สมการฟรีดมันน์ หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการฟรีดมันน์-เลอแมตร์ ( FL ) เป็นชุดสมการในจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์ที่ควบคุมการขยายตัว ของจักรวาล ใน แบบ จำลองเอกพันธุ์และไอโซโทรปิก ของเอกภพ ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สม การ เหล่านี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยอเล็กซานเดอร์ ฟรีดมันน์ในปี 1922 จากสมการสนามของแรงโน้มถ่วง ของไอน์สไตน์ สำหรับเมตริกฟรีดมันน์-เลอแมตร์-โรเบิร์ตสัน-วอล์กเกอร์และของไหลสมบูรณ์ ที่มี ความหนาแน่นมวลρและความดันpที่กำหนด^{[ 1 ]}สมการสำหรับความโค้งเชิงพื้นที่เชิง ลบได้ รับการเสนอโดยฟรีดมันน์ในปี 1924 ^{[ 2 ]} แบบจำลองทางฟิสิกส์ที่สร้างขึ้นจากสมการฟรีดมันน์เรียกว่าแบบจำลอง FRW หรือ FLRW และเป็นแบบจำลองมาตรฐานของจักรวาลวิทยา สมัยใหม่ แม้ว่าคำอธิบายดังกล่าวจะเกี่ยวข้องกับแบบจำลอง Lambda-CDM ที่พัฒนาเพิ่มเติมด้วยก็ตาม แบบจำลอง FLRW ได้รับการพัฒนาอย่างอิสระโดยผู้เขียนที่ระบุชื่อในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930

สมการฟรีดมันน์ใช้สมมติฐานสามประการ: ^{[ 3 ] : 22.1.3}

1. เมตริกFriedmann –Lemaître–Robertson–Walker
2. สมการของไอน์สไตน์สำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและ
3. แหล่งของเหลวที่สมบูรณ์แบบ

ตัวชี้วัดนี้เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่เรียบง่ายว่าเอกภพมีความสม่ำเสมอและเป็นเนื้อเดียวกัน ในเชิงพื้นที่ ซึ่งก็คือหลักการทางจักรวาลวิทยาโดยในทางปฏิบัติแล้ว สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในระดับที่ใหญ่กว่า 100 เมกะพาร์เซก

เมตริกสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 4 ] : 65} โดยที่ ความเป็นไปได้ทั้งสามนี้สอดคล้องกับพารามิเตอร์kของ(0)พื้นที่ราบ, (+1)ทรงกลมที่มีความโค้งบวกคงที่ หรือ(−1)พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกที่มีความโค้งลบคงที่ ในที่นี้ ตำแหน่งรัศมีได้ถูกแยกออกเป็นตัวประกอบมาตราส่วนที่ขึ้นอยู่กับเวลาและพิกัดร่วมเคลื่อนที่การแทรกเมตริกนี้ลงในสมการสนามของไอน์สไตน์จะเชื่อมโยงวิวัฒนาการของตัวประกอบมาตราส่วนนี้กับความดันและพลังงานของสสารในจักรวาล ด้วยเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานสำหรับของไหลที่สมบูรณ์แบบ ผลลัพธ์ในสมการจะอธิบายไว้ด้านล่าง^{[ 4 ] : 73} $${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left(dr^{2}+S_{k}^{2}(r)d\psi ^{2}\right)}$$$${\displaystyle S_{-1}(r)=\sinh(r),S_{0}=1,S_{1}=\sin(r).}$$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle r}$

