เซตซิมพลิเชียล

Q: คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

ให้ Δ แทน หมวดหมู่ซิมเพล็กซ์ วัตถุของ Δ คือเซตจำกัดที่ไม่ว่างและ เรียงลำดับโดยสมบูรณ์ และมอร์ฟิซึม คือฟังก์ชันที่รักษาลำดับ (แบบไม่เคร่งครัด) วัตถุแต่ละชิ้นจะสมมูลกันอย่างเป็นเอกลักษณ์กับวัตถุในรูปแบบ

ในทางคณิตศาสตร์เซตเชิงซิมพลิเชียลคือลำดับของเซตที่มีโครงสร้างลำดับภายใน ( ซิมพลิเชียลนามธรรม ) และแผนที่ระหว่างเซตเหล่านั้น เซต เชิงซิมพลิเชียลเป็นการขยายความของ กราฟทิศทางในมิติที่สูงกว่า

เซตเชิงซิมพลิเชียลทุกเซตก่อให้เกิด ปริภูมิ เชิงทอพอโลยีที่ "ดี" ซึ่งเรียกว่าการทำให้เป็นจริงทางเรขาคณิต การทำให้เป็นจริงนี้ประกอบด้วยซิมเพล็กซ์ทางเรขาคณิตที่เชื่อมต่อกันตามกฎของเซตเชิงซิมพลิเชียล อันที่จริง เราอาจมองเซตเชิงซิมพลิเชียลว่าเป็นโครงสร้างเชิงการจัดเรียงล้วนๆ ที่ออกแบบมาเพื่อจับแก่นแท้ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อจุดประสงค์ของทฤษฎีโฮโมโทปีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลมีโครงสร้างแบบจำลอง ที่เป็นธรรมชาติ และหมวดหมู่โฮโมโทปี ที่สอดคล้องกัน นั้นเทียบเท่ากับหมวดหมู่โฮโมโทปีของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่คุ้นเคย

ในทางรูปธรรม เซตซิมพลิเชียลอาจถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จากหมวดหมู่ซิมเพล็ก ซ์ ไปยังหมวดหมู่ของเซตเซตซิมพลิเชียลได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2493 โดยซามูเอล ไอเลนเบิร์กและโจเซฟ เอ. ซิลเบอร์^{[ 1 ]}

เซตเชิงซิมพลิเชียลถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดควาซีแคโทรีซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีแคโทดระดับสูงการสร้างที่คล้ายคลึงกับเซตเชิงซิมพลิเชียลสามารถดำเนินการได้ในแคโทดใดก็ได้ ไม่ใช่แค่ในแคโทดของเซตเท่านั้น ทำให้เกิดแนวคิดของวัตถุเชิงซิมพลิเชียลขึ้น มา

แรงจูงใจ

เซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นแบบจำลองเชิงหมวดหมู่ (กล่าวคือ เป็นพีชคณิตล้วนๆ) ที่แสดงถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่สามารถสร้างขึ้น (หรือแสดงได้อย่างถูกต้องแม่นยำจนถึงระดับโฮโมโทปี) จากซิมเพล็กซ์และความสัมพันธ์ของการเกิดร่วมกัน วิธีการนี้คล้ายกับแนวทางของคอมเพล็กซ์ CWในการสร้างแบบจำลองปริภูมิเชิงทอพอโลยี โดยมีความแตกต่างที่สำคัญคือ เซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นพีชคณิตล้วนๆ และไม่มีทอพอโลยีที่แท้จริงใดๆ

