ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขกฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน n จุดซึ่งตั้ง^ชื่อตามคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ [ ^{1 ]}เป็นกฎการหาปริพันธ์ที่สร้างขึ้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับพหุนามดีกรี2 n − 1หรือน้อยกว่า โดยการเลือกจุดx _iและน้ำหนักw _i ที่เหมาะสม สำหรับi = 1, ... , n

การกำหนดสูตรสมัยใหม่โดยใช้พหุนามเชิงตั้งฉากได้รับการพัฒนาโดยCarl Gustav Jacobiในปี พ.ศ. 2369 ^{[ 2 ]}โดเมนการอินทิเกรตที่พบบ่อยที่สุดสำหรับกฎดังกล่าวคือ[−1, 1]ดังนั้นกฎจึงระบุได้ดังนี้ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$$

ซึ่งเป็นค่าที่แม่นยำสำหรับพหุนามดีกรี2n − 1หรือน้อยกว่า กฎที่แม่นยำนี้เรียกว่า กฎ การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของ Gauss–Legendre กฎการหา ปริพันธ์เชิงตัวเลขนี้จะเป็นการประมาณค่าที่แม่นยำสำหรับปริพันธ์ข้างต้นก็ต่อเมื่อf ( x )สามารถประมาณค่าได้ดีด้วยพหุนามดีกรี2n − 1หรือน้อยกว่าบนช่วง [−1 , 1]

โดยทั่วไปแล้ว กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ เกาส์-เลอจองเดอร์จะไม่ใช้กับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ซึ่งมีจุดเอก ฐานที่ปลาย แต่หากสามารถเขียนฟังก์ชันที่ต้องการหาปริพันธ์ได้ในรูปแบบ จะใช้กฎนี้แทน

$${\displaystyle f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,}$$

ในกรณีที่g ( x )สามารถประมาณค่าได้ดีด้วยพหุนามดีกรีต่ำ โหนดทางเลือกxᵢ _'และน้ำหนักwᵢ _' มักจะให้กฎการหาปริพันธ์ที่แม่นยำกว่า กฎเหล่านี้เรียกว่า กฎการ หาปริพันธ์แบบเกาส์-จาโคบี กล่าว คือ

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}$$

น้ำหนักที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่( Chebyshev–Gauss ) และนอกจากนี้ อาจต้องการทำการอินทิเกรตในช่วงกึ่งอนันต์ ( การหาปริพันธ์แบบ Gauss–Laguerre ) และช่วงอนันต์ ( การหาปริพันธ์แบบ Gauss–Hermite ) ด้วย${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$${\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ (ดู Press et al. หรือ Stoer และ Bulirsch) ว่าจุดควอดราเจอร์x _iคือรากของพหุนามที่อยู่ในกลุ่มพหุนามเชิงตั้งฉาก (กลุ่มที่ตั้งฉากกันโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในแบบถ่วงน้ำหนัก) นี่เป็นข้อสังเกตที่สำคัญสำหรับการคำนวณจุดควอดราเจอร์และน้ำหนักของเกาส์

สำหรับปัญหาการอินทิเกรตที่ง่ายที่สุดที่ระบุไว้ข้างต้น กล่าวคือf ( x )ได้รับการประมาณค่าที่ดีโดยพหุนามบนพหุนามเชิงตั้งฉากที่เกี่ยวข้องคือพหุนามเลอ_จอง เดอร์ ซึ่งแสดงด้วยPn ( x )โดยที่ พหุนามที่ n ได้ _รับการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ได้Pn ₍ 1) = 1โหนด เกาส์ที่ i , xᵢ _,คือ รากที่ iของPnและน้ำหนักจะได้รับจากสูตร^{[ 3 ]}${\displaystyle [-1,1]}$$${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.}$$

ตารางด้านล่างแสดงกฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขลำดับต่ำบางส่วน (ในช่วง[−1, 1]โปรดดูส่วนด้านล่างสำหรับช่วงอื่นๆ)

จำนวนจุด, n	จุด/แกนx , i		น้ำหนัก, w i
1	0		2
2	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$	0.888889...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	±0.774597...	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	0.555556...
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.339981...	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.652145...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.861136...	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.347855...
5	0		${\displaystyle {\frac {128}{225}}}$	0.568889...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.538469...	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.478629...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.90618...	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.236927...

