การกรองแบบทั่วไปเป็น แผนการ กรองแบบเบย์เซียน ทั่วไป สำหรับแบบจำลองปริภูมิสถานะที่ไม่เป็นเชิงเส้น^{[ 1 ]}โดยอาศัยหลักการแปรผันของการกระทำน้อยที่สุดซึ่งกำหนดในพิกัดการเคลื่อนที่แบบทั่วไป^{[ 2 ]}โปรดทราบว่า "พิกัดการเคลื่อนที่แบบทั่วไป" เกี่ยวข้องกับ แต่แตกต่างจากพิกัดแบบทั่วไปที่ใช้ในการวิเคราะห์ระบบพลวัต (หลายส่วน) การกรองแบบทั่วไปให้ความหนาแน่นภายหลังเหนือสถานะที่ซ่อนอยู่ (และพารามิเตอร์) ที่สร้างข้อมูลที่สังเกตได้โดยใช้การไล่ระดับแบบ ทั่วไป บนพลังงานอิสระแปรผัน ภายใต้สมมติฐานของลาปลาสแตกต่างจากการกรองแบบคลาสสิก (เช่นKalman-Bucyหรืออนุภาค ) การกรองแบบทั่วไปหลีกเลี่ยงสมมติฐานแบบมาร์โคเวียนเกี่ยวกับการผันผวนแบบสุ่ม นอกจากนี้ยังทำงานแบบออนไลน์ โดยการรวมข้อมูลเพื่อประมาณความหนาแน่นภายหลังเหนือปริมาณที่ไม่ทราบค่า โดยไม่จำเป็นต้องมีการส่งผ่านย้อนกลับ กรณีพิเศษ ได้แก่การกรองแบบแปรผัน [ ^{3 ]}การเพิ่มความคาดหวังแบบไดนามิก^{[ 4 ] และการ}เข้ารหัสทำนาย แบบทั่วไป

คำจำกัดความ : การกรองแบบทั่วไปอาศัยทูเปิล ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle (\Omega ,U,X,S,p,q)}$

• ปริภูมิของตัวอย่าง ซึ่ง สุ่มค่าความผันผวนมา${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$
• สถานะควบคุม – ที่ทำหน้าที่เป็นสาเหตุภายนอก ปัจจัยนำเข้า หรือเงื่อนไขบังคับ${\displaystyle U\in \mathbb {R} }$
• สภาวะที่ซ่อนเร้น – ซึ่งก่อให้เกิดสภาวะทางประสาทสัมผัสและขึ้นอยู่กับสภาวะควบคุม${\displaystyle X:X\times U\times \Omega \to \mathbb {R} }$
• สถานะเซ็นเซอร์ – การแมปเชิงความน่าจะเป็นจากสถานะที่ซ่อนอยู่และสถานะควบคุม${\displaystyle S:X\times U\times \Omega \to \mathbb {R} }$
• ความหนาแน่นของการสร้าง – ครอบคลุมสถานะทางประสาทสัมผัส สถานะที่ซ่อนเร้น และสถานะควบคุมภายใต้แบบจำลองการสร้าง${\displaystyle p({\tilde {s}},{\tilde {x}},{\tilde {u}}\mid m)}$${\displaystyle m}$
• ความหนาแน่นแปรผัน – เหนือสถานะที่ซ่อนอยู่และสถานะควบคุมด้วยค่าเฉลี่ย${\displaystyle q({\tilde {x}},{\tilde {u}}\mid {\tilde {\mu }})}$${\displaystyle {\tilde {\mu }}\in \mathbb {R} }$

ในที่นี้ ~ หมายถึงตัวแปรในพิกัดการเคลื่อนที่แบบทั่วไป:${\displaystyle {\tilde {u}}=[u,u',u'',\ldots ]^{T}}$

