วิธีสเปกตรัมเทียมของเกาส์

วิธีการสเปกตรัมเทียมของเกาส์ ( Gauss pseudospectral method หรือ GPM)ซึ่งเป็นหนึ่งในหลายหัวข้อที่ตั้งชื่อตาม คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นวิธีการแปลงโดยตรงสำหรับการแบ่งปัญหาการควบคุมที่เหมาะสม แบบต่อเนื่องให้เป็น โปรแกรมไม่เชิงเส้น (Nonlinear Program หรือ NLP) วิธีการสเปกตรัมเทียมของเกาส์แตกต่างจากวิธีการสเปกตรัมเทียม อื่นๆ หลายวิธีตรง ที่พลวัตไม่ได้อยู่ตำแหน่งเดียวกันที่จุดปลายทั้งสองของช่วงเวลา การอยู่ตำแหน่งเดียวกันนี้ ร่วมกับการประมาณ ค่าโค สเตต ที่เหมาะสม จะนำไปสู่ชุด เงื่อนไข KKTที่เหมือนกับรูปแบบการแบ่งส่วนของเงื่อนไขความเหมาะสมอันดับแรก ความเท่าเทียมกันระหว่างเงื่อนไข KKT และเงื่อนไขความเหมาะสมอันดับแรกแบบแบ่งส่วนนี้ นำไปสู่การประมาณค่าโคสเตตที่แม่นยำโดยใช้ตัวคูณ KKT ของ NLP

คำอธิบาย

วิธีการนี้อิงตามทฤษฎีการจัดเรียง เชิงตั้งฉาก โดยที่จุดจัดเรียง (กล่าวคือ จุดที่ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง) คือ จุด เลอจองเดอร์ -เกาส์ (LG) แนวทางที่ใช้ใน GPM คือการใช้ การประมาณค่าสถานะ ด้วยพหุนามลากรางจ์ซึ่งรวมถึงสัมประสิทธิ์สำหรับสถานะเริ่มต้นบวกกับค่าของสถานะที่จุด LG ทั้ง N จุด ในทางตรงกันข้าม การประมาณค่าสำหรับโคสเตต (แอดจอยต์) จะทำโดยใช้ฐานของพหุนามลากรางจ์ ซึ่งรวมถึงค่าสุดท้ายของโคสเตตบวกกับโคสเตตที่จุด LG ทั้ง N จุด การประมาณค่าทั้งสองนี้ร่วมกันทำให้สามารถแมปตัวคูณ KKT ของโปรแกรมไม่เชิงเส้น (NLP) ไปยังโคสเตตของปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดที่จุด LG ทั้ง N จุด บวกกับจุดขอบเขตได้ ทฤษฎีบทการแมปโคสเตทที่เกิดขึ้นจาก GPM ได้รับการอธิบายไว้ในเอกสารอ้างอิงหลายฉบับ รวมถึงวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกสองเล่ม^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}และบทความวารสารที่รวมทฤษฎีพร้อมการประยุกต์ใช้^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

พื้นหลัง

วิธีการสเปกตรัมเทียม หรือที่รู้จักกันในชื่อวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉากในการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด เกิดขึ้นจากวิธีการสเปกตรัมซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาพลศาสตร์ของไหลแบบดั้งเดิม^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} งานสำคัญในวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉากสำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ย้อนกลับไปในปี 1979 ด้วยงานของ Reddien ^{[ 8 ]}และงานแรกๆ ที่ใช้วิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉากในงานวิศวกรรมสามารถพบได้ในเอกสารทางวิศวกรรมเคมี^{[ 9 ]}งานล่าสุดในวิศวกรรมเคมีและวิศวกรรมการบินและอวกาศได้ใช้การจัดเรียงที่จุด Legendre–Gauss–Radau (LGR) ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}ภายในชุมชนวิศวกรรมการบินและอวกาศ มีการพัฒนาวิธีการสเปกตรัมเทียมที่เป็นที่รู้จักกันดีหลายวิธีสำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสม เช่น วิธีการสเปกตรัมเทียม เชบิเชฟ (CPM) ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}วิธี การสเปกตรัม เทียมเลอจองเดอร์ (LPM) ^{[ 16 ]}และวิธีการสเปกตรัมเทียมเกาส์ (GPM) ^{[ 17 ]} CPM ใช้พหุนามเชบิเชฟเพื่อประมาณสถานะและการควบคุม และทำการจัดเรียงเชิงตั้งฉากที่จุดเชบิเชฟ-เกาส์- โลบัตโต (CGL) มีการพัฒนาการปรับปรุงวิธีการสเปกตรัมเทียมเชบิเชฟโดยใช้การคำนวณเชิงปริพันธ์แบบคลีนชอว์-เคอร์ติ ส ^{[ 18 ]} LPM ใช้พหุนามลากรางจ์สำหรับการประมาณค่า และจุดเลอจองเดอร์-เกาส์-โลบัตโต (LGL) สำหรับการจัดเรียงแบบตั้งฉากนอกจากนี้ยังมีการพัฒนา ขั้นตอนการประมาณค่าโคสเตทสำหรับ วิธีการสเปกตรัมเทียมเลอจองเด อร์ ^{[ 19 ]} งานวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นถึงรูปแบบต่างๆ ของ LPM มาตรฐาน วิธีการสเปกตรัมเทียมจาโคบี^{[ 20 ]}เป็นวิธีการสเปกตรัมเทียมทั่วไปที่ใช้พหุนามจาโคบีเพื่อค้นหาจุดจัดเรียง ซึ่งพหุนามเลอจองเดอร์เป็นส่วนย่อยของพหุนามเหล่า นั้น อีกรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่าวิธีการเฮอร์ไมต์-LGL ^{[ 21 ]}ใช้พหุนามลูกบาศก์แบบแบ่งส่วนแทนพหุนามลากรางจ์ และจัดเรียงที่ส่วนย่อยของจุด LGL

