ในฟิสิกส์อนุภาคสมการ Diracเป็นสมการคลื่นสัมพัทธภาพที่คิดค้นโดยนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษPaul Diracในปี 1928 ^{[ 1 ]}ในรูปแบบอิสระหรือรวมถึงปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า สมการนี้อธิบายอนุภาคที่มีมวลสปิน 1/2 ทั้งหมดซึ่งเรียกว่า" อนุภาค Dirac " เช่นอิเล็กตรอนและควาร์กซึ่งความสมมาตรคือพาริตี สมการนี้สอดคล้องกับทั้งหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎี สั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 2 ]}และเป็นทฤษฎีแรกที่อธิบายสัมพัทธภาพพิเศษได้อย่างสมบูรณ์ในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัม สมการนี้ได้รับการตรวจสอบความถูกต้องโดยการอธิบายโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัมไฮโดรเจน ที่สังเกตได้อย่างเข้มงวด และมีความสำคัญอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองมาตรฐาน^{[ 3 ]}

สมการนี้ยังบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของสสารรูปแบบใหม่ คือปฏิสสาร ซึ่งไม่เคยมีใครคาดคิดหรือสังเกตเห็นมาก่อน การมีอยู่ของปฏิสสารได้รับการยืนยันจากการทดลองในอีกหลายปีต่อมา นอกจากนี้ยังให้ เหตุผล ทางทฤษฎีสำหรับการนำเสนอฟังก์ชันคลื่นหลายองค์ประกอบในทฤษฎีสปินเชิงปรากฏการณ์ของเปาลีฟังก์ชันคลื่นในทฤษฎีของดิแรกเป็นเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อนสี่ ตัว (เรียกว่าสปินเนอร์ของดิแรก ) ซึ่งสองตัวมีลักษณะคล้ายกับฟังก์ชันคลื่นของเปาลีในขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพ ตรงกันข้ามกับสมการชโรดิงเกอร์ซึ่งอธิบายฟังก์ชันคลื่นที่มีค่าเชิงซ้อนเพียงค่าเดียว ยิ่งไปกว่านั้น ในขีดจำกัดของมวลเป็นศูนย์ สมการของดิแรกจะลดลงเหลือสมการของเวล์ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัมสมการของดิแรกได้รับการตีความใหม่เพื่ออธิบายสนามควอนตัมที่สอดคล้องกับอนุภาค สปิน1/2

ดิแรกไม่ได้ตระหนักถึงความสำคัญของผลลัพธ์ของเขาอย่างเต็มที่ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายเกี่ยวกับการหมุนอันเป็นผลมาจากการรวมกันของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพ และการค้นพบโพซิตรอน ในที่สุด ถือเป็นหนึ่งในความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีความสำเร็จนี้ได้รับการกล่าวขานว่าเทียบเท่ากับผลงานของไอแซค นิวตันเจมส์คลาร์ก แม็กซ์เวลล์และอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก่อนหน้าเขา^{[ 4 ]}สมการนี้ได้รับการยกย่องจากนักฟิสิกส์บางคนว่าเป็น "เมล็ดพันธุ์ที่แท้จริงของฟิสิกส์สมัยใหม่" ^{[ 5 ]}สมการของดิแรกได้รับการอธิบายว่าเป็น "หัวใจสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ" และเป็น "สมการที่สำคัญที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัมทั้งหมด" ^{[ 6 ]}

ระยะแรกของการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมซึ่งกินเวลาระหว่างปี 1900 ถึง 1925 มุ่งเน้นไปที่การอธิบายปรากฏการณ์เฉพาะบุคคลที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยกลศาสตร์คลาสสิก [ ^{7 ] ระยะ}ที่สอง เริ่มต้นในช่วงกลางทศวรรษ 1920 ได้เห็นการพัฒนากรอบการทำงานที่เป็นระบบสองกรอบที่ควบคุมกลศาสตร์ควอนตัม กรอบแรก เรียกว่ากลศาสตร์เมทริกซ์ใช้เมทริกซ์เพื่ออธิบายสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพพัฒนาขึ้นในปี 1925 โดยWerner Heisenberg , Max BornและPascual Jordan [ ^{8 ] : 51} กรอบที่สอง เรียกว่า กลศาสตร์คลื่น ใช้สมการคลื่นที่เรียกว่าสมการชโรดิงเกอร์เพื่ออธิบายสถานะของระบบพัฒนาขึ้นในปีถัดมาโดยErwin Schrödingerแม้ว่ากรอบการทำงานทั้งสองนี้ในตอนแรกจะถูกมองว่าเป็นแนวทางที่แข่งขันกัน แต่ต่อมาจะแสดงให้เห็นว่ามีความเทียบเท่ากัน^{[ 9 ] : 21}

กรอบทั้งสองนี้ได้กำหนดกลศาสตร์ควอนตัมในบริบทที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ เท่านั้น ^{[ 9 ] : 22} สิ่งนี้ถูกมองว่าเป็นข้อบกพร่องตั้งแต่เริ่มต้น โดยชโรดิงเกอร์พยายามที่จะกำหนดสม การชโรดิงเกอร์เวอร์ชัน สัมพัทธภาพและในกระบวนการนั้นก็ได้ค้นพบสมการไคลน์-กอร์ดอน [ ^{8 ] : 679} อย่างไรก็ตาม หลังจากที่แสดงให้เห็นว่าสมการ นี้ ไม่ได้จำลองการแก้ไขสัมพัทธภาพสำหรับสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน ได้อย่างถูกต้อง ซึ่งรูปแบบที่แน่นอนเป็นที่รู้จักเนื่องจากอาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์เขาจึงละทิ้งการกำหนดสูตรสัมพัทธภาพของเขา[ 10 ^{] : 1025สม} การไคลน์-กอร์ดอนยังถูกค้นพบโดยผู้เขียนคนอื่นอย่างน้อยหกคนในปีเดียวกัน^{[ 11 ] : 6}

ในช่วงปี 1926 และ 1927 มีความพยายามอย่างกว้างขวางที่จะรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพเข้ากับกลศาสตร์ควอนตัม โดยส่วนใหญ่ผ่านสองแนวทาง แนวทางแรกคือการพิจารณา Klein–Gordon ว่าเป็นการสรุปแบบสัมพัทธภาพที่ถูกต้องของสมการ Schrödinger ^{[ 11 ] : 7} แนวทางดังกล่าวถูกมองในแง่ลบโดยนักทฤษฎี ชั้นนำหลายคน เนื่องจากไม่สามารถทำนายผลการทดลอง จำนวนมาก ได้ อย่างถูกต้อง และที่สำคัญกว่านั้นคือดูเหมือนว่าจะยากที่จะสอดคล้องกับหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมตามที่เข้าใจในขณะนั้น^{[ 12 ] : 35} ปัญหาเชิงแนวคิดเหล่านี้เกิดขึ้นเป็นหลักเนื่องจากการมีอยู่ของอนุพันธ์เชิงเวลาลำดับที่สอง^{[ 10 ] : 1031}

แนวทางที่สองนำเสนอผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพเป็นการแก้ไขสูตรที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพที่ทราบ^{[ 12 ] : 36} ซึ่งให้คำตอบชั่วคราวมากมายที่คาดว่าจะถูกแทนที่ด้วยสูตรเชิงสัมพัทธภาพของกลศาสตร์ควอนตัมที่ยังไม่เป็นที่รู้จักในที่สุด ผลลัพธ์ที่โดดเด่นอย่างหนึ่งของไฮเซนเบิร์กและจอร์แดนคือการแนะนำสองเทอมสำหรับสปินและสัมพัทธภาพลงในแฮมิ ลโทเนียน ของไฮโดรเจนทำให้พวกเขาสามารถอนุมานการประมาณอันดับแรกของสูตรโครงสร้างละเอียด ของซอมเมอร์เฟลด์ได้ ^{[ 13 ]}

