แบบจำลองฮับบาร์ดเป็นแบบจำลองที่เรียบง่ายซึ่งใช้ในการอธิบายการเปลี่ยนผ่านระหว่างระบบนำไฟฟ้าและฉนวน^{[ 1 ]}มีประโยชน์อย่างยิ่งในฟิสิกส์ของของแข็งแบบจำลองนี้ตั้งชื่อตามจอห์น ฮับบาร์ด

แบบจำลองฮับบาร์ดระบุว่าอิเล็กตรอนแต่ละตัวประสบกับแรงที่แข่งขันกัน: แรงหนึ่งผลักดันให้มันทะลุผ่านไปยังอะตอมข้างเคียง ในขณะที่อีกแรงหนึ่งผลักดันให้มันออกห่างจากอะตอมข้างเคียง^{[ 2 ]} ดังนั้น แฮมิลโทเนียนของมันจึงมีสองเทอม: เทอมจลน์ที่อนุญาตให้มีการทะลุผ่าน ("การกระโดด") ของอนุภาคระหว่างไซต์แลตติส และเทอมศักย์ที่สะท้อนถึงปฏิสัมพันธ์ในไซต์ อนุภาคอาจเป็นเฟอร์มิออนดังเช่นในงานดั้งเดิมของฮับบาร์ด หรือโบซอนซึ่งในกรณีนี้แบบจำลองจะถูกเรียกว่า " แบบจำลองโบส-ฮับบาร์ด "

แบบจำลอง Hubbard เป็นการประมาณค่าที่มีประโยชน์สำหรับอนุภาคในศักยภาพแบบคาบที่อุณหภูมิต่ำเพียงพอ ซึ่งสามารถสันนิษฐานได้ว่าอนุภาคทั้งหมดอยู่ในแถบ Bloch ที่ต่ำที่สุด และสามารถละเลยปฏิสัมพันธ์ระยะไกลระหว่างอนุภาคได้ หากรวมปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคที่ตำแหน่งต่างกันของแลตทิซ แบบจำลองนี้มักเรียกว่า "แบบจำลอง Hubbard แบบขยาย" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เทอม Hubbard ซึ่งโดยทั่วไปมักแสดงด้วย จะถูกนำไปใช้ในการจำลองตามหลักการพื้นฐานโดยใช้ทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น (DFT) การรวมเทอม Hubbard ในการจำลอง DFT มีความสำคัญเนื่องจากช่วยปรับปรุงการทำนายการแปลตำแหน่งของอิเล็กตรอน และป้องกันการทำนายการนำไฟฟ้าแบบโลหะที่ไม่ถูกต้องในระบบฉนวน^{[ 3 ]}${\displaystyle U}$

แบบจำลองฮับบาร์ดนำเสนอปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นระหว่างอิเล็กตรอนเข้าสู่แบบจำลองไทต์ไบน์ดิงซึ่งมีเพียงพลังงานจลน์ (เทอม "การกระโดด") และปฏิสัมพันธ์กับอะตอมของโครงสร้างผลึก (ศักยภาพ "อะตอม") เท่านั้น เมื่อปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนมีความรุนแรง พฤติกรรมของแบบจำลองฮับบาร์ดอาจแตกต่างจากแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงในเชิงคุณภาพ ตัวอย่างเช่น แบบจำลองฮับบาร์ดสามารถทำนายการมีอยู่ของฉนวนมอตต์ ได้อย่างถูกต้อง ซึ่งเป็นวัสดุที่เป็นฉนวนเนื่องจากการผลักกันอย่างรุนแรงระหว่างอิเล็กตรอน แม้ว่าจะตรงตามเกณฑ์ปกติของตัวนำ เช่น มีจำนวนอิเล็กตรอนเป็นเลขคี่ต่อหน่วยเซลล์ก็ตาม

แบบจำลองนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกในปี พ.ศ. 2506 เพื่ออธิบายอิเล็กตรอนในของแข็ง^{[ 4 ]} John Hubbard , Martin GutzwillerและJunjiro Kanamoriต่างก็เสนอแบบจำลองนี้โดยอิสระ^{[ 2 ]}

ตั้งแต่นั้นมา ได้มีการนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาสภาพนำยิ่งยวดที่อุณหภูมิสูงแม่เหล็กควอนตัม และคลื่นความหนาแน่นประจุ^{[ 5 ]}

แบบจำลองฮับบาร์ดนั้นอิงตามการ ประมาณแบบ ไทต์ไบน์ดิงจากฟิสิกส์ของของแข็งซึ่งอธิบายอนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักยภาพแบบเป็นคาบ โดยทั่วไปเรียกว่าแลตทิซสำหรับวัสดุจริง แต่ละไซต์แลตทิซอาจสอดคล้องกับแกนไอออน และอนุภาคจะเป็นอิเล็กตรอนวาเลนซ์ของไอออนเหล่านี้ ในการประมาณแบบไทต์ไบน์ดิง แฮมิลโทเนียนจะถูกเขียนในรูปของสถานะวานเนียร์ซึ่งเป็นสถานะเฉพาะที่อยู่ตรงกลางของแต่ละไซต์แลตทิซ สถานะวานเนียร์บนไซต์แลตทิซที่อยู่ใกล้เคียงกันจะเชื่อมโยงกัน ทำให้อนุภาคบนไซต์หนึ่งสามารถ "กระโดด" ไปยังอีกไซต์หนึ่งได้ ในทางคณิตศาสตร์ ความแข็งแรงของการเชื่อมโยงนี้กำหนดโดย "อินทิกรัลการกระโดด" หรือ "อินทิกรัลการถ่ายโอน" ระหว่างไซต์ที่อยู่ใกล้เคียงกัน ระบบจะอยู่ในขีดจำกัดไทต์ไบน์ดิงเมื่อความแข็งแรงของอินทิกรัลการกระโดดลดลงอย่างรวดเร็วตามระยะทาง การเชื่อมต่อนี้ทำให้สถานะที่เกี่ยวข้องกับแต่ละไซต์ในโครงผลึกสามารถเกิดการผสมผสานกันได้ และสถานะเฉพาะของระบบผลึก ดังกล่าวจะเป็น ฟังก์ชันของ Blochโดยที่ระดับพลังงานถูกแบ่งออกเป็นแถบพลังงาน ที่แยก จากกัน ความกว้างของแถบขึ้นอยู่กับค่าของอินทิกรัลการกระโดด

แบบจำลองฮับบาร์ดนำเสนอปฏิสัมพันธ์แบบสัมผัสระหว่างอนุภาคที่มีสปินตรงข้ามกันในแต่ละตำแหน่งของโครงตาข่าย เมื่อใช้แบบจำลองฮับบาร์ดเพื่ออธิบายระบบอิเล็กตรอน ปฏิสัมพันธ์เหล่านี้คาดว่าจะผลักกัน ซึ่งเกิดจากปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์แบบมีตัวกรองอย่างไรก็ตาม ปฏิสัมพันธ์แบบดึงดูดก็ได้รับการพิจารณาบ่อยครั้งเช่นกัน ฟิสิกส์ของแบบจำลองฮับบาร์ดถูกกำหนดโดยการแข่งขันระหว่างความแรงของปริพันธ์การกระโดด ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของพลังงานจลน์ ของระบบ และความแรงของเทอมปฏิสัมพันธ์ ดังนั้นแบบจำลองฮับบาร์ดจึงสามารถอธิบายการเปลี่ยนจากโลหะเป็นฉนวนในระบบที่มีปฏิสัมพันธ์บางระบบได้ ตัวอย่างเช่น แบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบาย ออกไซด์ ของโลหะเมื่อถูกให้ความร้อน ซึ่งการเพิ่มขึ้นของระยะห่างระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดจะลดปริพันธ์การกระโดดลงจนถึงจุดที่ศักยภาพในตำแหน่งเดียวกันมีบทบาทสำคัญ ในทำนองเดียวกัน แบบจำลองฮับบาร์ดสามารถอธิบายการเปลี่ยนจากตัวนำเป็นฉนวนในระบบต่างๆ เช่นไพโรคลอร์ของธาตุหายาก เมื่อเลขอะตอมของโลหะธาตุหายากเพิ่มขึ้น เนื่องจากพารามิเตอร์ของแลตติสเพิ่มขึ้น (หรือมุมระหว่างอะตอมอาจเปลี่ยนแปลงได้) เมื่อเลขอะตอมของธาตุหายากเพิ่มขึ้น ซึ่งจะทำให้ความสำคัญสัมพัทธ์ของอินทิกรัลการกระโดดเมื่อเทียบกับการผลักกันภายในอะตอมเปลี่ยนแปลงไป

อะตอมไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนหนึ่งตัวอยู่ในออร์บิทัลที่เรียกว่าsซึ่งสามารถมีสปินขึ้น ( ) หรือสปินลง ( ) ได้ ออร์บิทัลนี้สามารถมีอิเล็กตรอนได้มากที่สุดสองตัว ตัวหนึ่งมีสปินขึ้นและอีกตัวหนึ่งมีสปินลง (ดูหลักการกีดกันของเปาลี ) ${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \downarrow }$

ภายใต้ทฤษฎีแถบพลังงานสำหรับสายโซ่อะตอมไฮโดรเจน 1 มิติ วงโคจร 1s จะสร้างแถบพลังงานต่อเนื่อง ซึ่งจะเต็มครึ่งหนึ่งพอดี ดังนั้น สายโซ่อะตอมไฮโดรเจน 1 มิติ จึงถูกทำนายว่าเป็นตัวนำภายใต้ทฤษฎีแถบพลังงานแบบดั้งเดิม สายโซ่ 1 มิตินี้เป็นโครงสร้างเดียวที่ง่ายพอที่จะแก้ปัญหาได้โดยตรง^{[ 2 ]}

แต่ในกรณีที่ระยะห่างระหว่างอะตอมไฮโดรเจนค่อยๆ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในบางจุดโซ่จะต้องกลายเป็นฉนวน

เมื่อแสดงโดยใช้แบบจำลองฮับบาร์ด แฮมิลโทเนียนประกอบด้วยสองเทอม เทอมแรกอธิบายพลังงานจลน์ของระบบ ซึ่งกำหนดโดยปริพันธ์การกระโดด เทอมที่สองคือปฏิสัมพันธ์เฉพาะที่ซึ่งแสดงถึงแรงผลักของอิเล็กตรอน เมื่อเขียนออกมาใน สัญกรณ์ ควอนตัมแบบที่สองแฮมิ ลโทเนียน ของฮับบาร์ดจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

โดยที่คือตัวดำเนินการความหนาแน่นสปินสำหรับสปินที่ไซต์ที่ ตัวดำเนินการความหนาแน่นคือและการครอบครองไซต์ที่ สำหรับฟังก์ชันคลื่นคือโดยทั่วไปจะถือว่ามีค่าเป็นบวก และอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ แต่จะถือว่ามีค่าเป็นบวกเมื่อพิจารณาระบบอิเล็กตรอน ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}__{i}\vert \Phi \rangle }$${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$

หากปราศจากการมีส่วนร่วมของพจน์ที่สอง แฮมิลโทเนียนจะแปรเปลี่ยนเป็น สูตรไท ต์ไบน์ดิงจากทฤษฎีแถบปกติ