เพื่อกลับไปสู่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แท้จริง มีฟังก์ชันการสร้างทางเรขาคณิต ที่เปลี่ยนเซตเชิงซิมพลิเชียลให้เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่าง กะทัดรัด ผลลัพธ์คลาสสิกส่วนใหญ่เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์ CW ในทฤษฎีโฮโมโทปีได้รับการขยายความโดยผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียล ในขณะที่นักทอพอโลยีเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่ยังคงนิยมใช้คอมเพล็กซ์ CW แต่ก็มีกลุ่มนักวิจัยจำนวนมากขึ้นที่สนใจใช้เซตเชิงซิมพลิเชียลสำหรับการประยุกต์ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งคอมเพล็กซ์ CW ไม่ได้มีอยู่ตามธรรมชาติ

ปรีชา

เซตเชิงซิมพลิเชียลสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของมัลติกราฟแบบ มีทิศทางไปยังมิติที่สูงกว่า เซตเชิงซิมพลิเชียลประกอบด้วยจุดยอด (เรียกว่า "ซิมพลิเชียล 0" ในบริบทนี้) และลูกศร ("ซิมพลิเชียล 1") ระหว่างจุดยอดเหล่านี้ จุดยอดสองจุดอาจเชื่อมต่อกันด้วยลูกศรหลายลูก และวงวนแบบมีทิศทางที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตัวมันเองก็ได้รับอนุญาตเช่นกัน แตกต่างจากมัลติกราฟแบบมีทิศทาง เซตเชิงซิมพลิเชียลอาจมีซิมพลิเชียลที่สูงกว่าได้ ตัวอย่างเช่น ซิมพลิเชียล 2 มิติ สามารถคิดได้ว่าเป็นรูป "สามเหลี่ยม" สองมิติที่ล้อมรอบด้วยจุดยอดสามจุดA , B , C และลูกศรสามลูกB → C , A → CและA → Bโดยทั่วไปn-ซิมเพล็กซ์ คือวัตถุที่ประกอบขึ้นจากรายการของ จุดยอด n + 1 จุด (ซึ่งเป็น 0-ซิมเพล็กซ์) และ หน้า n + 1 หน้า (ซึ่งเป็น ( n − 1)-ซิมเพล็กซ์) จุดยอดของ หน้าที่ iคือจุดยอดของn-ซิมเพล็กซ์ ลบด้วย จุดยอดที่ iจุดยอดของซิมเพล็กซ์ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน และซิมเพล็กซ์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยจุดยอดและหน้าของมัน ซิมเพล็กซ์สองอันที่แตกต่างกันอาจมีรายการหน้าเดียวกัน (และดังนั้นจึงมีรายการจุดยอดเดียวกัน) เช่นเดียวกับลูกศรสองลูกที่แตกต่างกันในมัลติกราฟอาจเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดเดียวกัน

ไม่ควรสับสนระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียลกับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมซึ่งเป็นการขยายความของกราฟแบบไม่มีทิศทางอย่างง่ายมากกว่าที่จะเป็นมัลติกราฟแบบมีทิศทาง

ในทางทฤษฎี เซตเชิงซิมพลิเชียล Xคือกลุ่มของเซตX , n = 0, 1, 2, ... พร้อมด้วยแผนที่บางอย่างระหว่างเซตเหล่านี้ ได้แก่แผนที่หน้าd : X → X ( n = 1, 2, 3, ... และ 0 ≤ i ≤ n ) และแผนที่ความเสื่อมs : X → X ( n = 0, 1, 2, ... และ 0 ≤ i ≤ n ) เราคิดว่าองค์ประกอบของX คือซิ มเพล็กซ์ nด้านของXแผนที่d กำหนดหน้าที่ i ให้กับ ซิมเพล็กซ์n ด้านแต่ละตัว ซึ่งเป็น หน้าที่ "ตรงข้าม" (กล่าวคือ ไม่ประกอบด้วย) จุดยอดที่iแผนที่s กำหนดให้กับ ซิมเพล็กซ์ n แต่ละตัวเป็นซิมเพล็กซ์ เสื่อมสภาพ ( n + 1) ซึ่งเกิดขึ้นจากซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยการทำซ้ำจุด ยอดที่ iคำอธิบายนี้ต้องการความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันโดยปริยายระหว่างแผนที่d และs

