ลูกตุ้มฟูโกหรือลูกตุ้มของฟูโกเป็นอุปกรณ์ง่ายๆ ที่ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสเลออน ฟูโกซึ่งคิดค้นขึ้นเพื่อใช้ในการทดลองสาธิตการหมุนของโลกหากเราสังเกตลูกตุ้มที่ยาวและหนักซึ่งแขวนอยู่จากหลังคาสูงเหนือพื้นที่วงกลมเป็นเวลานาน ระนาบ การ แกว่งของลูกตุ้มจะดูเหมือนเปลี่ยนไปเองโดยอัตโนมัติขณะที่โลกหมุนรอบตัวเองทุกๆ 24 ชั่วโมง ปรากฏการณ์นี้จะรุนแรงที่สุดที่ขั้วโลกและลดลงเมื่อละติจูดต่ำลง จนกระทั่งไม่ปรากฏอีกต่อ ไป ที่ เส้นศูนย์สูตรของโลก

ฟูโกต์นำเสนอลูกตุ้ม ของเขา ในปี พ.ศ. 2494 ในการทดลองครั้งแรกที่ให้หลักฐานโดยตรงและง่ายๆ เกี่ยวกับการหมุนของโลก ซึ่งเขาได้สาธิตเพิ่มเติมในปี พ.ศ. 2495 ด้วยการทดลองไจโรสโคปลูกตุ้มของฟูโกต์ได้รับความนิยมในพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์และมหาวิทยาลัย^{[ 1 ]}

ฟูโกได้รับแรงบันดาลใจจากการสังเกตแท่งที่ยืดหยุ่นบางๆ บนแกนของเครื่องกลึงซึ่งสั่นในระนาบเดียวกันแม้ว่าโครงรองรับของเครื่องกลึงจะหมุนก็ตาม^{[ 2 ]}

การจัดแสดงลูกตุ้มฟูโกต์ต่อสาธารณชนครั้งแรกเกิดขึ้นในเดือนกุมภาพันธ์ ค.ศ. 1851 ณ เส้นเมริเดียนของหอดูดาวปารีสไม่กี่สัปดาห์ต่อมา ฟูโกต์ได้สร้างลูกตุ้มที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขา โดยการใช้ตะกั่วเคลือบทองเหลืองหนัก28 กิโลกรัม (62 ปอนด์) แขวนไว้ กับ ลวด ความยาว 67 เมตร (220 ฟุต)จากโดมของวิหารปองเตอง ใน ปารีส  

เนื่องจากละติจูดของตำแหน่งที่ตั้งนั้นคือ${\displaystyle \phi =\mathrm {48^{\circ }52'N} }$ระนาบการแกว่งของลูกตุ้มหมุนครบวงกลมในเวลาประมาณ${\textstyle {\frac {\mathrm {23h56'} }{\sin \phi }}\ประมาณ \mathrm {31.8\,h} \;(\mathrm {31\,h\,50\,min} )}$หมุนตามเข็มนาฬิกาประมาณ 11.3 องศาต่อชั่วโมง คาบการแกว่งที่แท้จริงของลูกตุ้มคือประมาณ${\textstyle 2\pi {\sqrt {l/g}}\approx 16.5\,\mathrm {s} }$ดังนั้นในแต่ละรอบการแกว่ง ลูกตุ้มจะหมุนไปประมาณ${\displaystyle 9.05\times 10^{-4}\mathrm {rad} }$ฟูโกต์รายงานว่าสังเกตเห็นการเบี่ยงเบน 2.3 มม. ที่ขอบของลูกตุ้มในแต่ละรอบการแกว่ง ซึ่งจะเกิดขึ้นได้หากมุมการแกว่งของลูกตุ้มคือ 2.1° ^{[ 2 ]}

ฟูโกอธิบายผลลัพธ์ของเขาในบทความปี พ.ศ. 2494 ที่ชื่อว่าการสาธิตทางกายภาพของการเคลื่อนที่แบบหมุนของโลกโดยใช้ลูกตุ้มซึ่งตีพิมพ์ในComptes rendus de l'Académie des Sciencesเขาเขียนว่า ณ ขั้วโลกเหนือ: ^{[ 3 ]}