การรวมเทอมที่สองทำให้ได้แบบจำลองที่สมจริงซึ่งทำนายการเปลี่ยนจากตัวนำเป็นฉนวนได้เช่นกัน เมื่ออัตราส่วนของปฏิสัมพันธ์ต่อการกระโดดเปลี่ยนแปลงไป อัตราส่วนนี้สามารถปรับเปลี่ยนได้ เช่น การเพิ่มระยะห่างระหว่างอะตอม ซึ่งจะลดขนาดของ โดยไม่ส่งผลกระทบต่อในกรณีที่โซ่จะแยกออกเป็นชุดของโมเมนต์แม่เหล็ก ที่แยกออกจากกัน ถ้าไม่ใหญ่เกินไป อินทิกรัลการซ้อนทับจะให้ ปฏิสัมพันธ์แบบ ซูเปอร์เอ็กซ์เชนจ์ระหว่างโมเมนต์แม่เหล็กที่อยู่ใกล้เคียงกัน ซึ่งอาจนำไปสู่ความสัมพันธ์ทางแม่เหล็กที่น่าสนใจหลากหลาย เช่น เฟอร์โรแมกเนติก แอนติเฟอร์โรแมกเนติก เป็นต้น ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของแบบจำลอง แบบจำลองฮับบาร์ดแบบหนึ่งมิติได้รับการแก้ไขโดยLiebและ Wu โดยใช้Bethe ansatzความก้าวหน้าที่สำคัญเกิดขึ้นในช่วงทศวรรษ 1990: มีการค้นพบ สมมาตรที่ซ่อนอยู่และมีการประเมินเมทริกซ์การกระเจิงฟังก์ชันสหสัมพันธ์การ พันกัน ทางอุณหพลศาสตร์และควอนตัม^{[ 6 ]}${\displaystyle U/t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U/t\gg 1}$${\displaystyle U/t}$

แม้ว่าแบบจำลองของฮับบาร์ดจะมีประโยชน์ในการอธิบายระบบต่างๆ เช่น สายโซ่ของอะตอมไฮโดรเจนแบบ 1 มิติ แต่ระบบที่ซับซ้อนกว่านั้นอาจประสบกับผลกระทบอื่นๆ ที่แบบจำลองของฮับบาร์ดไม่ได้พิจารณา โดยทั่วไปแล้ว ฉนวนสามารถแบ่งออกเป็น ฉนวน แบบมอตต์-ฮับบาร์ดและฉนวน แบบถ่ายโอนประจุ

ฉนวน Mott–Hubbard สามารถอธิบายได้ดังนี้

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าคล้ายคลึงกับแบบจำลองฮับบาร์ดสำหรับสายโซ่ไฮโดรเจน ซึ่งการนำไฟฟ้าระหว่างหน่วยเซลล์สามารถอธิบายได้ด้วยปริพันธ์การถ่ายโอน

อย่างไรก็ตาม อิเล็กตรอนอาจแสดงพฤติกรรมอีกแบบหนึ่งได้เช่นกัน:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการถ่ายโอนประจุ และส่งผลให้เกิดฉนวนการถ่ายโอนประจุซึ่งแตกต่างจากฉนวนมอตต์-ฮับบาร์ด การถ่ายโอนอิเล็กตรอนเกิดขึ้นเฉพาะภายในหน่วยเซลล์เท่านั้น

ผลกระทบทั้งสองอย่างนี้อาจเกิดขึ้นและแข่งขันกันในระบบไอออนิกที่ซับซ้อน

ข้อเท็จจริงที่ว่าแบบจำลอง Hubbard ยังไม่ได้รับการแก้ไขในเชิงวิเคราะห์ในมิติใดๆ ทำให้เกิดการวิจัยอย่างเข้มข้นเกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับระบบอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมากเหล่านี้^{[ 7 ] [ 8 ]}เป้าหมายหลักประการหนึ่งของการวิจัยนี้คือการกำหนดแผนภาพเฟสอุณหภูมิต่ำของแบบจำลองนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสองมิติ การประมวลผลเชิงตัวเลขโดยประมาณของแบบจำลอง Hubbard บนระบบจำกัดนั้นเป็นไปได้ด้วยวิธีการต่างๆ