การพัฒนาคู่ขนานในช่วงเวลานี้คือแนวคิดเรื่องสปิน ซึ่งนำเสนอครั้งแรกในปี 1925 โดยSamuel GoudsmitและGeorge Uhlenbeck [ ^{14 ] ไม่}นานหลังจากนั้น Schrödinger ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่านี่คือส่วนที่ขาดหายไปในการได้มาซึ่งสูตร Sommerfeld ที่ถูกต้อง[ 12 ] : 44 ในปี 1927 Wolfgang Pauli ได้ใช้แนวคิดเรื่องสปินเพื่อค้นหาทฤษฎีที่มีประสิทธิภาพสำหรับอนุภาคสปิน 1/2^{ที่ไม่เกี่ยวข้องกับ} สัมพัทธภาพซึ่งก็คือสมการPauli [ 15 ]เขาทำ^{เช่นนี้โดย}การนำสมการ Schrödinger มาใช้ และแทนที่จะสมมติว่าฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่กับพิกัดทางกายภาพเขายังสมมติว่ามันขึ้นอยู่กับพิกัดสปินที่สามารถรับค่าได้เพียงสองค่าเท่านั้นแม้ว่านี่จะเป็นสูตรที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ แต่เขาก็เชื่อว่าสูตรที่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์อาจต้องใช้แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่าสำหรับอิเล็กตรอน ซึ่ง เป็น แบบจำลอง ที่ก้าวข้ามอนุภาคจุด^{[ 12 ] : 47} ${\displaystyle \pm {\tfrac {\hbar }{2}}}$

ในปี พ.ศ. 2460 นักฟิสิกส์หลายคนไม่ถือว่าโครงสร้างละเอียดของไฮโดรเจนเป็นปริศนาสำคัญที่ต้องใช้สูตรสัมพัทธภาพใหม่ทั้งหมดอีกต่อไป เนื่องจากสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้สมการของ Pauli หรือโดยการแนะนำเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมสปิน1/2ในสมการKlein – Gordon ^{[ 12 ] : 51} ในการประชุม Solvay ครั้งที่ 5 ที่จัดขึ้นในปีนั้นPaul Dirac ให้ความสำคัญกับการพัฒนาเชิงตรรกะของกลศาสตร์ควอนตัม เป็นหลัก อย่างไรก็ตาม เขาตระหนักว่านักฟิสิกส์คนอื่นๆ จำนวนมากยอมรับสมการ Klein–Gordon อย่างพึงพอใจว่าเป็นสูตรสัมพัทธภาพที่น่าพอใจ ซึ่งเรียกร้องให้ละทิ้งหลักการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมตามที่เข้าใจในขณะนั้น ซึ่ง Dirac คัดค้านอย่างรุนแรง^{[ 12 ] : 52} หลังจากกลับจากบรัสเซลส์ Dirac มุ่งเน้นไปที่การค้นหาทฤษฎีสัมพัทธภาพสำหรับอิเล็กตรอน ภายในสองเดือนเขาก็แก้ปัญหาได้สำเร็จและเผยแพร่ผลลัพธ์เมื่อวันที่ 2 มกราคม พ.ศ. 2461 ^{[ 1 ]}

ในบทความ ของเขา Dirac ได้รับคำแนะนำจากหลักการสองประการจากทฤษฎีการแปลงประการแรกคือสมการควรจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และประการที่สองคือสมการควรจะแปลงภายใต้ทฤษฎีการแปลงของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 11 ] : 9} ข้อหลังนี้เรียกร้องให้สมการต้องเป็นเชิงเส้นในอนุพันธ์เชิงเวลาเพื่อให้สามารถตีความเชิงความน่าจะเป็นได้ข้อโต้แย้งของเขาเริ่มต้นด้วยสมการ Klein–Gordon ^{[ 16 ] : 32}

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}\right]\phi (t,x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x),}$

อธิบายอนุภาคโดยใช้ฟังก์ชันคลื่นโดยที่คือกำลังสองของโมเมนตัมคือมวลนิ่งของอนุภาคคือความเร็วแสงและคือ ค่าคง ที่ของพลังค์ที่ลดลงวิธีการแบบง่ายๆ เพื่อให้ได้สมการเชิงเส้นในอนุพันธ์เทียบกับเวลาคือการพิจารณารากที่สองของทั้งสองข้าง ซึ่งจะแทนที่ด้วยอย่างไรก็ตามรากที่สอง ดังกล่าว เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีที่ได้ ทำให้ไม่สามารถใช้งานได้^{[ 9 ] : 379} ${\displaystyle \phi (t,x)}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}}$

ความคิดแรกของ Dirac คือแนวคิดเรื่องการทำให้เป็นเชิงเส้น เขามองหาตัวแปร บางอย่าง ที่ไม่ขึ้นอยู่กับโมเมนตัมและพิกัดปริภูมิเวลา ซึ่งสามารถเขียนรากที่สองใหม่ในรูปแบบเชิงเส้นได้^{[ 9 ] : 379} ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+(mc)^{2}}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc.}$

โดยการยกกำลังสองตัวดำเนินการ นี้ และเรียกร้องให้มันลดลงเหลือสมการ Klein–Gordon นั้น Dirac พบว่าตัวแปรต้องเป็นไปตามเงื่อนไขและถ้าDirac พิจารณาเมทริกซ์ Pauliเป็นตัวเลือกในตอนแรก แต่ต่อมาแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์เหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหาเมทริกซ์สี่ชุดที่สลับตำแหน่งกันได้ ทั้งหมด ^{[ 8 ] : 687} ความเข้าใจประการที่สองของเขาคือการพิจารณาเมทริกซ์สี่มิติ แทน ในกรณีนั้นสมการจะกระทำกับ ฟังก์ชันคลื่นสี่องค์ประกอบ^{[ 17 ] : 235} ข้อเสนอดังกล่าวมีความกล้าหาญมากกว่าการสรุปทั่วไปของ Pauli ไปสู่ฟังก์ชันคลื่นสององค์ประกอบในสมการ Pauli ^{[ 12 ] : 57} นี่เป็นเพราะในกรณีของ Pauli นั้น แรงจูงใจมาจากความต้องการที่จะเข้ารหัสสถานะสปินสองสถานะของอนุภาค ในทางตรงกันข้าม Dirac ไม่มีข้อโต้แย้งทางกายภาพสำหรับฟังก์ชันคลื่นสี่องค์ประกอบ แต่กลับนำมาใช้เป็นเรื่องของความจำเป็นทางคณิตศาสตร์ เขาจึงได้สมการของ Dirac ^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3},\psi _{4})}$

${\displaystyle (\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc)\psi (t,x)=i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,x).}$

ดิแรกสร้างเมทริกซ์ที่ถูกต้องโดยไม่รู้ตัวว่าเมทริกซ์เหล่านั้นก่อให้เกิดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันมาตั้งแต่ช่วงต้นทศวรรษ 1880 นั่นคือพีชคณิตคลิฟฟอร์ด [ ^{18 ] : 320} ด้วยการปรับสมการให้อยู่ใน รูปแบบ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์เขายังแสดงให้เห็นว่าสมการดังกล่าวรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเข้ากับหลักการของทฤษฎีการแปลงกลศาสตร์ควอนตัมของเขาได้อย่างถูกต้อง ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพของอิเล็กตรอนเป็นตัวเลือกที่เหมาะสม^{[ 8 ] : 685} ${\displaystyle \alpha _{i}}$

เพื่อตรวจสอบสมการเพิ่มเติม เขาจึงตรวจสอบพฤติกรรมของสมการเมื่อมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า [ ^{12 ] : 58} เขาประหลาดใจที่พบว่าสมการนี้อธิบายอนุภาคที่มีโมเมนต์แม่เหล็กซึ่งเกิดจากอนุภาคมีสปิน1/2 สปินเกิดขึ้นโดยตรงจากสมการโดยที่ Dirac ไม่ได้เพิ่มเข้าไปด้วยตนเอง นอกจากนี้ เขายังเน้นไปที่การแสดงให้เห็นว่าสมการสามารถจำลองโครงสร้างละเอียดของอะตอมไฮโดรเจนได้สำเร็จ อย่างน้อยก็ในลำดับแรก ดังนั้นสมการจึงประสบความสำเร็จในสิ่งที่ความพยายามก่อนหน้านี้ล้มเหลว นั่นคือการอธิบายปรากฏการณ์สัมพัทธภาพของอิเล็กตรอนจากหลักการพื้นฐาน ได้อย่างถูกต้อง แทนที่จะ ผ่านการดัดแปลงสูตรที่มีอยู่แบบเฉพาะกิจ^{[ 12 ] : 60}

