ในทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มอย่างง่ายคืออัตราส่วนของแรงบิดเนื่องจากแรงโน้มถ่วงรอบจุดหมุนของลูกตุ้มต่อความเร่งเชิงมุมรอบจุดหมุนนั้น สำหรับลูกตุ้มอย่างง่าย ค่านี้พบว่าเป็นผลคูณของมวลของอนุภาค${\displaystyle m}$ด้วยกำลังสองของระยะทาง${\displaystyle r}$ไปยังจุดหมุน นั่นเอง $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

สามารถแสดงได้ดังนี้:

แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลของลูกตุ้มอย่างง่ายก่อให้เกิดแรงบิด${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$รอบแกนที่ตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ตรงนี้${\displaystyle \mathbf {r} }$คือเวกเตอร์ระยะห่างจากแกนแรงบิดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม และ${\displaystyle \mathbf {F} }$แรงบิดคือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อมวล และแรงบิดนี้จะสัมพันธ์กับความเร่งเชิงมุม${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ของเส้นเชือกและมวลรอบแกนนี้ เนื่องจากมวลถูกจำกัดให้อยู่ในวงกลม ความเร่งสัมผัสของมวลจึงเป็น${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$. เนื่องจาก${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$สมการแรงบิดจึงกลายเป็น: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบของลูกตุ้ม (ขั้นตอนก่อนสุดท้ายใช้การขยายผลคูณเวกเตอร์สามตัวโดยพิจารณาความตั้งฉากของ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$และ${\displaystyle \mathbf {r} }$ปริมาณ${\displaystyle I=mr^{2}}$คือโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลเดี่ยวนี้รอบจุดหมุน

ปริมาณ${\displaystyle I=mr^{2}}$นอกจากนี้ยังปรากฏในโมเมนตัมเชิงมุมของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งคำนวณจากความเร็ว${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ของมวลลูกตุ้มรอบจุดหมุน โดยที่${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$คือความเร็วเชิงมุมของมวลรอบจุดหมุน โมเมนตัมเชิงมุมนี้กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ โดยใช้วิธีการหาที่มาคล้ายกับสมการก่อนหน้านี้

ในทำนองเดียวกัน พลังงานจลน์ของมวลลูกตุ้มถูกกำหนดโดยความเร็วของลูกตุ้มรอบจุดหมุนเพื่อให้ได้ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าปริมาณ${\displaystyle I=mr^{2}}$โมเมนต์ความเฉื่อย คือผลรวมของค่าต่างๆ ระหว่างมวลกับรูปร่างของวัตถุ โดยโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีรูปร่างใดๆ ก็ตาม คือผลรวมของค่าต่างๆ เหล่านั้น${\displaystyle mr^{2}}$สำหรับองค์ประกอบมวลทั้งหมดในร่างกาย

ลูกตุ้มประกอบเป็นวัตถุที่ประกอบขึ้นจากอนุภาคที่มีรูปร่างต่อเนื่องซึ่งหมุนอย่างแข็งเกร็งรอบจุดหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของมันคือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละอนุภาคที่ประกอบขึ้นเป็นลูกตุ้ม^{[ 15 ] [ 16 ] : 395–396 [ 17 ] : 51–53}ความถี่ธรรมชาติ(${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มประกอบขึ้นอยู่กับโมเมนต์ความเฉื่อยของมัน${\displaystyle I_{P}}$, $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle m}$คือมวลของวัตถุ${\displaystyle g}$คือความเร่งโน้มถ่วงเฉพาะที่ และ${\displaystyle r}$คือระยะห่างจากจุดหมุนไปยังจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ การวัดความถี่ของการสั่นนี้ในช่วงการกระจัดเชิงมุมเล็กๆ เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการวัดโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ^{[ 18 ] : 516–517}

ดังนั้น ในการหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ ให้แขวนวัตถุไว้กับจุดหมุนที่สะดวก${\displaystyle P}$เพื่อให้แกว่งได้อย่างอิสระในระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางของโมเมนต์ความเฉื่อยที่ต้องการ จากนั้นวัดความถี่ธรรมชาติหรือคาบการแกว่ง (${\displaystyle t}$) เพื่อให้ได้มา $${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle t}$คือช่วงเวลา (ระยะเวลา) ของการแกว่ง (โดยปกติจะคำนวณเฉลี่ยจากหลายช่วงเวลา)