...การเคลื่อนที่แบบแกว่งของมวลลูกตุ้มเป็นไปตามส่วนโค้งของวงกลมซึ่งระนาบของมันเป็นที่รู้จักดี และแรงเฉื่อยของสสารทำให้ตำแหน่งของมันในอวกาศคงที่ หากการแกว่งเหล่านี้ดำเนินต่อไปเป็นระยะเวลาหนึ่ง การเคลื่อนที่ของโลกซึ่งหมุนจากทิศตะวันตกไปทิศตะวันออกอย่างต่อเนื่องจะปรากฏชัดเจนขึ้นเมื่อเทียบกับความนิ่งของระนาบการแกว่งซึ่งร่องรอยบนพื้นดินจะดูเหมือนเคลื่อนไหวอย่างสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ที่ปรากฏของทรงกลมท้องฟ้า และหากการแกว่งสามารถดำเนินต่อไปได้นานถึงยี่สิบสี่ชั่วโมง ร่องรอยของระนาบการแกว่งก็จะหมุนครบรอบจุดฉายภาพในแนวตั้งของจุดแขวน

บ็อบดั้งเดิมที่ใช้ในปี พ.ศ. 2494 ที่ปองเตองถูกย้ายไปที่Conservatoire des Arts et Métiersในปารีสในปี พ.ศ. 2498 มีการติดตั้งชั่วคราวครั้งที่สองเพื่อฉลองครบรอบ 50 ปีในปี พ.ศ. 2445 ^{[ 4 ]}

ระหว่างการบูรณะพิพิธภัณฑ์ในช่วงทศวรรษ 1990 ลูกตุ้มดั้งเดิมถูกนำไปจัดแสดงชั่วคราวที่ Panthéon (1995) แต่ต่อมาได้ถูกนำกลับมาที่Musée des Arts et Métiersก่อนที่จะเปิดทำการอีกครั้งในปี 2000 ^{[ 5 ]}เมื่อวันที่ 6 เมษายน 2010 สายเคเบิลที่แขวนลูกตุ้มใน Musée des Arts et Métiers ขาด ทำให้ลูกตุ้มและพื้นหินอ่อนของพิพิธภัณฑ์เสียหายอย่างไม่สามารถซ่อมแซมได้^{[ 6 ] [ 7 ]}ลูกตุ้มดั้งเดิมที่เสียหายแล้วถูกจัดแสดงในตู้แยกต่างหากที่อยู่ติดกับการจัดแสดงลูกตุ้มในปัจจุบัน

ลูกตุ้มจำลองที่เหมือนกับของเดิมทุกประการได้ถูกใช้งานอยู่ใต้โดมของ Panthéon ในปารีสตั้งแต่ปี 1995 ^{[ 8 ]}

ภาพเคลื่อนไหวของลูกตุ้มฟูโกต์บนซีกโลกเหนือ โดยอัตราการหมุนและแอมพลิจูดของโลกถูกขยายให้เกินจริงอย่างมาก เส้นสีเขียวแสดงเส้นทางของลูกตุ้มเหนือพื้นดิน (กรอบอ้างอิงที่หมุนได้) ในขณะที่ลูกตุ้มเคลื่อนที่ในระนาบแนวตั้งที่สอดคล้องกัน ระนาบการแกว่งจริงดูเหมือนจะหมุนสัมพันธ์กับโลก: เมื่อนั่งคร่อมลูกตุ้มเหมือนชิงช้า แรงสมมติของโคริโอลิสจะหายไป: ผู้สังเกตการณ์อยู่ในกรอบอ้างอิง "การหมุนอิสระ" ลวดควรยาวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้—ความยาว 12–30  เมตร (40–100  ฟุต) เป็นเรื่องปกติ^{[ 9 ]}

ลูกตุ้มฟูโกต์แบบเคลื่อนไหวได้ แต่มีวิถีการเคลื่อนที่บนพื้นซึ่งไม่สอดคล้องกับลูกตุ้มที่ถูกปล่อยออกมาโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น

ลูกตุ้มฟูโกที่ขั้วโลกเหนือ: ลูกตุ้มแกว่งอยู่ในระนาบเดียวขณะที่โลกหมุนอยู่เบื้องล่าง

ภาพเคลื่อนไหวนี้แสดงการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มฟูโกต์ที่ละติจูด 30°เหนือ ระนาบการแกว่งหมุนไปเป็นมุม −180° ในหนึ่งวัน ดังนั้นหลังจากสองวัน ระนาบจะกลับสู่ทิศทางเดิม

