ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ รัศมีเติมเต็มของแมนิโฟลด์รีมันน์Xคือค่าคงที่เมตริกของX แนวคิด นี้ได้รับการนำเสนอครั้งแรกในปี 1983 โดยมิคาอิล โกรโมฟซึ่งใช้มันในการพิสูจน์อสมการซิสโตลิกสำหรับแมนิโฟลด์สำคัญ โดยเป็นการขยาย อสมการทอรัสของโลว์เนอร์และอสมการของปูสำหรับระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงอย่างกว้างขวางและสร้างเรขาคณิตซิสโตลิกในรูปแบบสมัยใหม่ขึ้นมา

รัศมีเติมเต็มของวงปิดอย่างง่ายCในระนาบ ถูกกำหนดให้เป็นรัศมีที่ใหญ่ที่สุดR  > 0 ของวงกลมที่พอดีกับภายใน  C :

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})=R.}$

มีมุมมองแบบคู่ขนานที่ช่วยให้สามารถสรุปแนวคิดนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพอย่างยิ่ง ดังที่ Gromov ได้แสดงให้เห็น กล่าวคือ เราพิจารณาบริเวณใกล้เคียงของวงวนCซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle U_{\varepsilon }C\subset \mathbb {R} ^{2}.}$

เมื่อค่า เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ บริเวณใกล้เคียงจะกลืนกินพื้นที่ภายในของวงรอบมากขึ้นเรื่อยๆ จุด สุดท้ายที่จะถูกกลืนกินคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ภายในวงรอบนั้น ดังนั้น เราจึงสามารถปรับปรุงนิยามข้างต้นได้โดยกำหนด ให้ เป็นค่าต่ำสุดของที่ทำให้วงรอบCหดตัวลงเหลือเพียงจุดหนึ่งใน ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดXที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิดEเราสามารถกำหนดรัศมีของการเติมเต็มโดยสัมพันธ์กับการฝังตัวได้ โดยการลดขนาดของบริเวณใกล้เคียงที่Xสามารถโฮโมโทปไปยังสิ่งที่มีมิติน้อยกว่า เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีมิติน้อยกว่า ในทางเทคนิคแล้ว การทำงานกับนิยามเชิงโฮโมโลยีจะสะดวกกว่า ${\displaystyle U_{\varepsilon }X\subset E}$

ให้A แทน วงแหวนสัมประสิทธิ์หรือ ขึ้นอยู่กับว่า Xสามารถกำหนดทิศทางได้หรือไม่ จาก นั้น คลาสพื้นฐานซึ่งแทนด้วย[X]ของ แมนิโฟลด์ nมิติ แบบกระชับ Xเป็นตัวสร้างของกลุ่มโฮโมโลยีและเรากำหนด ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X\subset E)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

โฮโมมอร์ฟิซึมการรวมอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$

ในการกำหนด รัศมีเติม เต็มสัมบูรณ์ในสถานการณ์ที่Xมีเมตริกแบบรีมันน์gนั้น Gromov ดำเนินการดังต่อไปนี้ เราใช้การฝังแบบ KuratowskiเราฝังX ลง ในปริภูมิ Banach ของฟังก์ชัน Borel ที่มีขอบเขตบนXซึ่งมีนอร์มสูงสุดกล่าวคือ เราแมปจุดหนึ่งไปยังฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร สำหรับทุก ๆโดยที่dคือฟังก์ชันระยะทางที่กำหนดโดยเมตริก โดยอสมการสามเหลี่ยมเรามีและดังนั้นการฝังจึงเป็นแบบไอโซเมตริกอย่างเข้มข้น ในความหมายที่ระยะทางภายในและระยะทางโดยรอบตรงกัน การฝังแบบไอโซเมตริกอย่างเข้มข้นเช่นนี้เป็นไปไม่ได้หากปริภูมิโดยรอบเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต แม้ว่าXจะเป็นวงกลมแบบรีมันน์ก็ตาม (ระยะทางระหว่างจุดตรงข้ามต้องเป็น πไม่ใช่ 2!) จากนั้นเรากำหนดในสูตรข้างต้น และกำหนด ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{x}\in L^{\infty }(X)}$${\displaystyle f_{x}(y)=d(x,y)}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$${\displaystyle E=L^{\infty }(X)}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\mathrm {FillRad} \left(X\subset L^{\infty }(X)\right).}$

• รัศมีการเติมมีค่าไม่เกินหนึ่งในสามของเส้นผ่านศูนย์กลาง (Katz, 1983)
• รัศมีของการเติมเต็มของปริภูมิเชิงฉายจริงที่มีเมตริกความโค้งคงที่คือหนึ่งในสามของเส้นผ่านศูนย์กลางแบบรีมันน์ ดู (Katz, 1983) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง รัศมีของการเติมเต็มคือหนึ่งในหกของซิสโทลในกรณีเหล่านี้
• รัศมีเติมเต็มของวงกลมรีมันน์ที่มีความยาว 2π ซึ่งก็คือวงกลมหน่วยที่มีฟังก์ชันระยะทางรีมันน์ที่เหนี่ยวนำ จะเท่ากับ π/3 หรือหนึ่งในหกของความยาววงกลมนั้น ซึ่งเป็นผลมาจากการรวมขอบเขตบนของเส้นผ่านศูนย์กลางที่กล่าวถึงข้างต้นเข้ากับขอบเขตล่างของโกรโมฟในแง่ของซิสโทล (โกรโมฟ, 1983)
• ซิสโทลของแมนิโฟลด์ที่สำคัญMมีค่าสูงสุดไม่เกินหกเท่าของรัศมีการบรรจุ ดู (Gromov, 1983)
  • ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถือว่าเหมาะสมที่สุดในแง่ที่ว่ากรณีขอบเขตของความเท่าเทียมกันนั้นบรรลุได้โดยปริภูมิเชิงฉายจริงดังที่กล่าวมาข้างต้น
• รัศมีของการฉีดของแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดให้ค่าขอบล่างของรัศมีของการเติมเต็ม กล่าวคือ

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{2(\dim M+2)}}.}$

• สมมติฐานพื้นที่เติม
• อสมการซิสโตลิกของโกรโมฟสำหรับแมนิโฟลด์ที่จำเป็น