ยกเว้นบทความติดตามผลของเขา^{[ 19 ]}ที่ได้มาจากปรากฏการณ์ Zeemanและปรากฏการณ์ Paschen–Back จากสมการในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก Dirac ได้มอบหมายงานตรวจสอบผลที่ตามมาของสมการของเขาให้ผู้อื่น และกลับมาศึกษาเรื่องนี้อีกครั้งในปี 1930 ^{[ 12 ] : 65} เมื่อสมการได้รับการตีพิมพ์แล้ว ก็ได้รับการยอมรับว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหาของสปิน สัมพัทธภาพ และกลศาสตร์ควอนตัม ในตอนแรก สมการของ Dirac ถูกพิจารณาว่าเป็นสมการสัมพัทธภาพที่ถูกต้องเพียงสมการเดียวสำหรับอนุภาคที่มีมวล จากนั้นในปี 1934 Pauli และVictor Weisskopf ได้ตีความสมการ Klein–Gordon ใหม่เป็นสมการสำหรับ อนุภาคไร้สปินสัมพัทธภาพ[ ^{8 ] : 685}

หนึ่งในการคำนวณครั้งแรกคือการสร้างสูตรโครงสร้างละเอียดของ Sommerfeld ขึ้นมาใหม่อย่างแม่นยำ ซึ่งดำเนินการโดยอิสระโดยCharles Galton DarwinและWalter Gordonในปี 1928 ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 9 ] : 377} นี่เป็นครั้งแรกที่สูตรทั้งหมดได้รับการอนุมานจากหลักการพื้นฐาน งานเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของสมการนี้ดำเนินการโดยHermann Weylในปี 1929 ^{[ 22 ]}ในงานนี้เขาแสดงให้เห็นว่า สมการ Dirac ที่ไม่มีมวลสามารถแยกออกเป็นสมการ Weyl สองสมการได้

สมการ Dirac ยังถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาปรากฏการณ์การกระเจิงต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตร Klein–Nishinaซึ่งศึกษาการกระเจิงของโฟตอน -อิเล็กตรอนก็ถูกพัฒนาขึ้นในปี 1928 เช่นกัน^{[ 23 ]}การกระเจิงของ Mottซึ่งเป็นการกระเจิงของอิเล็กตรอนจากเป้าหมายหนัก เช่นนิวเคลียสของอะตอมก็ถูกพัฒนาขึ้นในปีถัดมา^{[ 24 ]}ในช่วงหลายปีต่อมา สมการนี้ยังถูกนำมาใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของกระบวนการกระเจิงมาตรฐานอื่นๆ เช่นการกระเจิงของ Mollerในปี 1932 ^{[ 25 ]}และการกระเจิงของ Bhabhaในปี 1936 ^{[ 26 ]}

ปัญหาที่ได้รับความสนใจมากขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปคือการมีอยู่ของสถานะพลังงานลบ ในสมการของ Dirac ซึ่งนำไปสู่ความพยายามมากมายที่จะกำจัดสถานะดังกล่าว ในตอนแรก Dirac ปฏิเสธสถานะพลังงานลบโดยมองว่าไม่สมจริง^{[ 12 ] : 63} แต่ปัญหานี้ชัดเจนขึ้นเมื่อในปี 1929 Oskar Kleinแสดงให้เห็นว่าในสนามสถิตมีการผสมกันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ระหว่างสถานะพลังงานลบและบวก^{[ 9 ] : 378} การตอบสนองเบื้องต้นของ Dirac คือการเชื่อว่าสมการของเขาต้องมีข้อบกพร่องบางอย่าง และเป็นเพียงการประมาณค่าเบื้องต้นของทฤษฎีในอนาคตที่จะไม่มีปัญหานี้^{[ 9 ] : 378} อย่างไรก็ตาม เขาได้เสนอวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของทะเล Diracนี่คือแนวคิดที่ว่าจักรวาลเต็มไปด้วยทะเลอิเล็กตรอนพลังงานลบที่ไม่มีที่สิ้นสุด สถานะอิเล็กตรอนพลังงานบวกจึงอาศัยอยู่ในทะเลนี้และถูกป้องกันไม่ให้สลายตัวเป็นสถานะพลังงานลบผ่านหลักการกีดกันของ Pauli [ ^{8 ] : 715}

นอกจากนี้ Dirac ยังตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของ รูที่มีประจุบวกในทะเล Dirac ซึ่งในตอนแรกเขาเสนอว่าอาจเป็นโปรตอนอย่างไรก็ตาม Oppenheimer แสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้อะตอม ที่เสถียร ไม่สามารถมีอยู่ได้^{[ 27 ]}และ Weyl ยังแสดงให้เห็นเพิ่มเติมว่ารูจะต้องมีมวลเท่ากับอิเล็กตรอน^{[ 28 ]}ด้วยความเชื่อมั่นในข้อโต้แย้งของ Oppenheimer และ Weyl Dirac จึงตีพิมพ์บทความในปี 1931 ที่ทำนายการมีอยู่ของอนุภาคที่ยังไม่เคยถูกสังเกตมาก่อน ซึ่งเขาเรียกว่า "แอนติอิเล็กตรอน" ซึ่งจะมีมวลเท่ากันและมีประจุตรงข้ามกับอิเล็กตรอน และจะทำลายล้างซึ่งกันและกันเมื่อสัมผัสกับอิเล็กตรอน เขาเสนอว่าอนุภาคทุกตัวอาจมีคู่ที่มีประจุตรงข้ามกัน ซึ่งเป็นแนวคิดที่เรียกว่าปฏิสสาร ในปัจจุบัน ^{[ 29 ] [ 30 ] : 47}

ในปี พ.ศ. 2476 คาร์ล แอนเดอร์สันค้นพบ "อิเล็กตรอนบวก" ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าโพซิตรอนซึ่งมีคุณสมบัติทั้งหมดของแอนติอิเล็กตรอนของดิแรก^{[ 31 ] [ 9 ] : 378} แม้ว่าทะเลดิแรกจะถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีสนามควอนตัม ในภายหลัง แต่แนวคิดดั้งเดิมของมันยังคงอยู่รอดในแนวคิดของสุญญากาศแบบไดนามิกที่เต็มไปด้วยอนุภาคเสมือน [ ^{8 ] : 717} ในปี พ.ศ. 2492 เอิร์นส์ สตูเคลเบิร์กเสนอแนะ และริชาร์ด ไฟน์แมนแสดงให้เห็นอย่างละเอียดว่าคำตอบพลังงานลบสามารถตีความได้ว่าเป็นอนุภาคที่เดินทางย้อนกลับไปในเวลาที่เหมาะสม^{[ 32 ] : 61–63 [ 9 ] : 379 [ 33 ] [ 34 ]}แนวคิดของทะเลดิแรกยังปรากฏให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นในระบบสสารควบแน่น บางระบบ ในรูปแบบของทะเลเฟอร์มิซึ่งประกอบด้วยทะเลของอิเล็กตรอนวาเลนซ์ ที่เต็มอยู่ ใต้ศักยภาพทางเคมี บางอย่าง ^{[ 35 ]} : ⁵³⁴

มีการทำงานที่สำคัญในช่วงหลายทศวรรษต่อมาเพื่อพยายามค้นหา ความคลาดเคลื่อน ทางสเปกโทรสโกปีเมื่อเทียบกับการทำนายที่ทำโดยสมการ Dirac อย่างไรก็ตาม จนกระทั่งปี 1947 จึง มีการค้นพบ Lamb shiftซึ่งสมการไม่ได้ทำนายไว้^{[ 8 ] : 710} สิ่งนี้นำไปสู่การพัฒนาควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ในช่วงทศวรรษ 1950 โดยสมการ Dirac ถูกรวมเข้าไว้ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 36 ] : 35} เนื่องจากอธิบายพลวัตของ Dirac spinors จึงมีบทบาทพื้นฐานในแบบจำลองมาตรฐานรวมถึงสาขาฟิสิกส์อื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์สสารควบแน่น ระบบที่มีเฟอร์มิออนที่มีความสัมพันธ์การกระจาย ตัวเกือบเป็นเส้นตรง จะถูกอธิบายโดยสมการ Dirac ระบบดังกล่าวเรียกว่าสสาร Diracและรวมถึงกราฟีนและฉนวนทอพอโลยีซึ่งกลายเป็นสาขาการวิจัยที่สำคัญตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 21 ^{[ 35 ] : 522}

