ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล (Marginal Likelihood)คือฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ถูกอิน ทิ เกรตเหนือ ปริภูมิพารามิเตอร์ ในสถิติแบบเบย์เซียนมันแสดงถึงความน่าจะเป็นของการสร้างตัวอย่างที่สังเกตได้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์ สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของแบบจำลองเอง และจึงมักถูกเรียกว่าหลักฐานของแบบจำลองหรือเรียกง่ายๆว่า หลักฐาน

เนื่องจากการบูรณาการเหนือพื้นที่พารามิเตอร์ ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลจึงไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์โดยตรง หากไม่ได้มุ่งเน้นที่การเปรียบเทียบแบบจำลอง ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลก็คือค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานที่รับประกันว่าความ น่าจะ เป็นภายหลังเป็นความน่าจะเป็นที่เหมาะสม ซึ่งเกี่ยวข้องกับ ฟังก์ชันการแบ่งส่วนใน กลศาสตร์สถิติ^{[ 1 ]}

กำหนดให้ชุดข้อมูลอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันโดยที่ตามการแจกแจงความน่าจะเป็น บางอย่าง ที่กำหนดโดย พารามิเตอร์ โดย ที่ตัวมันเองเป็นตัวแปรสุ่มที่อธิบายโดยการแจกแจง กล่าวคือความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลโดยทั่วไปถามว่าความน่าจะเป็นคืออะไร เมื่อถูกตัดออกไปแล้ว (รวมออกไปแล้ว): ${\displaystyle \mathbf {X} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$${\displaystyle x_{i}\sim p(x|\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta \sim p(\theta \mid \alpha ),}$${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \alpha )}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \alpha )=\int _{\theta }p(\mathbf {X} \mid \theta )\,p(\theta \mid \alpha )\ \operatorname {d} \!\theta }$

คำจำกัดความข้างต้นถูกกำหนดขึ้นในบริบทของสถิติแบบเบย์เซียนซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าความหนาแน่นก่อนหน้าและเป็นความน่าจะเป็น เมื่อตระหนักว่าความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลเป็นค่าคงที่ของการทำให้เป็นมาตรฐานของความหนาแน่นภายหลังแบบเบย์เซียนเรายังมีการแสดงออกทางเลือกอีกด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle p(\theta \mid \alpha )}$${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \theta )}$${\displaystyle p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )}$

${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \alpha )={\frac {p(\mathbf {X} \mid \theta ,\alpha )p(\theta \mid \alpha )}{p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )}}}$

ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ในความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลจะวัดความสอดคล้องระหว่างข้อมูลและความน่าจะเป็นก่อนหน้าในเชิงเรขาคณิต ซึ่งมีความแม่นยำมากขึ้นผ่านปริภูมิฮิลเบิร์ตใน de Carvalho et al. (2019) ในสถิติแบบคลาสสิก ( แบบความถี่ ) แนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลจะเกิดขึ้นในบริบทของพารามิเตอร์ร่วมโดยที่คือพารามิเตอร์ที่สนใจจริง และ คือ พารามิเตอร์รบกวนที่ไม่น่าสนใจหากมีการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับ อยู่มักจะเป็นที่พึงปรารถนาที่จะพิจารณาฟังก์ชันความน่าจะเป็นเฉพาะในแง่ของโดยการหาค่ามาร์จินัลของ: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =(\psi ,\lambda )}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ;\mathbf {X} )=p(\mathbf {X} \mid \psi )=\int _{\lambda }p(\mathbf {X} \mid \lambda ,\psi )\,p(\lambda \mid \psi )\ \operatorname {d} \!\lambda }$

น่าเสียดายที่โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลนั้นทำได้ยาก มีเพียงบางกลุ่มของการแจกแจงเท่านั้นที่ทราบคำตอบที่แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพารามิเตอร์ที่ถูกตัดออกไปคือค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบสังยุคของการแจกแจงข้อมูล ในกรณีอื่นๆ จำเป็นต้องใช้วิธี การอินทิเกรตเชิงตัวเลข บางประเภท ไม่ว่าจะเป็นวิธีการทั่วไป เช่นการอินทิเกรตแบบเกาส์เซียนหรือวิธีการมอนเตคาร์โลหรือวิธีการเฉพาะสำหรับปัญหาทางสถิติ เช่นการประมาณค่าแบบลาปลาส การสุ่มตัวอย่างแบบ กิบส์ / เมโทร โพลิสหรือ อัลกอริธึ ม EM