ดูเพิ่มเติม

ซอฟต์แวร์ APMonitorสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไดนามิก
PROPT - ซอฟต์แวร์ควบคุมเชิงเหมาะสม (Gauss และ Chebyshev) สำหรับ MATLAB พร้อมตัวอย่างมากกว่า 110 ตัวอย่าง
GPOPS-II : ซอฟต์แวร์ควบคุมเชิงสเปกตรัมเทียมทั่วไปที่เหมาะสมที่สุด (บทความวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ ซึ่งนำวิธีการจัดเรียงเชิงควอดราเจอร์แบบเกาส์เซียนลำดับตัวแปรมาใช้)
JModelica.org (แพลตฟอร์มโอเพนซอร์สที่ใช้ Modelica สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไดนามิก)

เอกสารอ้างอิงและหมายเหตุ

^ Benson, DA,การถอดรหัสสเปกตรัมเทียมแบบเกาส์สำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด , วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, ภาควิชาการบินและอวกาศ, MIT, พฤศจิกายน 2004
^ฮันติงตัน, จีที,การพัฒนาและการวิเคราะห์การถอดรหัสสเปกตรัมเทียมแบบเกาส์เพื่อการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด , วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, ภาควิชาการบินและอวกาศ, MIT, พฤษภาคม 2550
^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP และ Rao, AV, "การปรับวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงและการประมาณค่าโคสเตทผ่านวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉาก",วารสารการนำทาง การควบคุม และพลศาสตร์เล่มที่ 29, ฉบับที่ 6, พฤศจิกายน-ธันวาคม 2549, หน้า 1435–1440
^ Huntington, GT, Benson, DA และ Rao, AV, "การกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของการจัดเรียงยานอวกาศทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า",วารสารวิทยาศาสตร์การบินและอวกาศเล่มที่ 55, ฉบับที่ 2, มีนาคม-เมษายน 2550, หน้า 141–169
^ Huntington, GT และ Rao, AV, "การปรับโครงสร้างกลุ่มยานอวกาศให้เหมาะสมที่สุดโดยใช้วิธี Gauss Pseudospectral", Journal of Guidance, Control, and Dynamicsเล่มที่ 31, ฉบับที่ 3, มีนาคม–เมษายน 2551, หน้า 689–698
^ Canuto, C., Hussaini, MY , Quarteroni, A., Zang, TA,วิธีการเชิงสเปกตรัมในพลศาสตร์ของไหล , Springer–Verlag, นิวยอร์ก, 1988
^ Fornberg, B.,คู่มือปฏิบัติเกี่ยวกับวิธีสเปกตรัมเทียม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1998.
^ Reddien, GW, "การจัดกลุ่มที่จุดเกาส์เป็นการแบ่งส่วนย่อยในการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด"วารสาร SIAM ว่าด้วยการควบคุมและการเพิ่มประสิทธิภาพเล่มที่ 17 ฉบับที่ 2 มีนาคม 1979
^ Cuthrell, JE และ Biegler, LT, “วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพและการแก้ปัญหาพร้อมกันสำหรับโปรไฟล์การควบคุมเครื่องปฏิกรณ์แบบแบทช์”คอมพิวเตอร์และวิศวกรรมเคมีเล่มที่ 13 ฉบับที่ 1/2 ปี 1989 หน้า 49–62
^ Hedengren, JD; Asgharzadeh Shishavan, R.; Powell, KM; Edgar, TF (2014). "การสร้างแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น การประมาณค่า และการควบคุมเชิงทำนายใน APMonitor" Computers & Chemical Engineering . 70 ( 5): 133– 148. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.04.013 . S2CID 5793446 .
^ Fahroo, F. และ Ross, I., “วิธีการสเปกตรัมเทียมสำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้นที่ขอบฟ้าอนันต์” การประชุมการนำทาง การควบคุม และการนำทาง AIAA ปี 2005 เอกสาร AIAA 2005–6076 ซานฟรานซิสโก แคลิฟอร์เนีย 15–18 สิงหาคม 2548
^ Kameswaran, S. และ Biegler, LT, “อัตราการบรรจบกันสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไดนามิกโดยใช้การจัดเรียงแบบ Radau”การประชุม SIAM ว่าด้วยการเพิ่มประสิทธิภาพสตอกโฮล์ม สวีเดน 2005
^ Kameswaran, S. และ Biegler, LT, “อัตราการบรรจบกันสำหรับการถอดความโดยตรงของปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ณ จุด Radau”รายงานการประชุม American Control Conference ปี 2006 , มินนิอาโพลิส, มินนิโซตา, มิถุนายน 2006