มีสมการฟรีดมันน์อิสระสองสมการสำหรับการจำลองเอกภพที่เป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตร สมการแรกคือ: ^{[ 3 ]} และสมการที่สองคือ: บางครั้ง คำว่าสมการฟรีดมันน์จะใช้เฉพาะกับสมการแรกเท่านั้น[ 3 ] ในสมการเหล่านี้ H คือพารามิเตอร์ฮับเบิล R(t) คือตัวประกอบมาตราส่วนจักรวาลวิทยา คือค่าคงที่แรงโน้มถ่วงของนิวตัน Λ คือค่าคงที่จักรวาลวิทยาที่มีมิติความยาว −2 ρ ^{คือความหนาแน่น} ของ พลังงานและpคือความดันสมมาตรkมี ค่าคงที่ตลอด^การแก้ ปัญหาเฉพาะแต่สามารถเปลี่ยนแปลงได้จากการแก้ปัญหาหนึ่งไปยังอีกการแก้ปัญหาหนึ่ง หน่วยกำหนดความเร็วแสงในสุญญากาศเป็นหนึ่ง $${\displaystyle H^{2}\equiv {\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)}^{2}={\frac {8\pi G\rho }{3}}-{\frac {k}{R^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}},}$$$${\displaystyle {\frac {\ddot {R}}{R}}={\frac {\Lambda }{3}}-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3p\right)}$$${\displaystyle G}$

ในสมการก่อนหน้านี้R , ρและp เป็นฟังก์ชันของเวลา หาก ไม่พิจารณาค่าคงที่จักรวาลวิทยาΛ เทอม ในสมการฟรีดมันน์แรกสามารถตีความได้ว่าเป็นพลังงานรวมแบบนิวตัน ดังนั้นวิวัฒนาการของจักรวาลจึงเป็นการต่อสู้ระหว่างพลังงานศักย์โน้มถ่วงกับพลังงานจลน์ผู้ชนะขึ้นอยู่กับ ค่า kในพลังงานรวม หาก k เป็น +1 แรงโน้มถ่วงจะทำให้จักรวาลหดตัวในที่สุด ข้อสรุปเหล่านี้จะเปลี่ยนแปลงไปหากΛไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ]}${\displaystyle -k/R^{2}}$${\displaystyle 8\pi G\rho /3}$${\displaystyle {\dot {R}}/R}$

เมื่อใช้สมการแรก สมการที่สองสามารถแสดงใหม่ได้ดังนี้: ^{[ 3 ]} ซึ่งกำจัดΛ ออกไป หรืออีกทางหนึ่ง การอนุรักษ์มวล-พลังงาน : นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0}$$

สมการฟรีดมันน์ข้อแรกประกอบด้วยพารามิเตอร์แบบไม่ต่อเนื่องkซึ่งค่าของมันจะเป็นตัวกำหนดรูปร่างของเอกภพ:

• +1คือทรงกลม 3 มิติ [ ^{5 ]}จักรวาลนั้น "ปิด": เมื่อเริ่มต้นบนเส้นทางบางเส้นทางผ่านจักรวาลจะกลับมายังจุดเริ่มต้น - คล้ายกับทรงกลม: มีขนาดจำกัดแต่ไม่มี^{ขอบเขต[ 6 ]}
• 0คือปริภูมิยูคลิดแบนราบ^{[ 5 ]}และอนันต์^{[ 6 ]}
• −1คือไฮเปอร์โบโลอิด 3 ^{[ 5 ]}จักรวาลเป็น "เปิด": อนันต์และไม่มีเส้นทางใดย้อนกลับ^{[ 6 ]}

ในแบบจำลองของฟรีดมันน์ การเลือกระหว่างรูปร่างที่แตกต่างกันเหล่านี้ถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบระหว่างอัตราการขยายตัวและความหนาแน่น อัตราการขยายตัวกำหนดความหนาแน่นวิกฤต โดยที่คือพารามิเตอร์ฮับเบิล และคือค่าคงที่แรงโน้มถ่วง เอกภพที่ความหนาแน่นวิกฤตจะแบนราบในเชิงพื้นที่ ( ) ในขณะที่ความหนาแน่นที่สูงกว่าจะให้เอกภพแบบปิด และความหนาแน่นที่ต่ำกว่าจะให้เอกภพแบบเปิด^{[ 4 ] : 73} $${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}},}$$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k=0}$