ไม่ว่าจะเป็นที่ขั้วโลกเหนือหรือขั้วโลกใต้ทางภูมิศาสตร์ระนาบการแกว่งของลูกตุ้มจะคงที่เมื่อเทียบกับมวลที่อยู่ห่างไกลของจักรวาลในขณะที่โลกหมุนอยู่เบื้องล่าง โดยใช้เวลา หนึ่ง วันสุริยคติในการหมุนครบหนึ่งรอบ ดังนั้น เมื่อเทียบกับโลก ระนาบการแกว่งของลูกตุ้มที่ขั้วโลกเหนือ (มองจากด้านบน) จะหมุนตามเข็มนาฬิกาครบหนึ่งรอบในหนึ่งวัน ส่วนลูกตุ้มที่ขั้วโลกใต้จะหมุนทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อแขวนลูกตุ้มฟูโกต์ไว้ที่เส้นศูนย์สูตรระนาบการแกว่งจะคงที่เมื่อเทียบกับโลก ที่ละติจูดอื่นๆ ระนาบการแกว่งจะหมุนควงเมื่อเทียบกับโลก แต่ช้ากว่าที่ขั้วโลก ความเร็วเชิงมุมω (วัดเป็นองศา ตามเข็มนาฬิกา ต่อวันดาราคติ) เป็นสัดส่วนกับไซน์ของละติจูดφ :

$${\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} ,}$$

โดยที่ละติจูดเหนือและใต้ของเส้นศูนย์สูตรถูกกำหนดให้เป็นค่าบวกและค่าลบตามลำดับ “วันลูกตุ้ม” คือเวลาที่ระนาบของลูกตุ้มฟูโกต์ที่แขวนลอยอย่างอิสระใช้ในการหมุนรอบแนวตั้งท้องถิ่น ซึ่งก็คือหนึ่งวันดาราศาสตร์หารด้วยไซน์ของละติจูด^{[ 10 ] [ 11 ]}ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้มฟูโกต์ที่ละติจูด 30° ใต้ เมื่อมองจากด้านบนโดยผู้สังเกตการณ์บนโลก จะหมุนทวนเข็มนาฬิกา 360° ในสองวัน

หากใช้ลวดที่มีความยาวเพียงพอ วงกลมที่อธิบายไว้จะกว้างพอที่จะทำให้สามารถมองเห็นการกระจัดในแนวสัมผัสตามวงกลมการวัดระหว่างการแกว่งสองครั้งได้ด้วยตาเปล่า ทำให้ลูกตุ้มฟูโกเป็นอุปกรณ์ทดลองที่น่าทึ่ง ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้มฟูโกดั้งเดิมในวิหารปองเตองเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีแอมพลิจูดของลูกตุ้ม 6 เมตร ประมาณ 5  มิลลิเมตรในแต่ละรอบ

ลูกตุ้มฟูโกต์ต้องได้รับการตั้งค่าอย่างระมัดระวัง เนื่องจากโครงสร้างที่ไม่แม่นยำอาจทำให้เกิดการเบี่ยงเบนเพิ่มเติมซึ่งบดบังผลกระทบจากพื้นดินไฮเกอ คาเมอร์ลิงห์ ออนเนส (ผู้ได้รับรางวัลโนเบลปี 1913) ได้ทำการทดลองที่แม่นยำและพัฒนาทฤษฎีลูกตุ้มฟูโกต์ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นสำหรับวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา (1879) เขาได้สังเกตว่าลูกตุ้มเปลี่ยนจากการแกว่งเชิงเส้นเป็นการแกว่งแบบวงรีภายในหนึ่งชั่วโมง โดยการวิเคราะห์การรบกวนเขาแสดงให้เห็นว่าความไม่สมบูรณ์ทางเรขาคณิตของระบบหรือความยืดหยุ่นของลวดรองรับอาจทำให้เกิดจังหวะระหว่างโหมดการแกว่งแนวนอนสองโหมด^{[ 12 ]}การปล่อยลูกตุ้มในครั้งแรกก็มีความสำคัญเช่นกัน วิธีดั้งเดิมในการทำเช่นนี้คือการใช้เปลวไฟเผาผ่านเส้นด้ายซึ่งยึดลูกตุ้มไว้ในตำแหน่งเริ่มต้นชั่วคราว จึงหลีกเลี่ยงการเคลื่อนที่ไปด้านข้างที่ไม่ต้องการ (ดูรายละเอียดของการปล่อยในงานครบรอบ 50 ปีในปี 1902 )

