ระบบนำทางด้วยดาวเทียม

Q: ขั้นตอนการคำนวณ

\\tilde{t}_i , or \"phase\", of GNSS signals emitted from four or more GNSS [[satellite]]s ( i = 1,\\, 2,\\, 3,\\, 4,\\, ..,\\, n ), simultaneously. Misra, P. and Enge, P.

ระบบ นำทางด้วยดาวเทียมสำหรับการระบุตำแหน่งของเครื่องรับ ( การกำหนดตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ ) เกี่ยวข้องกับอัลกอริทึม โดยพื้นฐานแล้ว เครื่องรับ GNSSจะวัดเวลาการส่งสัญญาณ GNSS ที่ปล่อยออกมาจากดาวเทียม GNSS สี่ดวงขึ้นไป (ซึ่งให้ค่าระยะทางเทียม ) และการวัดเหล่านี้จะถูกนำมาใช้เพื่อหาตำแหน่ง (เช่นพิกัดเชิงพื้นที่ ) และเวลาในการรับสัญญาณ

ข้อมูลต่อไปนี้แสดงในระบบพิกัดของกรอบอ้างอิงเฉื่อย

วิธีแก้ปัญหาที่แสดงให้เห็น

$โดยพื้นฐานแล้ว คำตอบที่แสดงด้วยสีส้ม ( r ^ rec , t ^ rec ) {\textstyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})} , คือจุดตัดของกรวยแสง$
โดยพื้นฐานแล้ว วิธีแก้ปัญหาที่แสดงด้วยสีส้ม ${\textstyle ({\hat {\boldสัญลักษณ์ {r}}__{\text{rec}},\,{\hat {t}__{\text{rec}})}$ คือจุดตัดของกรวยแสง
การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของคำตอบได้มาจากการคูณการแจกแจงของพื้นผิวทรงกลมที่แพร่กระจาย (ดูภาพเคลื่อนไหว )

ขั้นตอนการคำนวณ

เครื่อง รับสัญญาณ ระบบนำทางด้วยดาวเทียมทั่วโลก (GNSS) จะวัดเวลาการส่งสัญญาณที่ปรากฏ ${\tilde {t}}_{i}$ หรือ "เฟส" ของสัญญาณ GNSS ที่ปล่อยออกมาจากดาวเทียม GNSS สี่ดวงขึ้นไป ( $i=1,\,2,\,3,\,4,\,..,\,n$ พร้อมกัน^{[ 1 ]}
ดาวเทียม GNSS จะออกอากาศข้อมูลวงโคจรของดาวเทียม ( ephemeris ) ${\boldsymbol {r}}_{i}(t)$ และค่าไบแอสนาฬิกาภายใน (เช่น การเลื่อนนาฬิกาไปข้างหน้า) $\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)$ เป็นฟังก์ชันของเวลามาตรฐาน⁽อะตอม ) เช่นGPST [ ²^]
ระยะเวลาในการส่งสัญญาณของดาวเทียม GNSS $t_{i}$ ดังนั้นจึงได้มาจากสมการ ที่ไม่ใช่ รูปแบบปิด ${\tilde {t}}_{i}=t_{i}+\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})$ และ $\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})=\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})+\delta t_{{\text{orbit-relativ}},\,i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})$ , ที่ไหน $\delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})$ คือ ค่าเบี่ยงเบนของนาฬิกาเชิงสั มพัทธภาพ ซึ่งเพิ่มขึ้นเป็นระยะจาก ความเยื้องศูนย์ของวงโคจรของดาวเทียมและสนามแรงโน้มถ่วง ของโลก ^{[ 2 ]} ตำแหน่งและความเร็วของดาวเทียมถูกกำหนดโดย $t_{i}$ ดังต่อไปนี้: ${\boldsymbol {r}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}(t_{i})$ และ ${\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}={\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t_{i})$ ตำแหน่งของดาวเทียมได้มาจากการคำนวณ ${\boldsymbol {r}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}(t_{i})$ .
ในสาขา GNSS คำว่า "ระยะทางเชิงเรขาคณิต" (geometric range) $r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})$ ถูกกำหนดให้เป็นช่วงเส้นตรง หรือระยะทาง³ มิติ [ ^{a ]}จาก ${\boldsymbol {r}}_{A}$ ถึง ${\boldsymbol {r}}_{B}$ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (เช่นECI ) ไม่ใช่ในกรอบอ้างอิงหมุน^{[ 2 ]}
ตำแหน่งของผู้รับ ${\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}$ และเวลาต้อนรับ $t_{\text{rec}}$ สอดคล้องกับ สมการ กรวยแสงของ $r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c+(t_{i}-t_{\text{rec}})=0$ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยโดยที่ $c$ คือความเร็วแสงเวลาที่สัญญาณเดินทางจากดาวเทียมไปยังเครื่องรับคือ $-(t_{i}-t_{\text{rec}})$ .
หลักการข้างต้นสามารถนำไปปรับใช้กับสมการ การกำหนดตำแหน่ง ด้วยระบบนำทางด้วยดาวเทียม ได้ $r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c+(t_{i}-t_{\text{rec}})+\delta t_{{\text{atmos}},i}-\delta t_{{\text{meas-err}},i}=0$ , ที่ไหน $\delta t_{{\text{atmos}},i}$ คือความล่าช้าของชั้นบรรยากาศ (= ความล่าช้าของชั้นไอโอโนสเฟียร์ + ความล่าช้าของชั้นโทรโพสเฟียร์ ) ตามเส้นทางของสัญญาณ และ $\delta t_{{\text{meas-err}},i}$ คือข้อผิดพลาดในการวัด
สามารถใช้วิธีเกาส์-นิวตันในการแก้ปัญหาการหาค่า ต่ำสุดกำลัง สองแบบไม่เชิงเส้น เพื่อหาคำตอบได้ดังนี้: $({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})=\arg \min \phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})$ , ที่ไหน $\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})=\sum _{i=1}^{n}(\delta t_{{\text{meas-err}},i}/\sigma _{\delta t_{{\text{meas-err}},i}})^{2}$ โปรดทราบว่า $\delta t_{{\text{meas-err}},i}$ ควรพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของ ${\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}$ และ $t_{\text{rec}}$ .
การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของ ${\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}$ และ $t_{\text{rec}}$ เป็นสัดส่วนกับ $\exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))$ ซึ่งมีโหมดเป็น $({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})$ การอนุมานของพวกเขาได้รับการกำหนดเป็นทางการในรูปแบบของการประมาณค่าสูงสุดภายหลัง (maximum a posteriori estimation )
การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของ ${\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}$ เป็นสัดส่วนกับ $\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))\,dt_{\text{rec}}$ .