แทนที่จะกำหนดให้เอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล เหล่านี้ เป็นส่วนหนึ่งของคำนิยามอย่างชัดเจน คำนิยามสมัยใหม่ฉบับย่อนี้ใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่แทน

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

ให้ Δ แทนหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์วัตถุของ Δ คือเซตจำกัดที่ไม่ว่างและเรียงลำดับโดยสมบูรณ์ และมอร์ฟิซึม คือฟังก์ชันที่รักษาลำดับ (แบบไม่เคร่งครัด) วัตถุแต่ละชิ้นจะสมมูลกันอย่างเป็นเอกลักษณ์กับวัตถุในรูปแบบ

[ n ] = {0, 1, ..., n }

โดยที่n ≥ 0

เซตX อย่างง่าย คือฟังก์ชันที่ขัดแย้งกัน

X : Δ → เซต

โดยที่Setคือหมวดหมู่ของเซต (หรืออีกนัยหนึ่งและเทียบเท่ากัน เราอาจกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นฟังก์ชันโคแวเรียนต์จากหมวดหมู่ตรงข้าม Δ ^op→ Setก็ได้) เมื่อกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียล XเรามักจะเขียนX แทนที่จะเป็นX ([ n ])

เซตเชิงซิมพลิเชียลประกอบกันเป็นหมวดหมู่ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์sSetโดยที่วัตถุของหมวดหมู่นี้คือเซตเชิงซิมพลิเชียล และมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่นี้คือการแปลงธรรมชาติระหว่างเซตเหล่านั้น นี่คือหมวดหมู่ของพรีชีฟบน Δ ดังนั้นจึงเป็นโทโพสของโกรเทนดีค

แผนที่ใบหน้าและความเสื่อม และเอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล

มอร์ฟิซึม (แผนที่) ของหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์ Δ ถูกสร้างขึ้นโดยตระกูลมอร์ฟิซึมที่สำคัญสองตระกูล ซึ่งภาพของมอร์ฟิซึมเหล่านี้ภายใต้ฟังก์ชันเซตซิมพลิเชียลที่กำหนดเรียกว่าแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมของเซตซิมพลิเชียลนั้น

แผนที่หน้าของเซตเชิงซิมพลิเชียลXคือภาพของมอร์ฟิซึมในเซตเชิงซิมพลิเชียลนั้น $\delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]$ , ที่ไหน $\delta ^{n,i}$ เป็นการฉีดเพียงอย่างเดียว (ที่รักษาลำดับ) $[n-1]\to [n]$ ที่ "พลาด" $i$ ให้เรากำหนดสัญลักษณ์แทนแผนที่ใบหน้าเหล่านี้ด้วย $d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}$ ตามลำดับ ดังนั้น $d_{n,i}$ เป็นแผนที่ $X_{n}\to X_{n-1}$ ถ้าดัชนีแรกชัดเจน เราจะเขียนว่า $d_{i}$ แทนที่จะ $d_{n,i}$ .

แผนที่ความเสื่อมของเซตเชิงซิมพลิเชียลXคือภาพของมอร์ฟิซึมในเซตเชิงซิมพลิเชียลนั้น $\sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]$ , ที่ไหน $\sigma ^{n,i}$ เป็นการส่งแบบทั่วถึงเพียงอย่างเดียว (ที่รักษาลำดับ) $[n+1]\to [n]$ ที่ "กระทบ" $i$ สองครั้ง ให้เรากำหนดแผนที่ความเสื่อมเหล่านี้ด้วย $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ ตามลำดับ ดังนั้น $s_{n,i}$ เป็นแผนที่ $X_{n}\to X_{n+1}$ ถ้าดัชนีแรกชัดเจน เราจะเขียนว่า $s_{i}$ แทนที่จะ $s_{n,i}$ .

