\displaystyle n}$และไม่มีอิเล็กตรอนหรือนิวตริโนอยู่ในสถานะนั้น${\displaystyle s}$ตอบกลับ${\displaystyle \sigma }$และสถานะที่มีโปรตอนอยู่ในสถานะ${\displaystyle m}$และมีอิเล็กตรอนและนิวตริโนอยู่ในสถานะต่างๆ${\displaystyle s}$และ${\displaystyle \sigma }$เช่น

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

โดยที่ปริมาณอินทิกรัลจะคำนวณจากปริภูมิการจัดเรียงตัวทั้งหมดของอนุภาคหนัก (ยกเว้น...)${\displaystyle \rho }$).${\displaystyle \pm }$ถูกกำหนดโดยว่าจำนวนอนุภาคแสงทั้งหมดเป็นเลขคี่ (−) หรือเลขคู่ (+)

เพื่อคำนวณอายุการใช้งานของนิวตรอนในสถานะหนึ่ง${\displaystyle n}$ตามทฤษฎีการรบกวนควอนตัม ทั่วไป เมทริกซ์อิลิเมนต์ข้างต้นจะต้องถูกรวมเข้าด้วยกันเหนือสถานะอิเล็กตรอนและนิวตริโนที่ว่างอยู่ทั้งหมด ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นโดยการสมมติว่าฟังก์ชันเฉพาะของอิเล็กตรอนและนิวตริโน${\displaystyle \psi _{s}}$และ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$ค่าเหล่านี้คงที่ภายในนิวเคลียส (กล่าวคือความยาวคลื่นคอมป์ตัน ของพวกมัน มีขนาดใหญ่กว่าขนาดของนิวเคลียสมาก) ซึ่งนำไปสู่...

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \psi _{s}}$และ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$ขณะนี้กำลังประเมินค่า ณ ตำแหน่งของนิวเคลียส

ตามกฎทองของเฟอร์มิ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงนี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle W}$คือความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะของโปรตอนและนิวตรอน

การหาค่าเฉลี่ยของทิศทางการหมุน/โมเมนตัมของนิวตริโนพลังงานบวกทั้งหมด (โดยที่${\displaystyle \Omega ^{-1}}$โดยที่ คือความหนาแน่นของสถานะนิวตริโน ซึ่งในที่สุดจะเข้าสู่ค่าอนันต์ เราจะได้

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

ที่ไหน${\displaystyle \mu }$คือมวลนิ่งของนิวตริโนและ${\displaystyle \beta }$คือเมทริกซ์ Dirac

โดยสังเกตว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะมีค่าสูงสุดอย่างชัดเจนสำหรับค่าของ${\displaystyle p_{\sigma }}$ซึ่ง${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

ที่ไหน${\displaystyle p_{\sigma }}$และ${\displaystyle K_{\sigma }}$คือค่าซึ่ง${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$.

เฟอร์มิได้กล่าวถึงฟังก์ชันนี้ไว้สามประการ:

• เนื่องจากสถานะของนิวตริโนถือว่าเป็นสถานะอิสระ${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$และด้วยเหตุนี้จึงเป็นขีดจำกัดบนของความต่อเนื่อง${\displaystyle \beta }$-สเปกตรัมคือ${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$.
• เนื่องจากสำหรับอิเล็กตรอน${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$เพื่อที่จะ${\displaystyle \beta }$เพื่อให้เกิดการสลายตัว พลังงานของโปรตอนและนิวตรอนต้องแตกต่างกัน${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$
• ปัจจัย

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะโดยปกติจะมีค่าเท่ากับ 1 แต่ในบางกรณีพิเศษ ค่านี้จะหายไป ซึ่งนำไปสู่กฎการเลือก (โดยประมาณ) สำหรับ${\displaystyle \beta }$-การผุพัง

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อผลคูณภายใน${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ระหว่างสถานะอนุภาคหนัก${\displaystyle u_{n}}$และ${\displaystyle v_{m}}$เมื่อค่าหายไป การเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องจะ "ถูกห้าม" (หรือพูดอีกอย่างคือ มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่าในกรณีที่ค่าใกล้เคียงกับ 1)

หากคำอธิบายเกี่ยวกับนิวเคลียสในแง่ของสถานะควอนตัมเฉพาะของโปรตอนและนิวตรอนนั้นมีความถูกต้องในระดับประมาณการที่ดี${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$จะหายไปเว้นแต่สถานะของนิวตรอน${\displaystyle u_{n}}$และสถานะโปรตอน${\displaystyle v_{m}}$ต้องมีโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากัน มิฉะนั้น จะต้องใช้โมเมนตัมเชิงมุมรวมของนิวเคลียสทั้งหมดก่อนและหลังการสลายตัว