หมายเหตุสำหรับข้อความข้างต้น

ในสาขา GNSS นั้น ${\textstyle {\tilde {r}}_{i}=-c({\tilde {t}}_{i}-{\tilde {t}}_{\text{rec}})}$ เรียกว่าพิสัยเทียม (pseudorange ) โดยที่ ${\textstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}$ เป็นเวลารับสัญญาณโดยประมาณของผู้รับ ${\textstyle \delta t_{\text{clock,rec}}={\tilde {t}}_{\text{rec}}-t_{\text{rec}}}$ เรียกว่าค่าไบแอสนาฬิกาของตัวรับ (เช่น การเลื่อนนาฬิกาไปข้างหน้า) ^{[ 1 ]}
เอาต์พุตของเครื่องรับ GNSS มาตรฐาน ${\textstyle {\tilde {r}}_{i}}$ และ ${\textstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}$ ต่อช่วงเวลา การ สังเกต
การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของค่าความคลาดเคลื่อนของนาฬิกาเชิงสัมพัทธภาพของดาวเทียมจะเป็นแบบเชิงเส้น หากวงโคจรของดาวเทียมเป็นวงกลม (และดังนั้นความเร็วของดาวเทียมจึงสม่ำเสมอในกรอบอ้างอิงเฉื่อย)
เวลาที่สัญญาณเดินทางจากดาวเทียมไปยังเครื่องรับจะแสดงเป็น ${\textstyle -(t_{i}-t_{\text{rec}})={\tilde {r}}_{i}/c+\delta t_{{\text{clock}},i}-\delta t_{\text{clock,rec}}}$ ซึ่งด้านขวาจะ ต้านทานต่อ ข้อผิดพลาด จากการปัดเศษ ระหว่างการคำนวณ
ช่วงเรขาคณิตคำนวณได้ดังนี้ ${\textstyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})=|\Omega _{\text{E}}(t_{i}-t_{\text{rec}}){\boldsymbol {r}}_{i,{\text{ECEF}}}-{\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}|}$ โดย ใช้กรอบอ้างอิงแบบหมุนที่ ยึดโลกเป็นศูนย์กลางและตรึงโลก (ECEF) (เช่นWGS84หรือITRF ) ทางด้านขวาและ ${\textstyle \Omega _{\text{E}}}$ คือเมทริกซ์การหมุนของโลกที่มีอาร์กิวเมนต์ของเวลาการส่งผ่านสัญญาณ^{[ 2 ]}เมทริกซ์สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ ${\textstyle \Omega _{\text{E}}(t_{i}-t_{\text{rec}})=\Omega _{\text{E}}(\delta t_{\text{clock,rec}})\Omega _{\text{E}}(-{\tilde {r}}_{i}/c-\delta t_{{\text{clock}},i})}$ .
เวกเตอร์หน่วยแนวสายตาของดาวเทียมที่สังเกตได้ ณ ${\textstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}$ มีคำอธิบายดังนี้: ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{i,{\text{rec,ECEF}}}=-{\frac {\partial r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})}{\partial {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}}}$ .
สมการ การกำหนดตำแหน่ง ด้วยระบบนำทางด้วยดาวเทียม สามารถแสดงได้โดยใช้ตัวแปรต่างๆ ${\textstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}$ และ ${\textstyle \delta t_{\text{clock,rec}}}$ .
ความไม่เป็นเชิงเส้นของการพึ่งพาในแนวดิ่งของความล่าช้าในชั้นบรรยากาศโทรโพสเฟียร์ทำให้ประสิทธิภาพการลู่เข้าในการ วนซ้ำแบบ เกาส์-นิวตันในขั้นตอนที่ 7 ลดลง
สัญลักษณ์ข้างต้นแตกต่างจากสัญลักษณ์ที่ปรากฏในบทความวิกิพีเดียเรื่อง 'บทนำการคำนวณตำแหน่ง' และ 'การคำนวณตำแหน่งขั้นสูง' ของระบบระบุตำแหน่งทั่วโลก (GPS)