แผนที่ที่กำหนดไว้นั้นสอดคล้องกับเอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล ต่อไปนี้ :

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$ ถ้าi < j (นี่เป็นคำย่อของ $d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}$ ถ้า 0 ≤ i < j ≤ n .)
$d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ ถ้าi < j
$d_{i}s_{j}={\text{id}}$ ถ้าi = jหรือi = j + 1
$d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ ถ้าi > j + 1
$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ ถ้าi ≤ j

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดลำดับของเซตX พร้อมกับแผนที่ $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ และ $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ หากเซตซิมพลิเชียลเป็นไปตามเอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล จะมีเซตซิม พลิเชียล X ที่ไม่ซ้ำกันเพียงเซตเดียว ที่มีแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมเหล่านี้ ดังนั้นเอกลักษณ์เหล่านี้จึงเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดเซตซิมพลิเชียล

ตัวอย่าง

เมื่อกำหนดเซตที่มีลำดับบางส่วน ( S , ≤) เราสามารถกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียลNSซึ่งเรียกว่าเส้นประสาทของSได้ดังนี้: สำหรับทุกวัตถุ [ n ] ของ Δ เรากำหนดNS ([ n ]) = hom ([ n ], S ) ซึ่งเป็นเซตของแผนที่รักษาลำดับจาก [ n ] ไปยังSทุกมอร์ฟิซึมφ : [ n ] → [ m ] ใน Δ เป็นแผนที่รักษาลำดับ และผ่านการประกอบจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่NS ( φ ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]) สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าNSเป็นฟังก์ชันผกผันจาก Δ ไปยังSet : เซตเชิงซิมพลิเชียล

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซิม เพล็กซ์ nตัวของเส้นประสาทNSซึ่งก็คือองค์ประกอบของNS = NS ([ n ]) สามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับความยาว ( n + 1) ขององค์ประกอบจากS : ( a ≤ a ≤ ... ≤ a ) แผนที่หน้าd จะตัด องค์ประกอบที่ iออกจากรายการดังกล่าว และแผนที่ความเสื่อมs จะ ทำซ้ำองค์ประกอบที่i

สามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายกันได้สำหรับทุกหมวดหมู่Cเพื่อให้ได้เส้นประสาทNCของCโดยที่NC ([ n ]) คือเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก [ n ] ไปยังCโดยที่เราพิจารณา [ n ] เป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุ 0,1,..., nและมอร์ฟิซึมเดียวจากiไปยังjเมื่อใดก็ตามที่i ≤ j

กล่าวโดยละเอียดn-ซิมเพล็กซ์ของเส้นประสาทNCสามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับของ มอร์ฟิซึมที่ประกอบกันได้ nตัวในC : a → a → ... → a (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 0-ซิมเพล็กซ์เป็นวัตถุของCและ 1-ซิมเพล็กซ์เป็นมอร์ฟิซึมของC ) แผนที่หน้าd จะตัดมอร์ฟิซึมตัวแรกออกจากรายการดังกล่าว แผนที่หน้าd จะตัดมอร์ฟิซึมตัวสุดท้ายออก และแผนที่หน้าd สำหรับ 0 < i < nจะตัดa ออก และประกอบ มอร์ฟิซึมตัวที่ iและ ( i + 1) เข้าด้วยกัน แผนที่ความเสื่อมs จะทำให้ลำดับยาวขึ้นโดยการแทรกมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ที่ตำแหน่งi

เราสามารถกู้คืนโพเซตSจากเส้นประสาทNSและหมวดหมู่Cจากเส้นประสาทNCได้ ในแง่นี้ เซตเชิงซิมพลิเชียลจึงเป็นการขยายความหมายของโพเซตและหมวดหมู่