ก่อนนำกฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนมาใช้ จะต้องเปลี่ยน ปริพันธ์ในช่วง[ a , b ]ให้เป็นปริพันธ์ในช่วง[−1, 1]ก่อน การเปลี่ยนช่วงดังกล่าวสามารถทำได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {ba}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi }$$

กับ${\displaystyle {\frac {dx}{d\xi }}={\frac {ba}{2}}}$

เมื่อใช้ กฎ การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียนณ จุดใดจุดหนึ่ง จะได้ค่าประมาณดังต่อไปนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle (\xi ,w)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}$$

ใช้กฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์สองจุดเพื่อประมาณระยะทางเป็นเมตรที่จรวดเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งตามที่กำหนดโดย ${\displaystyle t=8\mathrm {s} }$${\displaystyle t=30\mathrm {s} ,}$$${\displaystyle s=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100t}}\right]-9.8t\right){dt}}}$$

เปลี่ยนขอบเขตเพื่อให้สามารถใช้ค่าน้ำหนักและพิกัดแกน x ที่ระบุในตารางที่ 1 ได้ นอกจากนี้ ให้หาค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่แท้จริง ค่าที่แท้จริงคือ 11061.34 เมตร

สารละลาย

ขั้นแรก การเปลี่ยนขอบเขตการอินทิเกรตจากเป็น จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \left[8,30\right]}$${\displaystyle \left[-1,1\right]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}}$$

ถัดไป ให้ดึงค่าตัวประกอบถ่วงน้ำหนักและค่าอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันจากตารางที่ 1 สำหรับกฎสองจุด

• ${\displaystyle c_{1}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{1}=-0.577350269}$
• ${\displaystyle c_{2}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{2}=0.577350269}$

ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของเกาส์ได้ แล้ว เนื่องจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left[c_{1}f\left(11x_{1}+19\right)+c_{2}f\left(11x_{2}+19\right)\right]\\&=11\left[f\left(11(-0.5773503)+19\right)+f\left(11(0.5773503)+19\right)\right]\\&=11\left[f(12.64915)+f(25.35085)\right]\\&=11\left[(296.8317)+(708.4811)\right]\\&=11058.44\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(12.64915)}}\right]-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(25.35085)}}\right]-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}}$$

เนื่องจากค่าจริงคือ 11061.34 เมตร ค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่แท้จริงคือ ${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$$${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%}$$

ปัญหาการอินทิเกรตสามารถแสดงได้ในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นเล็กน้อยโดยการแนะนำฟังก์ชันน้ำหนัก บวก ωเข้าไปในตัวอินทิกรัล และอนุญาตให้ใช้ช่วงอื่นที่ไม่ใช่[−1, 1]นั่นคือ ปัญหาคือการคำนวณ สำหรับค่าa , bและω บางค่า สำหรับa = −1 , b = 1และω ( x ) = 1ปัญหาจะเหมือนกับที่พิจารณาไว้ข้างต้น การเลือกค่าอื่นๆ จะนำไปสู่กฎการอินทิเกรตอื่นๆ ซึ่งบางส่วนแสดงไว้ในตารางด้านล่าง หมายเลขสมการเป็นของAbramowitz และ Stegun (A & S) $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx}$$

ช่วงเวลา	ω ( x )	พหุนามเชิงตั้งฉาก	เช่น	สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่...
[−1, 1]	1	พหุนามเลอจองเดอร์	25.4.29	§ การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์-เลอฌ็องเดร
(−1, 1)	${\displaystyle \left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1}$	พหุนามจาโคบี	25.4.33 ( β = 0 )	การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์-จาโคบี
(−1, 1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	พหุนามเชบิเชฟ (ชนิดที่หนึ่ง)	25.4.38	การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเชบิเชฟ-เกาส์
[−1, 1]	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	พหุนามเชบิเชฟ (ชนิดที่สอง)	25.4.40	การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเชบิเชฟ-เกาส์
[0, ∞)	${\displaystyle e^{-x}\,}$	พหุนามลากูร์	25.4.45	การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์-ลาแกร์
[0, ∞)	${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x},\quad \alpha >-1}$	พหุนามลากูร์แบบทั่วไป		การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์-ลาแกร์
(−∞, ∞)	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	พหุนามเฮอร์ไมต์	25.4.46	การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์-เฮอร์ไมต์