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนของวัตถุคำนวณได้โดยการรวมผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยกับแกน${\displaystyle mr^{2}}$สำหรับทุกอนุภาคในร่างกาย ณ ตำแหน่งใด${\displaystyle r}$คือระยะตั้งฉากกับแกนที่กำหนด เพื่อดูว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเกิดขึ้นได้อย่างไรในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ขยายออกไป การพิจารณาการประกอบแบบแข็งของมวลจุดจึงเป็นเรื่องสะดวก (สมการนี้สามารถใช้ได้กับแกนที่ไม่ใช่แกนหลัก โดยต้องเข้าใจว่าสมการนี้ไม่ได้อธิบายโมเมนต์ความเฉื่อยอย่างสมบูรณ์^{[ 22 ]} )

พิจารณาพลังงานจลน์ของกลุ่มวัตถุ${\displaystyle N}$มวลชน${\displaystyle m_{i}}$ที่อยู่ตามระยะทาง${\displaystyle r_{i}}$จากจุดหมุน${\displaystyle P}$ซึ่งเป็นจุดที่ใกล้ที่สุดบนแกนการหมุน เป็นผลรวมของพลังงานจลน์ของมวลแต่ละก้อน^{[ 18 ] : 516–517 [ 23 ] : 1084–1085 [ 23 ] : 1296–1300}$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุคือผลรวมของแต่ละส่วน${\displaystyle mr^{2}}$เงื่อนไขต่างๆ นั่นเอง $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยจึงเป็นคุณสมบัติทางกายภาพที่รวมมวลและการกระจายตัวของอนุภาครอบแกนหมุน สังเกตว่าการหมุนรอบแกนที่แตกต่างกันของวัตถุเดียวกันจะให้ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่แตกต่างกัน

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุต่อเนื่องที่หมุนรอบแกนที่กำหนดจะคำนวณด้วยวิธีเดียวกัน เพียงแต่ใช้จุดอนุภาคจำนวนอนันต์ ดังนั้นจึงไม่มีข้อจำกัดในการหาผลรวม และสามารถเขียนผลรวมได้ดังนี้: $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

อีกรูปแบบหนึ่งจะแทนที่ผลรวมด้วย ปริพันธ์$${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

ในที่นี้ฟังก์ชัน${\displaystyle \rho }$แสดงค่าความหนาแน่นมวล ณ แต่ละจุด${\displaystyle (x,y,z)}$,${\displaystyle \mathbf {r} }$คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแกนหมุนและลากจากจุดหนึ่งบนแกนหมุนไปยังอีกจุดหนึ่ง${\displaystyle (x,y,z)}$ในของแข็ง และการหาปริพันธ์จะถูกประเมินเหนือปริมาตร${\displaystyle V}$ของร่างกาย${\displaystyle Q}$โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นผิวเรียบจะคล้ายคลึงกัน โดยแทนที่ความหนาแน่นมวลด้วยความหนาแน่นมวลต่อพื้นที่ และคำนวณปริพันธ์เหนือพื้นที่ของพื้นผิวนั้น

หมายเหตุเกี่ยวกับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ : โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่เคลื่อนที่ในระนาบและโมเมนต์ที่สองของพื้นที่หน้าตัดของคานมักถูกเข้าใจผิด โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีรูปร่างตามหน้าตัดคือโมเมนต์ที่สองของพื้นที่นี้รอบแกน${\displaystyle z}$แกน x ตั้งฉากกับหน้าตัด โดยมีน้ำหนักตามความหนาแน่น เรียกอีกอย่างว่าโมเมนต์เชิงขั้วของพื้นที่และเป็นผลรวมของโมเมนต์อันดับสองรอบแกน x${\displaystyle x}$- และ${\displaystyle y}$-แกน^{[ 24 ]}ความเครียดในคานคำนวณโดยใช้โมเมนต์ที่สองของพื้นที่หน้าตัดรอบแกนใดแกนหนึ่ง${\displaystyle x}$-แกน หรือ${\displaystyle y}$แกน - ขึ้นอยู่กับภาระ