ตัวอย่างสำคัญอีกกลุ่มหนึ่งของเซตเชิงซิมพลิเชียลคือ เซตเอกฐานSYของปริภูมิเชิงทอพอโลยีYโดยที่SY ประกอบด้วยแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีมาตรฐานnมิติไปยังYเซตเอกฐานนี้จะได้รับการอธิบายเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป

n- ซิมเพล็กซ์ มาตรฐานและหมวดหมู่ของซิมเพล็กซ์

ซิมเพล็กซ์nมาตรฐานซึ่งแสดงด้วย^Δnคือเซตซิมพลิเชียลที่กำหนดเป็นฟังก์ชัน hom (-, [ n ]) โดยที่ [ n ] หมายถึงเซตเรียงลำดับ {0, 1, ... , n ^}ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบตัวแรก ( n + 1) ตัว (ในตำราหลายเล่ม จะเขียนแทนด้วย hom([ n ],-) โดยที่เซต hom เข้าใจว่าอยู่ในหมวดหมู่ตรงข้าม^Δop [ ^{2 ]} )

ตามทฤษฎีบทโยเนดะ ซิมเพ ล็กซ์ nตัวของเซตซิมเพล็กซ์Xมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับการแปลงธรรมชาติจาก Δn ^ไปยังXกล่าวคือ $X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)$ .

นอกจากนี้Xยังก่อให้เกิดหมวดหมู่ของซิมเพล็กซ์ซึ่งแสดงด้วย $\Delta \downarrow {X}$ โดยที่วัตถุของมันคือแผนที่ ( เช่นการแปลงธรรมชาติ) Δ ⁿ → Xและมอร์ฟิซึมของมันคือการแปลงธรรมชาติ Δ ⁿ → Δ ^mบนXที่เกิดขึ้นจากแผนที่ [ n ] → [ m ] ใน Δ นั่นคือ $\Delta \downarrow {X}$ เป็นหมวดหมู่สไลซ์ของ Δ เหนือX ไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเซตซิมพลิเชียลXเป็นโคลิมิตของซิมพลิเชียลของมัน: ^{[ 3 ]}

X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}

โดยที่โคลิมิตนั้นถูกหาจากหมวดหมู่ของซิมเพล็กซ์ของX

การรับรู้ทางเรขาคณิต

มีฟังก์ชัน |•|: sSet → CGHausที่เรียกว่าการรับรู้ทางเรขาคณิตซึ่งนำเซตเชิงซิมเพล็กซ์Xไปสู่การรับรู้ที่สอดคล้องกันในหมวดหมู่CGHausของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟ ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด โดย สัญชาตญาณ การรับรู้ของXคือปริภูมิเชิงทอพอโลยี (อันที่จริงคือคอมเพล็กซ์ CW ) ที่ได้มาหาก ซิมเพล็กซ์ n มิติทุกตัว ของXถูกแทนที่ด้วยซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีn มิติ (เซตย่อยมิติ nบางส่วนของปริภูมิยุคลิดมิติ ( n + 1) ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) และซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีเหล่านี้ถูกเชื่อมต่อเข้าด้วยกันในลักษณะเดียวกับที่ซิมเพล็กซ์ของXแขวนอยู่ด้วยกัน ในกระบวนการนี้ ทิศทางของซิมเพล็กซ์ของXจะหายไป

เพื่อกำหนดฟังก์ชันการรับรู้ เราจะกำหนดฟังก์ชันนี้บนซิมเพล็กซ์ n มาตรฐาน Δn ก่อน^{ดังนี้} : การรับรู้ทางเรขาคณิต |Δn ^|คือซิมเพล็ก ซ์ nทางทอพอโลยี มาตรฐาน ในตำแหน่งทั่วไปที่กำหนดโดย

|\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.