ที่น่าสังเกตคือ การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มนั้นถูกสังเกตพบแล้วตั้งแต่ปี ค.ศ. 1661 โดยวินเซนโซ วิเวียนีศิษย์ของกาลิเลโอแต่ไม่มีหลักฐานใดที่แสดงว่าเขาเชื่อมโยงปรากฏการณ์นี้กับการหมุนของโลก ตรงกันข้าม เขาถือว่ามันเป็นสิ่งรบกวนในการศึกษาของเขา ซึ่งควรแก้ไขได้ด้วยการแขวนลูกตุ้มด้วยเชือกสองเส้นแทนที่จะเป็นเส้นเดียว

แรงต้านอากาศทำให้การแกว่งลดลง ดังนั้นลูกตุ้มฟูโกต์บางลูกในพิพิธภัณฑ์จึงใช้ระบบขับเคลื่อนด้วยแม่เหล็กไฟฟ้าหรือระบบอื่นๆ เพื่อให้ลูกตุ้มแกว่งต่อไป บางลูกก็เริ่มต้นใหม่เป็นประจำ บางครั้งก็มีพิธีเปิดตัวเพื่อดึงดูดความสนใจเพิ่มเติม นอกจากแรงต้านอากาศ (การใช้ลูกตุ้มสมมาตรที่มีน้ำหนักมากก็เพื่อลดแรงเสียดทาน ซึ่งส่วนใหญ่เกิดจากแรงต้านอากาศของลูกตุ้มสมมาตรและตามหลักอากาศพลศาสตร์) ปัญหาทางวิศวกรรมหลักอีกประการหนึ่งในการสร้างลูกตุ้มฟูโกต์ขนาด 1 เมตรในปัจจุบันก็คือการทำให้แน่ใจว่าไม่มีทิศทางการแกว่งที่เฉพาะเจาะจง^{[ 13 ]}

ระบบทางกายภาพหลายระบบมีการหมุนวนในลักษณะที่คล้ายกับลูกตุ้มฟูโกต์ ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1836 นักคณิตศาสตร์ชาวสก็ อต Edward Sangได้ประดิษฐ์และอธิบายการหมุนวนของลูกข่าง^{[ 14 ]}ในปี ค.ศ. 1851 Charles Wheatstone ^{[ 15 ]}ได้อธิบายอุปกรณ์ที่ประกอบด้วยสปริงสั่นที่ติดตั้งอยู่บนแผ่นดิสก์เพื่อให้ทำมุมคงที่φ กับแผ่นดิสก์ สปริงถูกตีเพื่อให้สั่นในระนาบ เมื่อหมุนแผ่นดิสก์ ระนาบการสั่นจะเปลี่ยนไปเช่นเดียวกับลูกตุ้มฟูโก ต์ที่ละติจูดφ

ในทำนองเดียวกัน ลองพิจารณาล้อจักรยานที่ไม่หมุนและสมดุลอย่างสมบูรณ์แบบซึ่งติดตั้งอยู่บนแผ่นดิสก์ โดยที่แกนหมุนของล้อทำมุมφ กับแผ่นดิสก์ เมื่อแผ่นดิสก์หมุน ตามเข็มนาฬิกาครบหนึ่งรอบ ล้อจักรยานจะไม่กลับไปยังตำแหน่งเดิม แต่จะหมุนไปเป็นระยะทางสุทธิ2π sin φ

การหมุนวนแบบฟูโกต์ถูกสังเกตพบในออสซิลเลเตอร์แบบแอนไอโซโทรปิก^{[ 16 ]}และในระบบเสมือนที่อนุภาคไร้มวลถูกจำกัดให้อยู่บนระนาบหมุนที่เอียงเมื่อเทียบกับแกนการหมุน^{[ 17 ]}

การหมุนของอนุภาคสัมพัทธภาพที่เคลื่อนที่ในวงโคจรวงกลมจะหมุนวนคล้ายกับระนาบการแกว่งของลูกตุ้มฟูโกต์ พื้นที่ความเร็วสัมพัทธภาพในปริภูมิเวลา Minkowskiสามารถถือได้ว่าเป็นทรงกลมS ^{3 ใน} ปริภูมิยุคลิด 4 มิติที่มีรัศมีจินตนาการและพิกัดเวลาจินตนาการ การขนส่งแบบขนานของเวกเตอร์โพลาไรเซชันไปตามทรงกลมดังกล่าวทำให้เกิด การหมุนวนของ โทมัสซึ่งคล้ายคลึงกับการหมุนของระนาบการแกว่งของลูกตุ้มฟูโกต์เนื่องจากการขนส่งแบบขนานไปตามทรงกลมS ²ในปริภูมิยุคลิด 3 มิติ^{[ 18 ]}