สมการของ Dirac ถูกจารึกไว้บนแผ่นป้ายบนพื้นของวิหารเวสต์มินสเตอร์แผ่นป้ายนี้เปิดตัวเมื่อวันที่ 13 พฤศจิกายน พ.ศ. 2538 เพื่อรำลึกถึงชีวิตของ Dirac ^{[ 37 ]}สมการใน รูปแบบ หน่วยธรรมชาติ ยังถูกจัดแสดงอย่างเด่นชัดในหอประชุมที่ห้องบรรยาย 'Paul AM Dirac' ที่สถาบัน Patrick MS Blackett (เดิมคืออาราม San Domenico ) ของมูลนิธิ Ettore Majorana และศูนย์วัฒนธรรมวิทยาศาสตร์ในEriceประเทศซิซิลี

ใน การกำหนด ทฤษฎีสนาม สมัยใหม่ สมการ Dirac ในปริภูมิเวลา Minkowski 3+1 มิติ เขียนในรูปของสนาม Dirac นี่คือสนามที่กำหนดเวกเตอร์เชิงซ้อนจากไปยังแต่ละจุดในปริภูมิเวลา [ ^{18 ] : 136} โดยที่สมบัติสำคัญของสนามคือการแปลงเป็น สปิน ^เนอร์ Diracภายใต้ การ แปลงLorentz ^{[ 38 ] : 28} ในหน่วยธรรมชาติโดยที่ การกำหนดสมการ Dirac แบบ Lorentz covariantกำหนดโดย^{[ 16 ] : 168} ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \hbar =c=1}$

โดยที่เป็นการหดตัวระหว่างเมทริกซ์เกรเดียนต์สี่ตัวและเมทริกซ์แกมมา^{[ nb 1 ]}เหล่านี้เป็นชุดของเมทริกซ์สี่ตัวที่สร้างพีชคณิตDiracซึ่งกำหนดให้เมทริกซ์เหล่านี้ต้องเป็นไปตาม[ ^{36 ] : 40} ${\displaystyle {{\partial }\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$

โดยที่คือแอนติคอมมิวเท เตอร์ คือเมตริกมินคอฟสกีในลายเซ็นเชิงลบ เป็นหลัก [ ^{nb 2 ]}และคือเมทริกซ์เอกลักษณ์พีชคณิตของดิแรกเป็นกรณีพิเศษของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ทั่วไปที่เรียกว่าพีชคณิตคลิฟฟอร์ด [ 16 ^{] : 169พีชคณิต} ของดิแรกยังสามารถมองได้ว่าเป็นส่วนจริงของพีชคณิตปริภูมิเวลาไม่มีตัวเลือกเมทริกซ์ที่ไม่ซ้ำกันสำหรับเมทริกซ์แกมมา โดยตัวเลือกที่แตกต่างกันเรียกว่าการแสดงแทนที่แตกต่างกันของพีชคณิต^{[ 32 ] : 323} ตัวเลือกทั่วไปหนึ่งตัวเลือก ซึ่งค้นพบครั้งแรกโดยดิแรก เรียกว่าการแสดงแทนของดิแรก ในที่นี้เมทริกซ์กำหนดโดย^{[ 35 ] : 531} ${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$${\displaystyle I_{4}}$${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\qquad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

เมทริกซ์ Pauliทั้งสามสำหรับอยู่ที่ไหนมีการแสดงเมทริกซ์แกมมาทั่วไปอีกสองแบบ แบบแรกคือ การแสดง แบบไครัล ซึ่งมีประโยชน์เมื่อแยกสมการ Dirac ออกเป็น สมการ Weylสอง สม การ^{[ 36 ] : 41} แบบที่สองคือการแสดงแบบ Majorana ซึ่งเมทริกซ์แกมมาทั้งหมดเป็นจำนวนจินตนาการดังนั้นตัวดำเนินการ Diracจึงเป็นจำนวนจริงล้วน [ ^{16 ] : 344} การแสดงแบบนี้มีประโยชน์สำหรับการศึกษาตัวหมุน Majoranaซึ่งเป็นคำตอบตัวหมุนสี่องค์ประกอบที่เป็นจำนวนจริงล้วนของสมการ Dirac ^{[ 35 ] : 536} ${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

โดยการหาค่าสังยุคเฮอร์มิเชียนของสมการ Dirac และคูณด้วยจากทางขวา จะได้สมการ Dirac แอดจอยต์ ซึ่งก็คือสมการการเคลื่อนที่สำหรับDirac แอดจอยต์โดยกำหนดโดย^{[ 39 ]}${\displaystyle \gamma ^{0}}$${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0.}$

สปินเนอร์แอดจอยต์มีประโยชน์ในการสร้างปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ตัวอย่างเช่นไบ ลิเนียร์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ แต่[ ^{35 ] : 532} นี่คือสัญลักษณ์ย่อสำหรับอนุพันธ์ย่อยที่กระทำทางด้านซ้าย ในสัญลักษณ์ปกติ สมการดิแรกแอดจอยต์เทียบเท่ากับ^{[ 36 ] : 43} ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$${\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$

${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$

สมการ Dirac สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่ไม่แปรผันคล้ายกับสมการ Schrödinger ^{[ 8 ] : 686}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,{\boldsymbol {x}})=-i\hbar c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta mc^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}}).}$

ด้านขวามือของสมการคือแฮมิลโทเนียนที่กระทำต่อสปินเนอร์ของดิแรกโดยที่และเป็นเซตของ เมทริกซ์ เฮอร์มิเชียน สี่ตัว ที่สลับเครื่องหมายกันและยกกำลังสองได้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์เหล่านี้มีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์แกมมาผ่านทางและ [ ^{9 ] : 375} รูปแบบนี้มีประโยชน์ในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งแฮมิลโทเนียนสามารถปรับเปลี่ยนได้ง่ายเพื่อแก้ปัญหาได้หลากหลาย เช่น โดยการแนะนำศักยภาพ^{[ 8 ] : 702} หรือผ่านการเชื่อมต่อขั้นต่ำกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า [ ^{8 ] : 688} ${\displaystyle H\psi }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta }$${\displaystyle \gamma ^{i}=\beta \alpha _{i}}$

สมการ Dirac ยังสามารถได้มาจากสูตร Lagrangianของทฤษฎีสนาม โดยที่แอคชั่น Dirac กำหนดโดย^{[ 35 ] : 535}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi .}$

สมการจึงเกิดขึ้นเป็นสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ ของการกระทำนี้ ซึ่งพบได้จากการแปรผันสปินเนอ ร์ผกผัน^{[ 36 ] : 43} ในขณะเดียวกัน สมการดิแรกผกผันได้มาจากการเปลี่ยนแปลงสปินเนอร์การกำหนดสูตรการกระทำของสมการดิแรกมีข้อดีคือทำให้สมมาตรของสมการดิแรกชัดเจนยิ่งขึ้น เนื่องจากทำให้การกระทำไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 16 ] : 166–168} ทฤษฎีบทของโนเธอร์จึงอนุญาตให้คำนวณกระแสที่สอดคล้องกับสมมาตรเหล่านี้ ได้โดยตรง ^{[ 40 ] : 166} นอกจากนี้ การกระทำมักใช้เพื่อกำหนดทฤษฎีสนามควอนตัมที่ เกี่ยวข้อง เช่น ผ่านการกำหนดสูตรปริพันธ์เส้นทาง^{[ 16 ] : 251} ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$${\displaystyle \psi (x)}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม สปินเนอร์ของ Dirac สอดคล้องกับ ฟังก์ชันคลื่นสปินเนอร์สี่องค์ประกอบที่อธิบายสถานะของ เฟอร์มิออ นDirac ^{[ 8 ] : 685} ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตำแหน่งซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่จะพบเฟอร์มิออนในบริเวณของอวกาศ อธิบายโดยองค์ประกอบที่ศูนย์ของกระแสเวกเตอร์[ ^{8 ] : 689} ในกรณีที่มี อนุภาคจำนวนมากยังสามารถตีความได้ว่าเป็นความหนาแน่นของประจุ^{[ 18 ] : 137} จำเป็นต้องมี การทำให้เป็นมาตรฐานที่เหมาะสมเพื่อให้แน่ใจว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดทั่วทั้งอวกาศเท่ากับหนึ่ง โดยการอนุรักษ์ความน่าจะเป็นเป็นผลโดยตรงจากการอนุรักษ์กระแสเวกเตอร์ สมการ Dirac เป็น อนาล็อก เชิงสัมพัทธภาพของสมการ Schrödinger สำหรับฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออน Dirac ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$