ให้p _nเป็นพหุนามที่ไม่ใช่พหุนามศูนย์ที่มีดีกรีnโดยที่ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{for all }}k=0,1,\ldots ,n-1.}$$

โปรดทราบว่าข้อความนี้จะเป็นจริงสำหรับพหุนามเชิงตั้งฉากทั้งหมดข้างต้น เนื่องจากp _n แต่ละตัว ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ตั้งฉากกับพหุนามp _j อื่นๆ สำหรับj < nและx ^kอยู่ในปริภูมิที่เกิดจากเซตนั้น

ถ้าเราเลือก โหนด nโหนดx _iให้เป็นศูนย์ของp _n , , จะมีน้ำหนักn ตัว w _iซึ่งทำให้การคำนวณปริพันธ์แบบ Gaussian quadrature แม่นยำสำหรับพหุนามh ( x ) ทั้งหมด ที่มีดีกรี2 n − 1 หรือน้อยกว่า ^ยิ่งไปกว่านั้น โหนดx _i เหล่านี้ทั้งหมด จะอยู่ในช่วงเปิด( a , b ) [ ^{4 ]}${\displaystyle p_{n}\propto \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$

เพื่อพิสูจน์ส่วนแรกของข้ออ้างนี้ ให้h ( x )เป็นพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี_2n − 1หรือน้อยกว่า หารด้วยพหุนามเชิงตั้งฉากpnจะได้ โดยที่q ( x )คือผลหาร ซึ่งมีดีกรีn − 1หรือน้อยกว่า (เพราะผลรวมของดีกรีของผลหารและดีกรีของตัวหารpn ต้องเท่ากับดีกรีของตัวตั้งหาร ₎และr ( x )คือเศษเหลือ ซึ่งมีดีกรีn − 1หรือน้อยกว่า (เพราะดีกรีของเศษเหลือจะน้อยกว่าดีกรีของตัวหารเสมอ) เนื่องจากpnตามสมมติฐานเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากกับเอกนามทั้งหมดที่มีดีกรีน้อยกว่าn ดังนั้น _pnจึงต้องเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากกับผลหารq ( x )ด้วย ดังนั้น $${\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}$$

เนื่องจากเศษเหลือr ( x )มีดีกรีn − 1หรือน้อยกว่า เราจึงสามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำโดยใช้ จุดประมาณค่า nจุดด้วยพหุนามลากรางจ์l _i ( x )โดยที่ $${\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}$$

เรามี $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).}$$

ดังนั้นปริพันธ์ของมันจะเท่ากับ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}$$

โดยที่w _iซึ่งเป็นน้ำหนักที่เกี่ยวข้องกับโหนดx _iถูกกำหนดให้เท่ากับปริพันธ์ถ่วงน้ำหนักของl _i ( x ) (ดูสูตรอื่นๆ สำหรับน้ำหนักด้านล่าง) แต่x _i ทั้งหมด เป็นรากของp _nดังนั้นสูตรการหารข้างต้นบอกเราว่า สำหรับทุกiดังนั้นในที่สุดเราจึงได้ $${\displaystyle h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}$$

สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าสำหรับพหุนามh ( x ) ใดๆ ที่มีดีกรี2n − 1หรือน้อยกว่านั้น อินทิกรัลของพหุนามนี้จะหาได้จากผลรวมของการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนอย่างแม่นยำ

เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สองของข้ออ้าง ให้พิจารณารูปแบบการแยกตัวประกอบของพหุนามp _n ราก สังยุคเชิงซ้อนใดๆจะให้ตัวประกอบกำลังสองซึ่งเป็นบวกอย่างเคร่งครัดหรือลบอย่างเคร่งครัดตลอดทั้งเส้นจำนวนจริงตัวประกอบใดๆ สำหรับรากที่อยู่นอกช่วงจากaถึงbจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงนั้น สุดท้าย สำหรับตัวประกอบที่สอดคล้องกับรากx _iภายในช่วงจากaถึงbที่มีจำนวนคี่ ให้คูณp _nด้วยตัวประกอบอีกตัวหนึ่งเพื่อสร้างพหุนามใหม่ $${\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}$$