ในทางฟิสิกส์ วิวัฒนาการของระบบดังกล่าวถูกกำหนดโดยเฟสทางเรขาคณิต [ ^{19 ] [ 20 ] ใน}ทางคณิตศาสตร์นั้นเข้าใจได้ผ่านการขนส่งแบบขนาน

โดยทั่วไป การเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม เช่น ลูกตุ้มฟูโก จะถูกวิเคราะห์โดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยซึ่งประมาณได้จาก "ดาวฤกษ์คงที่" ^{[ 21 ]} ดาวฤกษ์เหล่านี้ เนื่องจากอยู่ห่างจากโลกมาก จึงมีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันน้อยมากในช่วงเวลาสั้นๆ ทำให้เป็นเกณฑ์มาตรฐานที่ใช้ได้จริงสำหรับการคำนวณทางฟิสิกส์ แม้ว่าดาวฤกษ์คงที่ก็เพียงพอสำหรับการวิเคราะห์ทางฟิสิกส์ แต่แนวคิดของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์นำมาซึ่งการพิจารณาทางปรัชญาและทฤษฎี

พื้นที่สัมบูรณ์แบบนิวตัน

• ไอแซค นิวตัน เสนอการมีอยู่ของ "พื้นที่สัมบูรณ์" ซึ่งเป็นกรอบอ้างอิงสากลที่ไม่สามารถเคลื่อนย้ายได้และเป็นอิสระจากวัตถุใดๆ ในหนังสือ Principia Mathematica ของเขา นิวตันได้อธิบายพื้นที่สัมบูรณ์ว่าเป็นฉากหลังที่การเคลื่อนที่ที่แท้จริงเกิดขึ้น^{[ 22 ]}
• แนวคิดนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์โดยนักคิดรุ่นหลัง เช่น Ernst Mach ซึ่งโต้แย้งว่าการเคลื่อนที่ควรถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับมวลอื่น ๆ ในจักรวาลเท่านั้น^{[ 22 ]}

พื้นหลังคลื่นไมโครเวฟในอวกาศ (CMB)

• CMB ซึ่งเป็นรังสีตกค้างจากบิ๊กแบง ทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงสากลสำหรับการสังเกตการณ์ทางจักรวาลวิทยา โดยการวัดการเคลื่อนที่เทียบกับ CMB นักวิทยาศาสตร์สามารถกำหนดความเร็วของวัตถุท้องฟ้า รวมถึงโลก เทียบกับสถานะเริ่มต้นของจักรวาลได้ ซึ่งทำให้บางคนมองว่า CMB เป็นสิ่งเทียบเคียงสมัยใหม่ของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์^{[ 23 ]}

หลักการของมัคและมวลที่อยู่ห่างไกล

• เอิร์นส์ มาคเสนอว่าความเฉื่อยเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ของวัตถุกับมวลที่อยู่ห่างไกลในจักรวาล ตามมุมมองนี้ กรอบอ้างอิงของลูกตุ้มอาจถูกกำหนดโดยการกระจายของสสารทั้งหมดในจักรวาล แทนที่จะเป็นพื้นที่สัมบูรณ์ที่เป็นนามธรรม^{[ 22 ]}
• “มวลอันไกลโพ้นของจักรวาล” มีบทบาทสำคัญในการกำหนดกรอบเฉื่อย ซึ่งบ่งชี้ว่าการเคลื่อนที่ปรากฏของลูกตุ้มอาจได้รับอิทธิพลจากผลรวมของแรงโน้มถ่วงของมวลเหล่านี้ มุมมองนี้สอดคล้องกับหลักการของ Mach ซึ่งเน้นย้ำถึงความเชื่อมโยงกันของปรากฏการณ์ในระดับท้องถิ่นและระดับจักรวาล^{[ 22 ] [ 23 ]}
• อย่างไรก็ตาม การเชื่อมโยงระหว่างหลักการของ Mach และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของ Einstein ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข ในตอนแรก Einstein หวังที่จะรวมแนวคิดของ Mach เข้าไปด้วย แต่ต่อมาก็ยอมรับว่ามีความยากลำบากในการทำเช่นนั้น^{[ 24 ]}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกาลอวกาศ

• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปชี้ให้เห็นว่าปริภูมิเวลาเองสามารถใช้เป็นกรอบอ้างอิงได้ การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอาจเข้าใจได้ว่าสัมพันธ์กับความโค้งของปริภูมิเวลา ซึ่งได้รับอิทธิพลจากมวลที่อยู่ใกล้และไกล มุมมองนี้สอดคล้องกับแนวคิดของเส้นจีโอเดสิกในปริภูมิเวลาโค้ง^{[ 23 ]}
• ปรากฏการณ์ Lense - Thirring ^{[ 25 ]}ซึ่งเป็นการทำนายของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป บ่งชี้ว่าวัตถุหมุนขนาดใหญ่เช่นโลกสามารถ "ดึง" กาลอวกาศได้เล็กน้อย^{[ 26 ]}ซึ่งอาจส่งผลต่อการแกว่งของลูกตุ้ม ผลกระทบนี้ แม้จะมีความสำคัญทางทฤษฎี แต่ปัจจุบันมีขนาดเล็กเกินกว่าจะวัดได้ด้วยลูกตุ้มฟูโกต์

ในการจำลองลูกตุ้มฟูโก เราพิจารณาลูกตุ้มที่มีความยาวLและมวลmซึ่งแกว่งด้วยแอมพลิจูดเล็กๆ ในกรอบอ้างอิงที่หมุนไปพร้อมกับโลกด้วยความเร็วเชิงมุม Ω จะต้องรวม แรงโคริโอลิสเข้าไปด้วย สมการการเคลื่อนที่ในระนาบแนวนอน ( x , y ) คือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x&=2\Omega \sin(\varphi ){\dot {y}},\\{\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}y&=-2\Omega \sin(\varphi ){\dot {x}},\end{aligned}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$คือความถี่เชิงมุมตามธรรมชาติของลูกตุ้ม
• ${\displaystyle \varphi }$คือละติจูด
• ${\displaystyle g}$คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

สมการเชิงอนุพันธ์คู่เหล่านี้อธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม โดยรวมผลของโคริโอลิสอันเนื่องมาจากการหมุนของโลก^{[ 27 ]}

มีลูกตุ้มฟูโกจำนวนมากอยู่ที่มหาวิทยาลัย พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ และสถานที่อื่นๆ ทั่วโลกอาคารสมัชชาใหญ่แห่งสหประชาชาติที่สำนักงานใหญ่สหประชาชาติในนครนิวยอร์กก็มีลูกตุ้มฟูโกหนึ่ง ลูก ลูกตุ้มที่ ศูนย์การประชุมโอเรกอนได้รับการกล่าวอ้างว่าเป็นลูกตุ้มที่ใหญ่ที่สุด โดยมีความยาวประมาณ27 เมตร (89 ฟุต) [ ^{31 ] [ 32 ]}อย่างไรก็ตาม มีลูกตุ้มที่ใหญ่กว่านี้ระบุไว้ในบทความ เช่น ลูกตุ้มในหอคอยกาโมว์ที่มหาวิทยาลัยโคโลราโดซึ่งมีความ^ยาว 39.3 เมตร (129 ฟุต)เคยมีลูกตุ้มที่ยาวกว่านี้มาก เช่น ลูกตุ้ม ยาว 98 เมตร (322 ฟุต)ในมหาวิหารเซนต์ไอแซค เมืองเซนต์ปีเตอร์ส^{เบิร์ก}ประเทศรัสเซีย^{[ 33 ] [ 34} ]      

การทดลองนี้ยังดำเนินการที่ขั้วโลกใต้ ด้วย โดยสันนิษฐานว่าการหมุนของโลกจะมีผลสูงสุด^{[ 35 ] [ 36 ]}ลูกตุ้มถูกติดตั้งในบันไดหกชั้นของสถานีใหม่ที่กำลังก่อสร้างที่สถานีขั้วโลกใต้ Amundsen-Scott ลูกตุ้มมีความยาว33 เมตร (108 ฟุต)และลูกตุ้มหนัก25 กิโลกรัม (55 ปอนด์)ตำแหน่งนั้นเหมาะสมอย่างยิ่ง เนื่องจากไม่มีอากาศเคลื่อนที่ใดๆ มารบกวนลูกตุ้ม นักวิจัยยืนยันว่าคาบการหมุนของระนาบการแกว่งอยู่ที่ประมาณ 24 ชั่วโมง    