หนึ่งในวิธีการดังกล่าวคืออัลกอริทึม Lanczosซึ่งสามารถสร้างคุณสมบัติแบบคงที่และแบบไดนามิกของระบบได้ การคำนวณสถานะพื้นฐานโดยใช้วิธีนี้จำเป็นต้องจัดเก็บเวกเตอร์สามตัวที่มีขนาดเท่ากับจำนวนสถานะ จำนวนสถานะจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามขนาดของระบบ ซึ่งจำกัดจำนวนไซต์ในแลตติสไว้ที่ประมาณ 20 บนฮาร์ดแวร์ในศตวรรษที่ 21 นอกจากนี้ยังมีวิธีการทางสถิติสองวิธี ได้แก่ โปรเจคเตอร์และมอนเตคาร์โลสนามเสริมที่ อุณหภูมิจำกัด ซึ่งสามารถหาคุณสมบัติบางอย่างของระบบได้ สำหรับอุณหภูมิต่ำ ปัญหาการลู่เข้าจะปรากฏขึ้น ซึ่งนำไปสู่ความพยายามในการคำนวณแบบทวีคูณเมื่ออุณหภูมิลดลงเนื่องจากปัญหาที่เรียกว่าปัญหาเครื่องหมาย เฟอร์มิออ น

แบบจำลองฮับบาร์ดสามารถศึกษาได้ภายในทฤษฎีสนามเฉลี่ยแบบไดนามิก (DMFT) วิธีการนี้จะแปลงแฮมิลโทเนียนของฮับบาร์ดไปเป็นแบบจำลองสิ่งเจือปนแบบไซต์เดียวซึ่งการแปลงนี้มีความแม่นยำอย่างเป็นทางการเฉพาะในมิติอนันต์เท่านั้น และในมิติจำกัดจะสอดคล้องกับการคำนวณที่แม่นยำเฉพาะความสัมพันธ์เฉพาะที่เท่านั้น DMFT ช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชันกรีน เฉพาะที่ ของแบบจำลองฮับบาร์ดสำหรับค่าที่กำหนดและอุณหภูมิที่กำหนดได้ ภายใน DMFT สามารถคำนวณวิวัฒนาการของฟังก์ชันสเปกตรัมและสังเกตการปรากฏของแถบฮับบาร์ดบนและล่างได้เมื่อความสัมพันธ์เพิ่มขึ้น ${\displaystyle U}$

มีการใช้ สแต็กของ ไดแคลโคเจนิกโลหะทรานซิชัน 2 มิติที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (TMDs) เพื่อจำลองรูปทรงเรขาคณิตในมากกว่าหนึ่งมิติ ทังสเตนไดเซเลไนด์และทังสเตนซัลไฟด์ถูกซ้อนกัน ทำให้เกิดซูเปอร์แลตติซมัวเรซึ่งประกอบด้วยซูเปอร์เซลล์หกเหลี่ยม( หน่วยการทำซ้ำที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ของวัสดุทั้งสอง) แต่ละซูเปอร์เซลล์จึงทำหน้าที่เสมือนเป็นอะตอมเดี่ยว ระยะห่างระหว่างซูเปอร์เซลล์โดยประมาณคือ 100 เท่าของอะตอมภายใน ระยะห่างที่มากขึ้นนี้ช่วยลดการอุโมงค์ของอิเล็กตรอนข้ามซูเปอร์เซลล์ได้อย่างมาก^{[ 2 ]}

สามารถใช้เพื่อสร้างผลึกวิกเนอร์ได้สามารถติดอิเล็กโทรด เพื่อควบคุม สนามไฟฟ้าได้ สนามไฟฟ้าจะควบคุมจำนวนอิเล็กตรอนที่เติมเต็มแต่ละซูเปอร์เซลล์ จำนวนอิเล็กตรอนต่อซูเปอร์เซลล์จะกำหนด "อะตอม" ที่แลตทิซจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพ หนึ่งอิเล็กตรอนต่อเซลล์จะมีพฤติกรรมเหมือนไฮโดรเจน สองตัวต่อเซลล์เหมือนฮีเลียม เป็นต้น ณ ปี 2022 สามารถจำลองซูเปอร์เซลล์ที่มีอิเล็กตรอนได้มากถึงแปดตัว ( ออกซิเจน ) ผลลัพธ์หนึ่งของการจำลองแสดงให้เห็นว่าความแตกต่างระหว่างโลหะและฉนวนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของความแรงของสนามไฟฟ้า^{[ 2 ]}

