อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มที่แยกออกจากกันและ${\displaystyle \mu }$การวัดความน่าจะเป็นบน${\displaystyle G}$ซึ่งจะนำมาใช้ในการกำหนดการเดินแบบสุ่ม${\displaystyle X_{t}}$บน${\displaystyle G}$(กระบวนการมาร์คอฟแบบเวลาไม่ต่อเนื่องซึ่งความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะคือ${\displaystyle p(x,y)=\mu (x^{-1}y)}$); การวัด${\displaystyle \mu }$เรียกว่าการกระจายขั้นตอนสำหรับการเดินแบบสุ่ม ให้${\displaystyle m}$เป็นมาตรการอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวกับ${\displaystyle G}$ซึ่งจะเป็นสถานะเริ่มต้นสำหรับการเดินแบบสุ่ม พื้นที่${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ของวิถีการเคลื่อนที่สำหรับ${\displaystyle X_{t}}$ได้รับมอบหน่วยวัด${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$ซึ่งค่าขอบคือ${\displaystyle m*\mu ^{*n}}$(ที่ไหน${\displaystyle *}$หมายถึงการสังเคราะห์ของการวัด นี่คือการกระจายของการเดินแบบสุ่มหลังจากนั้น${\displaystyle n}$ขั้นตอน) นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์สมมูล อีกด้วย${\displaystyle \sim }$บน${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ซึ่งระบุ${\displaystyle (x_{t})}$ถึง${\displaystyle (y_{t})}$ถ้ามีอยู่จริง${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$โดยที่${\displaystyle x_{t+n}=y_{t+m}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$(วิถีทั้งสองมี "ส่วนท้าย" เหมือนกัน) ขอบเขตปัวซงของ${\displaystyle (G,\mu )}$นั่นคือพื้นที่ที่วัดได้${\displaystyle \Gamma }$ได้มาจากผลหารของ${\displaystyle (G^{\mathbb {N} },\mathbb {P} _{m})}$โดยความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle \sim }$[ ^{1 ]​}

ถ้า${\displaystyle \theta }$คือการแจกแจงเริ่มต้นของการเดินสุ่มที่มีการแจกแจงขั้นตอน${\displaystyle \mu }$จากนั้นจึงทำการวัด${\displaystyle \nu _{\theta }}$บน${\displaystyle \Gamma }$ได้รับมาจากการผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$เป็นการวัดแบบคงที่สำหรับ${\displaystyle (G,\mu )}$หมายความว่าสำหรับทุกชุดที่วัดได้${\displaystyle A}$ในขอบเขตปัวซง

${\displaystyle \int _{G}\nu (g^{-1}A)\mu (g)=\nu _{\theta }(A).}$

เป็นไปได้ที่จะให้คำจำกัดความโดยนัยของขอบเขตปัวซงว่าเป็นค่าสูงสุด${\displaystyle G}$-ตั้งค่าด้วย${\displaystyle (G,\mu )}$-การวัดแบบอยู่กับที่${\displaystyle \nu }$โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ว่า${\displaystyle (X_{t})_{*}\nu }$เกือบจะแน่นอนว่าลู่เข้าอย่างอ่อนๆไปยัง มวล ของDirac ^{[ 2 ]}

อนุญาต${\displaystyle f}$เป็น${\displaystyle \mu }$-ฟังก์ชันฮาร์มอนิกบน${\displaystyle G}$หมายความว่า${\displaystyle \sum _{h\in G}f(gh)\mu (h)=f(g)}$จากนั้นตัวแปรสุ่ม${\displaystyle f(X_{t})}$เป็นมาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงลู่เข้าเกือบแน่นอน กำหนดให้เป็น${\displaystyle {\hat {f}}}$ฟังก์ชันบน${\displaystyle \Gamma }$ได้มาจากการหาลิมิตของค่าของ${\displaystyle f}$ตามเส้นทาง (ซึ่งมีการกำหนดไว้เกือบทุกที่บน)${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$และไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน) ให้${\displaystyle x\in G}$และปล่อยให้${\displaystyle \nu _{x}}$เป็นการวัดที่ได้จากการสร้างข้างต้นด้วย${\displaystyle \theta =\delta _{x}}$(มวลของ Dirac ที่${\displaystyle x}$). ถ้า${\displaystyle f}$ถ้าค่าเป็นบวกหรือมีขอบเขตจำกัด${\displaystyle {\hat {f}}}$ก็เช่นกัน และเรามีสูตรปัวซง :

