ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัค

จดหมายจากโกลด์บัคถึงออยเลอร์ ลงวันที่ 7 มิถุนายน พ.ศ. 2385 ( ภาษาละติน – ภาษาเยอรมัน ) [ 1 ]
สนาม	ทฤษฎีจำนวน
คาดการณ์โดย	คริสเตียน โกลด์บัค
คาดการณ์ไว้ใน	1742
ปัญหาที่ยังเปิดอยู่	ใช่
ผลที่ตามมา	ข้อสันนิษฐานที่อ่อนแอของโกลด์บัค

ข้อสันนิฐานของโกลด์บัคเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังแก้ไม่ตก ที่เก่าแก่และเป็นที่รู้จักมากที่สุด ในทฤษฎีจำนวน และ คณิตศาสตร์ทั้งหมด ข้อสันนิฐาน นี้กล่าวว่าจำนวนธรรมชาติคู่ ทุกจำนวน ที่มากกว่า 2 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะ สอง จำนวน

ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่า4 × 10 ¹⁸แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์แม้จะพยายามอย่างมากแล้วก็ตาม

เมื่อวันที่ 7 มิถุนายน พ.ศ. 2385 นักคณิตศาสตร์ชาวปรัสเซียคริสเตียน โกลด์บัคได้เขียนจดหมายถึงเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (จดหมายฉบับที่ XLIII) ^{[ 2 ]}โดยเสนอสมมติฐานดังต่อไปนี้:

จำนวนเต็มทุกจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน ก็สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะ (รวมถึงหนึ่ง) ได้มากเท่าที่ต้องการ จนกว่าทุกพจน์จะเป็นหนึ่ง^{[ a ]}

โกลด์บัคปฏิบัติตามธรรมเนียมที่ถูกยกเลิกไปแล้วซึ่งถือว่า 1เป็นจำนวนเฉพาะ [ ^{3 ] ดังนั้นผลรวมของหน่วยจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะ จาก}นั้นเขาก็เสนอสมมติฐานข้อที่สองในขอบจดหมายของเขา ซึ่งบ่งชี้ถึงข้อแรก: ^{[ b ]}

ดูเหมือนว่าอย่างน้อยที่สุด จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน^{[ c ]}

ออยเลอร์ตอบกลับในจดหมายลงวันที่ 30 มิถุนายน พ.ศ. 2385 ^{[ 4 ]}และเตือนโกลด์บัคถึงการสนทนาก่อนหน้านี้ที่พวกเขามีกัน ( "... so Ew. vormals mit mir communicirt haben ..." ) ซึ่งโกลด์บัคได้กล่าวว่าข้อสันนิษฐานข้อแรกจากสองข้อนั้นจะเป็นผลมาจากข้อความดังกล่าว

อันที่จริงแล้วนี่เทียบเท่ากับข้อสันนิษฐานส่วนขอบข้อที่สองของเขา ในจดหมายลงวันที่ 30 มิถุนายน พ.ศ. 2385 ออยเลอร์ระบุว่า: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ที่ว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนนั้น ผมถือว่าเป็นทฤษฎีบทที่แน่นอนอย่างยิ่ง แม้ว่าผมจะพิสูจน์ไม่ได้ก็ตาม^{[ d ]}

เรเน่ เดส์การ์ตเขียนว่า "จำนวนคู่ทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะไม่เกินสามจำนวน" ^{[ 7 ]}ข้อเสนอแนะนี้คล้ายคลึงกับ แต่มีความอ่อนแอกว่า ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัค พอล เออร์โดสกล่าวว่า "ที่จริงแล้ว เดส์การ์ต ค้นพบสิ่งนี้ก่อนโกลด์บัค ... แต่เป็นการดีกว่าที่ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการตั้งชื่อตามโกลด์บัค เพราะในทางคณิตศาสตร์ เดส์การ์ต ร่ำรวยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในขณะที่โกลด์บัค ยากจนมาก" ^{[ 8 ]}

