ในทฤษฎีหมวดหมู่ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์สมมติฐานโฮโมโทปีของGrothendieckกล่าวไว้ว่า ในทางทฤษฎีโฮโมโทปีแล้ว ออร์โธรอยด์เป็นปริภูมิ

สมมติฐานเวอร์ชันหนึ่งได้รับการอ้างว่าได้รับการพิสูจน์แล้วในบทความปี 1991 โดยKapranov และ Voevodsky [ ^{1 ] [ 2 ] ปรากฏ}ว่าการพิสูจน์ของพวกเขามีข้อบกพร่อง และผลลัพธ์ของพวกเขาในรูปแบบที่ตีความโดยCarlos Simpson ^{[ 2 ]}ปัจจุบันเรียกว่าสมมติฐาน ของ Simpson ^{[ 3 ]}

ในทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงเราพิจารณาพรีชีฟที่มีค่าเป็นปริภูมิ แทนที่จะเป็นพรีชีฟที่มีค่าเป็นเซตในทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไป เมื่อพิจารณาจากสมมติฐานโฮโมโทปี ปริภูมิในที่นี้สามารถเทียบได้กับอนันต์กรุปอยด์

การกำหนดสมมติฐานอย่างแม่นยำนั้นขึ้นอยู่กับนิยามของอนันต์กรุปอยด์เป็นอย่างมาก นิยามหนึ่งคือ การเลียนแบบกรณีของหมวดหมู่ทั่วไป อนันต์กรุปอยด์คืออนันต์หมวดหมู่ที่แต่ละมอร์ฟิซึมสามารถผกผันได้ หรือเทียบเท่ากับหมวดหมู่โฮโมโทปี ของมัน คือกรุปอยด์

หากนิยาม ∞-category ว่าเป็นเซตเชิงซิมพลิเชียลที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Kan แบบอ่อน ดังที่ทำกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน ∞-groupoid จะเท่ากับKan complex (= เซตเชิงซิมพลิเชียลที่มีเงื่อนไข Kan) อย่างแท้จริงตามข้อโต้แย้งต่อไปนี้ ถ้าเป็น Kan complex (มองเป็น ∞-category) และเป็นมอร์ฟิซึมในนั้น ให้พิจารณาจาก horn เช่นนั้นตามเงื่อนไข Kan ขยายไปยังและภาพเป็นอินเวอร์สซ้ายของ ในทำนองเดียวกันมีอินเวอร์สขวา และดังนั้น จึงสามารถอินเวอร์สได้ ส่วนข้อโต้แย้งที่ว่า ∞-groupoid เป็น Kan complex นั้นไม่ธรรมดานัก และเป็นผลมาจากJoyal (ดูทฤษฎีบทของ Joyal ) ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma$ :\Lambda _{0}^{2}\to X} ${\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=\operatorname {id} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\overline {\sigma }}:\Delta ^{2}\to X}$${\displaystyle g={\overline {\sigma }}(1\to 2)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

เนื่องจากข้อเท็จจริงข้างต้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะนิยาม ∞-groupoids ว่าเป็น Kan complexes นอกจากนี้ทฤษฎีบทของ Milnorและการประมาณค่า CWกล่าวว่า Kan complexes กำหนดทฤษฎี homotopy ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ที่สมเหตุสมผล) ได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้น นี่จึงเป็นการพิสูจน์สมมติฐานโดยพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากนิยาม ∞-groupoids ว่าเป็น Kan complexes (โดยไม่ต้องอาศัยผลลัพธ์ของ Joyal) แล้ว สมมติฐานนี้ก็แทบจะไม่มีข้อสงสัยเลย

อย่างไรก็ตาม หากมีการนิยาม ∞-groupoid ในรูปแบบที่แตกต่างกัน สมมติฐานนั้นก็มักจะยังคงเปิดอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติฐานเกี่ยวกับนิยามดั้งเดิมของ Grothendieck เกี่ยวกับ ∞-groupoid ยังคงเปิดอยู่

นอกจากนี้ยังมีสมมติฐานโฮโมโทปีสำหรับn -groupoid (อ่อน)ซึ่งกล่าวคร่าวๆ ว่า^{[ 7 ] [ 8 ]}

แถลงการณ์ดังกล่าวต้องการคำชี้แจงเพิ่มเติมหลายประการ:

• โดยทั่วไป แล้ว n - groupoid จะถูกนิยามว่าเป็นn -category ที่แต่ละ morphism สามารถผกผันได้ ดังนั้น ความหมายจึงขึ้นอยู่กับความหมายของn- category (เช่น โดยปกติจะเป็นn- category เวอร์ชันอ่อนบางประเภท)
• คำว่า "เหมือนกัน" โดยทั่วไปหมายถึงความเท่าเทียมกัน (ดูด้านล่าง) และนิยามของความเท่าเทียมกันมักใช้แนวคิดที่สูงกว่า เช่น หมวดหมู่อนันต์ (∞-category)
• โฮโมโทปี แบบ nหมายถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่สมเหตุสมผลซึ่งมีกลุ่มโฮโมโทปีที่i เป็นศูนย์ โดยที่ i > nที่จุดฐานแต่ละจุด (ดังนั้นโฮโมโทปีแบบn ในที่นี้จึงหมายถึงโฮโมโทปีแบบ nที่อ่อนกว่านั่นเอง)

ยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันระหว่างแนวคิดทั้งสองนั้นคาดว่าจะได้รับในทิศทางเดียวโดยเวอร์ชันที่สูงกว่าของกลุ่มพื้นฐานหรือกลุ่มพื้นฐานn ของพื้นที่Xโดยที่^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$

• วัตถุคือจุดในแกนX
• 1-มอร์ฟิซึมคือ เส้นทางจากจุดxไปยังจุดyโดยที่การประกอบกัน คือ การต่อกันของเส้นทางสองเส้น${\displaystyle f:x\to y}$
• 2-มอร์ฟิซึม คือ โฮโมโทปี จากเส้นทางหนึ่ง ไป ยังอีกเส้นทางหนึ่ง${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle g:x\to y}$
• 3-morphism คือ "แผนที่" ระหว่าง homotopies
• และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนถึงn-มอร์ฟิซึม

ทิศทางอีกด้านหนึ่งได้มาจากการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต

เวอร์ชันนี้ยังเปิดให้ใช้งานอยู่

ดูเพิ่มเติม: ปริภูมิ Eilenberg–MacLane , โมดูลไขว้

• โฮโมโทปีพีชคณิต
• กลุ่ม N (ทฤษฎีหมวดหมู่)
• การไล่เรียงชั้น
• หมวดหมู่กึ่ง
• พื้นที่แบ่งชั้น

• เฮนรี, ไซมอน (26 พฤษภาคม 2022). สมมติฐานโฮโมโทปีของโกรเทนดีค (PDF) . โกรเทนดีค ยักษ์ใหญ่ผู้รอบรู้: คณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และปรัชญา .
• Rezk, Charles (2022). "บทนำเกี่ยวกับควาซิแคตเทอรี" (PDF) –ผ่านทาง ncatlab.org
• สมมติฐานโฮโมโทปีในห้องปฏิบัติการn
• "ข้อผิดพลาดในการพิสูจน์สมมติฐานโฮโมโทปีของคาปรานอฟและโวเอโวดสกีคืออะไร? " MathOverflow
• "สถานะปัจจุบันของสมมติฐานโฮโมโทปีของ Grothendieck และโปรแกรมโฮโมโทปีเชิงพีชคณิตของ Whitehead " MathOverflow