พหุนามนี้ไม่สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงจากaถึงbได้ เพราะรากทั้งหมดในช่วงนั้นมีจำนวนเท่าของเลขคู่ ดังนั้นปริพันธ์ เนื่องจากฟังก์ชันน้ำหนักω ( x )จึงมีค่าไม่เป็นลบเสมอ แต่p _nตั้งฉากกับพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีn − 1หรือน้อยกว่า ดังนั้นดีกรีของผลคูณ ต้องมีอย่างน้อยnดังนั้นp _n จึง มี รากที่แตกต่างกัน n ราก ซึ่ง ทั้งหมดเป็นจำนวนจริง ในช่วงจากaถึงb$${\displaystyle \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,}$$$${\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}$$

สามารถแสดงค่าน้ำหนักได้ดังนี้

${\displaystyle w_{i}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}{\frac {\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}}}$

1

โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของใน เพื่อ พิสูจน์สิ่งนี้ โปรดสังเกตว่าการใช้การแทรกสอดแบบลากรางจ์เราสามารถแสดงr ( x )ในรูปของ ได้เนื่องจาก r ( x )มีดีกรีน้อยกว่าnและถูกกำหนดโดยค่าที่มันได้รับ ณ จุดต่างๆ nจุด การคูณทั้งสองข้างด้วยω ( x )และการอินทิเกรตจากaถึงbจะได้ ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle p_{k}(x)}$${\displaystyle r(x_{i})}$$${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

ดังนั้น น้ำหนักw _iจึงกำหนดโดย $${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

นิพจน์ปริพันธ์สำหรับสามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามเชิงตั้งฉากดังต่อไปนี้ ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle p_{n-1}(x)}$

เราสามารถเขียนได้ $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของในการหาลิมิตของxไปยังจะได้ โดยใช้กฎของโลปิตาล${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}$$

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนนิพจน์ปริพันธ์สำหรับน้ำหนักได้ดังนี้

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$

2

ในอินทิกรัล เขียนว่า $${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}$$

ผลผลิต $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

โดยมีเงื่อนไขว่า q ( x) เป็นพหุนามดีกรีk − 1ซึ่งตั้งฉากกับดังนั้น ถ้าq ( x )เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน n เราจะได้ว่า ${\displaystyle k\leq n}$$${\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}$$${\displaystyle p_{n}(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

เราสามารถประเมินค่าอินทิกรัลทางด้านขวามือสำหรับ ได้ดังนี้ เนื่องจากเป็นพหุนามดีกรีn − 1เราจึงได้ โดยที่s ( x )เป็นพหุนามดีกรีเนื่องจากs ( x )ตั้งฉากกับเราจึง ได้${\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}$${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}$$${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle p_{n-1}(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}$$

จากนั้นเราสามารถเขียนได้ $${\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}$$

พจน์ในวงเล็บเป็นพหุนามดีกรีซึ่งตั้งฉากกับ ดังนั้นอินทิกรัลจึงสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle n-2}$${\displaystyle p_{n-1}(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}$$

ตามสมการ ( 2 ) น้ำหนักจะได้รับโดยการหารด้วยและจะได้นิพจน์ในสมการ ( 1 ) ${\displaystyle p'_{n}(x_{i})}$

${\displaystyle w_{i}}$นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามเชิงตั้งฉากและตอนนี้ในความสัมพันธ์เวียนเกิด 3 เทอม เทอมที่มี จะหายไป ดังนั้นในสมการ (1) สามารถแทนที่ด้วยได้ ${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle p_{n+1}(x)}$${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$

พิจารณาพหุนามต่อไปนี้ที่มีดีกรี โดยที่x _jเป็นรากของพหุนาม ดังที่กล่าวมาข้างต้น เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากดีกรีของน้อยกว่าสูตรการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนที่เกี่ยวข้องกับน้ำหนักและจุดที่ได้จากจึงสามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากสำหรับjที่ไม่เท่ากับiเราจึงได้ ${\displaystyle 2n-2}$$${\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle f(x_{j})=0}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}$$