นอกจากนี้ ยังสามารถนำหลักการข้างต้นไปใช้กับตัวแปรสุ่มเดี่ยว (จุดข้อมูล) แทนที่จะเป็นชุดของการสังเกตได้อีกด้วย ในบริบทของเบย์เซียน นี่เทียบเท่ากับการแจกแจงการทำนายล่วงหน้าของจุดข้อมูล ${\displaystyle x}$

ในการเปรียบเทียบแบบจำลองแบบเบย์เซียนตัวแปรที่ถูกแยกส่วน (marginalized variables) คือพารามิเตอร์สำหรับแบบจำลองประเภทหนึ่ง และตัวแปรที่เหลือคือเอกลักษณ์ของแบบจำลองนั้นเอง ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นแบบแยกส่วน (marginalized likelihood) คือความน่าจะเป็นของข้อมูลเมื่อกำหนดแบบจำลอง โดยไม่สมมติพารามิเตอร์ของแบบจำลองใดๆ เมื่อเขียนในรูปของพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ความน่าจะเป็นแบบแยกส่วนสำหรับแบบจำลองMคือ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid M)=\int p(\mathbf {X} \mid \theta ,M)\,p(\theta \mid M)\,\ชื่อผู้ดำเนินการ {d} \!\theta }$

ในบริบทนี้เองที่ โดยปกติแล้วจะใช้คำว่า " หลักฐานแบบจำลอง " ปริมาณนี้มีความสำคัญเนื่องจากอัตราส่วนความน่าจะเป็นภายหลัง (posterior odds ratio) สำหรับแบบจำลองM ₁เทียบกับแบบจำลองM ₂ นั้น เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล ซึ่งเรียกว่าปัจจัยเบย์ส (Bayes factor )

${\displaystyle {\frac {p(M_{1}\mid \mathbf {X} )}{p(M_{2}\mid \mathbf {X} )}}={\frac {p(M_{1})}{p(M_{2})}}\,{\frac {p(\mathbf {X} \mid M_{1})}{p(\mathbf {X} \mid M_{2})}}}$

ซึ่งสามารถอธิบายโดยสังเขปได้ดังนี้

อัตราต่อรองภายหลัง= อัตราต่อรองก่อนหน้า × ปัจจัยเบย์ส

• วิธีการเบย์เชิงประจักษ์
• ความขัดแย้งของลินด์ลีย์
• ความน่าจะเป็นส่วนชายขอบ
• เกณฑ์ข้อมูลแบบเบย์เซียน

• Charles S. Bos. "การเปรียบเทียบวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล" ใน W. Härdle และ B. Ronz บรรณาธิการCOMPSTAT 2002: Proceedings in Computational Statisticsหน้า 111–117. 2002. (มีให้ดาวน์โหลดเป็นเอกสารก่อนตีพิมพ์บนSSRN 332860 ) 
• de Carvalho, Miguel; Page, Garritt; Barney, Bradley (2019). "เกี่ยวกับเรขาคณิตของการอนุมานแบบเบย์เซียน" การวิเคราะห์แบบเบย์เซียน 14 (4): 1013‒1036. (มีให้ดูเป็นเอกสารก่อนตีพิมพ์บนเว็บ: [1] )
• แลมเบิร์ต, เบน (2018). "ปีศาจอยู่ในตัวส่วน" คู่มือสำหรับนักศึกษาเกี่ยวกับสถิติแบบเบย์เซียน Sage. หน้า  109–120 . ISBN 978-1-4739-1636-4.
• ตำราเรียนออนไลน์: ทฤษฎีสารสนเทศ การอนุมาน และอัลกอริธึมการเรียนรู้โดยเดวิด เจซี แมคเคย์