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนนั้นยากกว่าข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคแบบอ่อนมากซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน การใช้วิธีของวินอกราดอฟนิโคไล ชูดาคอฟ [ ^{9 ] โย}ฮันเนส ฟาน เดอร์ คอร์พุต [ ^{10 ] และ}ธีโอดอร์ เอสเตอร์มันน์^{[ 11 ]}แสดงให้เห็น (1937–1938) ว่า จำนวนคู่ เกือบทั้งหมดสามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ (ในแง่ที่ว่าเศษส่วนของจำนวนคู่จนถึงN บางค่า ที่สามารถเขียนได้เช่นนั้นมีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อNเพิ่มขึ้น) ในปี 1930 เลฟ ชนิเรลมันน์พิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติ ใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะ ไม่เกิน C จำนวน โดยที่ Cเป็นค่าคงที่ที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ ดูความหนาแน่นของชนิเรลมันน์ [ ^{12 ] [ 13 ] ค่า}คงที่ของชนิเรลมันน์คือจำนวนต่ำสุดCที่มีคุณสมบัตินี้ ชนิเรลมันน์เองได้รับC <800,000ผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงเพิ่มเติมโดยผู้เขียนหลายท่าน เช่น Olivier Ramaréซึ่งในปี 1995 ได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนคู่ทุกจำนวน n ≥ 4 นั้นเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะไม่เกิน 6 ตัว ผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักดีที่สุดมาจากการพิสูจน์สมมติฐาน Goldbach แบบอ่อนโดยHarald Helfgott ^{[ 14 ]}ซึ่งบ่งชี้โดยตรงว่าจำนวนคู่ทุกจำนวน n ≥ 4นั้นเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะไม่เกิน 4 ตัว ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ในปี พ.ศ. 2467 HardyและLittlewoodได้แสดงให้เห็น^{[ 17 ]}ภายใต้สมมติฐานของสมมติฐาน Riemann ทั่วไปว่าจำนวนของเลขคู่จนถึงXที่ละเมิดสมมติฐาน Goldbach นั้นน้อยกว่าX ^{1 ⁄ 2 + c} มาก สำหรับcขนาด เล็ก ^{[ 18 ]}

ในปี พ.ศ. 2491 Alfréd Rényi ได้แสดงให้เห็นโดยใช้ วิธีทฤษฎีตะแกรงว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่มีขนาดใหญ่เพียงพอสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะและจำนวนเกือบเฉพาะ ที่มี ตัวประกอบไม่เกินK ตัว ^{[ 19 ]} Chen Jingrunได้แสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2516 โดยใช้ทฤษฎีตะแกรงว่าจำนวนคู่ทุก จำนวนที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน หรือจำนวนเฉพาะและจำนวนกึ่งเฉพาะ (ผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน) ^{[ 20 ]}ดูทฤษฎีบทของ Chenสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ในปี 1975 ฮิวจ์ โลเวลล์ มอนต์โกเมอรีและบ็อบ วอห์นได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนคู่ "ส่วนใหญ่" สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีค่าคงที่บวกcและC อยู่จริง โดยที่สำหรับจำนวนN ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ จำนวนคู่ทุกจำนวนที่น้อยกว่าNจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน โดยมีข้อยกเว้นอย่างมากที่สุดCN ^{1 − c}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตของจำนวนเต็มคู่ที่ไม่ใช่ผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนจะมีค่าความหนาแน่นเป็นศูนย์

ในปี พ.ศ. 2494 ยูริ ลินนิคได้พิสูจน์การมีอยู่ของค่าคงที่Kซึ่งทำให้จำนวนคู่ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนและกำลังของ 2 ไม่เกิน K ตัว ยาโนส ปินซ์และอิมเร รูซาพบในปี พ.ศ. 2563 ว่าK = 8ใช้ได้^{[ 21 ]}หากสมมติ สมมติฐาน รีมันน์แบบทั่วไปK = 7ก็ใช้ได้เช่นกัน ดังที่โรเจอร์ ฮีธ-บราวน์และแยน-คริสตอฟ ชลาเก-ปุชตา แสดงให้เห็น ในปี พ.ศ. 2545 ^{[ 22 ]}

ในปี 2013 Harald Helfgottได้ส่งบทพิสูจน์ของข้อสันนิษฐานที่อ่อนแอไปยัง ชุดหนังสือ Annals of Mathematics Studiesบทความได้รับการยอมรับ แต่ Helfgott ตัดสินใจที่จะทำการแก้ไขครั้งใหญ่ตามคำแนะนำของผู้ตรวจสอบ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}ข้อสันนิษฐานที่อ่อนแอนั้นได้มาจากข้อสันนิษฐานของ Goldbach กล่าวคือ ถ้าn − 3เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน แล้วnจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน แต่การบ่งชี้ในทางกลับกันและข้อสันนิษฐานของ Goldbach จึงยังไม่ได้รับการพิสูจน์ แม้ว่าบทพิสูจน์ของ Helfgott จะถูกต้องก็ตาม