สามารถกำหนดตัวประกอบมาตราส่วนที่ไร้มิติได้: โดยใช้ค่าปัจจุบัน สมการของฟรีดมันน์สามารถเขียนได้ในรูปของตัวประกอบมาตราส่วนที่ไร้มิตินี้: โดยที่, , และ. ^{[ 7 ] : 3} $${\displaystyle a(t)\equiv {\frac {R(t)}{R_{0}}}}$$$${\displaystyle R_{0}=R({\text{now}}).}$$$${\displaystyle H^{2}(t)=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\left[\rho (t)+{\frac {\rho _{c}-\rho _{0}}{a^{2}(t)}}\right]}$$${\displaystyle {\dot {a}}=da/dt}$${\displaystyle \rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G}$${\displaystyle \rho _{0}=\rho (t={\text{now}})}$

ค่าความหนาแน่นของมวล-พลังงานนั้นซึ่งให้ค่าเมื่อเรียกว่าความหนาแน่นวิกฤต : ถ้าเอกภพมีความหนาแน่นสูงกว่าก็จะเรียกว่า "ปิดเชิงพื้นที่": ในการประมาณอย่างง่ายนี้ เอกภพจะหดตัวลงในที่สุด ในทางกลับกัน ถ้ามีความหนาแน่นต่ำกว่าก็จะเรียกว่า "เปิดเชิงพื้นที่" และขยายตัวไปเรื่อยๆ ดังนั้นเรขาคณิตของเอกภพจึงเชื่อมโยงโดยตรงกับความหนาแน่น^{[ 4 ] : 73} ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \Lambda =0}$$${\displaystyle \rho _{c}\equiv {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}.}$$${\displaystyle \rho \geq \rho _{c}}$${\displaystyle \rho \leq \rho _{c}}$

พารามิเตอร์ความหนาแน่นΩถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของความหนาแน่นจริง (หรือที่สังเกตได้) ρต่อความหนาแน่นวิกฤตρc _ของเอกภพฟรีดมันน์: ^{[ 4 ] : 74} ทั้งความหนาแน่นและพารามิเตอร์ฮับเบิลขึ้นอยู่กับเวลา ดังนั้นพารามิเตอร์ความหนาแน่นจึงแปรผันตามเวลา^{[ 4 ] : 74} $${\displaystyle \Omega :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$$${\displaystyle \rho (t)}$${\displaystyle H(t)}$

ความหนาแน่นวิกฤตเทียบเท่ากับอะตอมประมาณห้าอะตอม (ของไฮโดรเจนอะตอมเดี่ยว ) ต่อลูกบาศก์เมตร ในขณะที่ความหนาแน่นเฉลี่ยของสสารทั่วไปในจักรวาลเชื่อว่าอยู่ที่ 0.2–0.25 อะตอมต่อลูกบาศก์เมตร^{[ 8 ] [ 9 ]}

ความหนาแน่นส่วนใหญ่มาจากสสารมืด ที่ไม่สามารถระบุได้ แม้ว่าทั้งสสารธรรมดาและสสารมืดจะมีส่วนทำให้เอกภพหดตัวลงก็ตาม อย่างไรก็ตาม ส่วนที่ใหญ่ที่สุดมาจากพลังงานมืดซึ่งเป็นที่มาของค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา แม้ว่าความหนาแน่นรวมจะเท่ากับความหนาแน่นวิกฤต (อย่างแม่นยำ จนถึงข้อผิดพลาดในการวัด) แต่พลังงานมืดไม่ได้นำไปสู่การหดตัวของเอกภพ แต่กลับอาจเร่งการขยายตัวของเอกภพได้

นิพจน์สำหรับความหนาแน่นวิกฤตพบได้โดยการสมมติให้Λเป็นศูนย์ (เช่นเดียวกับจักรวาลฟรีดมันน์พื้นฐานทั้งหมด) และกำหนดให้ความโค้งเชิงพื้นที่ปกติkเท่ากับศูนย์ เมื่อนำการแทนที่ไปใช้กับสมการฟรีดมันน์สมการแรกโดยกำหนดค่าใหม่ เราจะพบว่า: ^{[ 10 ]} โดยที่: ${\displaystyle H_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}&\approx 1.10\times 10^{-26}\mathrm {kg\,m^{-3}} \\&\approx 1.88\times 10^{-26}h^{2}\,{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}\\&\approx 2.78\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3}\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle H_{0}=76.5\pm 2.2\,\mathrm {km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} \approx 2.48\times 10^{-18}\mathrm {s^{-1}} }$
• ${\textstyle h={\frac {H_{0}}{100\,\mathrm {(km/s)/Mpc} }}}$
• ${\displaystyle \rho _{c}=8.5\times 10^{-27}\mathrm {kg/m^{3}} }$