ดังนั้น นิยามจึงขยายไปสู่เซตเชิงซิมพลิเชียลX ใดๆ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยการกำหนดค่า

|X| = lim | Δ ⁿ |

โดยที่โคลิมิต นั้น ถูกหาจากหมวดหมู่ n-ซิมเพล็กซ์ของX การรับรู้ทางเรขาคณิตเป็นแบบฟังก์ชันบนsSet

เป็นเรื่องสำคัญที่เราใช้หมวดหมู่CGHausของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แทนที่จะใช้หมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป็นหมวดหมู่เป้าหมายของการสร้างทางเรขาคณิต: เช่นเดียวกับsSetและไม่เหมือนกับTopหมวดหมู่CGHausเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนผลคูณเชิงหมวดหมู่ถูกกำหนดแตกต่างกันในหมวดหมู่TopและCGHausและผลคูณในCGHausสอดคล้องกับผลคูณในsSetผ่านการสร้างทางเรขาคณิต

ชุดเดียวสำหรับพื้นที่

เซตเอกลักษณ์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีYคือเซตเชิงซิมพลิเชียลSYซึ่งกำหนดโดย

( SY )([ n ]) = hom (|Δ ⁿ |, Y ) สำหรับแต่ละวัตถุ [ n ] ∈ Δ

แผนที่รักษาลำดับทุกแผนที่φ :[ n ]→[ m ] เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ต่อเนื่อง |Δ ⁿ |→|Δ ^m | โดย

(x_{0},...,x_{n})\in |\Delta _{n}|\mapsto (y_{j}),~~y_{j}=\sum _{\phi (i)=j}x_{i}.

จากนั้น โดยการประกอบ จะได้แผนที่SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]) นิยามนี้คล้ายคลึงกับแนวคิดมาตรฐานในโฮโมโลยีเอกฐานของการ "สำรวจ" พื้นที่โทโพโลยีเป้าหมายด้วยซิมเพล็กซ์โทโพโลยีn มาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้นฟังก์ชันเอกฐานSเป็นตัวผกผันขวาของฟังก์ชันการรับรู้ทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น กล่าวคือ:

hom (| X |, Y ) ≅ hom ( X , SY )

สำหรับเซตเชิงซิมเพล็กซ์X ใดๆ และปริภูมิเชิงทอพอโลยีY ใดๆ โดยสัญชาตญาณแล้ว การเชื่อมโยงนี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้: แผนที่ต่อเนื่องจากการรับรู้ทางเรขาคณิตของXไปยังปริภูมิYจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน หากเราเชื่อมโยงซิมเพล็กซ์ทุกตัวของX กับ แผนที่ต่อเนื่องจากซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีมาตรฐานที่สอดคล้องกันไปยังYในลักษณะที่แผนที่เหล่านี้เข้ากันได้กับวิธีที่ซิมเพล็กซ์ในXเชื่อมโยงกัน

ทฤษฎีโฮโมโทปีของเซตเชิงซิมพลิเชียล

ในการกำหนดโครงสร้างแบบจำลองบนหมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียล จำเป็นต้องกำหนดฟิเบรชัน โคฟิเบรชัน และสมมูลแบบอ่อน เราสามารถกำหนดฟิเบรชันให้เป็นฟิเบรชันแบบคานได้แผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลถูกกำหนดให้เป็นสมมูลแบบอ่อน ถ้าการทำให้เป็นจริงทางเรขาคณิตของมันคือสมมูลแบบโฮโมโทปีแบบอ่อนของ ปริภูมิ แผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลถูกกำหนดให้เป็นโคฟิเบรชันถ้ามันเป็นโมโนมอร์ฟิ ซึม ของเซตเชิงซิมพลิเชียล เป็นทฤษฎีบทที่ยากของแดเนียล ควิลเลนที่ระบุว่า หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลที่มีมอร์ฟิซึมเหล่านี้กลายเป็นหมวดหมู่แบบจำลอง และเป็นไปตามสัจพจน์สำหรับหมวดหมู่แบบจำลองเชิงซิมพลิเชียลแบบปิด ที่เหมาะสม