วัตถุประสงค์คือการประมาณความหนาแน่นของโพสทีเรียร์เหนือสถานะที่ซ่อนอยู่และสถานะควบคุม โดยพิจารณาจากสถานะเซนเซอร์และแบบจำลองการสร้างและประมาณหลักฐานของแบบจำลอง (ปริพันธ์เส้นทางของ) เพื่อเปรียบเทียบแบบจำลองต่างๆ โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหาค่าเฉลี่ยที่ไม่สามารถคำนวณได้เหนือสถานะที่ซ่อนอยู่ ดังนั้นหลักฐานของแบบจำลอง (หรือความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล) จึงถูกแทนที่ด้วยขอบเขตพลังงานอิสระแบบแปรผัน^{[ 5 ]}โดยพิจารณาจากคำจำกัดความต่อไปนี้: ${\displaystyle p({\tilde {s}}(t)\vert m)}$

${\displaystyle {\tilde {\mu }}(t)={\underset {\tilde {\mu }}{\operatorname {arg\,min} }}\{F({\tilde {s}}(t),{\tilde {\mu }})\}}$

${\displaystyle G({\tilde {s}},{\tilde {x}},{\tilde {u}})=-\ln p({\tilde {s}},{\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert m)}$

ให้ แทนเอนโทรปีของแชนนอนของความหนาแน่นจากนั้นเราสามารถเขียนพลังงานอิสระแบบแปรผันได้สองวิธี: ${\displaystyle q}$${\displaystyle H[q]=E_{q}[-\log(q)]}$

${\displaystyle F({\tilde {s}},{\tilde {\mu }})=E_{q}[G({\tilde {s}},{\tilde {x}},{\tilde {u}})]-H[q({\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert {\tilde {\mu }})]=-\ln p({\tilde {s}}\vert ม)+D_{KL}[q({\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert {\tilde {\mu }})\vert \vert p({\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert {\tilde {s}},m)]}$

ความเท่าเทียมกันที่สองแสดงให้เห็นว่าการลดพลังงานอิสระแปรผันให้น้อยที่สุด (i) จะลดความแตกต่างของ Kullback-Leiblerระหว่างความหนาแน่นภายหลังแปรผันและความหนาแน่นภายหลังที่แท้จริงให้น้อยที่สุด และ (ii) ทำให้พลังงานอิสระแปรผัน (การประมาณขอบเขต) เป็นหลักฐานลอการิทึมเชิงลบ (เนื่องจากความแตกต่างไม่สามารถน้อยกว่าศูนย์ได้) ^{[ 6 ]}ภายใต้สมมติฐานของ Laplace ความหนาแน่นแปรผันเป็นแบบเกาส์เซียน และความแม่นยำที่ลดพลังงานอิสระให้น้อยที่สุดคือซึ่งหมายความว่าพลังงานอิสระสามารถแสดงได้ในรูปของค่าเฉลี่ยแปรผัน^{[ 7 ]} (ละเว้นค่าคงที่): ${\displaystyle q({\tilde {x}},{\tilde {u}}\mid {\tilde {\mu }})={\mathcal {N}}({\tilde {\mu }},C)}$${\displaystyle C^{-1}=\Pi =\partial _{{\tilde {\mu }}{\tilde {\mu }}}G({\tilde {\mu }})}$

${\displaystyle F=G({\tilde {\mu }})+\textstyle {1 \over 2}\ln \vert \partial _{{\tilde {\mu }}{\tilde {\mu }}}G({\tilde {\mu }})\vert }$

วิธีการแปรผันที่ลดค่าต่ำสุดของ (ปริพันธ์เส้นทาง) ของพลังงานอิสระ สามารถกู้คืนได้โดยการแก้ตัวกรองทั่วไป:

${\displaystyle {\dot {\tilde {\mu }}}=D{\tilde {\mu }}-\partial _{\tilde {\mu }}F({\tilde {s}},{\tilde {\mu }})}$

โดยที่เป็น ตัวดำเนินการอนุพันธ์ เมทริกซ์บล็อกของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่ง${\displaystyle D}$${\displaystyle D{\tilde {u}}=[u',u'',\ldots ]^{T}}$

การกรองแบบทั่วไปนั้นอิงตามบทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้: คำตอบที่สอดคล้องกันเองนั้นสอดคล้องกับหลักการแปรผันของการกระทำที่อยู่กับที่โดยที่การกระทำนั้นคือปริพันธ์เส้นทางของพลังงานอิสระแปรผัน${\displaystyle {\dot {\tilde {\mu }}}=D{\tilde {\mu }}-\partial _{\tilde {\mu }}F(s,{\tilde {\mu }})}$

