ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตกลุ่ม กรุ ปอย ด์ พื้นฐาน (fundamental groupoid) คือ ตัวแปรโทโพ โลยี ชนิดหนึ่ง ของปริภูมิโทโพโลยี สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนขยายของกลุ่มพื้นฐาน (fundamental group) ที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายมากกว่าดังนั้นมันจึงเก็บข้อมูลเกี่ยวกับ ประเภทโฮโมโทปี (homotopy type) ของปริภูมิโทโพโล ยี ในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ (category theory ) กลุ่มกรุปอยด์พื้นฐานคือฟังก์ชัน ชนิดหนึ่ง จากหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยีไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มกรุปอยด์

[...] ผู้คนยังคงดื้อรั้นที่จะกำหนดจุดฐานเพียงจุดเดียวในการคำนวณด้วยกลุ่มพื้นฐาน แทนที่จะเลือกกลุ่มจุดทั้งหมดซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรของสถานการณ์ ซึ่งทำให้สมมาตรเหล่านั้นสูญหายไป ในบางสถานการณ์ (เช่น ทฤษฎีบทการสืบเชื้อสายสำหรับกลุ่มพื้นฐานแบบแวน คัมเปน) การทำงานกับกลุ่มพื้นฐานโดยใช้กลุ่มจุดฐานที่เหมาะสมนั้นสง่างามกว่ามาก และอาจจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการทำความเข้าใจบางสิ่งบางอย่าง [,,,]

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีพิจารณาความสัมพันธ์สมมูลบนเส้นทางต่อเนื่องในXซึ่งเส้นทางต่อเนื่องสองเส้นจะสมมูลกันหากเป็นโฮโมโทปิกที่มีจุดปลายคงที่ กลุ่มพื้นฐานΠ( X )หรือΠ1 X )กำหนดให้กับคู่ลำดับของจุด( p , q )ในXชุดของชั้นสมมูลของเส้นทางต่อเนื่องจากpไปยังqโดยทั่วไปแล้ว กลุ่มพื้นฐานของXบนเซตSจะจำกัดกลุ่มพื้นฐานไว้ที่จุดที่อยู่ในทั้งXและSซึ่งทำให้สามารถวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของ Van Kampenโดยใช้จุดฐานสองจุดในการคำนวณกลุ่มพื้นฐานของวงกลม^{[ 1 ]}

ตามที่ชื่อบ่งบอก กลุ่มพื้นฐานของXมีโครงสร้างเป็นกลุ่ม โดยธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นหมวดหมู่ วัตถุถือเป็นจุดของXและการรวบรวมมอร์ฟิซึมจากpไปยังqคือการรวบรวมชั้นสมมูลที่กำหนดไว้ข้างต้น ข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งนี้สอดคล้องกับนิยามของหมวดหมู่เท่ากับข้อเท็จจริงมาตรฐานที่ว่าชั้นสมมูลของการต่อกันของเส้นทางสองเส้นขึ้นอยู่กับชั้นสมมูลของเส้นทางแต่ละเส้นเท่านั้น^{[ 2 ]}ในทำนองเดียวกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าหมวดหมู่นี้เป็นกลุ่ม ซึ่งยืนยันว่ามอร์ฟิซึมทุกตัวสามารถผกผันได้ เท่ากับข้อเท็จจริงมาตรฐานที่ว่าเราสามารถกลับทิศทางของเส้นทางได้ และชั้นสมมูลของการต่อกันที่ได้นั้นมีเส้นทางคงที่อยู่ด้วย^{[ 3 ]}

โปรดทราบว่ากลุ่มกรุปอยด์พื้นฐานจะ กำหนดกลุ่มพื้นฐานของXที่มีจุดpให้กับคู่ลำดับ( p , p )

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้วส่วนประกอบที่เชื่อมต่อเส้นทางของXจะถูกเข้ารหัสตามธรรมชาติในกรุปอยด์พื้นฐานของมัน ข้อสังเกตคือpและqอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อเส้นทางเดียวกันของXก็ต่อเมื่อคอลเลกชันของชั้นสมมูลของเส้นทางต่อเนื่องจากpไปยังqไม่ว่างเปล่า ในแง่ของหมวดหมู่ ข้อความยืนยันคือวัตถุpและqอยู่ในส่วนประกอบกรุปอยด์เดียวกันก็ต่อเมื่อเซตของมอร์ฟิซึมจากpไปยังqไม่ว่างเปล่า^{[ 4 ]}

