ในทางคณิตศาสตร์จุดเอกฐานคือจุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไม่สามารถนิยามได้ หรือจุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์หยุดแสดงพฤติกรรมที่ดีในบางลักษณะ เช่น ขาดความสามารถในการหาอนุพันธ์หรือการวิเคราะห์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันผกผัน มีจุดเอกฐานที่ซึ่งค่าของฟังก์ชันไม่ถูกกำหนด เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ก็มีจุดเอกฐานที่เช่นกันเนื่องจากไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้น^{[ 4 ]}${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle g(x)=|x|}$${\displaystyle x=0}$

เส้นโค้งพีชคณิตที่กำหนดโดยในระบบพิกัด มีจุดเอกฐาน (เรียกว่าจุดแหลม ) ที่สำหรับจุดเอกฐานในเรขาคณิตพีชคณิตโปรดดูจุดเอกฐานของวาไรตี้พีชคณิตสำหรับจุดเอกฐานในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โปรดดูทฤษฎีจุดเอกฐาน ${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (0,0)}$

ในการวิเคราะห์เชิงจริงจุดเอกฐานคือจุดไม่ต่อเนื่องหรือจุดไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ (บางครั้งอาจเป็นจุดไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์อันดับสูงกว่าด้วย) จุดไม่ต่อเนื่องมีสี่ประเภท ได้แก่ประเภทที่ 1ซึ่งมีสองประเภทย่อย และประเภทที่ 2ซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทย่อยได้เช่นกัน (แต่โดยปกติแล้วจะไม่แบ่ง)

เพื่ออธิบายวิธีการใช้ลิมิตทั้งสองประเภทนี้ สมมติว่าเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์จำนวนจริงและสำหรับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ เช่นแล้วลิมิตมือซ้ายและลิมิตมือขวาจะถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$โดยถูกจำกัดด้วยและ${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$โดยมีข้อจำกัดอยู่${\displaystyle x>c}$

ค่าดังกล่าวคือค่าที่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าใกล้เมื่อค่าเข้าใกล้จากด้านล่างและค่าดังกล่าวคือค่าที่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าใกล้เมื่อค่าเข้าใกล้จากด้านบนโดยไม่คำนึงถึงค่าจริงที่ฟังก์ชันมี ณ จุด ที่ ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x=c}$

มีฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่ไม่มีข้อจำกัดเหล่านี้เลย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

เมื่อเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งค่าขอบเขตในกรณีนี้ไม่ได้เป็นอนันต์ แต่เป็นค่าที่ไม่กำหนด กล่าวคือ ไม่มีค่าใดที่ลงตัว โดยอ้างอิงจากทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงซ้อน บางครั้งเรียกสิ่งนี้ว่าเอกภาวะสำคัญ (essential singularity ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle g(x)}$

กรณีที่เป็นไปได้สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle c}$

• จุดต่อเนื่องคือค่าของที่ทำให้ตามที่คาดหวังสำหรับฟังก์ชันเรียบ ค่าทั้งหมดต้องมีค่าจำกัด ถ้าไม่ใช่จุดต่อเนื่อง แสดงว่าเกิดความไม่ต่อเนื่องที่${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$
• ความไม่ต่อเนื่อง ประเภทที่ 1เกิดขึ้นเมื่อทั้งและมีอยู่และมีค่าจำกัด แต่เงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งในสามข้อต่อไปนี้ก็เป็นจริงด้วย: ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับกรณีของ; หรือ${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$มีค่าที่กำหนดไว้ แต่ค่าดังกล่าวไม่ตรงกับค่าของขีดจำกัดทั้งสอง

  รอยแตกประเภทที่ 1 สามารถแบ่งย่อยออกเป็นประเภทย่อยต่างๆ ดังต่อไปนี้:

  • ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดเกิดขึ้นเมื่อไม่ว่า จะถูกกำหนดไว้หรือไม่ และไม่ว่าค่าของมันจะเป็นเท่าใดหากถูกกำหนดไว้แล้วก็ตาม${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$
  • ความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้เกิดขึ้นเมื่อไม่ว่า จะถูกกำหนดไว้หรือไม่ และไม่ว่าค่าของมันจะเป็นเท่าใดหากถูกกำหนดไว้ (แต่ไม่ตรงกับค่าของขีดจำกัดทั้งสอง)${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$
• ความไม่ต่อเนื่อง ประเภทที่ 2เกิดขึ้นเมื่อไม่มีสิ่งใดสิ่งหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง (หรืออาจไม่มีอยู่เลยก็ได้) ความไม่ต่อเนื่องประเภทนี้มีสองประเภทย่อย ซึ่งโดยปกติแล้วจะไม่พิจารณาแยกกัน: ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์คือกรณีพิเศษที่ลิมิตด้านซ้ายหรือด้านขวาไม่มีอยู่จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นอนันต์ และลิมิตอีกด้านหนึ่งก็เป็นอนันต์เช่นกัน หรือเป็นจำนวนจำกัดที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์เมื่อกราฟ ของฟังก์ชันนั้น มีเส้นกำกับแนวตั้ง
  • เอกภาวะสำคัญ (Essential singularity)เป็นคำที่ยืมมาจากคณิตศาสตร์เชิงซ้อน (ดูด้านล่าง) กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อค่าใดค่าหนึ่งเป็นลิมิตหรือไม่เป็นลิมิต แต่ไม่ใช่เพราะเป็นความไม่ต่อเนื่องที่ไม่มีที่สิ้นสุดเอกภาวะสำคัญจะไม่เข้าใกล้ลิมิตใดๆ แม้ว่าจะขยายคำตอบที่ถูกต้องให้รวมถึงลิมิตนั้นด้วยก็ตาม${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle \pm \infty }$

ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงจริง จุดเอกฐานหรือจุดไม่ต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันเท่านั้น จุดเอกฐานใดๆ ที่อาจเกิดขึ้นในอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ถือว่าเป็นคุณสมบัติของอนุพันธ์ ไม่ใช่คุณสมบัติของฟังก์ชันดั้งเดิม

ภาวะเอกฐานของพิกัดเกิดขึ้นเมื่อมีภาวะเอกฐานหรือความไม่ต่อเนื่องที่เห็นได้ชัดในกรอบพิกัดหนึ่ง ซึ่งสามารถขจัดได้โดยการเลือกกรอบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น ภาวะเอกฐานที่เห็นได้ชัดที่ละติจูด 90 องศาในพิกัดทรงกลมวัตถุที่เคลื่อนที่ไปทางทิศเหนือ (เช่น ตามเส้นลองจิจูด 0 องศา) บนพื้นผิวของทรงกลมจะประสบกับการเปลี่ยนแปลงลองจิจูดอย่างฉับพลันที่ขั้วโลก (ในกรณีตัวอย่าง คือ กระโดดจากลองจิจูด 0 ไปยังลองจิจูด 180 องศา) อย่างไรก็ตาม ความไม่ต่อเนื่องนี้เป็นเพียงความปรากฏเท่านั้น มันเป็นสิ่งผิดปกติของระบบพิกัดที่เลือก ซึ่งมีภาวะเอกฐานที่ขั้วโลก ระบบพิกัดอื่นจะขจัดความไม่ต่อเนื่องที่เห็นได้ชัด (เช่น โดยการแทนที่การแสดงละติจูด/ลองจิจูดด้วย การแสดง เวกเตอร์n ตัว )

ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนมีภาวะเอกฐานอยู่หลายประเภท ได้แก่ ภาวะเอกฐานโดดเดี่ยว ภาวะเอกฐานไม่โดดเดี่ยว และจุดแยกสาขา

สมมติว่าเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ในส่วนเติมเต็มของจุดในเซตย่อยเปิดของจำนวนเชิงซ้อนดังนั้น: ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• ประเด็นคือเอกภาวะที่ขจัดได้ของหากมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดไว้บนทั้งหมด โดยที่สำหรับทั้งหมดในฟังก์ชันนี้เป็นการแทนที่ต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชัน^{[ 3 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(z)=g(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}.}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f.}$
• จุดดังกล่าวเป็นขั้วหรือเอกฐานที่ไม่สำคัญของหากมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดบนโดยที่ ไม่เป็นศูนย์ และจำนวนธรรมชาติที่ทำให้สำหรับทุกในจำนวนที่น้อยที่สุดดังกล่าวเรียกว่าอันดับของขั้ว อนุพันธ์ที่จุดเอกฐานที่ไม่สำคัญเองก็มีเอกฐานที่ไม่สำคัญเช่นกัน โดยที่เพิ่มขึ้น1 (ยกเว้นถ้าเป็น0ซึ่งทำให้สามารถกำจัดเอกฐานได้)${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g(a)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• จุดนี้เป็นเอกภาวะสำคัญก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่เอกภาวะที่กำจัดไม่ได้หรือขั้ว จุดนี้เป็นเอกภาวะสำคัญก็ต่อเมื่ออนุกรมลอเรนต์มีกำลังของดีกรีลบจำนวนอนันต์^{[ 1 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

