ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มไดเฮดรัลทั่วไปเป็นกลุ่มที่มีโครงสร้างพีชคณิตคล้ายกับกลุ่มไดเฮดรัลซึ่งรวมถึงกลุ่มไดเฮดรัลจำกัดกลุ่มไดเฮดรัลอนันต์และกลุ่มออร์โธโกนอลO (2) กลุ่มได เฮดรัลมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิตและเคมี

สำหรับกลุ่มอาเบเลียนH ใดๆ กลุ่มไดเฮดรัลทั่วไปของHซึ่งเขียนแทนด้วย Dih( H ) คือผลคูณกึ่งตรงของHและ Z2 ที่กระทำต่อHโดยการกลับองค์ประกอบ กล่าวคือ${\displaystyle \mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _{\phi }Z_{2}}$โดยที่ φ(0) เอกลักษณ์และ φ(1) การผกผัน^{[ 1 ]}

ดังนั้นเราจึงได้:

( h , 0) * ( h , t ) = ( h + h , t )

( h , 1) * ( h , t ) = ( h − h , 1 + t )

สำหรับ h , h ทั้งหมดในHและt ในZ

(เมื่อเขียน Z ในรูปการคูณ เราจะได้ ( h , t ) * ( h , t ) = ( h + t h , t t ) .)

โปรดสังเกตว่า ( h , 0) * (0,1) = ( h ,1) นั่นคือ ขั้นแรกคือการผกผัน จากนั้นจึงดำเนินการในHนอกจากนี้ (0, 1) * ( h , t ) = ( − h , 1 + t ); อันที่จริง (0,1) ผกผันhและสลับtระหว่าง "ปกติ" (0) และ "ผกผัน" (1) (การดำเนินการรวมกันนี้เป็นการผกผันของตัวมันเอง)

กลุ่มย่อยของ Dih( H ) ของสมาชิก ( h , 0) เป็นกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนี 2 ซึ่งสมมาตรกับHในขณะที่สมาชิก ( h , 1) ทั้งหมดเป็นตัวผกผันของตัวเอง

กลุ่มการผันคำกริยาได้แก่:

• เซต {( h ,0 ), ( − h ,0 )}
• เซต {( h + k + k , 1) | kในH }

ดังนั้น สำหรับทุกกลุ่มย่อยMของHเซตของสมาชิกที่สอดคล้องกัน ( m , 0) ก็เป็นกลุ่มย่อยปกติเช่นกัน เรามี:

Dih( H ) / M = Dih ( H / M )