เมื่อกำหนดค่าพลังงานมืดเป็น ρc _{เดิมที} คำนี้ถูกใช้เป็นวิธีการกำหนดรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ของเอกภพ โดยที่ρcคือความหนาแน่นวิกฤตที่ทำให้รูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่แบนราบ (หรือแบบยุคลิด) สมมติว่าความหนาแน่นของพลังงานสุญญากาศเป็นศูนย์ ถ้าΩมากกว่าหนึ่ง ส่วนของเอกภพจะเป็นแบบปิด เอกภพจะหยุดการขยายตัวในที่สุดแล้วยุบตัวลง ถ้าΩน้อยกว่าหนึ่ง ส่วนของเอกภพจะเป็นแบบเปิด และเอกภพจะขยายตัวไปเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม เราสามารถรวมความโค้งเชิงพื้นที่และพลังงานสุญญากาศเข้าไว้ในนิพจน์ทั่วไปสำหรับΩได้ ซึ่งในกรณีนี้พารามิเตอร์ความหนาแน่นนี้จะเท่ากับหนึ่งพอดี จากนั้นก็เป็นเรื่องของการวัดส่วนประกอบต่างๆ ซึ่งมักจะกำหนดโดยตัวห้อย ตามแบบจำลอง ΛCDMมีส่วนประกอบที่สำคัญของΩเนื่องมาจากแบริออน สสารมืดเย็นและพลังงานมืดรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ของเอกภพได้รับการวัดโดยยาน อวกาศ WMAPว่าเกือบจะแบนราบ นี่หมายความว่าจักรวาลสามารถประมาณค่าได้ดีด้วยแบบจำลองที่พารามิเตอร์ความโค้งเชิงพื้นที่kมีค่าเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าจักรวาลมีขนาดอนันต์เสมอไป อาจเป็นไปได้ว่าจักรวาลมีขนาดใหญ่กว่าส่วนที่เรามองเห็นมาก ${\displaystyle \โอเมก้า _{\แลมบ์ดา }=0.647}$

สมการฟรีดมันน์แรกมักถูกมองในแง่ของค่าปัจจุบันของพารามิเตอร์ความหนาแน่น นั่นคือ^{[ 11 ]} โดยที่Ω _0,Rคือความหนาแน่นของรังสีในปัจจุบัน (เมื่อa = 1 ), Ω _0,Mคือความหนาแน่นของสสาร ( มืดบวกแบริโอนิก ) ในปัจจุบัน, Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀คือ "ความหนาแน่นของความโค้งเชิงพื้นที่" ในปัจจุบัน และΩ _0,Λคือค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาหรือความหนาแน่นของสุญญากาศในปัจจุบัน $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$

ค่าพารามิเตอร์ของฮับเบิลสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามเวลา หากส่วนอื่นๆ ของสมการขึ้นอยู่กับเวลา (โดยเฉพาะอย่างยิ่งความหนาแน่นของมวล พลังงานสุญญากาศ หรือความโค้งของอวกาศ) การประเมินค่าพารามิเตอร์ของฮับเบิล ณ เวลาปัจจุบันจะให้ค่าคงที่ของฮับเบิล ซึ่งเป็นค่าคงที่สัดส่วนของกฎของฮับเบิลเมื่อนำไปใช้กับของไหลที่มีสมการสถานะ ที่กำหนด สมการของฟรีดมันน์จะให้วิวัฒนาการตามเวลาและรูปทรงเรขาคณิตของเอกภพเป็นฟังก์ชันของความหนาแน่นของของไหล