นอกเหนือจากภาวะเอกฐานแบบแยกเดี่ยวแล้ว ฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรเดียวอาจแสดงพฤติกรรมเอกฐานอื่นๆ ได้อีกด้วย ซึ่งเรียกว่าภาวะเอกฐานแบบไม่แยกเดี่ยว โดยมีอยู่สองประเภท:

• จุดรวมกลุ่ม : จุดจำกัดของเอกภาวะโดดเดี่ยว หากจุดเหล่านั้นเป็นขั้วทั้งหมด แม้ว่าจะยอมรับ การขยาย อนุกรมลอเรนต์บนแต่ละจุด แต่ก็ไม่สามารถขยายอนุกรมดังกล่าวได้ที่ขีดจำกัดของจุดเหล่านั้น

  เพื่อเป็นตัวอย่างง่ายๆ ลองพิจารณาฟังก์ชันนี้: ฟังก์ชันนี้แสดงให้เห็นขั้วแบบง่ายจำนวนอนันต์ที่ซึ่งเข้าใกล้จุด มากขึ้นเรื่อยๆส่งผลให้เกิดจุดเอกฐานแบบคลัสเตอร์ที่จุด${\displaystyle f\left(z\right)=1/\sin \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$${\displaystyle z=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots }$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z=0}$

• ขอบเขตธรรมชาติ : เซตที่ไม่โดดเดี่ยวใดๆ (เช่น เส้นโค้ง) ที่ฟังก์ชันไม่สามารถขยายต่อไปได้โดยวิธีวิเคราะห์ (หรือนอกเซตนั้น หากเป็นเส้นโค้งปิดในทรงกลมรีมันน์ )

  ตัวอย่างของฟังก์ชันที่แสดงเซตดังกล่าว ได้แก่อนุกรมแลคูนารีและ ฟังก์ชันซี ตาเฉพาะ

จุดแยกสาขาโดยทั่วไปเป็นผลมาจากฟังก์ชันที่มีหลายค่าเช่นหรือซึ่งถูกกำหนดไว้ภายในโดเมนที่จำกัด เพื่อให้ฟังก์ชันนั้นสามารถมีค่าเดียวได้ภายในโดเมนนั้น เส้นตัดคือเส้นหรือเส้นโค้งที่ถูกยกเว้นออกจากโดเมน เพื่อสร้างการแยกทางเทคนิคระหว่างค่าที่ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน เมื่อจำเป็นต้องใช้เส้นตัดจริงๆ ฟังก์ชันจะมีค่าที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนในแต่ละด้านของเส้นตัดสาขา รูปร่างของเส้นตัดสาขาเป็นเรื่องของทางเลือก แม้ว่ามันจะต้องเชื่อมต่อจุดแยกสาขาที่แตกต่างกันสองจุด (เช่นและสำหรับ) ซึ่งถูกกำหนดไว้แล้ว ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log(z),}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\infty }$${\displaystyle \log(z)}$