ตัวอย่าง

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มประกอบที่สร้างจากแผ่นดิสก์บางที่ติดตั้งที่ปลายแท่งบางซึ่งแกว่งรอบจุดหมุนที่ปลายอีกด้านของแท่ง เริ่มต้นด้วยการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางและแผ่นดิสก์บางรอบศูนย์กลางมวลของพวกมัน^{[ 23 ]}

• โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางที่มีหน้าตัดคงที่${\displaystyle s}$และความหนาแน่น${\displaystyle \rho }$และมีความยาว${\displaystyle \ell }$เกี่ยวกับแกนตั้งฉากที่ผ่านศูนย์กลางมวลจะถูกกำหนดโดยการอินทิเกรต^{[ 23 ] : 1301} จัดแนว${\displaystyle x}$วางแกน x ของแท่งโลหะและกำหนดจุดกำเนิดให้อยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของแท่งโลหะ จากนั้น$${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$ที่ไหน${\displaystyle m=\rho s\ell }$คือมวลของแท่งนั้น
• โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นดิสก์บางที่มีความหนาคงที่${\displaystyle s}$รัศมี${\displaystyle R}$และความหนาแน่น${\displaystyle \rho }$เกี่ยวกับแกนที่ผ่านศูนย์กลางและตั้งฉากกับหน้า (ขนานกับแกนสมมาตรการหมุน ) ถูกกำหนดโดยการอินทิเกรต^{[ 23 ] : 1301} จัดแนว${\displaystyle z}$กำหนดแกนให้ตรงกับแกนของแผ่นดิสก์และกำหนดองค์ประกอบปริมาตรดังนี้${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$, แล้ว$${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =\pi \rho s{\frac {R^{4}}{2}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$ที่ไหน${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$คือมวลของมัน
• โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มประกอบนั้นได้มาจากการรวมโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งและแผ่นดิสก์รอบจุดหมุน${\displaystyle P}$เช่น,$${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$ที่ไหน${\displaystyle L}$คือความยาวของลูกตุ้ม สังเกตว่าทฤษฎีแกนขนานถูกนำมาใช้เพื่อย้ายโมเมนต์ความเฉื่อยจากจุดศูนย์กลางมวลไปยังจุดหมุนของลูกตุ้ม

รายการ สูตรโมเมนต์ ความเฉื่อยสำหรับรูปทรงวัตถุมาตรฐานช่วยให้สามารถหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่ซับซ้อนได้โดยพิจารณาจากวัตถุที่มีรูปทรงเรียบง่ายกว่าหลายๆ ชิ้นทฤษฎีแกนขนานถูกนำมาใช้เพื่อเลื่อนจุดอ้างอิงของวัตถุแต่ละชิ้นไปยังจุดอ้างอิงของชุดประกอบ

ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกประการหนึ่งคือ พิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันที่มีความหนาแน่นคงที่รอบแกนที่ผ่านศูนย์กลางมวล ซึ่งกำหนดโดยการรวมโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นดิสก์บางๆ ที่สามารถประกอบเป็นทรงกลมได้ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ตามแกนที่เลือกพิจารณา หากพื้นผิวของทรงกลมถูกกำหนดโดยสมการ^{[ 23 ] : 1301}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

จากนั้นกำลังสองของรัศมี${\displaystyle r}$ของแผ่นดิสก์ที่หน้าตัด${\displaystyle z}$ตามแนว${\displaystyle z}$แกน - คือ $${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมจึงเป็นผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นดิสก์ตามแนวแกน${\displaystyle z}$-แกน, $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$คือมวลของทรงกลม

หากระบบกลไกถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ขนานกับระนาบคงที่ การหมุนของวัตถุในระบบจะเกิดขึ้นรอบแกน${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ตั้งฉากกับระนาบนี้ ในกรณีนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยของมวลในระบบนี้เป็นสเกลาร์ที่เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว นิยามของโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วสามารถหาได้จากการพิจารณาโมเมนตัม พลังงานจลน์ และกฎของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่ในระนาบของระบบอนุภาคแข็ง^{[ 15 ] [ 18 ] [ 25 ] [ 26 ]}