แบบจำลองจักรวาลวิทยาเชิงสัมพัทธภาพที่ใช้เมตริก FLRW และปฏิบัติตามสมการฟรีดมันน์เรียกว่าแบบจำลอง FRW [ ^{4 ] : 73} การสังเกตดาวโดยตรงแสดงให้เห็นว่าความเร็วของดาวถูกครอบงำโดยการถอยห่างในแนวรัศมี ซึ่งเป็นการตรวจสอบสมมติฐานเหล่านี้สำหรับแบบจำลองจักรวาลวิทยา^{[ 4 ] : 65} แบบจำลองเหล่านี้เป็นพื้นฐานของแบบจำลองมาตรฐาน^{[ 12 ]}ของ จักรวาลวิทยา บิ๊กแบง รวมถึง แบบจำลองΛCDMในปัจจุบัน^{[ 3 ] : 25.1.3}

การนำเมตริกไปใช้กับจักรวาลวิทยาและทำนายวิวัฒนาการของเวลาผ่านตัวประกอบมาตราส่วนนั้นจำเป็นต้องใช้สมการสนามของไอน์สไตน์ร่วมกับวิธีการคำนวณความหนาแน่นเช่นสมการสถานะทางจักรวาลวิทยากระบวนการนี้ทำให้สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์โดยประมาณของสมการสนามของไอน์สไตน์ได้ซึ่งก็คือสมการฟรีดมันน์ เมื่อ สมมติว่า เทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นแบบไอโซโทรปิกและเป็นเนื้อเดียวกัน สมการที่ได้คือ: ^{[ 13 ]}${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \rho (t),}$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}&={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho \\[4pt]2{\frac {\ddot {a}}{a}}+{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}&=-\kappa c^{2}p.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากแบบจำลอง FLRW ถือว่าเอกภพมีความสม่ำเสมอ จึงทำให้ทฤษฎียอดนิยมบางทฤษฎีเข้าใจผิดว่าแบบจำลองบิ๊กแบงไม่สามารถอธิบายความไม่สม่ำเสมอที่สังเกตได้ในเอกภพ ในแบบจำลอง FLRW อย่างเคร่งครัด จะไม่มีกระจุกกาแล็กซีหรือดาวฤกษ์ เนื่องจากวัตถุเหล่านี้มีความหนาแน่นมากกว่าส่วนทั่วไปของเอกภพมาก ถึงกระนั้น แบบจำลอง FLRW ก็ถูกใช้เป็นค่าประมาณเบื้องต้นสำหรับการวิวัฒนาการของเอกภพที่ไม่สม่ำเสมอในความเป็นจริง เพราะคำนวณได้ง่าย และแบบจำลองที่คำนวณความไม่สม่ำเสมอในเอกภพจะถูกเพิ่มเข้าไปในแบบจำลอง FLRW ในฐานะส่วนขยาย นักจักรวาลวิทยาหลายคนเห็นพ้องต้องกันว่าเอกภพที่สังเกตได้นั้นสามารถประมาณได้ดีด้วยแบบจำลองที่เกือบจะเป็น FLRWกล่าวคือ แบบจำลองที่ปฏิบัติตามเมตริก FLRW ยกเว้นความผันผวนของความหนาแน่นดั้งเดิม ณ ปี 2003 ผลกระทบทางทฤษฎีของส่วนขยายต่างๆ ของแบบจำลอง FLRW ดูเหมือนจะเข้าใจ ได้ ดีแล้ว และเป้าหมายคือการทำให้สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการสังเกตการณ์จากCOBEและWMAP

สมการทั้งสองที่กล่าวมาข้างต้นเทียบเท่ากับสมการทั้งสองต่อไปนี้ โดยที่ คือดัชนีความโค้งเชิงพื้นที่ ทำหน้าที่เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตสำหรับสมการแรก $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}&=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle k}$

สมการแรกสามารถได้มาจากการพิจารณาทางเทอร์โมไดนามิกส์เช่นกัน และเทียบเท่ากับกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกส์โดยสมมติว่าการขยายตัวของเอกภพเป็นกระบวนการอะเดียแบติก (ซึ่งเป็นสิ่งที่สมมติไว้โดยปริยายในการหาค่าเมตริกของฟรีดมันน์-เลอแมตร์-โรเบิร์ตสัน-วอล์คเกอร์)