ภาวะเอกฐานในช่วงเวลาจำกัดเกิดขึ้นเมื่อตัวแปรนำเข้าตัวหนึ่งคือเวลา และตัวแปรส่งออกตัวหนึ่งเพิ่มขึ้นไปสู่อนันต์ในช่วงเวลาจำกัด ภาวะเอกฐานมีความสำคัญในจลศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย – อนันต์ไม่เกิดขึ้นจริงในทางกายภาพ แต่พฤติกรรมใกล้ภาวะเอกฐานมักเป็นที่น่าสนใจ ในทางคณิตศาสตร์ ภาวะเอกฐานในช่วงเวลาจำกัดที่ง่ายที่สุดคือกฎกำลังสำหรับเลขชี้กำลังต่างๆ ในรูปแบบซึ่งแบบที่ง่ายที่สุดคือการเติบโตแบบไฮเปอร์โบลิกโดยที่เลขชี้กำลังคือ (ลบ) 1: กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่อให้ได้ภาวะเอกฐานที่เวลาเป็นบวกเมื่อเวลาผ่านไป (ดังนั้นผลลัพธ์จึงเพิ่มขึ้นไปสู่อนันต์) เราจะใช้(โดยใช้tแทนเวลา กลับทิศทางเพื่อให้เวลาเพิ่มขึ้นไปสู่อนันต์ และเลื่อนภาวะเอกฐานไปข้างหน้าจาก 0 ไปยังเวลาคงที่) ${\displaystyle x^{-\alpha },}$${\displaystyle x^{-1}.}$${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t_{0}}$

ตัวอย่างหนึ่งคือการเคลื่อนที่กระดอนของลูกบอลที่ไม่ยืดหยุ่นบนระนาบ หากพิจารณาการเคลื่อนที่ในอุดมคติ ซึ่งพลังงานจลน์สูญเสียไปในสัดส่วนเท่ากันในแต่ละครั้งที่กระดอนความถี่ของการกระดอนจะกลายเป็นอนันต์ เนื่องจากลูกบอลจะหยุดนิ่งในเวลาจำกัด ตัวอย่างอื่นๆ ของภาวะเอกฐานในเวลาจำกัด ได้แก่ รูปแบบต่างๆ ของปรากฏการณ์ Painlevé (ตัวอย่างเช่น แนวโน้มของชอล์กที่จะกระโดดเมื่อลากไปบนกระดานดำ) และอัตราการหมุนควงของเหรียญที่หมุนบนพื้นผิวเรียบซึ่งเร่งตัวขึ้นสู่ค่าอนันต์ก่อนที่จะหยุดลงอย่างกะทันหัน (ดังที่ศึกษาโดยใช้ของเล่น จานของออยเลอร์ )

ตัวอย่างสมมติฐาน ได้แก่ " สมการวันสิ้นโลก " ที่เสียดสีของไฮนซ์ ฟอน โฟร์สเตอร์ (แบบจำลองอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าประชากรมนุษย์จะมีจำนวนอนันต์ในเวลาจำกัด)

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจุดเอกฐานของวาไรตีเชิงพีชคณิตคือจุดในวาไรตีนั้นที่ปริภูมิสัมผัสอาจไม่ได้ถูกกำหนดอย่างสม่ำเสมอ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของจุดเอกฐานคือเส้นโค้งที่ตัดกันเอง แต่ยังมีจุดเอกฐานประเภทอื่น ๆ เช่น^จุดยอดแหลมตัวอย่างเช่น สมการy² − x³ = 0กำหนดเส้นโค้งที่มีจุดยอดแหลมที่จุดกำเนิดx = y = 0เราอาจกำหนดให้ แกน x เป็นเส้นสัมผัสที่จุดนี้ ^ได้แต่คำจำกัดความนี้ไม่สามารถเหมือนกับคำจำกัดความที่จุดอื่น ๆ ได้ ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ แกน xเป็น "เส้นสัมผัสคู่"

สำหรับ วาไรตี้ เชิงเส้นตรงและเชิงฉายจุดเอกฐานคือจุดที่เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับต่ำกว่าจุดอื่นๆ ในวาไรตี้

อาจให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันในแง่ของพีชคณิตเชิงสลับที่ได้ ซึ่งขยายไปถึงวาไรตี้ และสกีมเชิงนามธรรมได้กล่าว คือ จุดหนึ่งเป็นจุดเอกฐานหากวงแหวนเฉพาะที่ ณ จุดนี้ไม่ใช่วงแหวนเฉพาะที่ปกติ

• ทฤษฎีหายนะ
• ที่กำหนดไว้และไม่ได้กำหนดไว้
• ความเสื่อม (คณิตศาสตร์)
• การเติบโตแบบไฮเปอร์โบลิก
• เอกภาวะที่เคลื่อนที่ได้
• ผิดปกติ (คณิตศาสตร์)
• เอกภาวะปกติ
• วิธีแก้ปัญหาแบบเอกพจน์