ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและทฤษฎีความน่าจะเป็นขอบเขตฟูร์สเตนเบิร์ก ( Furstenberg boundary) เป็นแนวคิดของขอบเขตที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มชื่อนี้ตั้งตามชื่อของแฮร์รี ฟูร์สเตนเบิร์กผู้ซึ่งนำเสนอแนวคิดนี้ในชุดบทความที่เริ่มต้นในปี 1963 (ในกรณีของกลุ่มลี แบบกึ่งง่าย ) ขอบเขตฟูร์สเตนเบิร์กสามารถอธิบายได้ว่าเป็นปริภูมิขอบเขตสากลสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนกลุ่ม ในแง่ที่ว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก ที่มีขอบเขต สามารถแสดงได้ด้วยค่าขอบเขตผ่านปริพันธ์แบบปัวซง (Poisson-type integral )

ตัวอย่างเช่น เมื่อ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ขอบเขตฟูร์สเตนเบิร์กคือเส้นโปรเจกทีฟจริง${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ซึ่งอาจระบุได้ว่าเป็นวงกลมขอบเขตของระนาบไฮเปอร์โบลิก และปริพันธ์แบบปัวซงคือเคอร์เนลปัวซง ปกติ สำหรับระนาบครึ่งบน

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่ายที่เชื่อมต่อกัน ขอบเขต Furstenberg ของ${\displaystyle G}$เป็นพื้นที่เนื้อเดียวกัน

$${\displaystyle G/P,}$$

ที่ไหน${\displaystyle P}$เป็นกลุ่มย่อยพาราโบลา ขั้นต่ำ ของ${\displaystyle G}$.

พื้นที่นี้มีขนาดกะทัดรัดและเป็นเนื้อเดียวกันภายใต้การกระทำของ${\displaystyle G}$โดยทั่วไปแล้ว ผลหาร${\displaystyle G/Q}$โดยกลุ่มย่อยพาราโบลิก${\displaystyle Q}$เป็นแมนิโฟลด์ธงทั่วไป และขอบเขตเฟอร์สเตนเบิร์กเป็นขอบเขตสูงสุดในบรรดาแมนิโฟลด์เหล่านี้ ในแง่ที่ว่าผลหารทุกตัวโดยกลุ่มย่อยพาราโบลิกเป็นตัวประกอบของ${\displaystyle G/P}$.

ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ดังนั้นขอบเขตฟูร์สเตนเบิร์กจึงเป็นแมนิโฟลด์ของแฟล็กที่สมบูรณ์ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. สำหรับ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$มันคือ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$.

อนุญาต${\displaystyle \mu }$เป็นการวัดความน่าจะเป็นบน${\displaystyle G}$ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$บน${\displaystyle G}$เรียกว่า${\displaystyle \mu }$-ฮาร์มอนิก ถ้า

$${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(gg')\,d\mu (g').}$$

ขอบเขตปัวซงของกลุ่มที่วัดได้${\displaystyle (G,\mu )}$เป็นปริภูมิการวัดที่แสดงถึงขอบเขต${\displaystyle \mu }$-ฟังก์ชันฮาร์มอนิกโดยปริพันธ์ขอบเขต แตกต่างจากขอบเขตของฟูร์สเตนเบิร์ก ขอบเขตของปัวซงขึ้นอยู่กับการเลือกมาตรวัด${\displaystyle \mu }$.

สำหรับกลุ่ม Lie กึ่งง่าย ฟูร์สเตนเบิร์กแสดงให้เห็นว่าสำหรับมาตรวัดในวงกว้าง ขอบเขตปัวซงสามารถเกิดขึ้นได้บนขอบเขตเอกพันธุ์ในรูปแบบ${\displaystyle G/Q}$, ที่ไหน${\displaystyle Q}$เป็นกลุ่มย่อยพาราโบลิก ในสถานการณ์เฉพาะ ขอบเขตสูงสุด${\displaystyle G/P}$ทำหน้าที่เป็นขอบเขตเอกพันธุ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งขอบเขตอื่นๆ จะได้มาจากการหาร