ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ระบบอินทิกรัลของ Garnierหรือที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลอง Gaudin แบบคลาสสิกเป็นระบบกลศาสตร์แบบคลาสสิกที่ค้นพบโดย René Garnier ^{[ 1 ]}ในปี 1917 และแก้ไขโดยใช้อินทิกรัลอาเบเลียนบนพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัด (เส้นโค้งพีชคณิต) ที่มีจีนัสสูงตามอำเภอใจ ได้มาจากการใช้ ' การลดรูป Painlevé ' หรือ 'ขีดจำกัดอิสระ' ของสมการ Schlesinger ^{[ 2 ]}อาจตีความได้ว่าเป็นขีดจำกัดแบบคลาสสิกของแบบจำลอง Gaudin แบบควอนตัมเนื่องจากMichel Gaudin ^{[ 3 ]} (ในทำนองเดียวกัน สมการ Schlesingerเป็นขีดจำกัดแบบคลาสสิกของสมการ Knizhnik–Zamolodchikovซึ่งแสดงในรูปแบบ Heisenberg ^{[ 4 ] [ 5 ]} )

ต่อมาระบบ Garnier ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นประเภท Hamiltonian ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}ซึ่งกำหนดไว้บนปริภูมิเฟสที่ประกอบด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนของสำเนาของพีชคณิต Lie คู่ สำหรับจำนวนเต็มบวก และ สามารถอินทิเกรตได้อย่างสมบูรณ์ในความหมายของ Hamiltonian ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}$${\displaystyle N}$

นอกจากนี้ ระบบเหล่านี้ยังเป็นกรณีเฉพาะของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้แบบฮิทชิน (Hitchin integrable systems ) เมื่อเส้นโค้งพีชคณิตที่ใช้กำหนดทฤษฎีนั้นคือทรงกลมรีมันน์ (Riemann sphere)และระบบมี การแตกแขนงอย่าง อ่อนโยน (tamely ramified )

สมการชเลซิงเกอร์เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันค่าเมทริกซ์ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle n+2}$${\displaystyle A_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$$${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

'ขีดจำกัดอิสระ' กำหนดโดยการแทนที่การพึ่งพาในตัวส่วนด้วยค่าคงที่โดยที่: นี่คือระบบ Garnierในรูปแบบที่ Garnier ได้คิดค้นขึ้นมาแต่เดิม ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{n+1}=0,\alpha _{n+2}=1}$$${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$$${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

มีการกำหนดระบบ Garnier เป็นระบบกลศาสตร์แบบคลาสสิก โมเดล Gaudin แบบคลาสสิก ซึ่งควอนตัมไปเป็นโมเดล Gaudin แบบควอนตัม และสมการการเคลื่อนที่เทียบเท่ากับระบบ Garnier ส่วนนี้อธิบายการกำหนดนี้^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

เช่นเดียวกับระบบคลาสสิกใดๆ แบบจำลองของ Gaudin จะถูกกำหนดโดยแมนิโฟลด์ปัวซง ที่เรียกว่าปริภูมิเฟสและฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์ที่เรียกว่าแฮมิลโทเนียน ${\displaystyle M}$

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบ กำลังสอง นั่นคือ พีชคณิตลีที่มีรูปแบบทวิเชิง เส้นไม่ แปร เปลี่ยนที่ไม่ เสื่อมสภาพถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อนและเรียบง่าย รูป แบบนี้สามารถถือได้ว่าเป็นรูปแบบคิลลิง ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

โครงสร้าง คู่ขนานซึ่งแทนด้วยสามารถสร้างเป็นโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นได้โดยใช้วงเล็บ Kirillov– Kostant ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

ปริภูมิเฟสของแบบจำลอง Gaudin แบบคลาสสิกจึงเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของสำเนาของสำหรับจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle N}$

แต่ละสำเนาเหล่านี้จะเชื่อม โยง กับจุดในซึ่งแสดงด้วยและเรียกว่าไซต์${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}$

เมื่อกำหนดฐานของพีชคณิตลีที่มีค่าคงที่โครงสร้าง แล้ว จะมีฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสที่สอดคล้องกับวงเล็บปัวซง ${\displaystyle \{I^{a}\}}$${\displaystyle f_{c}^{ab}}$${\displaystyle X_{(r)}^{a}}$${\displaystyle r=1,\cdots ,N}$$${\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}$$