• การหมุนสัมบูรณ์– การหมุนที่ไม่ขึ้นอยู่กับจุดอ้างอิงภายนอกใดๆ 
• แรงโคริโอลิส– แรงที่ปรากฏในกรอบอ้างอิงที่หมุน 
• การทดลองEötvös – การทดลองฟิสิกส์ 
• เฟสทางเรขาคณิต– เฟสของวัฏจักร 
• ไจโรสโคป– อุปกรณ์สำหรับวัดหรือรักษาทิศทาง 
• กรอบอ้างอิงเฉื่อย– แนวคิดพื้นฐานของกลศาสตร์คลาสสิก 
• โซ่ลาริแอท– การสาธิตทางวิทยาศาสตร์ 
• การหมุนควง– การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในทิศทางของแกนหมุน 

• Arnold, VI (1989). วิธีการทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิก . Springer. หน้า123. ISBN  978-0-387-96890-2.
• Marion, Jerry B.; Thornton, Stephen T. (1995). พลศาสตร์คลาสสิกของอนุภาคและระบบ (  ฉบับที่ 4). Brooks Cole. หน้า398–401 . ISBN  978-0-03-097302-4.
• Persson, Anders O. (2005). "ปรากฏการณ์โคริโอลิส: ความขัดแย้งระหว่างสามัญสำนึกและคณิตศาสตร์ตลอดสี่ศตวรรษ ตอนที่ 1: ประวัติศาสตร์จนถึงปี 1885" (PDF) . ประวัติศาสตร์อุตุนิยมวิทยา . 2 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2014-04-11 . สืบค้นเมื่อ2006-04-27 .

