ดูแคลคูลัสของริชชีและสัญกรณ์ของแวน เดอร์ แวร์เดนสำหรับสัญลักษณ์ที่ใช้

ในทฤษฎีสนามควอนตัมสมการ Dirac แบบไม่เชิงเส้นเป็น แบบจำลองของ เฟอร์มิออน Diracที่มีปฏิสัมพันธ์กันเองแบบจำลองนี้ได้รับการพิจารณาอย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ควอนตัมว่าเป็นแบบจำลองของเล่น ของ อิเล็กตรอนที่มีปฏิสัมพันธ์กันเอง^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

สมการ Dirac แบบไม่เชิงเส้นปรากฏใน ทฤษฎีแรงโน้มถ่วง Einstein–Cartan –Sciama–Kibble ซึ่งขยายทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปไปสู่สสารที่มีโมเมนตัมเชิงมุมภายใน ( สปิน ) ^{[ 6 ] [ 7 ]} ทฤษฎีนี้ขจัดข้อจำกัดของสมมาตรของการเชื่อมต่อเชิงเส้นและถือว่าส่วนที่ไม่สมมาตรของมัน คือเทนเซอร์ทอร์ชั่นเป็นตัวแปรในการเปลี่ยนแปลงแอคชั่น ในสมการสนามที่ได้ เทนเซอร์ทอร์ชั่นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเอกพันธุ์ของเทนเซอร์สปินการเชื่อมต่อขั้นต่ำระหว่างทอร์ชั่นและสปินเนอร์ Diracจึงสร้างปฏิสัมพันธ์แบบแกนต่อแกน สปินต่อสปินใน สสาร เฟอร์มิออนซึ่งจะมีความสำคัญเฉพาะที่ความหนาแน่นสูงมากเท่านั้น ผลที่ตามมาคือ สมการ Dirac กลายเป็นแบบไม่เชิงเส้น (ลูกบาศก์) ในสนามสปินเนอร์^{[ 8 ] [ 9 ]}ซึ่งทำให้เฟอร์มิออนแผ่ขยายออกไปในอวกาศและอาจขจัดความแตกต่างอัลตราไวโอเลตในทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 10 ]}

ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปสองตัวอย่างคือแบบจำลอง Thirring ขนาดใหญ่ และ แบบ จำลองSoler

ในทฤษฎีของไอน์สไตน์-คาร์ตันความหนาแน่นของลากรางจ์สำหรับฟิลด์สปินเนอร์ของดิแรกจะได้รับจาก (${\displaystyle c=\hbar =1}$)

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left({\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi \right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle D_{\mu }=\บางส่วน _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\nu \rho \mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$

คือ อนุพันธ์ร่วมแปรของฟ็อค-อีวาเนนโกของสปินเนอร์เทียบกับการเชื่อมต่อเชิงเส้นตรง${\displaystyle \omega _{\mu \nu \rho }}$คือ การ เชื่อมต่อแบบหมุน${\displaystyle g}$คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกเทนเซอร์${\displaystyle g_{\mu \nu }}$และเมทริกซ์ Dirac เป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I.}$

สมการสนามของไอน์สไตน์-คาร์ตันสำหรับการเชื่อมต่อสปินให้ข้อจำกัดเชิงพีชคณิต ระหว่างการเชื่อมต่อสปินและสนามสปินเนอร์ แทนที่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งทำให้สามารถกำจัดการเชื่อมต่อสปินออกจากทฤษฎีได้อย่างชัดเจน ผลลัพธ์สุดท้ายคือสมการดิแรกแบบไม่เชิงเส้นที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่าง "สปิน-สปิน" ที่มีประสิทธิภาพ

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,}$

ที่ไหน${\displaystyle \nabla _{\mu }}$คืออนุพันธ์โคแวเรียนต์เชิงสัมพัทธภาพทั่วไปของสปินเนอร์ และ${\displaystyle \kappa }$คือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์${\textstyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$พจน์กำลังสามในสมการนี้จะมีความสำคัญเมื่อความหนาแน่นอยู่ในระดับประมาณ${\textstyle {\frac {m^{2}}{\kappa }}}$.

ในทฤษฎีทั่วไปที่การบิดตัวแพร่กระจาย เมื่อพิจารณาการบิดตัวในค่าประมาณที่มีประสิทธิภาพ ความไม่เป็นเชิงเส้นในสมการของ Dirac จะมีโครงสร้างเดียวกัน แต่จะมีค่าคงที่${\textstyle {\frac {3\kappa }{8}}}$แทนที่ในแง่ของค่าคงที่${\textstyle -{\frac {X^{2}}{M^{2}}}}$โดยที่ X คือค่าคงที่ของการเชื่อมต่อสปินเนอร์-ทอร์ชั่น และ M คือมวลของทอร์ชั่น: ในทฤษฎีนี้ ปฏิสัมพันธ์ในตัวเองจึงเป็นแบบผลักกัน เหมือนกับในแบบจำลอง Nambu-Jona-Lasinio ทุกประการและมีลักษณะไม่เป็นเชิงเส้นที่ปรากฏในมาตราส่วนพลังงานที่กำหนดโดยมวลของทอร์ชั่น^{[ 13 ]}