${\displaystyle S=\int dt\,F({\tilde {s}}(t),{\tilde {\mu }}(t))}$

บทพิสูจน์ : ความสอดคล้องในตัวเองกำหนดให้การเคลื่อนที่ของค่าเฉลี่ยต้องเป็นค่าเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ และ (ตามบทพิสูจน์พื้นฐานของแคลคูลัสเชิงแปรผัน )

${\displaystyle {\dot {\tilde {\mu }}}=D{\tilde {\mu }}\Leftrightarrow \partial _{\tilde {\mu }}F({\tilde {s}},{\tilde {\mu }})=0\Leftrightarrow \delta _{\tilde {\mu }}S=0}$

กล่าวโดยสรุป การรบกวนเล็กน้อยต่อเส้นทางของค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลงพลังงานอิสระแปรผัน และเส้นทางนี้มีผลกระทบน้อยที่สุดในบรรดาเส้นทาง (เฉพาะที่) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

หมายเหตุ : โดยทั่วไปแล้ว การกรองแบบทั่วไปจะทำการลดระดับความชันบนพลังงานอิสระแปรผันในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่: โดยที่กรอบนั้นเองจะทำให้พลังงานอิสระแปรผันมีค่าน้อยที่สุด สำหรับตัวอย่างที่เกี่ยวข้องในฟิสิกส์เชิงสถิติ โปรดดู Kerr และ Graham ^{[ 8 ]}ซึ่งใช้พลวัตของกลุ่มในพิกัดทั่วไปเพื่อจัดเตรียมเวอร์ชันพื้นที่เฟสทั่วไปของสมการ Langevin และสมการ Fokker-Planck ที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle {\dot {\tilde {\mu }}}-D{\tilde {\mu }}=-\partial _{\tilde {\mu }}F(s,{\tilde {\mu }})}$

ในทางปฏิบัติ การกรองแบบทั่วไปใช้การทำให้เป็นเส้นตรงเฉพาะที่^{[ 9 ]}ในช่วงเวลาต่างๆเพื่อกู้คืนการอัปเดตแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\tilde {\mu }}&=(\exp(\Delta t\cdot J)-I)J^{-1}{\dot {\tilde {\mu }}}\\J&=\partial _{\tilde {\mu }}{\dot {\tilde {\mu }}}=D-\partial _{{\tilde {\mu }}{\tilde {\mu }}}F({\tilde {s}},{\tilde {\mu }})\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันนี้จะอัปเดตค่าเฉลี่ยของตัวแปรแฝงในแต่ละช่วงเวลา (โดยปกติคือช่วงเวลาระหว่างการสังเกตการณ์)

โดยปกติแล้ว ความหนาแน่นหรือแบบจำลองการสร้างจะถูกกำหนดในรูปของแบบจำลองอินพุต-สถานะ-เอาต์พุตแบบไม่เชิงเส้นที่มีฟังก์ชันไม่เชิงเส้นต่อเนื่อง:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=g(x,u)+\omega _{s}\\{\dot {x}}&=f(x,u)+\omega _{x}\end{aligned}}}$

แบบจำลองทั่วไปที่สอดคล้องกัน (ภายใต้สมมติฐานความเป็นเส้นตรงเฉพาะที่) ได้รับมาจากกฎลูกโซ่

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {s}}&={\tilde {g}}({\tilde {x}},{\tilde {u}})+{\tilde {\omega }}_{s}\\\\s&=g(x,u)+\omega _{s}\\s'&=\partial _{x}g\cdot x'+\partial _{u}g\cdot u'+\omega '_{s}\\s''&=\partial _{x}g\cdot x''+\partial _{u}g\cdot u''+\omega ''_{s}\\&\vdots \\\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}{\dot {\tilde {x}}}&={\tilde {f}}({\tilde {x}},{\tilde {u}})+{\tilde {\omega }}_{x}\\\\{\dot {x}}&=f(x,u)+\omega _{x}\\{\dot {x}}'&=\partial _{x}f\cdot x'+\partial _{u}f\cdot u'+\omega '_{x}\\{\dot {x}}''&=\partial _{x}f\cdot x''+\partial _{u}f\cdot u''+\omega ''_{x}\\&\vdots \end{aligned}}}$