• วูล์ฟ, โจ, " การหาอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่แบบพรีเซสชันของลูกตุ้มฟูโก "
• " ลูกตุ้มฟูโกต์ " การหาค่าการหมุนควงในพิกัดเชิงขั้ว
• " ลูกตุ้มฟูโก " โดย โจ วูล์ฟ พร้อมคลิปภาพยนตร์และแอนิเมชั่น
• " ลูกตุ้มของฟูโก " โดย Jens-Peer Kuska ร่วมกับ Jeff Bryant จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project : แบบจำลองคอมพิวเตอร์ของลูกตุ้มที่ช่วยให้สามารถควบคุมความถี่ของลูกตุ้ม ความถี่การหมุนของโลก ละติจูด และเวลาได้
• " เว็บแคม Kirchhoff-Institut für Physik, Universität Heidelberg เก็บถาวร24-09-2020 ที่Wayback Machine "
• สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งแคลิฟอร์เนีย รัฐแคลิฟอร์เนียเก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 พฤษภาคม 2016 ที่คลังเก็บข้อมูลเว็บภาษาโปรตุเกสคำอธิบายลูกตุ้มฟูโกต์ ในรูปแบบที่เข้าใจง่าย
• นิทรรศการ แบบจำลองลูกตุ้มฟูโกต์รวมถึงอุปกรณ์ตั้งโต๊ะที่แสดงปรากฏการณ์ฟูโกต์ในเวลาเพียงไม่กี่วินาที
• Foucault, ML, การสาธิตทางกายภาพของการหมุนของโลกโดยใช้ลูกตุ้ม , สถาบันแฟรงคลิน, 2000, สืบค้นเมื่อ 31 ตุลาคม 2007. คำแปลบทความของเขาเกี่ยวกับลูกตุ้มฟูโกต์
• โทบิน, วิลเลียม. "ชีวิตและวิทยาศาสตร์ของเลอง ฟูโก" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-09-12 . เรียกดูเมื่อ2018-08-10 .
• โบว์ลีย์, โรเจอร์ (2010). "ลูกตุ้มของฟูโก" . หกสิบสัญลักษณ์ . เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• Pendolo nel Saloneลูกตุ้ม Foucault ภายใน Palazzo della Ragione ในปาโดวา ประเทศอิตาลี
• Chessin, AS (1895). "เกี่ยวกับลูกตุ้มของฟูโก". Am. J. Math . 17 (1): 81– 88. doi : 10.2307/2369710 . JSTOR 2369710 . 
• Bromwich, TJ I'A. (1914). "เกี่ยวกับทฤษฎีของลูกตุ้มฟูโกและลูกตุ้มไจโรสแตติก" . Proceedings of the London Mathematical Society . s2-13 (1): 222– 235. doi : 10.1112/plms/s2-13.1.222 . สืบค้นเมื่อ2025-05-30 .
• MacMillan, William Duncan (1915). "เกี่ยวกับลูกตุ้มของฟูโก". Am. J. Math . 37 (1): 95– 106. doi : 10.2307/2370259 . JSTOR 2370259 . S2CID 123717776 .  
• Noble, William J. (1952). "การรักษาลูกตุ้มฟูโกต์โดยตรง" Am. J. Phys . 20 (6): 334– 336. Bibcode : 1952AmJPh..20..334N . doi : 10.1119/1.1933230 .
• Schulz-DuBois, EO (1970). "การทดลองลูกตุ้มฟูโกต์โดย Kamerlingh Onnes และทฤษฎีการรบกวนแบบเสื่อมสภาพ" Am. J. Phys . 38 (2): 173. Bibcode : 1970AmJPh..38..173S . doi : 10.1119/1.1976270 .
• Somerville, WB (1972). "คำอธิบายลูกตุ้มของฟูโก". QJR Astron. Soc . 13 : 40–62 . Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .
• Braginsky, Vladimir B.; Polnarev, Aleksander G.; Thorne, Kip S. (1984). "ลูกตุ้มฟูโกที่ขั้วโลกใต้: ข้อเสนอสำหรับการทดลองเพื่อตรวจจับสนามแรงโน้มถ่วงแม่เหล็กสัมพัทธภาพทั่วไปของโลก" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 53 (9): 863. Bibcode : 1984PhRvL..53..863B . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.863 .
• Hard, John B.; Miller, Raymond E. (1987). "แบบจำลองทางเรขาคณิตอย่างง่ายสำหรับการแสดงภาพการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มฟูโก" Am. J. Phys . 55 (1): 67. Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .
• Crane, H. Richard (1995). "ลูกตุ้มฟูโกต์ "นาฬิกาติดผนัง"". Am. J. Phys . 63 (1): 33– 39. Bibcode : 1995AmJPh..63...33C . doi : 10.1119/1.17765 .
• Das, U.; Talukdar, B.; Shamanna, J. (2002). "การแสดงเชิงวิเคราะห์ทางอ้อมของลูกตุ้มฟูโก". Czechoslov. J. Phys . 52 (12): 1321– 1327. Bibcode : 2002CzJPh..52.1321D . doi : 10.1023/A:1021819627736 . S2CID 118592240 . 
• ซัลวา, โฮราซิโอ อาร์.; เบนาวิเดส, รูเบน อี.; เปเรซ, จูลิโอ ซี.; กุสเกต้า, ดิเอโก เจ. (2010) "การออกแบบลูกตุ้มของฟูโกต์" สาธุคุณวิทย์ เครื่องมือ​ 81 (11): 115102–115102–4. Bibcode : 2010RScI...81k5102S . ดอย : 10.1063/1.3494611 . PMID21133496 .​ 
• de Icaza-Herrera, M.; Castano, VM (2011). "Lagrangian ทั่วไปของลูกตุ้มฟูโกต์แบบพาราเมตริกที่มีแรงกระจาย" Acta Mech . 218 ( 1– 2): 45– 64. doi : 10.1007/ s00707-010-0392-8
• Daliga, K.; Przyborski, M.; Szulwic, J. (2015). "ลูกตุ้มของฟูโกต์ เครื่องมือที่ไม่ซับซ้อนในการศึกษาภูมิศาสตร์และแผนที่" . เอกสารประกอบการประชุม EDULEARN15 - การประชุมนานาชาติครั้งที่ 7 ว่าด้วยการศึกษาและเทคโนโลยีการเรียนรู้ใหม่ บาร์เซโลนา ประเทศสเปน . IATED Academy. ISBN 978-84-606-8243-1.
• Cartmell, Matthew P.; Faller, James E.; Lockerbie, Nicholas A.; Handous, Eva (2020). "เกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองและการทดสอบลูกตุ้มฟูโกต์ขนาดห้องปฏิบัติการเพื่อเป็นต้นแบบสำหรับการออกแบบเครื่องมือวัดประสิทธิภาพสูง" Proc . R. Soc. A . 476 (2238) 20190680. Bibcode : 2020RSPSA.47690680C . doi : 10.1098/rspa.2019.0680 . PMC 7428043 . PMID 32821234 .