เนื่องจากทั้งและเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle \omega (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle w_{i}>0}$

มีอัลกอริธึมมากมายสำหรับการคำนวณโหนดx _iและน้ำหนักw _iของกฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน อัลกอริธึมที่ได้รับความนิยมมากที่สุด ได้แก่ อัลกอริธึม Golub-Welsch ซึ่งต้องใช้การดำเนินการO ( n ² ) ครั้ง วิธีของนิวตันสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสามเทอมสำหรับการประเมินค่า ซึ่งต้องใช้ การดำเนินการ O ( n ² )ครั้ง และสูตรเชิงอะซิมโทติกสำหรับn ขนาดใหญ่ ซึ่งต้องใช้การดำเนินการ O ( n ) ครั้ง${\displaystyle p_{n}(x)=0}$

พหุนามเชิงตั้งฉากที่มีผลคูณเชิงสเกลาร์ เท่ากับ 1 ดีกรีเท่ากับ1 และสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 (เช่น พหุ นามเชิงตั้งฉากเอกลักษณ์) จะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ${\displaystyle p_{r}}$${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$${\displaystyle r\neq s}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle (p_{r})=r}$$${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$$

และผลคูณสเกลาร์ที่กำหนดไว้ $${\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}$$

โดยที่nคือดีกรีสูงสุดที่สามารถกำหนดให้เป็นอนันต์ได้ และโดยที่. ก่อนอื่น พหุนามที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เริ่มต้นด้วยมีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นหนึ่งและมีดีกรีที่ถูกต้อง เมื่อกำหนดจุดเริ่มต้นโดยความตั้งฉากของสามารถแสดงได้โดยการอุปมาน สำหรับหนึ่งจะมี ${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$${\displaystyle p_{0}(x)=1}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{r}}$${\displaystyle r=s=0}$$${\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}$$

ถ้าเป็นพหุนามตั้งฉากกันแล้ว ก็จะเป็น ด้วยเพราะ ผลคูณสเกลาร์ทั้งหมดจะหายไป ยกเว้นผลคูณแรกและผลคูณที่พบกับพหุนามตั้งฉากเดียวกัน ดังนั้น ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}$${\displaystyle p_{r+1}}$$${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}$$${\displaystyle p_{s}}$$${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}$$

อย่างไรก็ตาม หากผลคูณสเกลาร์เป็นไปตามเงื่อนไข(ซึ่งเป็นกรณีของการประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียน) ความสัมพันธ์เวียนเกิดจะลดลงเหลือความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์: สำหรับเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับr − 1ในทางกลับกันตั้งฉากกับพหุนามทุกตัวที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับr − 1ดังนั้นจึงมีและสำหรับs < r − 1ความสัมพันธ์เวียนเกิดจึงลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}$${\displaystyle s<r-1,xp_{s}}$${\displaystyle p_{r}}$${\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}$${\displaystyle a_{r,s}=0}$$${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}$$

หรือ $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}$$

(ตามธรรมเนียม) ที่ ${\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}$$${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$$

(ประการสุดท้ายเนื่องจากเนื่องจากแตกต่างจากโดยมีระดับน้อยกว่าr ) ${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$${\displaystyle xp_{r-1}}$${\displaystyle p_{r}}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้โดยที่, คือเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน ที่ th นั่น คือ , และJคือเมทริกซ์สามแถว ต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์จาโคบี: ${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\cdots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}a_{0}&1&0&\cdots &0\\b_{1}&a_{1}&1&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&1\\0&\cdots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

ค่าศูนย์ของพหุนามที่มีดีกรีไม่เกินnซึ่งใช้เป็นจุดสำหรับการคำนวณปริพันธ์แบบเกาส์เซียน สามารถหาได้โดยการคำนวณค่าไอเกนของเมทริกซ์นี้ กระบวนการนี้เรียกว่าอัลกอริทึม Golub– Welsch ${\displaystyle x_{j}}$