สมการที่สองระบุว่าทั้งความหนาแน่นของพลังงานและความดันทำให้การขยายตัวของจักรวาลลดลง กล่าวคือ ทั้งสองอย่างทำให้การขยายตัวของจักรวาลชะลอตัวลง นี่เป็นผลมาจากแรงโน้มถ่วงโดยความดันมีบทบาทคล้ายกับความหนาแน่นของพลังงาน (หรือมวล) ตามหลักการของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในทางกลับกันค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาทำให้การขยายตัวของจักรวาล เร่งขึ้น${\displaystyle {\dot {a}}}$

เราสามารถละเว้นพจน์ค่า คงที่ทางจักรวาลวิทยาได้ หากเราทำการแทนที่ดังต่อไปนี้$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}},&p&\to p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้นค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยาจึงสามารถตีความได้ว่าเกิดจากรูปแบบของพลังงานที่มีความดันเป็นลบ ซึ่งมีขนาดเท่ากับความหนาแน่นของมวล-พลังงาน (ที่เป็นบวก) ซึ่งก็คือสมการสถานะของสุญญากาศที่มีพลังงานมืด $${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$$

ความพยายามที่จะสรุปสิ่งนี้ให้ครอบคลุมถึงสิ่งอื่น จะไม่คงสภาพเดิมโดยทั่วไปหากไม่มีการปรับเปลี่ยนเพิ่มเติม $${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$$

อันที่จริงแล้ว เพื่อให้ได้พจน์ที่ทำให้การขยายตัวของเอกภพเร่งขึ้นนั้น เพียงแค่มีสนามสเกลาร์ที่ตรงตามเงื่อนไข ก็เพียงพอแล้ว สนามดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าควินเทสเซนส์ $${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$$

การกำหนดความดันของของไหลที่สมบูรณ์แบบในสมการฟรีดมันน์ให้เป็นศูนย์ ( ) จะให้แบบจำลองฝุ่นจักรวาลวิทยา[ ^{14 ] : 231} ${\displaystyle p=0}$

ในปี พ.ศ. 2477 McCrea และ Milne ^{[ 15 ]}แสดงให้เห็นว่าสมการ Friedmann ในกรณีของของไหลที่ไม่มีแรงดันสามารถหาได้ด้วยพลศาสตร์แบบนิวตันที่ไม่สัมพัทธภาพ^{[ 14 ] : 231} $${\displaystyle {\begin{aligned}-a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,\\[1ex]{\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.\end{aligned}}}$$

สมการแรกกล่าวว่า การลดลงของมวลที่บรรจุอยู่ในลูกบาศก์คงที่ (ซึ่งด้านหนึ่งยาวa ในขณะ นั้น) คือปริมาณที่ไหลออกไปทางด้านข้างเนื่องจากการขยายตัวของจักรวาล บวกกับมวลเทียบเท่าของงานที่ทำโดยแรงดันต่อวัสดุที่ถูกขับออกไป นี่คือการอนุรักษ์มวล-พลังงาน ( กฎข้อที่หนึ่งของอุณหพลศาสตร์ ) ที่มีอยู่ในส่วนหนึ่งของจักรวาล

สมการที่สองกล่าวว่า พลังงานจลน์ (เมื่อมองจากจุดกำเนิด) ของอนุภาคที่มีมวลหนึ่งหน่วยซึ่งเคลื่อนที่ไปพร้อมกับการขยายตัว บวกกับพลังงานศักย์โน้ม ถ่วง (ที่เป็นลบ) ของมัน (เมื่อเทียบกับมวลที่บรรจุอยู่ในทรงกลมของสสารที่อยู่ใกล้จุดกำเนิดมากกว่า) เท่ากับค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับความโค้งของเอกภพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พลังงาน (เมื่อเทียบกับจุดกำเนิด) ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับเอกภพในสภาวะตกอย่างอิสระนั้นได้รับการอนุรักษ์ไว้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเพียงแต่เพิ่มความสัมพันธ์ระหว่างความโค้งเชิงพื้นที่ของเอกภพกับพลังงานของอนุภาคดังกล่าว กล่าวคือ พลังงานรวมที่เป็นบวกหมายถึงความโค้งที่เป็นลบ และพลังงานรวมที่เป็นลบหมายถึงความโค้งที่เป็นบวก