ใน รูปแบบ ควอนตัมที่สองของทฤษฎีสนามควอนตัม สปินเนอร์ของ Dirac จะถูกควอนตัมให้เป็นสนามสปินเนอร์ที่มีค่าเป็นตัวดำเนินการ^{[ 41 ]}ตรงกันข้ามกับกลศาสตร์ควอนตัม มันไม่ได้แสดงถึงสถานะในปริภูมิฮิลเบิร์ต อีกต่อไป แต่เป็นตัวดำเนินการที่กระทำต่อสถานะเพื่อสร้างหรือทำลายอนุภาค^{[ 16 ] : 22 [ 42 ] : 92} ตัวสังเกตถูกสร้างขึ้นโดยใช้ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการเหล่านี้^{[ 43 ] : 41} สมการ Dirac จึงกลายเป็นสมการตัวดำเนินการที่อธิบายวิวัฒนาการที่ไม่ขึ้นกับสถานะของสนามสปินเนอร์ที่มีค่าเป็นตัวดำเนินการ^{[ 44 ] : 35} ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}-m){\hat {\psi }}(x)=0.}$

ในการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางของทฤษฎีสนามควอนตัม สนามสปินเนอร์เป็น สนาม ที่มีค่าแบบกราสแมนน์ซึ่งไม่สลับกันและทำหน้าที่เป็นเพียงตัวแปรการอินทิเกรตเท่านั้น^{[ 38 ] :} 29 สมการของดิแรกจึงปรากฏขึ้นเป็น พฤติกรรม จุดอานม้า แบบคลาสสิก ของอินทิกรัลเส้นทาง นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นเป็นสมการของค่าคาดหวังของตัวแปรสนามแบบคลาสสิก^{[ 44 ] : 35} ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \langle (i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)\rangle =0,}$

ในความหมายของสมการ Schwinger–Dyson [ ^{16 ] : 80} สมการเวอร์ชันนี้ยังสามารถได้รับโดยการหาค่าคาดหวังของสมการตัวดำเนินการ

สมการ Dirac ยังเกิดขึ้นในการอธิบายวิวัฒนาการของเวลาของสนามสปินเนอร์ในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิก ทฤษฎีสนามดังกล่าวจะมีกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ เป็น กลุ่ม สมมาตรของปริภูมิเวลาแทนที่จะเป็นกลุ่ม Lorentz เนื่องจากกลุ่มหลังไม่ยอมรับการแสดงแทนสปินเนอร์ [ ^{40 ] : 117} ซึ่งตรงกันข้ามกับทฤษฎีควอนตัมซึ่งยอมรับการแสดงแทนสปินเนอร์แม้ว่าสมมาตรของปริภูมิเวลาจะถูกอธิบายโดยกลุ่ม Lorentz ก็ตาม นี่เป็นเพราะสถานะในปริภูมิ Hilbert ถูกกำหนดไว้เพียงแค่เฟสเชิงซ้อน^{[ 45 ] : 81} ดังนั้นอนุภาคจึงเป็นของการแสดงแทนเชิงโปรเจก ทีฟ แทนที่จะเป็นการแสดงแทนปกติ โดยการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่ม Lorentz เทียบเท่ากับการแสดงแทนปกติของ[ ^{16 ] : 176} สนามสปินเนอร์แบบคลาสสิกไม่เกิดขึ้นในเอกภพของเราเนื่องจากหลักการกีดกันของ Pauliป้องกันการเติมอนุภาคจำนวนมากพอที่จะไปถึงขีดจำกัดแบบคลาสสิก [ ^{40 ] : 347} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

กลุ่มลอเรนซ์ [ ^{nb 3 ]}ซึ่งอธิบายการแปลงระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยสามารถยอมรับการแสดง^แทน ได้หลาย แบบ^{[ 46 ] : 38} การแสดงแทนคือการเลือกเมทริกซ์ เฉพาะ ที่แสดงถึงการกระทำของกลุ่มบนปริภูมิเวกเตอร์ บางอย่างได้ อย่างซื่อสัตย์^{[ nb 4 ]}โดยที่มิติของเมทริกซ์อาจแตกต่างกันระหว่างการแสดงแทน^{[ 47 ] : 54} ตัวอย่างเช่น กลุ่มลอเรนซ์สามารถแสดงแทนได้ด้วยเมทริกซ์จริงที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งสอดคล้องกับวิธีที่การแปลงลอเรนซ์กระทำต่อเวกเตอร์หรือปริภูมิเวลา^{[ 16 ] : 159} การแสดงแทนอีกแบบหนึ่งคือชุดของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่กระทำต่อ สปินเนอร์ ของดิแรกในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน^{[ 48 ] : 24} การแสดงแทนที่เล็กกว่าคือชุดของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่กระทำต่อสปินเนอร์ของเวล์ในปริภูมิเวกเตอร์^{[ 49 ] : 209} ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

องค์ประกอบ ของกลุ่ม Lieสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้พีชคณิต Lie ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเมื่อรวมกับวงเล็บ Lieจะอธิบายพื้นที่สัมผัส ของ แมนิโฟลด์กลุ่มรอบองค์ประกอบเอกลักษณ์^{[ 50 ] : 64} องค์ประกอบพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์นี้เรียกว่าตัวสร้างของกลุ่ม จากนั้นจะได้รับองค์ประกอบกลุ่มเฉพาะโดยการยกกำลังเวกเตอร์พื้นที่สัมผัสที่สอดคล้องกัน^{[ 51 ] : 295} ตัวสร้างของพีชคณิต Lie ของ Lorentz ต้องเป็นไปตาม ความสัมพันธ์ การสลับตำแหน่งแบบปฏิปักษ์ บางอย่าง ที่เรียกว่าวงเล็บ Lie เวกเตอร์ทั้งหกสามารถบรรจุลงในวัตถุแบบปฏิสมมาตรที่มีดัชนีโดย โดยมีวงเล็บสำหรับพีชคณิต Lorentz กำหนดโดย^{[ 36 ] : 39} ${\displaystyle X^{\mu \nu }}$${\displaystyle \{\mu ,\nu \}}$

${\displaystyle [X^{\mu \nu },X^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\nu \rho }X^{\mu \sigma }-\eta ^{\mu \rho }X^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }X^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \sigma }X^{\mu \rho }).}$

พีชคณิตนี้ยอมรับการแสดงแทนได้หลายรูปแบบ โดยที่ตัวสร้างแต่ละตัวจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ โดยที่การแสดงแทนพีชคณิต แต่ละแบบ จะสร้างการแสดง แทนที่สอดคล้องกัน ของกลุ่ม^{[ 51 ] : 662} ตัวอย่างเช่น การแสดงแทนที่กระทำกับเวกเตอร์จริงจะได้รับจากเมทริกซ์หกเมทริกซ์โดยที่^{[ 51 ] : 664} ${\displaystyle X^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left(M^{\mu \nu }\right)^{\rho }{}_{\sigma }=i(\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }).}$

จากนั้นเมทริกซ์การแปลงลอเรนซ์สามารถหาได้จากตัวสร้างเหล่านี้ผ่านการยกกำลัง^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right),}$

โดยที่เมทริกซ์แอนติสมมาตรจะเข้ารหัสองศาอิสระ ทั้งหก ของกลุ่มลอเรนซ์เพื่อระบุองค์ประกอบกลุ่มเฉพาะ ซึ่งสอดคล้องกับการเร่งความเร็วสามครั้งและการหมุน สาม ครั้ง^{[ 36 ] : 40} ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$

อีกหนึ่งการแสดงแทนของพีชคณิตลอเรนซ์คือการแสดงแทนสปินเนอร์โดยที่ตัวสร้างจะได้รับจาก^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\tfrac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }].}$

ในกรณีนี้ องค์ประกอบกลุ่มลอเรนซ์ที่ระบุโดยจะกำหนดโดย ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$

${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

การแมปของไม่ใช่การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากมีทางเลือกที่สอดคล้องกันสองทางสำหรับที่ให้ผลลัพธ์เดียวกันแต่แตกต่างกัน[ ^{50 ] : 45} นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากการแทนสปินเนอร์เป็นการแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มลอเรนซ์^{[ 45 ] : 81} หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นการแทนปกติของซึ่งเป็นการคลุมสองชั้นของกลุ่มลอเรนซ์^{[ 40 ] : 106} ${\displaystyle \Lambda \mapsto S[\Lambda ]}$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle S[\Lambda ]}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ พิกัดปริภูมิเวลาจะแปลงภายใต้การแสดงเวกเตอร์ในขณะที่สปินเนอร์จะแปลงภายใต้การแสดงสปินเนอร์ ${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$