สิ่งเหล่านี้จะถูกนำไปใช้ในการกำหนดฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนเต็ม โดยมีการรวมผลโดยปริยาย ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}}$$

ถัดไป สิ่งเหล่านี้จะถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดเมทริกซ์ Laxซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าบนปริภูมิเฟส และนอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สเปกตรัมแบบ เมโรเมอร์ฟิกและ เป็นองค์ประกอบคงที่ในในแง่ที่ว่ามันสลับตำแหน่งแบบปัวซง (มีวงเล็บปัวซงเป็นศูนย์) กับฟังก์ชันทั้งหมด ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,}$$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

แฮมิลโทเนียน (กำลังสอง) คือ ซึ่งเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิเฟส ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สเปกตรัมเพิ่มเติมด้วยสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่ และ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),}$$$${\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}$$

จากความสัมพันธ์วงเล็บปัวซง โดยการเปลี่ยนแปลงและจะต้องเป็นจริงที่ว่า's, 's และล้วนอยู่ในภาวะผกผัน สามารถแสดงได้ว่า's และปัวซงสลับที่ได้กับฟังก์ชันทั้งหมดในปริภูมิเฟส แต่'s โดยทั่วไปแล้วจะไม่สลับที่ได้ สิ่งเหล่านี้คือประจุอนุรักษ์ในภาวะผกผันเพื่อวัตถุประสงค์ของความสามารถในการหาปริพันธ์ของอาร์โนลด์-ลิววิลล์ $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$${\displaystyle \Delta _{r}}$${\displaystyle \Delta _{\infty }}$${\displaystyle \Delta _{r}}$${\displaystyle \Delta _{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

สามารถแสดงให้ เห็นได้ว่าเมทริกซ์ Lax สอดคล้องกับสมการ Lax เมื่อวิวัฒนาการของเวลาถูกกำหนดโดยแฮมิลโทเนียนใดๆรวมถึงการรวมกันเชิงเส้นของแฮมิลโทเนียนเหล่านั้นด้วย $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

ค่า Casimir กำลังสองให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับพหุนามWeyl กำลังสองที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับพีชคณิต Lie แต่ในความเป็นจริงแล้ว ประจุอนุรักษ์ที่สลับตำแหน่งกันได้อีกมากมายสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้พหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลง พหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงเหล่านี้สามารถหาได้โดยใช้ไอโซมอร์ฟิซึม Harish-Chandraในกรณีที่ เป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียบง่าย และจำกัด ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ทฤษฎีสนามคลาสสิกที่สามารถบูรณาการได้บางทฤษฎีสามารถกำหนดเป็นแบบจำลอง Gaudin แบบแอฟฟินคลาสสิกได้ โดยที่เป็นพีชคณิต Lie แบบแอฟ ฟิน ทฤษฎีสนามคลาสสิกดังกล่าวรวมถึงแบบจำลองไครัล หลัก แบบ จำลองซิกมาโคเซตและทฤษฎีสนามโท ดาแบบแอฟฟิ น^{[ 10 ]}ด้วยเหตุนี้ แบบจำลอง Gaudin แบบแอฟฟินจึงสามารถมองได้ว่าเป็น 'ทฤษฎีหลัก' สำหรับระบบที่สามารถบูรณาการได้ แต่โดยธรรมชาติแล้วจะถูกกำหนดในรูปแบบแฮมิลโทเนียน ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีหลักอื่นๆ เช่นทฤษฎี Chern–Simons สี่มิติหรือ Yang– Mills แบบต่อต้านตัวเอง${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เป็นที่ทราบกันดีว่าโครงสร้างอินทิกรัลของแบบจำลองควอนตัม Gaudin มีอยู่มากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งFeigin , FrenkelและReshetikhinได้ศึกษาแบบจำลองเหล่านี้โดยใช้ทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอดซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของแบบจำลอง Gaudin กับหัวข้อต่างๆ ในคณิตศาสตร์ รวมถึงสมการ Knizhnik–Zamolodchikovและการสอดคล้องกันทางเรขาคณิตของ Langlands ^{[ 11 ]}