สมมติฐานแบบเกาส์เซียนเกี่ยวกับการผันผวนแบบสุ่มจะกำหนดความน่าจะเป็นและค่าความน่าจะเป็นเบื้องต้นเชิงประจักษ์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของสถานะที่ซ่อนอยู่ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left({\tilde {s}},{\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert m\right)&=p\left({\tilde {s}}\vert {\tilde {x}},{\tilde {u}},m\right)p\left({D{\tilde {x}}\vert x,{\tilde {u}},m}\right)p(x\vert m)p({\tilde {u}}\vert m)\\p\left({\tilde {s}}\vert {\tilde {x}},{\tilde {u}},m\right)&={\mathcal {N}}({\tilde {g}}({\tilde {x}},{\tilde {u}}),{\tilde {\Sigma }}({\tilde {x}},{\tilde {u}})_{s})\\p\left({D{\tilde {x}}\vert x,{\tilde {u}},m}\right)&={\mathcal {N}}({\tilde {f}}({\tilde {x}},{\tilde {u}}),{\tilde {\Sigma }}({\tilde {x}},{\tilde {u}})_{x})\\\end{aligned}}}$

ค่าความแปรปรวนร่วมจะแยกออกเป็นค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปร และค่าสหสัมพันธ์ระหว่างความผันผวนทั่วไป ซึ่งเข้ารหัสค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวแปร เหล่านั้น : ${\displaystyle {\tilde {\Sigma }}=V\otimes \Sigma }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&0&{\ddot {\rho }}(0)&\cdots \\0&-{\ddot {\rho }}(0)&0\ &\ \\{\ddot {\rho }}(0)\ &0\ &{\ddot {\ddot {\rho }}}(0)\ &\ \\\vdots \ &\ &\ &\ddots \ \\\end{bmatrix}}}$

ในที่นี้อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกประเมินที่ศูนย์ นี่คือการวัดความหยาบที่พบได้ทั่วไปในทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม^{[ 10 ]} ที่สำคัญ ความแม่นยำ (ความแปรปรวนผกผัน) ของอนุพันธ์อันดับสูงจะลดลงเป็นศูนย์ค่อนข้างเร็ว ซึ่งหมายความ ว่าจำเป็นต้องสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ทั่วไปที่มีลำดับค่อนข้างต่ำ (โดยปกติอยู่ระหว่างสองถึงแปด) สำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่กำหนดหรือกำหนดพารามิเตอร์ใดๆ เท่านั้น ${\displaystyle {\ddot {\rho }}(0)}$

เมื่อพิจารณาอนุกรมเวลาเป็นลำดับการสังเกตแบบไม่ต่อเนื่อง การสุ่มตัวอย่างโดยปริยายจะถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการสร้าง โดย (ใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ ) ${\displaystyle N}$

${\displaystyle [s_{1},\dots ,s_{N}]^{T}=(E\otimes I)\cdot {\tilde {s}}(t):\qquad E_{ij}={\frac {(i-t)^{(j-1)}}{(j-1)!}}}$

โดยหลักการแล้ว ลำดับทั้งหมดสามารถนำมาใช้ประมาณค่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่ ณ แต่ละช่วงเวลาได้ อย่างไรก็ตาม ความแม่นยำของตัวอย่างในอดีตและอนาคตจะลดลงอย่างรวดเร็วและสามารถละเลยได้ วิธีนี้ช่วยให้สามารถประมวลผลข้อมูลแบบออนไลน์ได้ โดยใช้การสังเกตการณ์ในพื้นที่รอบๆ แต่ละช่วงเวลา (โดยทั่วไปอยู่ระหว่างสองถึงแปดช่วงเวลา)

สำหรับพารามิเตอร์แบบจำลองที่เปลี่ยนแปลงช้าๆ ของสมการการเคลื่อนที่หรือการกรองทั่วไปที่มีความแม่นยำสูง จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ (โดยที่สอดคล้องกับค่าเฉลี่ยแปรผันของพารามิเตอร์) ${\displaystyle f(x,u,\theta )}$${\displaystyle {\tilde {\Pi }}(x,u,\theta )}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mu }}&=\mu '\\{\dot {\mu '}}&=-\partial _{\mu }F({\tilde {s}},\mu )-\kappa \mu '\end{aligned}}}$