${\displaystyle \psi '(x')=S[\Lambda ]\psi (x).}$

สมการ Dirac เป็นสมการโคแวเรียนต์ Lorentz หมายความว่าสมการนี้มีรูปแบบในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด^{[ 48 ] : 5} นั่นคือ สมการนี้มีรูปแบบเดียวกันเมื่อสำหรับสปินเนอร์ที่มีพิกัดเช่นเดียวกับสปินเนอร์ที่แปลง Lorentz ในพิกัดที่แปลง Lorentz${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi '(x')}$${\displaystyle x'=\Lambda x}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}'-m)\psi '(x')=0,}$

เก รเดียนต์สี่มิติสำหรับพิกัดใหม่อยู่ที่ไหน^{[ nb 5 ]}ในขณะเดียวกัน แอคชั่นของ Dirac เป็นแบบ Lorentz invariant ซึ่งหมายความว่ามันเหมือนกันในทุกเฟรมอ้างอิง[ ^{16 ] : 166–168} ${\displaystyle \partial _{\mu }'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle S'=S}$

ทฤษฎีของ Dirac ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตร ทั่วโลก ที่กระทำต่อเฟสของสปินเนอร์^{[ 16 ] : 174} ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).}$

สิ่งนี้มีกระแสอนุรักษ์ที่ สอดคล้องกัน ซึ่งสามารถหาได้จากการกระทำโดยใช้ทฤษฎีบทของ Noetherซึ่งกำหนดโดย^{[ 35 ] : 532}

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

สมมาตรนี้เรียกว่าสมมาตรเวกเตอร์ เนื่องจากกระแสไฟฟ้าของมันแปลงรูปเป็นเวกเตอร์ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ การยกระดับสมมาตรนี้ไปสู่สมมาตรเกจทำให้เกิดควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์

ในขีดจำกัดที่ไม่มีมวล สมการของ Dirac มีสมมาตรที่ไม่เท่ากันแบบที่สองที่เรียกว่าสมมาตรแกนซึ่งกระทำต่อสปินเนอร์ดังนี้^{[ 52 ] : 99} ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}{\bar {\psi }}(x),}$

เมทริกซ์ไครัลอยู่ ที่ไหนสิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากในขีดจำกัดที่ไม่มีมวล สมการ Dirac จะลดลงเหลือสมการ Weyl สองสมการ [ ^{16 ] : 168} แต่ละสมการเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรเฟส สมมาตรทั้งสองนี้สามารถจัดกลุ่มเป็นสมมาตรเวกเตอร์ซึ่งสปินเนอร์ Weyl ทั้งสองแปลงด้วยเฟสเดียวกัน และสมมาตรแกนซึ่งพวกมันแปลงภายใต้เครื่องหมายเฟสที่ตรงข้ามกัน^{[ 16 ] : 621} กระแสที่สอดคล้องกับสมมาตรแกนกำหนดโดย^{[ 35 ] : 532} ${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi .}$

สิ่งนี้แปลงเป็นเวกเตอร์เทียมหมายความว่าส่วนเชิงพื้นที่ของมันเป็นเลขคี่ภายใต้การแปลงพาริตี^{[ 49 ] : 469} ในทางคลาสสิกสมมาตรแกนยอมรับทฤษฎีเกจที่กำหนดอย่างดี แต่ในระดับควอนตัมมันมีความผิดปกติไครัลที่ขัดขวางการกำหนดเกจ^{[ 16 ] : 616}

สมมาตรของปริภูมิเวลาของการกระทำของ Dirac สอดคล้องกับกลุ่ม Poincaréซึ่งเป็นการรวมกันของการแปล ปริภูมิเวลา และกลุ่ม Lorentz ^{[ 16 ] : 109} ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลปริภูมิเวลาทั้งสี่ทำให้ เทนเซอร์พลังงานความเครียดของ Dirac เป็นกระแสสี่กระแส^{[ 52 ] : 98}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\text{Dirac}},}$

โดยที่เทอมสุดท้ายคือ Lagrangian ของ Dirac ซึ่งหายไปบนเปลือกในขณะเดียวกัน ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลง Lorentz จะให้ชุดกระแสที่มีดัชนีโดยและโดยกำหนดโดย^{[ 52 ] : 99} ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\mu })^{\rho \sigma }=x^{\rho }T^{\mu \sigma }-x^{\sigma }T^{\mu \rho }+{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }S^{\rho \sigma }\psi ,}$

ตัวสร้างการแสดงแทนสปินเนอร์ของพีชคณิตลีลอเรนซ์ ซึ่งใช้ในการกำหนดวิธีการแปลงสปินเนอร์ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ อยู่ ที่ไหน${\displaystyle S^{\rho \sigma }}$

การกระทำต่อสมการ Dirac ด้วยตัวดำเนินการทำให้เกิดสมการ Klein–Gordonสำหรับแต่ละส่วนประกอบของสปินเนอร์^{[ 53 ] : 93} ${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)=\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)\psi (x)=0.}$

ด้วยเหตุนี้ คำตอบใดๆ ของสมการ Dirac จึงเป็นคำตอบของสมการ Klein–Gordon โดยอัตโนมัติด้วย^{[ 40 ] : 349} ดังนั้น คำตอบของสมการนี้จึงสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของคลื่นระนาบ [ ^{54 ] : 59}

สมการ Dirac ยอมรับคำตอบคลื่นระนาบความถี่ บวก ^{[ 54 ] : 59}

${\displaystyle \psi (x)=u({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}}$

โดยมีพลังงานบวกที่กำหนดโดย นอกจากนี้ยังยอมรับ โซลูชัน ความถี่ลบที่มีรูปแบบเดียวกันยกเว้น^{[ 16 ] : 188} การเขียนโซลูชันความถี่ลบเหล่านี้ใหม่โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของโมเมนตัมเพื่อให้แน่ใจว่ามีพลังงาน บวก และจึงมีรูปแบบ^{[ 36 ] : 48 นั้นสะดวกกว่า}${\displaystyle p_{0}={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}>0}$${\displaystyle p_{0}=-{\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}<0}$${\displaystyle p_{0}>0}$

${\displaystyle \psi (x)=v({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

ในระดับคลาสสิก สิ่งเหล่านี้คือคำตอบความถี่บวกและลบของสมการคลื่นคลาสสิก แต่ในทฤษฎีควอนตัม สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับตัวดำเนินการที่สร้างอนุภาคที่มีโพลาไรเซชัน สปิ นเนอร์ หรือทำลายอนุภาคปฏิปักษ์ที่มีโพลาไรเซชันสปินเนอร์^{[ 16 ] : 188} โพลาไรเซชันสปินเนอร์ทั้งสองนี้สอดคล้องกับสมการ Dirac ในปริภูมิโมเมนตัม^{[ 54 ] : 59} ${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}+m)u({\boldsymbol {p}})=0,}$

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}-m)v({\boldsymbol {p}})=0.}$

เนื่องจากสมการเมทริกซ์เหล่านี้เป็นสมการเมทริกซ์อย่างง่าย จึงสามารถแก้ไขได้โดยตรงเมื่อเลือกการแสดงเมทริกซ์แกมมาที่ชัดเจน ในการแสดงไครัล คำตอบทั่วไปจะได้รับจาก^{[ 16 ] : 190}

${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\xi _{s} \choose {\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\xi _{s}},\qquad v({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\eta _{s} \choose -{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\eta _{s}},}$

โดยที่และเป็นเวกเตอร์เชิงซ้อน 2 มิติใดๆ ที่อธิบายถึงระดับความเป็นอิสระของการหมุนสองระดับสำหรับอนุภาคและสองระดับสำหรับปฏิอนุภาค^{[ 36 ] : 45} ในขีดจำกัดที่ไม่มีมวล สถานะการหมุนเหล่านี้สอดคล้องกับ สถานะ เฮลิซิตี้ ที่เป็นไปได้ ที่เฟอร์มิออนที่ไม่มีมวลสามารถมีได้ ไม่ว่าจะเป็นมือซ้ายหรือมือขวา^{[ 16 ] : 190} ${\displaystyle \xi _{s}}$${\displaystyle \eta _{s}}$