^ Vlassenbroeck, J. และ Van Doreen, R., “เทคนิคเชบิเชฟสำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้น” IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 33, No. 4, 1988, หน้า 333–340
^ Vlassenbroeck, J., “วิธีการพหุนามเชบิเชฟสำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดพร้อมข้อจำกัดของสถานะ,” Automatica , เล่มที่ 24, 1988, หน้า 499–506
^ Elnagar, J., Kazemi, MA และ Razzaghi, M., วิธี Legendre แบบ Pseudospectral สำหรับการแบ่งส่วนปัญหาการควบคุมที่เหมาะสม, IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 40, No. 10, 1995, หน้า 1793–1796
^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP และ Rao, AV, “การเพิ่มประสิทธิภาพวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงและการประมาณค่าโคสเตทผ่านวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉาก”วารสารการนำทาง การควบคุม และพลศาสตร์เล่มที่ 29 ฉบับที่ 6 พฤศจิกายน-ธันวาคม 2549 หน้า 1435–1440
^ Fahroo, F. และ Ross, IM, “การเพิ่มประสิทธิภาพวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงด้วยวิธี Chebyshev Pseudospectral,”วารสาร Guidance, Control, and Dynamics , เล่มที่ 25, ฉบับที่ 1, มกราคม–กุมภาพันธ์ 2545, หน้า 160–166
^ Ross, IM และ Fahroo, F.การประมาณค่าสเปกตรัมเทียมของ Legendre สำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด, Lecture Notes in Control and Information Sciences , Vol.295, Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 2003
^ Williams, P., “วิธีการ Jacobi Pseudospectral สำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด”, Journal of Guidance , Vol. 27, No. 2, 2003
^ Williams, P., “วิธีการถอดรหัสโดยตรงของ Hermite–Legendre–Gauss–Lobatto ในการเพิ่มประสิทธิภาพวิถีโคจร,”ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์การบินและอวกาศเล่มที่ 120 ส่วนที่ 1 หน้า 465–484. 2005

[1] Benson, DA,การถอดรหัสสเปกตรัมเทียมแบบเกาส์สำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด , วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, ภาควิชาการบินและอวกาศ, MIT, พฤศจิกายน 2004

[2] ฮันติงตัน, จีที,การพัฒนาและการวิเคราะห์การถอดรหัสสเปกตรัมเทียมแบบเกาส์เพื่อการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด , วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, ภาควิชาการบินและอวกาศ, MIT, พฤษภาคม 2550

[3] Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP และ Rao, AV, "การปรับวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงและการประมาณค่าโคสเตทผ่านวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉาก",วารสารการนำทาง การควบคุม และพลศาสตร์เล่มที่ 29, ฉบับที่ 6, พฤศจิกายน-ธันวาคม 2549, หน้า 1435–1440

[4] Huntington, GT, Benson, DA และ Rao, AV, "การกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของการจัดเรียงยานอวกาศทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า",วารสารวิทยาศาสตร์การบินและอวกาศเล่มที่ 55, ฉบับที่ 2, มีนาคม-เมษายน 2550, หน้า 141–169

[5] Huntington, GT และ Rao, AV, "การปรับโครงสร้างกลุ่มยานอวกาศให้เหมาะสมที่สุดโดยใช้วิธี Gauss Pseudospectral", Journal of Guidance, Control, and Dynamicsเล่มที่ 31, ฉบับที่ 3, มีนาคม–เมษายน 2551, หน้า 689–698

[6] Canuto, C., Hussaini, MY , Quarteroni, A., Zang, TA,วิธีการเชิงสเปกตรัมในพลศาสตร์ของไหล , Springer–Verlag, นิวยอร์ก, 1988

[7] Fornberg, B.,คู่มือปฏิบัติเกี่ยวกับวิธีสเปกตรัมเทียม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1998.