ในที่นี้ วิธีแก้ปัญหาจะลดพลังงานอิสระแปรผันให้น้อยที่สุด เมื่อการเคลื่อนที่ของค่าเฉลี่ยมีขนาดเล็ก สามารถเห็นได้จากการสังเกต เป็นการ ง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหานี้สอดคล้องกับ การปรับปรุงแบบนิวตันแบบคลาสสิก^{[ 11 ]}${\displaystyle {\dot {\tilde {\mu }}}=0}$${\displaystyle {\dot {\mu }}={\dot {\mu }}'=0\Rightarrow \partial _{\mu }F=0\Rightarrow \delta _{\mu }S=0}$

การกรองแบบคลาสสิกภายใต้สมมติฐานแบบมาร์โคเวียนหรือไวเนอร์นั้นเทียบเท่ากับการสมมติว่าความแม่นยำของการเคลื่อนที่ของความผันผวนแบบสุ่มเป็นศูนย์ ในกรณีจำกัดนี้ เราต้องพิจารณาเฉพาะสถานะและอนุพันธ์อันดับแรกของสถานะเหล่านั้นเท่านั้นซึ่งหมายความว่าการกรองแบบทั่วไปจะมีรูปแบบเป็นตัวกรอง Kalman-Bucy โดยมีเงื่อนไขการทำนายและการแก้ไข: ${\displaystyle {\tilde {\mu }}=(\mu ,{\mu }')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mu }}&=\mu '-\partial _{\mu }F(s,{\tilde {\mu }})\\{\dot {\mu '}}&=-\partial _{\mu '}F(s,{\tilde {\mu }})\end{aligned}}}$

การแทนที่การกรองลำดับแรกนี้ลงในแผนการอัปเดตแบบไม่ต่อเนื่องข้างต้นจะให้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากับการกรอง Kalman (แบบขยาย) ^{[ 12 ]}

การกรองอนุภาคเป็นแผนการที่ใช้การสุ่มตัวอย่างซึ่งผ่อนคลายข้อสมมติเกี่ยวกับรูปแบบของความหนาแน่นหลังแบบแปรผันหรือโดยประมาณ แผนการกรองทั่วไปที่สอดคล้องกันเรียกว่า การกรอง แบบแปรผัน^{[ 3 ]}ในการกรองแบบแปรผัน กลุ่มของอนุภาคจะแพร่กระจายไปทั่วภูมิทัศน์พลังงานอิสระในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับการเคลื่อนที่ที่คาดหวัง (ทั่วไป) ของกลุ่ม ซึ่งให้แผนการที่ค่อนข้างง่ายซึ่งหลีกเลี่ยงข้อสมมติแบบเกาส์เซียน (แบบโมดอลเดียว) แตกต่างจากการกรองอนุภาคตรงที่ไม่ต้องการความหนาแน่นของข้อเสนอ หรือการกำจัดหรือการสร้างอนุภาค

Variational Bayesอาศัยการแบ่งส่วนแบบสนามเฉลี่ยของความหนาแน่นแปรผัน:

${\displaystyle q({\tilde {x}},{\tilde {u}},\theta \dots \vert {\tilde {\mu }},\mu )=q({\tilde {x}},{\tilde {u}}\vert {\tilde {\mu }})q(\theta \vert \mu )\dots }$

การแบ่งส่วนนี้ทำให้เกิดการอัปเดตหรือขั้นตอนแบบแปรผันสำหรับความหนาแน่นขอบแต่ละส่วน ซึ่งโดยปกติจะแก้ไขได้ด้วยวิธีวิเคราะห์โดยใช้ไพรเออร์แบบคอนจูเกต ในการกรองแบบทั่วไป สิ่งนี้นำไปสู่การเพิ่มความคาดหวังแบบไดนามิก^{[ 4 ]}ซึ่งประกอบด้วยขั้นตอน D ที่ปรับสถิติที่เพียงพอของสถานะที่ไม่ทราบ ขั้นตอน E สำหรับพารามิเตอร์ และขั้นตอน M สำหรับความแม่นยำ