สมมติว่าXเป็นเส้นทางที่เชื่อมต่อกัน และกำหนดองค์ประกอบpของXไว้ เราสามารถมองกลุ่มพื้นฐานπ ( X , p )เป็นหมวดหมู่ได้ โดยมีวัตถุหนึ่งชิ้น และมอร์ฟิซึมจากวัตถุนั้นไปยังตัวมันเองเป็นองค์ประกอบของπ ( X , p )การเลือกเส้นทางต่อเนื่องจากpไปยังq สำหรับแต่ละ qในMทำให้เราสามารถใช้การเชื่อมต่อเพื่อมองเส้นทางใดๆ ในXเป็นวงวนที่เริ่มต้นที่pได้ สิ่งนี้กำหนดความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ระหว่างπ ( X , p )และกรุปอยด์พื้นฐานของXกล่าวโดยละเอียดคือ สิ่งนี้แสดงให้เห็นπ ( X , p )เป็นโครงร่างของกรุปอยด์พื้นฐานของX ^{[ 5 ]}

กลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์X (ที่เชื่อมต่อเส้นทาง) แท้จริง ^แล้วคือกลุ่มลีซึ่งเกิดขึ้นจากกลุ่มเกจของฝาครอบสากลของX [ ^{6 ]}

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้วระบบท้องถิ่นคือฟังก์ชันจากกรุปอยด์พื้นฐานของXไปยังหมวดหมู่^{[ 7 ]}กรณีพิเศษที่สำคัญคือบันเดิลของกลุ่ม (อาเบเลียน)บนXเป็นระบบท้องถิ่นที่มีค่าในหมวดหมู่ของกลุ่ม (อาเบเลียน) กล่าวคือ บันเดิลของกลุ่มบนXกำหนดกลุ่มG ให้กับแต่ละองค์ประกอบpของXและกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มG → G ให้กับแต่ละเส้นทางต่อเนื่องจากpไปยังqเพื่อให้เป็นฟังก์ชัน โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเหล่านี้จะต้องเข้ากันได้กับโครงสร้างเชิงทอพอโลยี เพื่อให้เส้นทางโฮโมโทปิกที่มีจุดปลายคงที่กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมเดียวกัน นอกจากนี้ โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะต้องประกอบกันตามการต่อและการผกผันของเส้นทาง^{[ 8 ]}เราสามารถกำหนดโฮโมโลยีด้วยสัมประสิทธิ์ในบันเดิลของกลุ่มอาเบเลียนได้^{[ 9 ]}

เมื่อXตรงตามเงื่อนไขบางประการ ระบบท้องถิ่นสามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่ากับชีฟคงที่เฉพาะที่

• กรุปอยด์พื้นฐานของ ปริภูมิ เอก ฐาน คือกรุปอยด์แบบไม่สำคัญ (กรุปอยด์ที่มีวัตถุหนึ่งตัว * และมอร์ฟิซึมหนึ่งตัวHom(*, *) = { id   : * → * })
• กลุ่มพื้นฐานของวงกลม เป็นกลุ่มเชื่อมต่อ และ กลุ่มจุดยอดทั้งหมดของกลุ่มพื้นฐานนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่ม พื้นฐาน${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$กลุ่มการบวกของจำนวนเต็ม

สมมติฐานโฮโมโทปี ซึ่งเป็น ข้อสันนิษฐานที่รู้จักกันดีในทฤษฎีโฮโมโทปีซึ่งคิดค้นโดยอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคกล่าวว่าการวางนัยทั่วไป ที่เหมาะสม ของกลุ่มพื้นฐานที่เรียกว่ากลุ่มพื้นฐานอนันต์ (fundamental ∞-groupoid ) สามารถรวบรวมข้อมูลทั้งหมด เกี่ยวกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้ จนถึง ความสมมูลโฮโมโท ปีแบบอ่อน

• หมวดหมู่โฮโมโทปีของหมวดหมู่อนันต์
• แกนหลักของหมวดหมู่ (ในขณะที่กรุปอยด์พื้นฐานเป็นตัวผกผันซ้ายของการรวมของ Gprd แกนหลักจะเป็นตัวผกผันขวา)

• เว็บไซต์ของโรนัลด์ บราวน์ ผู้เขียนที่มีชื่อเสียงในด้านกรุปอยด์ในวิชาโทโพโลยี: http://groupoids.org.uk/
• กลุ่มพื้นฐานที่ห้องปฏิบัติการn
• กลุ่มอินฟินิตี้พื้นฐานที่n Lab