[8] Reddien, GW, "การจัดกลุ่มที่จุดเกาส์เป็นการแบ่งส่วนย่อยในการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด"วารสาร SIAM ว่าด้วยการควบคุมและการเพิ่มประสิทธิภาพเล่มที่ 17 ฉบับที่ 2 มีนาคม 1979

[9] Cuthrell, JE และ Biegler, LT, “วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพและการแก้ปัญหาพร้อมกันสำหรับโปรไฟล์การควบคุมเครื่องปฏิกรณ์แบบแบทช์”คอมพิวเตอร์และวิศวกรรมเคมีเล่มที่ 13 ฉบับที่ 1/2 ปี 1989 หน้า 49–62

[10] Hedengren, JD; Asgharzadeh Shishavan, R.; Powell, KM; Edgar, TF (2014). "การสร้างแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น การประมาณค่า และการควบคุมเชิงทำนายใน APMonitor" Computers & Chemical Engineering . 70 ( 5): 133– 148. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.04.013 . S2CID 5793446 .

[11] Fahroo, F. และ Ross, I., “วิธีการสเปกตรัมเทียมสำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้นที่ขอบฟ้าอนันต์” การประชุมการนำทาง การควบคุม และการนำทาง AIAA ปี 2005 เอกสาร AIAA 2005–6076 ซานฟรานซิสโก แคลิฟอร์เนีย 15–18 สิงหาคม 2548

[12] Kameswaran, S. และ Biegler, LT, “อัตราการบรรจบกันสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไดนามิกโดยใช้การจัดเรียงแบบ Radau”การประชุม SIAM ว่าด้วยการเพิ่มประสิทธิภาพสตอกโฮล์ม สวีเดน 2005

[13] Kameswaran, S. และ Biegler, LT, “อัตราการบรรจบกันสำหรับการถอดความโดยตรงของปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ณ จุด Radau”รายงานการประชุม American Control Conference ปี 2006 , มินนิอาโพลิส, มินนิโซตา, มิถุนายน 2006

[14] Vlassenbroeck, J. และ Van Doreen, R., “เทคนิคเชบิเชฟสำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้น” IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 33, No. 4, 1988, หน้า 333–340

[15] Vlassenbroeck, J., “วิธีการพหุนามเชบิเชฟสำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดพร้อมข้อจำกัดของสถานะ,” Automatica , เล่มที่ 24, 1988, หน้า 499–506

[16] Elnagar, J., Kazemi, MA และ Razzaghi, M., วิธี Legendre แบบ Pseudospectral สำหรับการแบ่งส่วนปัญหาการควบคุมที่เหมาะสม, IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 40, No. 10, 1995, หน้า 1793–1796

[17] Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP และ Rao, AV, “การเพิ่มประสิทธิภาพวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงและการประมาณค่าโคสเตทผ่านวิธีการจัดเรียงเชิงตั้งฉาก”วารสารการนำทาง การควบคุม และพลศาสตร์เล่มที่ 29 ฉบับที่ 6 พฤศจิกายน-ธันวาคม 2549 หน้า 1435–1440

[18] Fahroo, F. และ Ross, IM, “การเพิ่มประสิทธิภาพวิถีการเคลื่อนที่โดยตรงด้วยวิธี Chebyshev Pseudospectral,”วารสาร Guidance, Control, and Dynamics , เล่มที่ 25, ฉบับที่ 1, มกราคม–กุมภาพันธ์ 2545, หน้า 160–166

[19] Ross, IM และ Fahroo, F.การประมาณค่าสเปกตรัมเทียมของ Legendre สำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด, Lecture Notes in Control and Information Sciences , Vol.295, Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 2003

[20] Williams, P., “วิธีการ Jacobi Pseudospectral สำหรับการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด”, Journal of Guidance , Vol. 27, No. 2, 2003

[21] Williams, P., “วิธีการถอดรหัสโดยตรงของ Hermite–Legendre–Gauss–Lobatto ในการเพิ่มประสิทธิภาพวิถีโคจร,”ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์การบินและอวกาศเล่มที่ 120 ส่วนที่ 1 หน้า 465–484. 2005

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

วิธีสเปกตรัมเทียมของเกาส์

คำอธิบาย

พื้นหลัง

ดูเพิ่มเติม

เอกสารอ้างอิงและหมายเหตุ

ข้อมูลสำคัญจากบทความ