โดยทั่วไปแล้ว การกรองแบบทั่วไปจะใช้เพื่อกลับแบบจำลองลำดับชั้นที่มีรูปแบบดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {s}}&={\tilde {g}}^{1}({\tilde {x}}^{1},{\tilde {u}}^{(1)})+{\tilde {\omega }}_{s}^{(1)}\\{\dot {\tilde {x}}}^{(1)}&={\tilde {f}}^{(1)}({\tilde {x}}^{(1)},{\tilde {u}}^{(1)})+{\tilde {\omega }}_{x}^{(1)}\\\vdots \\{\tilde {u}}^{(i-1)}&={\tilde {g}}^{(i)}({\tilde {x}}^{(i)},{\tilde {u}}^{(i)})+{\tilde {\omega }}_{u}^{(i)}\\{\dot {\tilde {x}}}^{(i)}&={\tilde {f}}^{(i)}({\tilde {x}}^{(i)},{\tilde {u}}^{(i)})+{\tilde {\omega }}_{x}^{(i)}\\\vdots \end{aligned}}}$

จากนั้น การลดระดับความชันทั่วไปที่เกิดขึ้นบนพลังงานอิสระสามารถแสดงได้อย่างกระชับในรูปของข้อผิดพลาดในการทำนาย โดยที่ (ละเว้นพจน์ลำดับสูง):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\tilde {\mu }}}_{u}^{(i)}&=D{\tilde {\mu }}^{(u,i)}-\partial _{u}{\tilde {\varepsilon }}^{(i)}\cdot \Pi ^{(i)}{\tilde {\varepsilon }}^{(i)}-\Pi ^{(i+1)}{\tilde {\varepsilon }}_{u}^{(i+1)}\\{\dot {\tilde {\mu }}}_{x}^{(i)}&=D{\tilde {\mu }}^{(x,i)}-\partial _{x}{\tilde {\varepsilon }}^{(i)}\cdot \Pi ^{(i)}{\tilde {\varepsilon }}^{(i)}\\\\{\tilde {\varepsilon }}_{u}^{(i)}&={\tilde {\mu }}_{u}^{(i-1)}-{\tilde {g}}^{(i)}\\{\tilde {\varepsilon }}_{x}^{(i)}&=D{\tilde {\mu }}_{x}^{(i)}-{\tilde {f}}^{(i)}\end{aligned}}}$

ในที่นี้คือความแม่นยำของความผันผวนแบบสุ่มที่ ระดับที่ iซึ่งเรียกว่าการเข้ารหัสทำนายแบบทั่วไป [11] โดยมีการเข้ารหัสทำนายเชิงเส้นเป็นกรณีพิเศษ ${\displaystyle \Pi ^{(i)}}$

การกรองแบบทั่วไปถูกนำไปใช้กับอนุกรมเวลาทางชีวภาพเป็นหลัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อมูลการถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงฟังก์ชันและข้อมูลทางสรีรวิทยาไฟฟ้า โดยทั่วไปแล้วจะอยู่ในบริบทของการสร้างแบบจำลองเชิงสาเหตุแบบไดนามิกเพื่ออนุมานเกี่ยวกับสถาปัตยกรรมพื้นฐานของระบบ (ประสาท) ที่สร้างข้อมูล^{[ 13 ]}นอกจากนี้ยังใช้เพื่อจำลองการอนุมานในแง่ของการเข้ารหัสเชิงทำนายแบบทั่วไป (ลำดับชั้น) ในสมอง^{[ 14 ]}

• เครือข่ายเบย์เซียนแบบไดนามิก
• ตัวกรองคาลมาน
• การเข้ารหัสทำนายเชิงเส้น
• การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด
• ตัวกรองอนุภาค
• การประมาณค่าแบบเบย์เซียนแบบเรียกซ้ำ
• การระบุระบบ
• วิธีการเบย์เซียนแบบแปรผัน

• ตัวอย่างการใช้งาน ซอฟต์แวร์และการประยุกต์ใช้งานมีให้ใช้งานฟรีสำหรับใช้ในเชิงวิชาการ (ในรูปแบบโค้ด Matlab) ในชุดเครื่องมือ DEM ของ SPM
• เอกสารรวบรวมบทความทางเทคนิคและบทความประยุกต์