ในการคำนวณน้ำหนักและโหนด ควรพิจารณาใช้เมทริกซ์สามเหลี่ยมสมมาตรที่มีองค์ประกอบดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{k,i}=J_{k,i}&=a_{k-1}&k&=1,2,\ldots ,n\\[2.1ex]{\mathcal {J}}_{k-1,i}={\mathcal {J}}_{k,k-1}={\sqrt {J_{k,k-1}J_{k-1,k}}}&={\sqrt {b_{k-1}}}&k&={\hphantom {1,\,}}2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$$

นั่นคือ

$${\displaystyle {\mathcal {J}}={\begin{bmatrix}a_{0}&{\sqrt {b_{1}}}&0&\cdots &0\\{\sqrt {b_{1}}}&a_{1}&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&{\sqrt {b_{n-1}}}\\0&\cdots &0&{\sqrt {b_{n-1}}}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Jและเป็นเมทริกซ์ที่คล้ายกันดังนั้นจึงมีค่าลักษณะเฉพาะ (โหนด) เดียวกัน สามารถคำนวณน้ำหนักได้จากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน : ถ้าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบนอร์มาไลซ์ (กล่าวคือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่ามาตรฐานแบบยุคลิดเท่ากับหนึ่ง) ที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะ x _jน้ำหนักที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้จากส่วนประกอบแรกของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้ นั่นคือ: ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \phi ^{(j)}}$$${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}$$

โดยที่อินทิกรัลของฟังก์ชันน้ำหนักอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \mu _{0}}$$${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}$$

ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ ( Gil, Segura & Temme 2007 )

ข้อผิดพลาดของกฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนสามารถระบุได้ดังนี้^{[ 5 ]}สำหรับอินทิกรัลที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง 2 n สำหรับξ บางตัว ใน( a , b )โดยที่p _nเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากแบบเอกภาค (กล่าวคือสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ1 ) ของดีกรีnและโดยที่ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})}$$$${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.}$$

ในกรณีพิเศษที่สำคัญของω ( x ) = 1เรามีการประมาณค่าความคลาดเคลื่อน^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left[\left(2n\right)!\right]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}$$

Stoer และ Bulirsch ตั้งข้อสังเกตว่าการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนนี้ไม่สะดวกในการใช้งานจริง เนื่องจากอาจเป็นเรื่องยากที่จะประมาณค่าอนุพันธ์อันดับ2n และยิ่งไปกว่านั้น ความคลาดเคลื่อนที่แท้จริงอาจน้อยกว่าขอบเขตที่กำหนดโดยอนุพันธ์ มากแนวทางอื่นคือการใช้กฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนสองกฎที่มีอันดับต่างกัน และประมาณค่าความคลาดเคลื่อนเป็นผลต่างระหว่างผลลัพธ์ทั้งสอง สำหรับจุดประสงค์นี้ กฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน-โครนรอดอาจมีประโยชน์

ถ้าช่วง[ a , b ]ถูกแบ่งย่อย จุดประเมินค่าแบบเกาส์ของช่วงย่อยใหม่จะไม่ตรงกับจุดประเมินค่าก่อนหน้า (ยกเว้นที่ศูนย์สำหรับจำนวนคี่) ดังนั้นจึงต้องประเมินค่าอินทิกรัลที่ทุกจุดกฎเกาส์-โครนรอดเป็นส่วนขยายของกฎการหาปริพันธ์แบบเกาส์ที่สร้างขึ้นโดยการเพิ่ม จุด n + 1จุดให้กับ กฎ nจุดในลักษณะที่กฎที่ได้มีลำดับ2n + 1 ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณค่าประมาณลำดับสูงขึ้นได้ในขณะที่ใช้ค่าฟังก์ชันของค่าประมาณลำดับต่ำกว่าซ้ำ ความแตกต่างระหว่างกฎ การหาปริพันธ์แบบเกาส์และส่วนขยายโครนรอดมักใช้เป็นค่าประมาณของข้อผิดพลาดในการประมาณค่า