จุดเปลี่ยนสำคัญของทฤษฎีนี้คือ การรับรู้ทางเรขาคณิตของไฟเบอร์เรชันของคาน (Kan fibration) คือไฟเบอร์เรของเซร์เร (Serre fibration ) ของปริภูมิ ด้วยโครงสร้างแบบจำลองนี้ ทฤษฎีโฮโมโทปีของเซตซิมพลิเชียลสามารถพัฒนาได้โดยใช้ วิธี พีชคณิตโฮโมโทปี มาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้น การรับรู้ทางเรขาคณิตและฟังก์ชันเอกฐานทำให้เกิดความสมมูลของควิลเลน (Quillen equivalence)ของหมวดหมู่แบบจำลองปิดที่เหนี่ยวนำให้เกิดความสมมูล

|•|: โฮ ( sSet ) ↔ โฮ ( บนสุด )

ระหว่างหมวดหมู่โฮโมโทปีสำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียลและหมวดหมู่โฮโมโทปีปกติของคอมเพล็กซ์ CW ที่มีคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ต่อเนื่องระหว่างกัน ส่วนหนึ่งของคำจำกัดความทั่วไปของการเชื่อมโยงแบบ Quillen คือฟังก์ชันผกผันด้านขวา (ในกรณีนี้คือฟังก์ชันเซตเอกฐาน) จะนำพาไฟเบรชัน (หรือไฟเบรชันที่ไม่สำคัญ) ไปยังไฟเบรชัน (หรือไฟเบรชันที่ไม่สำคัญ)

วัตถุซิมพลิเชียล

วัตถุเชิงซิมพลิเชียลXในหมวดหมู่Cคือฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์

X : Δ → C

หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันโคแวเรียนต์

X : Δ ^op → C,

โดยที่ Δ ยังคงหมายถึงหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์และ^{op หมาย} ถึง หมวดหมู่ตรงข้ามเมื่อCคือหมวดหมู่ของเซตเรากำลังพูดถึงเซตซิมพลิเชียลที่ได้นิยามไว้ข้างต้นเท่านั้น เมื่อให้Cเป็นหมวดหมู่ของกลุ่มหรือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนเราจะได้หมวดหมู่sGrpของกลุ่ม ซิมพลิเชียล และsAbของกลุ่มอาเบเลียน ซิมพลิเชียล ตามลำดับ

กลุ่มซิมพลิเชียลและกลุ่มอาเบเลียนซิมพลิเชียลยังประกอบด้วยโครงสร้างแบบจำลองปิดที่เหนี่ยวนำโดยโครงสร้างของเซตซิมพลิเชียลพื้นฐานอีกด้วย

กลุ่มโฮโมโทปีของกลุ่มอาเบเลียนเชิงซิมพลิเชียลสามารถคำนวณได้โดยใช้การจับคู่แบบดอลด์-คาน ซึ่งให้ความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ระหว่างกลุ่มอาเบเลียนเชิง ซิมพลิเชียลและคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่มีขอบเขตและกำหนดโดยฟังก์ชัน

N: sAb → Ch

และ

Γ : Ch → sAb .

ดูเพิ่มเติม: แผนภาพเชิงซิมพลิเชียล

ประวัติและการใช้งานของเซตเชิงซิมพลิเชียล

เซตเชิงซิมพลิ เชียลเดิมทีใช้เพื่ออธิบายปริภูมิจำแนกกลุ่ม อย่างแม่นยำและสะดวก แนวคิดนี้ได้รับการขยายอย่างมากโดย แนวคิดของ โกรเทน ดี คที่พิจารณาปริภูมิจำแนกประเภทของหมวดหมู่ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยงานของควิลเลน เกี่ยวกับ ทฤษฎี K ทางพีชคณิตในงานนี้ ซึ่งทำให้เขาได้รับเหรียญฟิลด์สควิลเลนได้พัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพอย่างน่าประหลาดใจสำหรับการจัดการกับเซตเชิงซิมพลิเชียลอนันต์ วิธีการเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ ที่อยู่ระหว่างขอบเขตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยี ตัวอย่างเช่นโฮโมโลยีของวงแหวนอังเดร-ควิลเลนเป็น "โฮโมโลยีที่ไม่เป็นอาเบเลียน" ซึ่งถูกกำหนดและศึกษาในลักษณะนี้