ระบอบการเรียงซ้อนแบบ "ย้อนกลับ" ช่วยให้สามารถสร้างฉนวน Chern ผ่านปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ที่ผิดปกติ (โดยขอบของอุปกรณ์ทำหน้าที่เป็นตัวนำ ในขณะที่ส่วนภายในทำหน้าที่เป็นฉนวน) อุปกรณ์ทำงานที่อุณหภูมิ 5 เคลวินซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิที่สังเกตเห็นปรากฏการณ์นี้เป็นครั้งแรกมาก^{[ 2 ]}

• แบบจำลองสิ่งเจือปนของแอนเดอร์สัน
• ทฤษฎีบทของบล็อก
• โครงสร้างแถบอิเล็กตรอน
• ฟิสิกส์ของแข็ง
• แบบจำลองโบส-ฮับบาร์ด
• แบบจำลอง tJ
• แบบจำลองไฮเซนเบิร์ก (ควอนตัม)
• ทฤษฎีสนามเฉลี่ยพลวัต
• เกณฑ์คนสูบกัญชา

• Hubbard, J. (1963). "ความสัมพันธ์ ของอิเล็กตรอนในแถบพลังงานแคบ". Proceedings of the Royal Society of London . 276 (1365): 238– 257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR  2414761. S2CID  35439962 .
• Bach, V.; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). "ทฤษฎี Hartree–Fock แบบทั่วไปและแบบจำลอง Hubbard". Journal of Statistical Physics . 76 ( 1– 2): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Bibcode : 1994JSP....76....3B . doi : 10.1007/BF02188656 . S2CID  207143 .
• Lieb, EH (1995). "แบบจำลองฮับบาร์ด: ผลลัพธ์ที่เข้มงวดบางประการและปัญหาที่ยังเปิดอยู่" Xi Int. Cong. Mp, Int. Press (?) . 1995 : cond–mat/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
• เกบฮาร์ด, เอฟ. (1997). "การเปลี่ยนสถานะจากโลหะเป็นฉนวน" การเปลี่ยน สถานะจากโลหะเป็นฉนวนของมอตต์: แบบจำลองและวิธีการสปริงเกอร์ แทร็กส์ อิน โมเดิร์น ฟิสิกส์ เล่มที่ 137 สปริงเกอร์หน้า  1–48 ISBN 9783540614814.
• Lieb, EH; Wu, FY (2003). "แบบจำลองฮับบาร์ดหนึ่งมิติ: ความทรงจำ". Physica A . 321 (1): 1– 27. arXiv : cond-mat/0207529 . Bibcode : 2003PhyA..321....1L . doi : 10.1016/S0378-4371(02)01785-5 . S2CID  44758937 .
• Arovas, Daniel P.; Berg, Erez; Kivelson, Steven; Rahgu, Sri (2022). "แบบจำลองฮับบาร์ด". Annual Review of Condensed Matter Physics . 13 : 239–274 . arXiv : 2103.12097 . Bibcode : 2022ARCMP..13..239A . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024 .
• Qin, Mingpu; Schäfer, Thomas; Andergassen, Sabine; Corboz, Philippe; Gull, Emanuel ( 2022). "แบบจำลองฮับบาร์ด: มุมมองเชิงคำนวณ". Annual Review of Condensed Matter Physics . 13 : 275–302 . arXiv : 2104.00064 . Bibcode : 2022ARCMP..13..275Q . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-090921-033948 . S2CID  260725458 .