ในการใช้งานบางอย่าง เป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีกฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูงเช่นเดียวกับสูตรของเกาส์ แต่ยังรวมถึงจุดปลายของช่วงระหว่างจุดประเมินด้วย กฎดังกล่าวเรียกว่าเกาส์-โลบัตโตหรือเรียกง่ายๆ ว่าการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของโลบัตโต [ ^{7 ] ซึ่ง}ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ ชาวดัตช์ เรฮูเอล โลบัตโต เนื่องจากสำหรับกฎ nจุด เราไม่สามารถเลือกตำแหน่งของจุดการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขทั้งหมดได้อย่างอิสระอีกต่อไป (จุด 2 จุดถูกกำหนดไว้ที่จุดปลาย) เราจึงคาดหวังว่ากฎนี้จะมีความแม่นยำน้อยกว่าการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของเกาส์แบบปกติ อันที่จริงกฎ เกาส์-โลบัตโต nจุดมีความแม่นยำเฉพาะสำหรับพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน2n − 3เท่านั้น^{[ 8 ]}

การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ Lobatto ของฟังก์ชันf ( x )บนช่วง[−1, 1] : $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.}$$

แกน x: x _iคือศูนย์ตัวที่ 1 ของโดยที่แทนพหุนามเลอจองเดอร์มาตรฐานดีกรีmและเครื่องหมายขีดแสดงถึงอนุพันธ์ ${\displaystyle (i-1)}$${\displaystyle P'_{n-1}(x)}$${\displaystyle P_{m}(x)}$

น้ำหนัก: $${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left[P_{n-1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.}$$

ส่วนที่เหลือ: $${\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}}{(2n-1)\left[\left(2n-2\right)!\right]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}$$

น้ำหนักบางส่วนมีดังนี้:

จำนวนจุด, n	คะแนน, x i	น้ำหนัก, w i
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {32}{45}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{90}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {256}{525}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}-{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124+7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}+{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124-7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}}$

อัลกอริทึมรูปแบบปรับตัวได้นี้ที่มีโหนดภายใน 2 โหนด[ ^{9 ] พบ}ได้ในGNU OctaveและMATLABเป็นquadlและ^{[ 10 ] [ 11 ]}integrate

• "สูตรการหาปริพันธ์ของเกาส์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ALGLIBเป็นชุดอัลกอริธึมสำหรับการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข (ในภาษา C# / C++ / Delphi / Visual Basic / เป็นต้น)
• ไลบรารีวิทยาศาสตร์ GNU — ประกอบด้วย อัลกอริทึม QUADPACKเวอร์ชันภาษาC (ดูเพิ่มเติมที่ไลบรารีวิทยาศาสตร์ GNU )
• จากการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ Lobatto ไปสู่ค่าคงที่ของออยเลอร์ e
• กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียน – บันทึกย่อ, สไลด์นำเสนอ, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcadที่Holistic Numerical Methods Institute
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Legendre-Gauss Quadrature" . แมทเวิลด์ .
• วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียน (Gaussian Quadrature)โดย Chris Maes และ Anton Antonov จากโครงการสาธิตของ Wolfram
• ตารางแสดงค่าน้ำหนักและพิกัดแกน x พร้อมซอร์สโค้ดของ Mathematicaความแม่นยำสูง (16 และ 256 ตำแหน่งทศนิยม) ค่าน้ำหนักและพิกัดแกน x ของการคำนวณปริพันธ์แบบ Legendre-Gaussian สำหรับn = 2 ถึงn = 64 พร้อมซอร์สโค้ดของ Mathematica
• ซอร์สโค้ดของ Mathematica เผยแพร่ภายใต้ใบอนุญาต GNU LGPLสำหรับการสร้างพิกัดแกน x และน้ำหนักสำหรับฟังก์ชันถ่วงน้ำหนัก W(x) โดเมนการอินทิเกรต และความแม่นยำแบบใดก็ได้
• การหาค่าประมาณแบบ Gaussian Quadrature ใน Boost.Math สำหรับความแม่นยำและลำดับการประมาณค่าใดๆ ก็ได้
• การคำนวณปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ Gauss–Kronrod ใน Boost.Math
• โหนดและน้ำหนักของการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน เก็บถาวรเมื่อ 2021-04-14 ที่Wayback Machine