ทั้งทฤษฎี K ทางพีชคณิตและโฮโมโลยีของ André–Quillen ถูกกำหนดโดยใช้ข้อมูลทางพีชคณิตเพื่อเขียนเซตเชิงซิมพลิเชียล จากนั้นจึงหาโฮโมโทปีกรุ๊ปของเซตเชิงซิมพลิเชียลนี้

วิธีการเชิงซิมพลิเชียลมักมีประโยชน์เมื่อต้องการพิสูจน์ว่าปริภูมิหนึ่งเป็นปริภูมิวงวนแนวคิดพื้นฐานคือ ถ้า $G$ เป็นกลุ่มที่มีพื้นที่จำแนกประเภท $BG$ , แล้ว $G$ สมมูลเชิงโฮโมโทปีกับปริภูมิวงวน $\Omega BG$ . ถ้า $BG$ ตัวมันเองเป็นกลุ่ม เราสามารถทำซ้ำขั้นตอนได้ และ $G$ สมมูลเชิงโฮโมโทปีกับปริภูมิวงคู่ $\โอเมก้า ^{2}B(BG)$ ในกรณีดังกล่าว $G$ เนื่องจากเป็นกลุ่มอาเบเลียน เราจึงสามารถทำซ้ำกระบวนการนี้ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และได้ผลลัพธ์ว่า $G$ เป็นพื้นที่วงวนอนันต์

ถึงแม้ว่า $X$ ถึงแม้จะไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน แต่ก็อาจเกิดขึ้นได้ว่ามีองค์ประกอบที่มีคุณสมบัติการสลับที่เพียงพอ เพื่อให้สามารถใช้แนวคิดข้างต้นในการพิสูจน์ได้ว่า $X$ เป็นปริภูมิวงวนอนันต์ ด้วยวิธีนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าพีชคณิต $K$ -ทฤษฎีของวงแหวน ซึ่งถือเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป็นปริภูมิวงวนอนันต์

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา เซตเชิงซิมพลิเชียลถูกนำมาใช้ในทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอนุพันธ์หมวดหมู่กึ่งสมบูรณ์สามารถคิดได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่การประกอบของมอร์ฟิซึมถูกกำหนดไว้เพียงแค่ระดับโฮโมโทปีเท่านั้น และข้อมูลเกี่ยวกับการประกอบของโฮโมโทปีที่สูงกว่าก็ยังคงอยู่ หมวดหมู่กึ่งสมบูรณ์ถูกนิยามว่าเป็นเซตเชิงซิมพลิเชียลที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกหนึ่งข้อ คือ เงื่อนไขคานแบบอ่อน

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "คอมเพล็กซ์เซมิซิมพลิเชียลและโฮโมโลยีเอกฐาน". Annals of Mathematics . 51 (3): 499– 513. doi : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .
↑ Gelfand & Manin 2013
↑ Goerss & Jardine 1999 , หน้า7

อ่านเพิ่มเติม

Riehl, Emily . "บทนำอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับเซตเชิงซิมพลิเชียล" (PDF )
เมย์, เจ. ปีเตอร์ . วัตถุเชิงซิมพลิเชียลในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ,สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก 1967
เซตซิมพลิเชียลที่ห้องปฏิบัติการ n

[1] Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "คอมเพล็กซ์เซมิซิมพลิเชียลและโฮโมโลยีเอกฐาน". Annals of Mathematics . 51 (3): 499– 513. doi : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .

[2] Gelfand & Manin 2013

[3] Goerss & Jardine 1999 , หน้า7

[ 1 ]

}

[ 3 ]