เคส GPS

สำหรับระบบระบุตำแหน่งทั่วโลก (GPS) ^{[ 2 ]}สมการที่ไม่ใช่รูปแบบปิดในขั้นตอนที่ 3 ส่งผลให้ ${\begin{cases}\Delta t_{i}(t_{i},\,E_{i})\triangleq t_{i}+\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})-{\tilde {t}}_{i}=0,\\\Delta M_{i}(t_{i},\,E_{i})\triangleq M_{i}(t_{i})-(E_{i}-e_{i}\sin E_{i})=0,\end{cases}}$ ซึ่ง ${\textstyle E_{i}}$ คือความผิดปกติของวงโคจรแบบรีของดาวเทียม $i$ , ${\textstyle M_{i}}$ คือค่าความผิดปกติเฉลี่ย ${\textstyle e_{i}}$ คือความแปลกประหลาดและ ${\textstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})=\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})+\delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}(E_{i})}$ .
ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้ วิธี Newton–Raphson แบบสองตัวแปร บน ${\textstyle t_{i}}$ และ ${\textstyle E_{i}}$ โดยทั่วไปแล้ว การทำซ้ำสองครั้งจะเพียงพอและเหมาะสมในกรณีส่วนใหญ่ การอัปเดตแบบวนซ้ำจะอธิบายโดยใช้ค่าผกผัน โดยประมาณ ของ เมทริกซ์ Jacobianดังต่อไปนี้: ${\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}\leftarrow {\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {{\dot {M}}_{i}(t_{i})}{1-e_{i}\cos E_{i}}}&-{\frac {1}{1-e_{i}\cos E_{i}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Delta t_{i}\\\Delta M_{i}\\\end{pmatrix}}$
ไม่ควรละเลยความล่าช้าของชั้นบรรยากาศโทรโพสเฟียร์ ในขณะที่ข้อกำหนด ระบบระบุตำแหน่งทั่วโลก (GPS) ^{[ 2 ]}ไม่ได้ให้คำอธิบายโดยละเอียด

คดี GLONASS

ข้อมูลตำแหน่งดาวเทียม ของGLONASSไม่ได้ให้ค่าความคลาดเคลื่อนของนาฬิกา ${\textstyle \delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)}$ , แต่ ${\textstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t)}$ .

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ระยะทางสามมิติคำนวณได้จาก $r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})=|{\boldsymbol {r}}_{A}-{\boldsymbol {r}}_{B}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$ ที่ไหน ${\boldsymbol {r}}_{A}=(x_{A},y_{A},z_{A})$ และ ${\boldsymbol {r}}_{B}=(x_{B},y_{B},z_{B})$ แสดงในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

ลิงก์ภายนอก

PVT (ตำแหน่ง ความเร็ว เวลา): ขั้นตอนการคำนวณใน GNSS-SDR แบบโอเพนซอร์สและ RTKLIB ที่เป็นพื้นฐาน

[3] ระยะทางสามมิติคำนวณได้จาก $r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})=|{\boldsymbol {r}}_{A}-{\boldsymbol {r}}_{B}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$ ที่ไหน ${\boldsymbol {r}}_{A}=(x_{A},y_{A},z_{A})$ และ ${\boldsymbol {r}}_{B}=(x_{B},y_{B},z_{B})$ แสดงในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

[ 1 ]

(

3