• Dih = Dih( Z ) ( กลุ่มไดฮีดรัล )
  • สำหรับจำนวนคู่nจะมีเซตสองเซต {( h + k + k , 1) | kในH } และแต่ละเซตจะสร้างกลุ่มย่อยปกติประเภท Dih ในฐานะกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซเมตรีของเซตจุดยอดของรูปnเหลี่ยมปกติ พวกมันแตกต่างกัน: การสะท้อนในกลุ่มย่อยหนึ่งมีจุดตรึงสองจุดทั้งหมด ในขณะที่ไม่มีในกลุ่มย่อยอื่นใดมี (การหมุนของทั้งสองเหมือนกัน) อย่างไรก็ตาม พวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะกลุ่มนามธรรม
  • สำหรับn ที่เป็นเลขคี่ จะมีเซตเพียงเซตเดียวคือ {( h + k + k , 1) | kในH }
• Dih = Dih( Z ) ( กลุ่มไดเฮดรัลอนันต์ ); มีสองเซต {( h + k + k , 1) | kในH } และแต่ละเซตสร้างกลุ่มย่อยปกติของประเภท Dih ในฐานะกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซเมตรีของZพวกมันแตกต่างกัน: การสะท้อนในกลุ่มย่อยหนึ่งมีจุดตรึงทั้งหมด กระจกเงาอยู่ที่จำนวนเต็ม ในขณะที่ไม่มีในกลุ่มย่อยอื่นใดที่มี กระจกเงาอยู่ระหว่างนั้น (การเลื่อนของทั้งสองเหมือนกัน: โดยจำนวนคู่) อย่างไรก็ตาม พวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะกลุ่มนามธรรม
• Dih(S ¹ ) หรือกลุ่มเชิงตั้งฉาก O(2, R ) หรือ O(2): กลุ่มไอโซเมตรีของวงกลมหรือเทียบเท่ากับกลุ่มไอโซเมตรีใน 2 มิติที่รักษาจุดกำเนิดให้คงที่ การหมุนก่อให้เกิดกลุ่มวงกลม S ¹หรือเทียบเท่ากับ SO(2, R ) ซึ่งเขียนได้อีกแบบว่า SO(2) และR / Z  ; นอกจากนี้ยังเป็นกลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ในกรณีหลัง การสะท้อนหนึ่ง (ที่สร้างการสะท้อนอื่นๆ) คือการสังยุคเชิงซ้อนไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่แท้จริงที่มีการสะท้อน กลุ่มย่อยปกติแบบไม่ต่อเนื่องคือกลุ่มวัฏจักรอันดับnสำหรับจำนวนเต็มบวกn ทั้งหมด กลุ่มผลหารมีความสมมาตรกับกลุ่มเดียวกัน Dih(S ¹ )
• Dih( R ⁿ ): กลุ่มของไอโซเมตรีของR ⁿ ที่ประกอบด้วยการเลื่อนและการผกผันทั้งหมดในทุกจุด สำหรับn = 1 นี่คือกลุ่มยุคลิดE(1)สำหรับn > 1 กลุ่ม Dih( R ⁿ ) เป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของ E( n ) กล่าวคือ มันไม่ได้ประกอบด้วยไอโซเมตรีทั้งหมด
• Hสามารถเป็นกลุ่มย่อยใดๆ ของR ⁿก็ได้ เช่น กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีนั้น ถ้ามันขยายออกไปในnทิศทาง มันก็จะเป็นแลตทิซ
  • กลุ่มย่อยแบบแยกส่วนของ Dih( R ² ) ซึ่งมีการแปลในทิศทางเดียว เป็น กลุ่ม ประเภทfrieze${\displaystyle \infty \infty }$และ 22${\displaystyle \infty }$.
  • กลุ่มย่อยแบบแยกส่วนของ Dih( R ² ) ซึ่งมีการแปลในสองทิศทางเป็นกลุ่มวอลเปเปอร์ประเภท p1 และ p2
  • กลุ่มย่อยแบบแยกส่วนของ Dih( R ³ ) ซึ่งมีการแปลในสามทิศทางคือกลุ่มพื้นที่ของระบบผลึกไตรคลินิก

Dih( H ) เป็นกลุ่มอาเบเลียน โดยที่ผลคูณกึ่งตรงเป็นผลคูณตรง ก็ต่อเมื่อสมาชิกทั้งหมดของHเป็นตัวผกผันของตัวเอง กล่าวคือ เป็น กลุ่มอาเบเลียน 2-กลุ่มพื้นฐาน :

• Dih( Z ) = Dih = Z
• Dih( Z ) = Dih = Z × Z ( ไคลน์สี่กลุ่ม )
• Dih(Dih ) = Dih × Z = Z × Z × Z

เป็นต้น

Dih( R ⁿ ) และกลุ่มย่อยไดเฮดรัลของมันเป็นกลุ่มโทโพโลยี ที่ไม่เชื่อมต่อกัน Dih( R ⁿ ) ประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน สองส่วน ได้แก่ ส่วนประกอบเอกลักษณ์ที่สมมาตรกับR ⁿและส่วนประกอบที่มีการสะท้อน ในทำนองเดียวกัน O(2) ประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วน ได้แก่ ส่วนประกอบเอกลักษณ์ที่สมมาตรกับกลุ่มวงกลม และส่วนประกอบที่มีการสะท้อน

สำหรับกลุ่ม Dih เราสามารถแยกแยะได้สองกรณี:

• Dih เป็นกลุ่มไอโซเมตรีของZ
• Dih เป็นกลุ่มไอโซเมตรี 2 มิติที่สร้างขึ้นโดยการหมุนด้วยจำนวนรอบที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ และการสะท้อน

กลุ่มโทโพโลยีทั้งสองกลุ่มนั้นแยกขาดจากกันโดยสิ้นเชิงแต่ในกรณีแรก ส่วนประกอบ (ที่มีสมาชิกเดียว) เป็นกลุ่มเปิด ในขณะที่ในกรณีที่สอง ส่วนประกอบเหล่านั้นไม่ใช่กลุ่มเปิด นอกจากนี้ กลุ่มโทโพโลยีกลุ่มแรกยังเป็นกลุ่มย่อยปิดของ Dih( R ) แต่กลุ่มที่สองไม่ใช่กลุ่มย่อยปิดของ O(2)