${\displaystyle f(x)=\int _{\Gamma }{\hat {f}}(\gamma )\,d\nu _{x}(\gamma ).}$

สิ่งนี้สร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง${\displaystyle \mu }$-ฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่มีขอบเขตและฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งมีขอบเขตโดยพื้นฐานบน${\displaystyle \Gamma }$โดยเฉพาะอย่างยิ่งขอบเขตปัวซงของ${\displaystyle (G,\mu )}$เป็นเรื่องเล็กน้อย กล่าวคือ ลดลงเหลือเพียงจุดเดียว ก็ต่อเมื่อขอบเขตเพียงอย่างเดียวเท่านั้น${\displaystyle \mu }$-ฟังก์ชันฮาร์มอนิกบน${\displaystyle G}$มีค่าคงที่

โดยทั่วไปแล้ว บริบทจะเป็นเรื่องของผู้ดำเนินการมาร์คอฟบนปริภูมิที่วัดได้ ซึ่งเป็นแนวคิดที่ขยายความจากผู้ดำเนินการมาร์คอฟ${\displaystyle f\mapsto f*\mu }$เกี่ยวข้องกับการเดินแบบสุ่ม ทฤษฎีส่วนใหญ่สามารถพัฒนาได้ในบริบทที่เป็นนามธรรมและทั่วไปเช่นนี้

อนุญาต${\displaystyle G,\mu }$เป็นการเดินแบบสุ่มบนกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้${\displaystyle p_{n}(x,y)}$เป็นความน่าจะเป็นที่จะได้รับจาก${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle n}$ขั้นตอน เช่น${\displaystyle \mu ^{*n}(x^{-1}y)}$เมล็ดสีเขียวตามนิยามคือ:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y).}$

ถ้าการเดินเป็นการเปลี่ยนแปลงชั่วคราว อนุกรมนี้จะลู่เข้าสำหรับทุกค่า${\displaystyle x,y}$ตรึงจุดไว้${\displaystyle o\in G}$และกำหนดเคอร์เนลของมาร์ตินโดย: ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}}$การฝังตัว${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o}(\cdot ,y)}$มีภาพที่ค่อนข้างกะทัดรัดสำหรับโทโพโลยีของการบรรจบกันแบบจุดต่อจุด และการทำให้กะทัดรัดแบบมาร์ตินคือการปิดของภาพนี้ จุดหนึ่ง${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$โดยปกติจะแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {K}}(\cdot ,\gamma )}$.

เคอร์เนลของมาร์ตินเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกบวก และฟังก์ชันฮาร์มอนิกบวกทุกฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์ของฟังก์ชันบนขอบเขต กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิกบวกทุกฟังก์ชัน จะมีการวัดค่า${\displaystyle \nu _{o,f}}$บน${\displaystyle \Gamma }$เพื่อให้สูตรที่คล้ายกับสูตรปัวซงเป็นจริง:

${\displaystyle f(x)=\int {\mathcal {K}}_{o}(x,\gamma )\,d\nu _{o,f}(\gamma ).}$

มาตรการต่างๆ${\displaystyle \nu _{o,f}}$ได้รับการสนับสนุนบน ขอบเขตมาร์ติน ขั้นต่ำซึ่งองค์ประกอบต่างๆ สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นขั้นต่ำเช่นกัน ฟังก์ชันฮาร์มอนิกบวก${\displaystyle u}$กล่าวกันว่ามีค่าน้อยที่สุดหากเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกใดๆ${\displaystyle v}$กับ${\displaystyle 0\leq v\leq u}$มีอยู่จริง${\displaystyle c\in [0,1]}$โดยที่${\displaystyle v=cu}$[ ^{3 ]​}

จริงๆ แล้วมีตระกูลการบีอัดแบบมาร์ตินอยู่หลายตระกูล นิยามอนุกรมกำเนิดกรีนดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{r}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y)r^{n}.}$

กำหนดให้โดย${\displaystyle R}$รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง นี้ และกำหนดสำหรับ${\displaystyle 1\leq r\leq R}$ที่${\displaystyle r}$-มาร์ติน เคอร์เนล โดย ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o,r}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}_{r}(x,y)}{{\mathcal {G}}_{r}(o,y)}}}$การปิดการฝังตัว${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o,r}(\cdot ,y)}$เรียกว่า${\displaystyle r}$-การอัดแน่นแบบมาร์ติน

สำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ขอบเขตมาร์ตินจะถูกสร้างขึ้น (หากมีอยู่) ในลักษณะเดียวกับข้างต้น โดยใช้ฟังก์ชันกรีนของตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามี${\displaystyle \Delta }$ในกรณีนี้ ยังมีกลุ่มของการบีบอัดข้อมูลแบบมาร์ติน (Martin compactification) ที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการอีกด้วย${\displaystyle \Delta +\lambda }$สำหรับ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq \lambda _{0}}$ที่ไหน${\displaystyle \lambda _{0}}$เป็นส่วนล่างสุดของสเปกตรัม ตัวอย่างที่สามารถใช้โครงสร้างนี้เพื่อกำหนดความกะทัดรัด ได้แก่ โดเมนที่มีขอบเขตในระนาบและปริภูมิสมมาตรประเภทไม่กะทัดรัด^{[ 4 ]}

มาตรการ${\displaystyle \nu _{o,1}}$ค่าที่สอดคล้องกับฟังก์ชันคงที่เรียกว่ามาตรวัดฮาร์มอนิกบนขอบเขตมาร์ติน ด้วยมาตรวัดนี้ ขอบเขตมาร์ตินจึงสมมาตรกับขอบเขตปัวซง

ขอบเขตปัวซงและมาร์ตินนั้นไม่สำคัญสำหรับการเดินสุ่มแบบสมมาตรบนกลุ่มนิลโพเทนต์^{[ 5 ]}ในทางกลับกัน เมื่อการเดินสุ่มไม่มีศูนย์กลาง การศึกษาขอบเขตมาร์ตินทั้งหมด รวมถึงฟังก์ชันขั้นต่ำ ก็ยังไม่สามารถสรุปได้อย่างชัดเจน

สำหรับการเดินแบบสุ่มบน กลุ่ม Lieกึ่งง่าย(โดยที่การกระจายขั้นตอนมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์เมื่อเทียบกับการวัด Haar ) ขอบเขต Poisson จะเท่ากับขอบเขต Furstenberg ^{[ 6 ]}ขอบเขต Poisson ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนปริภูมิสมมาตรที่เกี่ยวข้องก็คือขอบเขต Furstenberg เช่นกัน^{[ 7 ]}ขอบเขต Martin แบบเต็มก็ได้รับการศึกษาอย่างดีในกรณีเหล่านี้และสามารถอธิบายได้ในลักษณะทางเรขาคณิตเสมอ ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มที่มีอันดับหนึ่ง (เช่น กลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ) ขอบเขต Martin แบบเต็มจะเหมือนกับขอบเขต Martin ขั้นต่ำ (สถานการณ์ในกลุ่มที่มีอันดับสูงกว่านั้นซับซ้อนกว่า) ^{[ 8 ]}

ขอบเขตปัวซงของ กลุ่มย่อย ที่หนาแน่นแบบซาริสกีของกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย เช่นแลตทิซก็เท่ากับขอบเขตเฟอร์สเตนเบิร์กของกลุ่มเช่นกัน^{[ 9 ]}

สำหรับการเดินแบบสุ่มบนกลุ่มไฮเปอร์โบลิกภายใต้ สมมติฐาน เอนโทรปี จำกัด ของการกระจายขั้นตอนซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับการเดินแบบง่าย (เงื่อนไขทั่วไปมากกว่าคือโมเมนต์แรกมีค่าจำกัด) ขอบเขตปัวซงจะเท่ากับขอบเขตโกรโมฟเสมอเมื่อติดตั้งด้วยการวัดความน่าจะเป็นของการโจมตี ตัวอย่างเช่น ขอบเขตปัวซงของกลุ่มอิสระคือพื้นที่ของปลายต้นไม้เคย์ลีย์^{[ 10 ]}การระบุขอบเขตมาร์ตินแบบเต็มมีความซับซ้อนมากขึ้น ในกรณีที่การเดินแบบสุ่มมีช่วงจำกัด (การกระจายขั้นตอนได้รับการสนับสนุนบนเซตจำกัด) ขอบเขตมาร์ตินจะตรงกับขอบเขตมาร์ตินขั้นต่ำ และทั้งสองจะตรงกับขอบเขตโกรโมฟ