หากระบบของ${\displaystyle n}$อนุภาค${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$เมื่อประกอบเข้าด้วยกันเป็นวัตถุแข็งเกร็ง โมเมนตัมของระบบสามารถเขียนได้ในรูปของตำแหน่งสัมพัทธ์กับจุดอ้างอิง${\displaystyle \mathbf {R} }$และความเร็วสัมบูรณ์${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$คือความเร็วเชิงมุมของระบบ และ${\displaystyle \mathbf {V} }$คือความเร็วของ${\displaystyle \mathbf {R} }$.

สำหรับการเคลื่อนที่ในระนาบ เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจะชี้ไปตามเวกเตอร์หน่วย${\displaystyle \mathbf {k} }$ซึ่งตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ แนะนำเวกเตอร์หน่วย${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$จากจุดอ้างอิง${\displaystyle \mathbf {R} }$ในระดับหนึ่ง${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$และเวกเตอร์หน่วย${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$, ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

สิ่งนี้กำหนดเวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์และเวกเตอร์ความเร็วสำหรับระบบอนุภาคแข็งที่เคลื่อนที่ในระนาบ

หมายเหตุเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ : เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ขนานกับระนาบพื้น วิถีการเคลื่อนที่ของทุกจุดในวัตถุจะอยู่ในระนาบที่ขนานกับระนาบพื้นนี้ ซึ่งหมายความว่าการหมุนใดๆ ที่วัตถุเกิดขึ้นจะต้องเป็นการหมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับระนาบนี้ การเคลื่อนที่ในระนาบมักจะแสดงโดยการฉายภาพลงบนระนาบพื้นนี้ เพื่อให้แกนการหมุนปรากฏเป็นจุด ในกรณีนี้ ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุเป็นปริมาณสเกลาร์ และข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันเป็นเวกเตอร์ตามแกนการหมุนนั้นถูกละเลย ซึ่งมักจะนิยมใช้สำหรับการแนะนำหัวข้อนี้ แต่ในกรณีของโมเมนต์ความเฉื่อย การรวมกันของมวลและรูปทรงเรขาคณิตได้รับประโยชน์จากคุณสมบัติทางเรขาคณิตของผลคูณเวกเตอร์ ด้วยเหตุนี้ ในส่วนนี้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในระนาบ ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุจึงเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบพื้น และการดำเนินการผลคูณเวกเตอร์จะเหมือนกับที่ใช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งในอวกาศ

พลังงานจลน์

พลังงานจลน์ของระบบอนุภาคแข็งที่เคลื่อนที่ในระนาบกำหนดโดย^{[ 15 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

ให้จุดอ้างอิงคือจุดศูนย์กลางมวล${\displaystyle \mathbf {C} }$ของระบบเพื่อให้พจน์ที่สองเป็นศูนย์ และนำโมเมนต์ความเฉื่อยเข้ามาใช้${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ดังนั้นพลังงานจลน์จึงกำหนดโดย^{[ 23 ] : 1084}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

โมเมนต์ความเฉื่อย${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$คือโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของวัตถุ

กฎของนิวตัน

กฎของนิวตันสำหรับระบบแข็ง${\displaystyle n}$อนุภาค${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$สามารถเขียนได้ในรูปของแรงลัพธ์และแรงบิดที่จุดอ้างอิง${\displaystyle \mathbf {R} }$เพื่อให้ได้^{[ 15 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$แสดงถึงวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคแต่ละตัว

จลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งให้สูตรสำหรับความเร่งของอนุภาค${\displaystyle P_{i}}$ในแง่ของตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {R} }$และการเร่งความเร็ว${\displaystyle \mathbf {A} }$ของอนุภาคอ้างอิงรวมถึงเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$และเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ของระบบอนุภาคที่แข็งตัว เช่น $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

สำหรับระบบที่จำกัดการเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมและเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมจะชี้ไปตามทิศทางของระนาบ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ ซึ่งทำให้สมการความเร่งนี้ง่ายขึ้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการนำเวกเตอร์หน่วยมาใช้${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$จากจุดอ้างอิง${\displaystyle \mathbf {R} }$ในระดับหนึ่ง${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$และเวกเตอร์หน่วย${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$, ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

ซึ่งจะส่งผลให้เกิดแรงบิดในระบบดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$, และ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบสำหรับอนุภาคทั้งหมด${\displaystyle P_{i}}$.