สมการของฟรีดมันน์สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำในกรณีที่มีของไหลสมบูรณ์แบบโดยมีสมการสถานะ ที่pคือความดันρคือความหนาแน่นมวลของของไหลในกรอบอ้างอิงร่วมเคลื่อนที่ และwคือค่าคงที่บางค่า $${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$

ในกรณีที่ระนาบเชิงพื้นที่แบนราบ ( k = 0 ) คำตอบสำหรับตัวประกอบมาตราส่วนคือ โดยที่a ₀เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตบางค่าที่จะถูกกำหนดโดยการเลือกเงื่อนไขเริ่มต้น ตระกูลของคำตอบนี้ซึ่งระบุด้วยwมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับจักรวาลวิทยา ตัวอย่างเช่นw = 0อธิบายถึงเอกภพที่ถูกครอบงำด้วยสสาร ซึ่งความดันนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความหนาแน่นของมวล จากคำตอบทั่วไป เราสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าในเอกภพที่ถูกครอบงำด้วยสสาร ตัวประกอบมาตราส่วนจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$$${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}\qquad {\text{matter-dominated}}}$$

อีกตัวอย่างที่สำคัญคือกรณีของ เอกภพ ที่ถูกครอบงำด้วยรังสีกล่าวคือเมื่อw = ⁠1/3ซึ่งนำไปสู่ $${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}\qquad {\text{radiation-dominated}}}$$

โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหานี้ใช้ไม่ได้กับการครอบงำของค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา ซึ่งสอดคล้องกับw = −1ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของพลังงานจะคงที่ และตัวประกอบมาตราส่วนจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง

วิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าk อื่นๆ สามารถดูได้ที่Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" . สืบค้นเมื่อ24 กุมภาพันธ์ 2022 .

หากสสารเป็นส่วนผสมของของเหลวสองชนิดขึ้นไปที่ไม่ทำปฏิกิริยากัน โดยแต่ละชนิดมีสมการสถานะดังกล่าว แล้วสมการสถานะนี้ จะใช้ได้แยกกันสำหรับของเหลวแต่ละชนิดfในแต่ละกรณี จากนั้นเราจะได้ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$$$${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}$$

ตัวอย่างเช่น สามารถสร้างการรวมเชิงเส้นของพจน์ดังกล่าวได้ โดยที่Aคือความหนาแน่นของ "ฝุ่น" (สสารธรรมดา, w = 0 ) เมื่อa = 1และBคือความหนาแน่นของรังสี ( w = ⁠$${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$$1/3)เมื่อ a = 1และ Cคือความหนาแน่นของ "พลังงานมืด" ( w = −1 ) จากนั้นจึงแทนค่านี้ลงในสมการ และแก้หาค่า aเป็นฟังก์ชันของเวลา $${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}}$$

ฟรีดมันน์ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับจักรวาลวิทยา 2 ฉบับในช่วงปี 1922-1923 เขาใช้สมมติฐานเรื่องความสม่ำเสมอและความสมมาตรแบบเดียวกันกับที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์และวิลเลม เดอ ซิตเตอร์ ใช้ ในบทความของพวกเขา ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1917 ทั้งสองงานก่อนหน้านี้ยังถือว่าจักรวาลคงที่ ไม่เปลี่ยนแปลงตลอดกาล ไอน์สไตน์ได้เสนอเงื่อนไขเพิ่มเติมในสมการสัมพัทธภาพทั่วไปของเขาเพื่อให้มั่นใจถึงความเสถียรนี้ ในบทความของเขา เดอ ซิตเตอร์แสดงให้เห็นว่ากาลอวกาศมีความโค้งแม้ในกรณีที่ไม่มีสสาร สมการใหม่ของสัมพัทธภาพทั่วไปบ่งชี้ว่าสุญญากาศมีคุณสมบัติที่เปลี่ยนแปลงกาลอวกาศ^{[ 16 ] : 152}

การที่จักรวาลคงที่ถือเป็นสมมติฐานพื้นฐานของปรัชญาและวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ฟรีดมันน์ได้ละทิ้งแนวคิดนี้ในบทความแรกของเขาเรื่อง "เกี่ยวกับความโค้งของอวกาศ" โดยเริ่มต้นจากสมการสัมพัทธภาพ 10 ข้อของไอน์สไตน์ ฟรีดมันน์ใช้สมมาตรของจักรวาลไอโซโทรปิกและแบบจำลองง่ายๆ สำหรับความหนาแน่นของมวลและพลังงานเพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นนั้นกับความโค้งของกาลอวกาศ เขาแสดงให้เห็นว่านอกเหนือจากคำตอบคงที่เพียงคำตอบเดียวแล้ว ยังมีคำตอบที่ขึ้นอยู่กับเวลาอีกมากมาย^{[ 16 ] : 157}

บทความฉบับที่สองของฟรีดมันน์เรื่อง "ความเป็นไปได้ของโลกที่มีความโค้งเชิงลบคงที่" ซึ่งตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2467 ได้สำรวจแนวคิดทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น บทความนี้ได้สร้างแนวคิดที่ว่าความจำกัดของกาลอวกาศไม่ใช่คุณสมบัติที่สามารถกำหนดได้จากสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเพียงอย่างเดียว: ทั้งเรขาคณิตแบบจำกัดและแบบอนันต์สามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้คำตอบ ฟรีดมันน์ใช้แนวคิดสองอย่างของทรงกลมสามมิติเป็นตัวอย่างเปรียบเทียบ: การเดินทางที่ละติจูดคงที่สามารถกลับไปยังจุดเริ่มต้นได้ หรือทรงกลมอาจมีแผ่นจำนวนอนันต์และการเดินทางจะไม่ซ้ำกันเลย^{[ 16 ] : 167}

เอกสารของฟรีดมันน์ส่วนใหญ่ถูกเพิกเฉย ยกเว้นในตอนแรกโดยไอน์สไตน์ที่ปฏิเสธอย่างแข็งขัน อย่างไรก็ตาม เมื่อเอ็ดวิน ฮับเบิลเผยแพร่หลักฐานทางดาราศาสตร์ว่าจักรวาลกำลังขยายตัวไอน์สไตน์ก็เริ่มเชื่อมั่น จอร์จ เลอแมตร์ค้นพบแง่มุมบางอย่างของวิธีแก้ปัญหาเดียวกันโดยไม่ขึ้นกับฟรีดมันน์ และเขียนอย่างโน้มน้าวใจเกี่ยวกับแนวคิดของจักรวาลที่กำเนิดจาก "อะตอมดั้งเดิม" เลอแมตร์ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นแนวคิดบิ๊กแบง แต่แนวคิดของฟรีดมันน์นั้นลึกซึ้งกว่าและมีอิทธิพลต่อเหล่านักวิทยาศาสตร์มากกว่าในที่สุด^{[ 17 ]}

นักศึกษาหลายคนจากมหาวิทยาลัยชิงหัว ( มหาวิทยาลัย ที่สี จิ้นผิงผู้นำพรรคคอมมิวนิสต์จีน เคยศึกษา ) ที่เข้าร่วมการประท้วง COVID-19 ในปี 2022 ในประเทศจีนถือป้ายที่มีสมการฟรีดมันน์เขียนไว้ ซึ่งบางคนตีความว่าเป็นการเล่นคำกับคำว่า "คนอิสระ" ^{[ 18 ] [ 19 ]}คนอื่นๆ ตีความการใช้สมการดังกล่าวว่าเป็นการเรียกร้องให้ "เปิดประเทศ" จีนและยุตินโยบาย Zero Covid เนื่องจากสมการฟรีดมันน์เกี่ยวข้องกับการขยายตัวหรือ "การเปิด" ของจักรวาล

• คณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• คำตอบของสมการสนามของไอน์สไตน์

• ลีบส์เชอร์, เดียร์ก-เอกเคฮาร์ด (2005) "การขยายตัว" . จักรวาลวิทยา . เบอร์ลิน: สปริงเกอร์. หน้า  53–77 ISBN​ 3-540-23261-3.