แม้ว่าสมการ Dirac มาตรฐานจะถูกสร้างขึ้นในปริภูมิเวลาแบบมิติเดียวแต่ก็สามารถขยายไปสู่มิติและลายเซ็นเมตริก แบบใดก็ได้โดยตรง โดยที่สมการจะมีรูปแบบโคแวเรียนต์เดียวกัน^{[ 55 ] : 51} ความแตกต่างที่สำคัญคือเมทริกซ์แกมมาจะต้องเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์แกมมาของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่เหมาะสมในมิติและลายเซ็นเมตริกเหล่านั้น โดยขนาดของสปินเนอร์ Diracจะสอดคล้องกับมิติของเมทริกซ์แกมมา แม้ว่าสมการ Dirac จะมีอยู่เสมอ เนื่องจากทุกมิติยอมรับสปินเนอร์ Dirac แต่คุณสมบัติของสปินเนอร์เหล่านี้และความสัมพันธ์กับสปินเนอร์แทน อื่นๆ จะแตกต่างกันอย่างมากในแต่ละมิติ^{[ 38 ] : 59} ความแตกต่างอื่นๆ ได้แก่ การไม่มีเมทริกซ์ไครัลลิตี้ในมิติคี่^{[ 35 ] : 534} ${\displaystyle 3+1}$

สมการยังสามารถขยายจากปริภูมิเวลา Minkowski แบบราบ ไปยังปริภูมิเวลาโค้งผ่านการแนะนำอนุพันธ์โคแวเรียนต์ สปินเนอร์ ^{[ 38 ] : 179}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}\left(\omega _{\alpha \beta }\right)_{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$

การเชื่อมต่อสปินที่สามารถกำหนดได้โดยใช้รูปแบบเทตระดอยู่ที่ไหน สม การDirac ในปริภูมิเวลาโค้งจะมีรูปแบบดังนี้^{[ 56 ] : 862} ${\displaystyle \omega _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi (x)=0.}$

การเพิ่มเงื่อนไขปฏิสัมพันธ์ในตัวเองลงในแอคชั่นของ Dirac ทำให้เกิดสมการ Dirac แบบไม่เชิงเส้นซึ่งช่วยให้เฟอร์มิออนสามารถมีปฏิสัมพันธ์กับตัวเองได้ เช่นใน แบบ จำลองThirring ^{[ 57 ] : 81} ปฏิสัมพันธ์ระหว่างเฟอร์มิออนยังสามารถเกิดขึ้นได้ผ่าน ผลกระทบ ทางแม่เหล็กไฟฟ้าโดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการ Breitอธิบายระบบอิเล็กตรอนหลายตัวที่มีปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าในอันดับแรกในทฤษฎีการรบกวน [ ^{58 ] สม}การDirac สองตัวเป็นสมการหลายตัวที่คล้ายกัน

การ กำหนดรูป แบบทางเรขาคณิตของสมการ Dirac เรียกว่าสมการ Dirac–Hestenes ^{[ 59 ]}ในการกำหนดรูปแบบนี้ ส่วนประกอบทั้งหมดของสมการ Dirac มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน สมการทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องอีกสมการหนึ่งคือสมการDirac–Kählerซึ่งเป็นอนาล็อกทางเรขาคณิตของสมการ Dirac ที่สามารถกำหนดได้บนแมนิโฟลด์ pseudo-Riemannian ทั่วไปใดๆ และซึ่งกระทำกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ [ ^{60 ] ใน}กรณีของแมนิโฟลด์แบนราบมันจะลดลงเหลือสมการ Dirac สี่ชุด อย่างไรก็ตาม บนแมนิโฟลด์โค้ง การแยกส่วนนี้จะล้มเหลวและสมการจะแตกต่างกันโดยพื้นฐาน^{[ 61 ]}สมการนี้ใช้ในทฤษฎีสนามแลตติสเพื่ออธิบายขีดจำกัดต่อเนื่องของเฟอร์มิออนแบบสลับ

สปินเนอร์ของ Dirac สามารถแยกออกเป็นคู่ของสปินเนอร์ Weyl ที่มีไครัลลิตี้ตรงข้ามกันได้[ ^{40 ] : 340} ภายใต้การแปลง Lorentzตัวหนึ่งจะแปลงเป็นสปินเนอร์ Weyl มือซ้ายและอีกตัวหนึ่งจะแปลงเป็นสปินเนอร์ Weyl มือขวาในการแสดงไครัลของเมทริกซ์แกมมา สมการของ Dirac จะลดลงเหลือคู่สมการสำหรับสปินเนอร์ Weyl ^{[ 54 ] : 57} ${\displaystyle \psi ^{T}=(\psi _{L},\psi _{R})}$${\displaystyle \psi _{L}}$${\displaystyle \psi _{R}}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}(x)=m\psi _{L}(x),}$

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}(x)=m\psi _{R}(x).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน ขีดจำกัด ที่ไม่มีมวล สปินเนอร์ Weyl จะแยกออกจากกัน และสมการ Dirac จะเทียบเท่ากับ สมการ Weylสอง สม การ^{[ 16 ] : 168}

การแยกส่วนนี้ได้รับการเสนอให้เป็นคำอธิบายเชิงสัญชาตญาณของZitterbewegungเนื่องจากส่วนประกอบที่ไม่มีมวลเหล่านี้จะแพร่กระจายด้วยความเร็วแสงและเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม เนื่องจากเฮลิซิตี้คือการฉายภาพของสปินไปยังทิศทางการเคลื่อนที่^{[ 62 ]}ในที่นี้บทบาทของมวลไม่ใช่การทำให้ความเร็วน้อยกว่าความเร็วแสง แต่เป็นการควบคุม อัตรา เฉลี่ยที่การกลับทิศทางเหล่านี้เกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกลับทิศทางสามารถจำลองได้เป็นกระบวนการปัวซง^{[ 63 ]}

สมการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือสมการมาโจรานาซึ่งมีรูปแบบอย่างเป็นทางการเหมือนกับสมการดิแรก ยกเว้นว่ามันกระทำกับสปินเนอร์มาโจรานา^{[ 16 ] : 193} สปินเนอร์เหล่านี้เป็นสปินเนอร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความเป็นจริงโดยที่คือตัวดำเนินการผันประจุ^{[ 38 ] : 56} ในมิติที่สูงกว่า สมการดิแรกมีความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันกับสมการที่อธิบายการแสดง สปินเนอร์อื่น ๆ ที่เกิดขึ้นในมิติเหล่านั้น ${\displaystyle \psi =C{\bar {\psi }}^{T}}$${\displaystyle C}$

ในขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพ สมการของ Dirac จะลดลงเหลือ^สมการของ Pauli [ ^{32 ] : 332} ซึ่งเมื่อเชื่อมโยงกับแม่เหล็กไฟฟ้าจะมีรูปแบบ

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\boldsymbol {p}}}-q{\boldsymbol {A}})\right)^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =0.}$

นี่คือเวกเตอร์ของเมทริกซ์ Pauliและเป็นตัวดำเนินการโมเมนตัมสมการอธิบายเฟอร์มิออนที่มีประจุซึ่งเชื่อมต่อกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าผ่านศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กและ ศักย์สเกลา ร์ไฟฟ้า^{[ 17 ] : 258} เฟอร์มิออนถูกอธิบายผ่าน ฟังก์ชันคลื่นสององค์ประกอบ โดยแต่ละองค์ประกอบอธิบาย สถานะสปินหนึ่งในสองสถานะ^{[ 8 ] : 711} ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\nabla }$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|\uparrow \rangle +\psi _{-}|\downarrow \rangle }$

สมการของ Pauli มักใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่ผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพนั้นไม่สำคัญ แต่สปินของเฟอร์มิออนมีความสำคัญ^{[ 8 ] : 711–715} นอกจากนี้ยังสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่แสดงโดยตรงว่าอัตราส่วนไจโรแมกเนติกของเฟอร์มิออนที่อธิบายโดยสมการของ Dirac นั้นมีค่าเท่ากับ[ ^{54 ] : 74} ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์มีการแก้ไขควอนตัมเพิ่มเติมที่ปรับเปลี่ยนค่านี้ ทำให้เกิดโมเมนต์แม่เหล็กผิดปกติที่ไม่เป็นศูนย์[ ^{8 ] : 712} ${\displaystyle g=2}$