ใช้จุดศูนย์กลางมวล${\displaystyle \mathbf {C} }$ใช้เป็นจุดอ้างอิงและกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$จากนั้นสมการสำหรับแรงบิดลัพธ์จะลดรูปเป็น^{[ 23 ] : 1029}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

โปรดทราบว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์สามารถเขียนได้เทียบเท่ากับการคูณเมทริกซ์โดยการรวมตัวถูกดำเนินการตัวแรกและตัวดำเนินการเข้าด้วยกันเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียง${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$สร้างขึ้นจากส่วนประกอบของ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์ความเฉื่อยถูกสร้างขึ้นโดยพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุม โดยมีจุดอ้างอิง${\displaystyle \mathbf {R} }$ของวัตถุที่ถูกเลือกให้เป็นศูนย์กลางมวล${\displaystyle \mathbf {C} }$: ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$ โดยที่เงื่อนไขประกอบด้วย${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$(${\displaystyle =\mathbf {C} }$ผลรวมจะเป็นศูนย์ตามนิยามของจุดศูนย์กลางมวล

จากนั้น เมทริกซ์สมมาตรเฉียง${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ได้มาจากเวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$สามารถใช้เพื่อกำหนดได้ $${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$กำหนดโดย $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$ คือเมทริกซ์ความเฉื่อยสมมาตรของระบบอนุภาคแข็งที่วัดเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล${\displaystyle \mathbf {C} }$.

พลังงานจลน์ของระบบอนุภาคแข็งเกร็งสามารถกำหนดได้ในรูปของจุดศูนย์กลางมวลและเมทริกซ์ของโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ สมมติให้ระบบของ${\displaystyle n}$อนุภาค${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ตั้งอยู่ที่พิกัดดังกล่าว${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ด้วยความเร็ว${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ดังนั้นพลังงานจลน์คือ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$ ที่ไหน${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$คือเวกเตอร์แสดงตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล

สมการนี้เมื่อขยายแล้วจะได้สามพจน์ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ พจน์ที่สองในสมการนี้มีค่าเป็นศูนย์ แนะนำเมทริกซ์สมมาตรเฉียง${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ดังนั้นพลังงานจลน์จึงกลายเป็น $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น พลังงานจลน์ของระบบอนุภาคแข็งจึงกำหนดโดย $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$คือเมทริกซ์ความเฉื่อยที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล และ${\displaystyle M}$คือมวลรวมทั้งหมด

เมทริกซ์ความเฉื่อยปรากฏในการประยุกต์ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับการประกอบอนุภาคที่แข็งเกร็ง แรงบิดที่เกิดขึ้นกับระบบนี้คือ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$คือความเร่งของอนุภาค${\displaystyle P_{i}}$จลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งให้สูตรสำหรับความเร่งของอนุภาค${\displaystyle P_{i}}$ในแง่ของตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {R} }$และการเร่งความเร็ว${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ของจุดอ้างอิง รวมถึงเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมด้วย${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$และเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ของระบบที่แข็งตัวเช่น $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

ใช้จุดศูนย์กลางมวล${\displaystyle \mathbf {C} }$โดยใช้เป็นจุดอ้างอิง และนำเมทริกซ์สมมาตรเฉียงมาใช้${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$เพื่อแสดงผลคูณไขว้${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$เพื่อให้ได้มา $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

การคำนวณใช้เอกลักษณ์ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$ ได้มาจากเอกลักษณ์ของจาโคบีสำหรับผลคูณไขว้ สามตัว ดังแสดงในบทพิสูจน์ด้านล่าง: