จีออยด์ ( / ˈ dʒ iː . ɔɪ d / JEE -oyd ) คือรูปร่างที่ พื้นผิว มหาสมุทรจะมีภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลกรวมถึงแรงดึงดูดและการหมุนของโลกหากไม่มีอิทธิพลอื่นๆ เช่น ลมและน้ำขึ้นน้ำลง พื้นผิวนี้ขยายออกไปทั่วทวีป (เช่นเดียวกับที่อาจประมาณได้ด้วยคลอง สมมติที่แคบมาก ) ตามที่คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ผู้ซึ่งอธิบายเป็นครั้งแรกกล่าวไว้ว่า จีออยด์คือ " รูปทรงทางคณิตศาสตร์ของโลก " ซึ่งเป็น พื้นผิวเรียบแต่ไม่สม่ำเสมอรูปร่างของมันเกิดจากการกระจายมวลที่ไม่สม่ำเสมอภายในและบนพื้นผิวโลก^{[ 2 ]}สามารถทราบได้ก็ต่อเมื่อมีการวัดและคำนวณแรงโน้มถ่วงอย่างกว้างขวางเท่านั้น แม้จะเป็นแนวคิดที่สำคัญมาเกือบ 200 ปีในประวัติศาสตร์ของธรณีวิทยาและธรณีฟิสิกส์แต่ก็ยังไม่มีการกำหนดอย่างแม่นยำจนกระทั่งการมาถึงของธรณีวิทยาดาวเทียมในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์Gladys Westเป็นผู้ทำงานคนแรกที่สังเคราะห์จีออยด์ที่มีความแม่นยำสูงจากข้อมูลดาวเทียมนี้ จีออยด์เป็นองค์ประกอบสำคัญอย่างหนึ่งของระบบกำหนดตำแหน่งทั่วโลกโดย ใช้ดาวเทียม ^{[ 3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว จีออยด์มักแสดงในรูปของความโค้งของจีออยด์หรือความสูงของจีออย ด์ เหนือทรงรีอ้างอิง ที่กำหนด ซึ่งเป็นทรงกลมที่แบนเล็กน้อย โดยส่วนที่โป่งออกบริเวณเส้นศูนย์สูตรเกิดจากการหมุนของโลก โดยทั่วไปแล้ว ความสูงของจีออยด์จะสูงขึ้นในบริเวณที่มวลของโลกมีความหนาแน่นมากกว่าและมีแรงโน้มถ่วงมากกว่าบริเวณโดยรอบ จีออยด์จึงทำหน้าที่เป็นพื้นผิวพิกัด อ้างอิงสำหรับ พิกัดแนวตั้งต่างๆเช่นความสูงออร์โทเมตริกความสูงศักย์ทางภูมิศาสตร์และความสูงไดนามิก (ดูธรณีวิทยา )

ทุกจุดบนพื้นผิวจีออยด์มี ศักย์ทางภูมิศาสตร์เท่ากัน(ผลรวมของพลังงานศักย์โน้มถ่วงและพลังงานศักย์แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ) ที่พื้นผิวนี้ นอกเหนือจากความผันผวนของกระแสน้ำขึ้นลงชั่วคราว แรงโน้มถ่วงจะกระทำทุกหนทุกแห่งในแนวตั้งฉากกับจีออยด์ ซึ่งหมายความว่าเส้นดิ่งจะชี้ในแนวตั้งฉากและระดับฟองอากาศจะขนานกับจีออยด์ การมีศักย์ทางภูมิศาสตร์ เท่ากัน หมายความว่าจีออยด์สอดคล้องกับพื้นผิวน้ำอิสระที่หยุดนิ่ง (หากแรงโน้มถ่วงและความเร่งการหมุนของโลกเท่านั้นที่มีผล) นี่เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับลูกบอลที่จะอยู่นิ่งแทนที่จะกลิ้งไปบนจีออยด์ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก ( อนุพันธ์แนวตั้งของศักย์ทางภูมิศาสตร์) จึงไม่สม่ำเสมอทั่วจีออยด์^{[ 4 ]}

พื้นผิวจีออยด์ไม่สม่ำเสมอ ต่างจากทรงรีอ้างอิง (ซึ่งเป็นการแสดงภาพทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติของโลกทางกายภาพในรูปทรงทรงรี ) แต่เรียบกว่าพื้นผิวโลกทางกายภาพมาก แม้ว่า "พื้นดิน" ของโลกจะมีการเปลี่ยนแปลงในระดับ +8,800 เมตร ( ยอดเขาเอเวอเรสต์ ) และ −11,000 เมตร ( ร่องลึกมาเรียนา ) แต่การเบี่ยงเบนของจีออยด์จากทรงรีมีตั้งแต่ +85 เมตร (ไอซ์แลนด์) ถึง −106 เมตร (อินเดียตอนใต้) รวมแล้วน้อยกว่า 200 เมตร^{[ 5 ]}

หากมหาสมุทรมีความหนาแน่นคงที่และไม่ถูกรบกวนจากน้ำขึ้นน้ำลง กระแสน้ำ หรือสภาพอากาศ พื้นผิวของมหาสมุทรจะคล้ายกับจีออยด์ ความเบี่ยงเบนถาวรระหว่างจีออยด์และระดับน้ำทะเลเฉลี่ยเรียกว่าลักษณะภูมิประเทศของพื้นผิวมหาสมุทรหากแผ่นดินทวีปถูกตัดผ่านด้วยอุโมงค์หรือคลองจำนวนมาก ระดับน้ำทะเลในคลองเหล่านั้นก็จะเกือบจะตรงกับจีออยด์เช่นกันนักธรณีวิทยาจึงสามารถหาความสูงของจุดต่างๆ บนทวีปที่อยู่เหนือจีออยด์ได้โดยใช้การ วัดระดับด้วย กล้องวัดระดับ

เนื่องจากพื้นผิวจีออยด์เป็นพื้นผิวศักย์เท่ากัน ตามนิยามแล้ว แรงโน้มถ่วงจึงตั้งฉากกับพื้นผิวทุกทิศทาง ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงระดับน้ำขึ้นน้ำลงชั่วคราว นั่นหมายความว่า เมื่อเดินทางโดยเรือ เราจะไม่สังเกตเห็นความโค้งเว้าของพื้นผิวจีออยด์ หากไม่นับรวมน้ำขึ้นน้ำลง เส้นดิ่ง (เส้นแนวดิ่ง) จะตั้งฉากกับพื้นผิวจีออยด์เสมอ และเส้นขอบฟ้าจะสัมผัสกับพื้นผิวจีออยด์ เช่นเดียวกัน ระดับน้ำจะขนานกับพื้นผิวจีออยด์เสมอ

สนามโน้มถ่วงของโลกไม่สม่ำเสมอ โดยทั่วไปแล้วจะใช้ ทรงรีแบนเป็นแบบจำลองของโลกในอุดมคติ แต่ถึงแม้โลกจะเป็นทรงกลมและไม่หมุน แรงโน้มถ่วงก็จะไม่เท่ากันทุกที่ เพราะความหนาแน่นแตกต่างกันไปทั่วทั้งโลก ซึ่งเป็นผลมาจากปัจจัยต่างๆ เช่น การกระจายตัวของแมกมา ความหนาแน่นและน้ำหนักของ องค์ประกอบ ทางธรณีวิทยา ที่แตกต่างกัน ในเปลือกโลกเทือกเขา ร่องลึกใต้ทะเล การอัดตัวของเปลือกโลกเนื่องจากธารน้ำแข็ง และอื่นๆ

ถ้าทรงกลมนั้นถูกปกคลุมด้วยน้ำ ระดับน้ำจะไม่เท่ากันทุกที่ แต่ระดับน้ำจะสูงหรือต่ำกว่าเมื่อเทียบกับศูนย์กลางของโลก ขึ้นอยู่กับค่าอินทิกรัลของแรงโน้มถ่วงจากศูนย์กลางของโลกไปยังตำแหน่งนั้น ระดับจีออยด์จะตรงกับระดับน้ำที่ควรจะเป็น โดยทั่วไปแล้ว จีออยด์จะสูงขึ้นในบริเวณที่มวลของโลกมีความหนาแน่นมากกว่า ทำให้เกิดแรงโน้มถ่วงมากขึ้น และดึงดูดน้ำจากบริเวณโดยรอบมากขึ้น

ค่าความผันแปรของจีออยด์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อความสูงของจีออยด์หรือความผิดปกติ ของจีออยด์ ) Nคือความสูงของจีออยด์เมื่อเทียบกับทรงรีอ้างอิงที่กำหนด ค่าความผันแปรนี้ ไม่มีมาตรฐาน เนื่องจากแต่ละประเทศใช้ระดับน้ำทะเลเฉลี่ยที่แตกต่างกันเป็นค่าอ้างอิง แต่โดยทั่วไปมักหมายถึงจีออยด์ EGM96$${\displaystyle N=hH.}$$

ในแผนที่และการใช้งานทั่วไป ความสูงเหนือระดับน้ำทะเลเฉลี่ย (เช่นความสูงออร์โธเมตริก H )ใช้เพื่อระบุความสูงของระดับความสูง ในขณะที่ความสูงแบบทรงรี h เป็นผลมาจาก ระบบ GPSและGNSS ที่คล้ายกัน ( มีความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างความสูงปกติและควาซิจีออยด์ซึ่งไม่คำนึงถึงความแปรผันของความหนาแน่นในท้องถิ่น) ในทางปฏิบัติ เครื่องรับ GPS แบบพกพาจำนวนมากจะประมาณค่าN ใน แผนที่จีออยด์ที่คำนวณไว้ล่วงหน้า( ตารางค้นหา ) ^{[ 6 ]}$${\displaystyle H=hN.}$$

ดังนั้น ในระหว่างการเดินทางระยะยาว เครื่องรับ GPSบนเรืออาจแสดงความแปรผันของความสูง แม้ว่าเรือจะอยู่ที่ระดับน้ำทะเลเสมอ (โดยไม่คำนึงถึงผลกระทบของน้ำขึ้นน้ำลง) นั่นเป็นเพราะดาวเทียม GPS ซึ่งโคจรอยู่รอบศูนย์กลางมวลของโลก สามารถวัดความสูงได้เฉพาะเมื่อเทียบกับทรงรีอ้างอิงแบบจีโอเซนทริกเท่านั้น ในการหาความสูงออร์ โธเมตริก จำเป็นต้องแก้ไขค่าที่อ่านได้จาก GPS ในทางกลับกัน ความสูงที่กำหนดโดยการวัดระดับจากเครื่องวัดน้ำขึ้นน้ำลงเช่นเดียวกับการสำรวจที่ดินแบบดั้งเดิม จะใกล้เคียงกับความสูงออร์โธเมตริกมากกว่า เครื่องรับ GPS รุ่นใหม่มีตารางกริดที่ใช้ในซอฟต์แวร์ ซึ่งใช้ในการหาความสูงของจีออยด์ (เช่น จีออยด์ EGM96) เหนือ ทรงรีของ ระบบพิกัดโลก (WGS) จากตำแหน่งปัจจุบัน จากนั้นจึงสามารถแก้ไขความสูงเหนือทรงรี WGS ให้เป็นความสูงเหนือจีออยด์ EGM96 ได้ เมื่อระดับความสูงของเรือไม่เป็นศูนย์ ความคลาดเคลื่อนนั้นเกิดจากปัจจัยอื่นๆ เช่น ระดับน้ำขึ้นน้ำลงในมหาสมุทรความดันบรรยากาศ (ผลกระทบทางอุตุนิยมวิทยา) ลักษณะภูมิประเทศของพื้นผิวทะเล ในท้องถิ่น และความไม่แน่นอนในการวัด

• 
  การโค้งงอของพื้นผิวโลกในรูปแบบสีเทียมการแรเงาและการขยายขนาดในแนวตั้ง (ปัจจัยการขยายขนาดในแนวตั้ง 10000)
• 
  การโค้งงอของทรงกลมโลกในรูปแบบสีเทียม โดยไม่มีการขยายแนวตั้ง
• 
  ภาพตัดขวางแนวเหนือ-ใต้ของความโค้งเว้าของจีออยด์ (สีแดง) เทียบกับทรงรีอ้างอิง (สีดำ) ซึ่งแสดงขนาดที่เกินจริงอย่างมาก ดูเพิ่มเติมที่รูปร่างคล้ายลูกแพร์ของโลก
• 
  ภาพตัดขวางแนวเส้นศูนย์สูตรของความโค้งเว้าของจีออยด์ (สีแดง) เทียบกับทรงรีอ้างอิง (สีดำ) ซึ่งแสดงขนาดที่เกินจริงอย่างมาก ดูเพิ่มเติมที่โลกสามแกน

การเปลี่ยนแปลงของระดับพื้นผิวโลก (geoid ) Nมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับศักยภาพการรบกวน (retrusing potential ) Tตามสูตรของ Bruns (ตั้งชื่อตามHeinrich Bruns ):

${\displaystyle N=T/\gamma \,,}$

โดยที่คือแรงโน้มถ่วงปกติซึ่งคำนวณจากศักย์สนามปกติ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle U}$

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนด ค่า Nคือการใช้ค่าความผิดปกติของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างแรงโน้มถ่วงอ้างอิงจริงและแรงโน้มถ่วงอ้างอิงปกติ ตามที่ระบุไว้${\displaystyle \Delta g}$สูตรของสโตกส์ (หรือปริพันธ์ของสโตกส์) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1849 โดยจอร์จ กาเบรียล สโตกส์:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

เคอร์เนลอินทิกรัลSที่เรียกว่าฟังก์ชัน Stokesได้รับการอนุมานโดย Stokes ในรูปแบบการวิเคราะห์แบบปิด^{[ 7 ]} โปรดทราบว่าการกำหนดตำแหน่งใดๆ บนโลกโดยใช้สูตรนี้จำเป็นต้องทราบตำแหน่งทุกแห่งบนโลกรวมถึงมหาสมุทร พื้นที่ขั้วโลก และทะเลทราย สำหรับการวัดความโน้มถ่วงบนพื้นดิน นี่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย แม้จะมีความร่วมมือระหว่างประเทศอย่างใกล้ชิดภายในสมาคมธรณีวิทยาระหว่างประเทศ (IAG) เช่น ผ่านทางสำนักงานความโน้มถ่วงระหว่างประเทศ (BGI, Bureau Gravimétrique International) ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta g}$

อีกแนวทางหนึ่งสำหรับการกำหนดค่าจีออยด์คือการรวมแหล่งข้อมูลหลายแหล่งเข้าด้วยกัน ไม่ใช่แค่เพียงข้อมูลแรงโน้มถ่วงภาคพื้นดินเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลทางธรณีวิทยาจากดาวเทียมเกี่ยวกับรูปร่างของโลก จากการวิเคราะห์การรบกวนวงโคจรของดาวเทียม และล่าสุดจากภารกิจแรงโน้มถ่วงของดาวเทียม เช่นGOCEและGRACEด้วย ในวิธีการผสมผสานดังกล่าว ส่วนที่มีความละเอียดต่ำของค่าจีออยด์จะมาจากข้อมูลดาวเทียม ในขณะที่สมการสโตกส์ที่ปรับแต่งแล้วจะใช้คำนวณส่วนที่มีความละเอียดสูงจากข้อมูลแรงโน้มถ่วงภาคพื้นดินจากบริเวณใกล้เคียงจุดประเมินเท่านั้น

การคำนวณการกระเพื่อมเป็นเรื่องที่ท้าทายทางคณิตศาสตร์^{[ 8 ] [ 9 ]} วิธีแก้ปัญหาจีออยด์ที่แม่นยำโดยPetr Vaníčekและเพื่อนร่วมงานได้ปรับปรุง วิธีการ Stokesianในการคำนวณจีออยด์^{[ 10 ]} วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาทำให้ การคำนวณจีออยด์มีความแม่นยำระดับมิลลิเมตรถึงเซนติเมตรซึ่งเป็นการปรับปรุงที่ดีขึ้นกว่าวิธีแก้ปัญหาแบบคลาสสิกก่อนหน้านี้หลายเท่า^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

การผันผวนของจีออยด์แสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนซึ่งสามารถประเมินได้โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่น การจัดเรียงแบบ กำลังสองน้อยที่สุด (LSC) ตรรกะ คลุมเครือ เครือ ข่ายประสาทเทียมฟังก์ชันฐานรัศมี (RBF) และ เทคนิค ทางภูมิสถิติวิธีการทางภูมิสถิติได้รับการกำหนดให้เป็นเทคนิคที่ได้รับการปรับปรุงมากที่สุดในการทำนายการผันผวนของจีออยด์^{[ 15 ]}

ความแปรผันของความสูงของพื้นผิวจีออยด์เกี่ยวข้องกับการกระจายความหนาแน่นที่ผิดปกติภายในโลก ดังนั้นการวัดจีออยด์จึงช่วยให้เข้าใจโครงสร้างภายในของดาวเคราะห์ การคำนวณสังเคราะห์แสดงให้เห็นว่าลายเซ็นจีออยด์ของเปลือกโลกที่หนาขึ้น (ตัวอย่างเช่น ในแถบเทือกเขาที่เกิดจากการชนกันของทวีป ) เป็นค่าบวก ซึ่งตรงกันข้ามกับสิ่งที่ควรคาดหวังหากความหนานั้นส่งผลกระทบต่อธรณีภาค ทั้งหมด การพาความร้อนของเนื้อโลกยังเปลี่ยนรูปร่างของจีออยด์เมื่อเวลาผ่านไปอีกด้วย^{[ 16 ]}

พื้นผิวของจีออยด์จะสูงกว่า ทรง รีอ้างอิงในทุกที่ที่มี ความผิดปกติ ของแรงโน้ม ถ่วงเป็นบวก หรือศักยภาพการรบกวนเป็นลบ (มวลส่วนเกิน) และจะต่ำกว่าทรงรีอ้างอิงในทุกที่ที่มีความผิดปกติของแรงโน้มถ่วงเป็นลบหรือศักยภาพการรบกวนเป็นบวก (มวลส่วนขาด) ^{[ 17 ]}

ความสัมพันธ์นี้สามารถเข้าใจได้โดยการระลึกว่าศักย์โน้มถ่วงถูกกำหนดให้มีค่าเป็นลบและแปรผกผันกับระยะห่างจากวัตถุ ดังนั้น ในขณะที่มวลส่วนเกินจะทำให้ความเร่งโน้มถ่วงเพิ่มขึ้น แต่จะลดศักย์โน้มถ่วงลง ผลที่ตามมาคือ พื้นผิวศักย์เท่ากันที่กำหนดขอบเขตของจีออยด์จะเคลื่อนที่ออกไปจากบริเวณที่มีมวลส่วนเกิน ในทำนองเดียวกัน การขาดมวลจะทำให้แรงดึงดูดของโน้มถ่วงอ่อนลง แต่จะเพิ่มศักย์ทางภูมิศาสตร์ที่ระยะห่างที่กำหนด ทำให้จีออยด์เคลื่อนที่เข้าหาบริเวณที่มีมวลขาด

การมีสิ่งเจือปนเฉพาะที่ในตัวกลางพื้นหลังจะทำให้เวกเตอร์ความเร่งโน้มถ่วงหมุนเล็กน้อยเข้าหาหรือออกจากวัตถุที่หนาแน่นกว่าหรือเบากว่าตามลำดับ ทำให้เกิดรอยนูนหรือรอยบุ๋มบนพื้นผิวศักย์เท่ากัน^{[ 18 ]}

ความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดสามารถพบได้ในบริเวณความต่ำของจีออยด์ในมหาสมุทรอินเดียซึ่งต่ำกว่าระดับน้ำทะเลเฉลี่ย 106 เมตร^{[ 19 ]} ลักษณะเด่นอีกประการหนึ่งคือบริเวณความสูงของจีออยด์ในมหาสมุทรแอตแลนติกเหนือ (หรือบริเวณความสูงของจีออยด์ในมหาสมุทรแอตแลนติกเหนือ) ซึ่งเกิดจากน้ำหนักของน้ำแข็งที่ปกคลุมทวีปอเมริกาเหนือและยุโรปตอนเหนือในช่วงปลายยุคน้ำแข็งซีโนโซอิก^{[ 20 ]}

ภารกิจดาวเทียมล่าสุด เช่นGravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE) และ GRACEทำให้สามารถศึกษาข้อมูลสัญญาณจีออยด์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาได้ ผลิตภัณฑ์แรกที่ใช้ข้อมูลจากดาวเทียม GOCE มีให้บริการทางออนไลน์ในเดือนมิถุนายน 2010 ผ่านทางองค์การอวกาศยุโรป^{[ 21 ] [ 22 ]} ESA ได้ปล่อยดาวเทียมในเดือนมีนาคม 2009 โดยมีภารกิจในการทำแผนที่แรงโน้มถ่วงของโลกด้วยความแม่นยำและความละเอียดเชิงพื้นที่ที่ไม่เคยมีมาก่อน เมื่อวันที่ 31 มีนาคม 2011 ได้มีการเปิดตัวแบบจำลองจีออยด์ใหม่ในการประชุมเชิงปฏิบัติการผู้ใช้ GOCE นานาชาติครั้งที่ 4 ซึ่งจัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งมิวนิกประเทศเยอรมนี^{[ 23 ]}การศึกษาโดยใช้จีออยด์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งคำนวณจากข้อมูล GRACE ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับวัฏจักรอุทกวิทยาโลก^{[ 24 ]}สมดุลมวลของแผ่นน้ำแข็ง^{[ 25 ]}และการฟื้นตัวหลังยุคน้ำแข็ง^{[ 26 ]}จากการวัดการฟื้นตัวหลังยุคน้ำแข็ง ข้อมูล GRACE ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสามารถนำมาใช้เพื่ออนุมานความหนืดของเนื้อโลกได้^{[ 27 ]}

ฮาร์มอนิกทรงกลมมักใช้เพื่อประมาณรูปร่างของจีออยด์ ชุดสัมประสิทธิ์ฮาร์มอนิกทรงกลมที่ดีที่สุดในปัจจุบันคือEGM2020 (Earth Gravitational Model 2020) ซึ่งกำหนดขึ้นในโครงการความร่วมมือระหว่างประเทศที่นำโดย National Imagery and Mapping Agency (ปัจจุบันคือNational Geospatial-Intelligence Agencyหรือ NGA) คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของส่วนที่ไม่หมุนของฟังก์ชันศักย์ในแบบจำลองนี้คือ: ^{[ 28 ]} โดยที่และคือละติจูดและลองจิจูดแบบจีโอเซนทริก (ทรงกลม) ตามลำดับคือพหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องซึ่ง ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างสมบูรณ์ ของดีกรีและอันดับและและ คือสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขของแบบจำลองตามข้อมูลที่วัดได้ สมการข้างต้นอธิบายถึง ศักย์โน้มถ่วงของโลกไม่ใช่จีออยด์เอง ณ ตำแหน่งที่พิกัดคือรัศมีจีโอเซนทริกนั่นคือระยะห่างจากศูนย์กลางของโลก จีออยด์เป็นพื้นผิวศักย์ เท่ากันเฉพาะ ^{[ 28 ]}และค่อนข้างซับซ้อนในการคำนวณ ความชันของศักยภาพนี้ยังให้แบบจำลองของความเร่งโน้มถ่วงด้วย EGM96 ที่ใช้กันทั่วไปมีชุดสัมประสิทธิ์ครบถ้วนถึงระดับและลำดับที่ 360 (เช่น) ซึ่งอธิบายรายละเอียดในจีออยด์ทั่วโลกที่มีขนาดเล็กถึง 55 กม. (หรือ 110 กม. ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของความละเอียด) จำนวนสัมประสิทธิ์และสามารถกำหนดได้โดยการสังเกตในสมการสำหรับก่อนว่าสำหรับค่าเฉพาะของจะมีสัมประสิทธิ์สองตัวสำหรับทุกค่าของยกเว้นจะมีสัมประสิทธิ์เพียงตัวเดียวเมื่อเนื่องจากดังนั้นจึงมีสัมประสิทธิ์ สำหรับทุกค่าของโดยใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้และสูตรจึงสรุปได้ว่าจำนวนสัมประสิทธิ์ทั้งหมดกำหนดโดย การใช้ค่า EGM96 ของ $${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$${\displaystyle \phi \ }$${\displaystyle \lambda \ }$${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$${\displaystyle n\ }$${\displaystyle m\ }$${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi ,\;\แลมบ์ดา ,\;r,\ }$${\displaystyle r\ }$${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$${\displaystyle (2n+1)}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$$${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}(2n+1)=n_{\text{max}}(n_{\text{max}}+1)+n_{\text{max}}-3=130317,}$$${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$

สำหรับการใช้งานหลายๆ กรณี อนุกรมที่สมบูรณ์นั้นซับซ้อนเกินความจำเป็นและถูกตัดทอนหลังจากเพียงไม่กี่พจน์ (อาจจะหลายสิบพจน์)

ถึงกระนั้น ก็มีการพัฒนารูปแบบที่มีความละเอียดสูงขึ้นไปอีก ผู้เขียนหลายคนของ EGM96 ได้ตีพิมพ์ EGM2008 ซึ่งรวมเอาข้อมูลแรงโน้มถ่วงจากดาวเทียมใหม่ๆ จำนวนมาก (เช่นGravity Recovery and Climate Experiment ) และรองรับได้ถึงระดับและลำดับที่ 2160 (1/6 ของระดับ ซึ่งต้องใช้สัมประสิทธิ์มากกว่า 4 ล้านตัว) ^{[ 29 ]}โดยมีสัมประสิทธิ์เพิ่มเติมที่ขยายไปถึงระดับที่ 2190 และลำดับที่ 2159 ^{[ 30 ]} EGM2020 เป็นรุ่นต่อยอดระดับนานาชาติที่เดิมกำหนดไว้สำหรับปี 2020 (ยังไม่เผยแพร่ในปี 2025) ซึ่งมีจำนวนฮาร์มอนิกเท่าเดิมที่สร้างขึ้นด้วยข้อมูลที่ดีกว่า^{[ 31 ]}

• การเบี่ยงเบนของแนวดิ่ง
• ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์
• ศักยภาพทางภูมิศาสตร์
• กรอบอ้างอิงภาคพื้นดินระหว่างประเทศ
• ธรณีฟิสิกส์
• จีออยด์ของดาวเคราะห์
  • แอริออยด์ (จีออยด์ของดาวอังคาร)
  • เซเลนอยด์ (ทรงกลมพื้นผิวของดวงจันทร์)

ลองค้นหาคำว่า geoidใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• หน้าเว็บของ NGA เกี่ยวกับแบบจำลองแรงโน้มถ่วงของโลก
• เว็บไซต์ของ NASA เกี่ยวกับ EGM96
• เว็บไซต์ของ NOAA เกี่ยวกับแบบจำลองจีออยด์
• ศูนย์นานาชาติเพื่อแบบจำลองโลก (ICGEM)
• บริการระหว่างประเทศเพื่อจีออยด์ (ISG)