สมมาตร เวกเตอร์และสมมาตรแกนของแอคชั่นของ Dirac เป็นสมมาตร ทั่วโลก ซึ่ง หมายความว่ามันทำงานเหมือนกันทุกที่ในปริภูมิเวลา [ ^{16 ] : 34} ในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิก Lagrangian สามารถปรับเปลี่ยนได้เสมอในลักษณะที่ยกระดับสมมาตรทั่วโลกไปสู่สมมาตรเฉพาะที่ ซึ่งสามารถทำงานแตกต่างกันในตำแหน่งปริภูมิเวลาที่แตกต่างกัน^{[ 40 ] : 166–167} ในกรณีของสมมาตรเวกเตอร์ ซึ่งสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงทั่วโลกของสนามสปินเนอร์โดยเฟสการวัดค่าจะส่งผลให้แอคชั่นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรเฉพาะที่ซึ่งเฟสสามารถมีค่าต่างกันในจุดต่างๆ^{[ 54 ] : 70} ในขณะที่สมมาตรสามารถวัดค่าได้เสมอในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิ กแต่สิ่งนี้อาจไม่สามารถทำได้เสมอไปในทฤษฎีควอนตัม แบบเต็มรูปแบบ เนื่องจากอุปสรรคต่างๆ เช่นความผิดปกติซึ่งบ่งชี้ว่าทฤษฎีควอนตัมแบบเต็มรูปแบบไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรเฉพาะที่แม้ว่า Lagrangian แบบคลาสสิกจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ตาม^{[ 48 ] : 177} ตัวอย่างเช่น สมมาตรแกนในทฤษฎี Dirac ไร้ มวลที่มี เฟอร์มิออน หนึ่งตัวนั้น ผิดปกติเนื่องจากความผิดปกติของไครัลและไม่สามารถวัดได้^{[ 36 ] : 661} ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha }\psi }$${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha (x)}\psi }$

การยกระดับสมมาตรเวกเตอร์ไปสู่สมมาตรเฉพาะที่หมายความว่าการกระทำดั้งเดิมจะไม่คงที่ภายใต้สมมาตรอีกต่อไปเนื่องจากการปรากฏของเทอมที่เกิดจากเทอมจลน์ [ ^{40 ] : 167} ในทางกลับกัน ต้องมีการแนะนำฟิลด์ใหม่ที่เรียกว่าฟิลด์เกจ ฟิลด์นี้จะต้องแปลงภายใต้สมมาตรเฉพาะที่เช่นกัน^{[ 36 ] : 78} ${\displaystyle \partial _{\mu }\alpha (x)}$${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+{\tfrac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha ,}$

โดยที่ทำหน้าที่เป็นประจุของสปินเนอร์ Diracต่อสนามเกจ การกระทำของ Dirac สามารถทำให้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรท้องถิ่นได้โดยการแทนที่เทอมอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ร่วมแปรเกจ ใหม่ ^{[ 16 ] : 173} ${\displaystyle e}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi .}$

การกระทำของ Dirac จึงมีรูปแบบดังนี้^{[ 54 ] : 71}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!\!/}-m)\psi =\int d^{4}x\left[{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }\right].}$

ผลลัพธ์นี้ยังสามารถได้มาโดยตรงผ่านกระบวนการ Noether ซึ่งเป็นหลักการทั่วไปที่ว่าสมมาตรทั่วโลกสามารถวัดได้โดยการนำเทอมที่เชื่อมโยงสนามเกจกับกระแส สมมาตรทั่วโลกที่เหมาะสมมา ใช้^{[ 40 ] : 161} นอกจากนี้ การนำเทอมจลน์สำหรับสนามเกจมาใช้ยังส่งผลให้เกิดการกระทำสำหรับควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ [ ^{36 ] : 78}

สมมาตรที่สามารถวัดได้นั้นสามารถขยายได้อย่างมากโดยการพิจารณาทฤษฎีที่มีสปินเนอร์ Dirac ที่เหมือนกันซึ่งติดป้ายกำกับด้วยดัชนี ใหม่ สปินเนอร์เหล่านี้สามารถถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของวัตถุเดียวที่มีส่วนประกอบโดยที่ป้ายกำกับส่วนประกอบสปินทั้งสี่ และสปินเนอร์ที่แตกต่างกัน^{[ 16 ] : 491} สมมาตรทั่วโลกที่ใหญ่ที่สุดของการกระทำนี้จะได้รับจากกลุ่มเอกภาพ^{[ 36 ] : 490} ${\displaystyle N}$${\displaystyle \psi ^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{i,a}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{U}}(N)}$

กลุ่มย่อยต่อเนื่องใดๆของสามารถวัดได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากต้องการวัดสมมาตรที่กระทำต่อส่วนประกอบทั้งหมด สมมาตรที่กำลังวัดจะต้องยอมรับการแสดงแทนแบบเอกภาพ มิติ ที่กระทำต่อสปินเนอร์^{[ 49 ] : 420} นั่นคือ สำหรับทุกจะมีการแสดงแทนเมทริกซ์มิติเช่นนั้น ${\displaystyle {\text{U}}(N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g\in {\text{G}}\subseteq {\text{U}}(N)}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \rho (g)\psi (x)}$

สร้าง การแสดง แทนกลุ่มที่ซื่อสัตย์การวัดกลุ่มย่อยต่อเนื่องที่ใหญ่ที่สุดต้องใช้สปินเนอร์ในการแปลง เป็นการแสดง แทนพื้นฐานหรือแอนติพื้นฐาน^{[ 16 ] : 484 [ nb 6 ]}การวัดยกระดับการแสดงแทนจากที่ไม่ขึ้นกับปริภูมิเวลาไปเป็นขึ้นอยู่กับปริภูมิเวลา[ ^{36 ] : 490} ต้องมีการแนะนำฟิลด์เกจซึ่งอย่างเป็นทางการคือ^การเชื่อมต่อบนบันเดิลหลัก [ ^{64 ]}ซึ่งจำเป็นต้องแปลงเป็นการแสดงแทนแบบผกผันของกลุ่มเกจ อนุพันธ์โคแวเรียนต์จึงมีรูปแบบ^{[ 40 ] : 223} ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle \rho (g(x))}$${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\tilde {\rho }}(A_{\mu })\psi .}$

สมมาตรหนึ่งที่มักจะถูกวัดคือ สมมาตร กลุ่มเอกภาพพิเศษ สปินเนอร์ที่แปลงในการแสดงแทนพื้นฐานจะแปลงเป็น^{[ 49 ] : 416} ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow U(x)\psi (x),}$

โดยที่เมทริกซ์เอกลักษณ์สอดคล้องกับองค์ประกอบกลุ่มเฉพาะ ฟิลด์เกจเป็นฟิลด์เกจที่มีค่าเป็นเมทริกซ์ซึ่งแปลงเป็นการแสดงแทนแบบผกผันเป็น^{[ 16 ] : 492} ${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow U(x)A_{\mu }(x)U^{-1}(x)+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U^{-1}(x).}$

อนุพันธ์โคแวเรียนต์จึงมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi .}$

โดยการนำเทอมจลน์สำหรับสนามเกจมาใช้ด้วย จะสร้างแอคชั่นสำหรับควอนตัมโครโมไดนามิกส์^{[ 36 ] : 489}

${\displaystyle S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!/}-m)\psi \right],}$

โดยที่ในเทอมจลน์ของสนามเกจเทนเซอร์ความแข็งแรงของสนามหยาง-มิลส์ ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$

กรณีนี้อธิบายถึงปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงของ ภาค ควาร์กของแบบจำลองมาตรฐานโดยสนามเกจสอดคล้องกับกลูออนและสปินเนอร์ของดิแรกสอดคล้องกับควาร์ก^{[ 65 ] : 54} กรณี นี้ยังมีบทบาทในแบบจำลองมาตรฐาน โดยอธิบายถึงภาคอิเล็กโทรวีคสนามเกจในกรณีนี้คือโบซอน Wในขณะที่สปินเนอร์ของดิแรกคือเลปตอน [ ^{16 ] : 592} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

• สนามดิแรก
• สนามเฟอร์มิออนิก
• กระดานหมากรุกเฟย์นแมน
• การแปลง Foldy–Wouthuysen
• การสลายตัวของกอร์ดอน
• ปรากฏการณ์ไคลน์
• สมการราริตา-ชวิงเกอร์

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับสมการของ Dirac

• ประวัติความเป็นมาของโพซิตรอนการบรรยายโดยดิแรกในปี 1975
• สมการของ Diracที่ MathPages
• สมการของ Dirac สำหรับอนุภาค ส ปิน1/2
• สมการของ Dirac ในหน่วยธรรมชาติณ ห้องบรรยาย Paul M. Dirac, EMFCSC, Erice, Sicily