สำหรับค่าn ที่มีขนาดเล็ก สมมติฐานของโกลด์บัค (และด้วยเหตุนี้ สมมติฐานของโกลด์บัคแบบอ่อน) สามารถตรวจสอบได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น ในปี 1938 นิลส์ ปิปปิง ได้ตรวจสอบสมมติฐานนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนจนถึงค่าn =100,000 [ ^{26 ] ด้วยการมาถึงของคอมพิวเตอร์ ทำให้มีการ ตรวจ}สอบ ค่า nมากขึ้นT. Oliveira e Silva ได้ทำการค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์แบบกระจาย ซึ่งได้ตรวจสอบสมมติฐานสำหรับ n ≤4 × 10 ¹⁸ (และตรวจสอบซ้ำอีกครั้งจนถึง4 × 10 ¹⁷ ) ณ ปี 2013 บันทึกหนึ่งจากการค้นหานี้คือ3 325 581 707 333 960 528เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน โดยที่จำนวนหนึ่งมีค่าน้อยกว่า 9781 ^{[ 27 ]}

ข้อสันนิษฐานทั้งสามข้อมีสิ่งที่เทียบเคียงได้ตามธรรมชาติในแง่ของนิยามสมัยใหม่ของจำนวนเฉพาะ ซึ่ง 1 ถูกยกเว้น นิยามสมัยใหม่ของข้อสันนิษฐานข้อแรกคือ:

แนวคิดสมัยใหม่ของสมมติฐานเชิงขอบคือ:

และทฤษฎีบทคาดการณ์สมัยใหม่ของโกลด์บัคที่ออยเลอร์ได้เตือนเขาไว้ก็คือ:

ข้อความในเวอร์ชันสมัยใหม่เหล่านี้อาจไม่เทียบเท่ากับข้อความดั้งเดิมที่สอดคล้องกันโดยสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น หากมีจำนวนเต็มคู่N = p + 1ที่มากกว่า 4 โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวในความหมายสมัยใหม่ได้ ก็จะเป็นตัวอย่างค้านสำหรับเวอร์ชันสมัยใหม่ของข้อสันนิษฐานที่สาม (โดยที่ไม่ใช่ตัวอย่างค้านสำหรับเวอร์ชันดั้งเดิม) ดังนั้นเวอร์ชันสมัยใหม่จึงน่าจะแข็งแกร่งกว่า (แต่เพื่อยืนยันสิ่งนั้น จะต้องพิสูจน์ว่าเวอร์ชันแรก ซึ่งนำไปใช้กับจำนวนเต็มคู่บวกn ใดๆ ได้อย่างอิสระ ไม่สามารถตัดความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของตัวอย่างค้านN ที่เฉพาะเจาะจงดังกล่าว ได้) ไม่ว่าในกรณีใด ข้อความสมัยใหม่มีความสัมพันธ์กันเช่นเดียวกับข้อความเก่าๆ กล่าวคือ ข้อความสมัยใหม่ข้อที่สองและข้อที่สามเทียบเท่ากัน และข้อใดข้อหนึ่งก็บ่งชี้ถึงข้อความสมัยใหม่ข้อแรก

ข้อความสมัยใหม่ข้อที่สาม (เทียบเท่ากับข้อที่สอง) เป็นรูปแบบที่มักใช้ในการแสดงข้อสันนิษฐานนี้ในปัจจุบัน เรียกอีกอย่างว่า ข้อสันนิษฐานโกลด์บัคแบบ " เข้มแข็ง " "คู่" หรือ "ไบนารี" ส่วนรูปแบบที่อ่อนกว่าของข้อความสมัยใหม่ข้อที่สอง เรียกว่า " ข้อสันนิษฐานอ่อนของโกลด์บัค " "ข้อสันนิษฐานโกลด์บัคแบบคี่" หรือ "ข้อสันนิษฐานโกลด์บัคแบบเทอร์นารี" กล่าวว่า

การพิจารณาทางสถิติที่มุ่งเน้นไปที่การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนเฉพาะแสดงให้เห็นหลักฐานที่ไม่เป็นทางการที่สนับสนุนข้อสันนิษฐาน (ทั้งในรูปแบบอ่อนและรูปแบบแข็ง) สำหรับ จำนวน เต็มที่มากพอสมควรกล่าวคือ ยิ่งจำนวนเต็มมากเท่าไร ก็ยิ่งมีวิธีมากขึ้นในการแสดงจำนวนนั้นในรูปผลรวมของจำนวนอื่นสองหรือสามจำนวน และยิ่ง "มีแนวโน้ม" มากขึ้นที่อย่างน้อยหนึ่งในรูปแบบการแสดงผลเหล่านั้นจะประกอบด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมด

เวอร์ชันอย่างหยาบๆ ของ ข้อโต้แย้งเชิงความน่าจะ เป็นแบบฮิว ริสติก (สำหรับรูปแบบที่เข้มงวดของข้อสันนิษฐานของโกลด์บัค) มีดังนี้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า จำนวนเต็มmที่เลือกแบบสุ่มจะมีค่าประมาณ⁠1/ln mโอกาสที่จะเป็นจำนวน เฉพาะดังนั้นถ้า nเป็นจำนวนคู่ขนาดใหญ่ และ mเป็นจำนวนระหว่าง 3 ถึง ⁠n/2ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ mและ n − mจะเป็นจำนวนเฉพาะพร้อมกันจึงอาจคาดได้ว่าจะเป็น ⁠1/ln m ln( n − m )หากใช้หลักการคาดเดานี้ เราอาจคาดได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมดในการเขียนจำนวนคู่ขนาดใหญ่ nในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะคี่สองจำนวนจะมีค่าประมาณ

$${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(nm)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$$

เนื่องจากปริมาณนี้จะเข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อnเพิ่มขึ้น และเราคาดว่าจำนวนเต็มคู่ขนาดใหญ่ทุกจำนวนจะไม่เพียงแต่มีรูปแบบเดียวที่เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน แต่ในความเป็นจริงแล้วจะมีรูปแบบดังกล่าวอยู่มากมายหลายแบบ ${\displaystyle \ln n\ll {\sqrt {n}}}$

การให้เหตุผลแบบฮิวริสติกนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้องนัก เพราะมันสมมติว่าเหตุการณ์ที่mและn − mเป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็น อิสระ ต่อกันทางสถิติ ตัวอย่างเช่น ถ้า mเป็นจำนวนคี่n − mก็จะเป็นจำนวนคี่ด้วย และถ้าmเป็นจำนวนคู่n − mก็จะเป็นจำนวนคู่ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่ธรรมดา เพราะนอกจากเลข 2 แล้ว มีเพียงจำนวนคี่เท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะได้ ในทำนองเดียวกัน ถ้าnหารด้วย 3 ลงตัว และmเป็นจำนวนเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 3 แล้วn − mก็จะเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกับ 3 ด้วย ดังนั้นจึงมีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะมากกว่าจำนวนทั่วไปเล็กน้อย จากการวิเคราะห์ประเภทนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนยิ่งขึ้นGH HardyและJohn Edensor Littlewoodในปี 1923 ได้ตั้งข้อสันนิษฐาน (ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับคู่จำนวนเฉพาะของ Hardy–Littlewood ) ว่าสำหรับค่าc ≥ 2 ใดๆ จำนวนการแสดงแทนจำนวนเต็มขนาดใหญ่nในรูปผลรวมของจำนวน เฉพาะ cตัวn = p + ⋯ + p โดยที่p ≤ ⋯ ≤ p ควรจะมี ค่าเท่ากับ โดยประมาณในเชิงอะซิมโทติกเท่ากับ

$${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$$

โดยที่ผลคูณนั้นครอบคลุมจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด และγ ( n )คือจำนวนคำตอบของสมการn = q + ⋯ + q mod pในเลขคณิตมอดูลาร์ภายใต้เงื่อนไขq , ..., q ≠ 0 mod pสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดแล้วว่าใช้ได้ในเชิงอะซิมโทติกสำหรับc ≥ 3จากงานของIvan Matveevich Vinogradovแต่ยังคงเป็นเพียงข้อสันนิษฐานเมื่อc = 2ในกรณีหลัง สูตรข้างต้นจะลดรูปเป็น 0 เมื่อnเป็นจำนวนคี่ และเป็น

$${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$$

เมื่อnเป็นจำนวนคู่ โดยที่Π คือค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะคู่แฝดของ Hardy–Littlewood

$${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$$

บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าสมมติฐานโกลด์บัคแบบขยายสมมติฐานโกลด์บัคมีความคล้ายคลึงกับ สมมติฐาน จำนวนเฉพาะคู่แฝด มาก และเชื่อกันว่าสมมติฐานทั้งสองมีระดับความยากใกล้เคียงกัน

เดอะฟังก์ชันการแบ่งส่วนของโกลด์บัคจะเชื่อมโยงจำนวนเต็มคู่แต่ละจำนวนกับจำนวนวิธีที่สามารถแยกออกเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะคล้ายดาวหางจึงเรียกว่าดาวหางโกลด์บัค ^{[ 28 ]}

ปรากฏการณ์ดาวหางของโกลด์บัคชี้ให้เห็นขอบเขตบนและล่างที่ค่อนข้างแคบสำหรับจำนวนการแสดงแทนของจำนวนคู่ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน และยังแสดงให้เห็นว่าจำนวนการแสดงแทนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับค่าโมดูลัส 3 ของจำนวนนั้นอย่างมาก

แม้ว่าสมมติฐานของโกลด์บัคจะบ่งชี้ว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่าหนึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะได้ไม่เกินสามตัว แต่ก็ไม่สามารถหาผลรวมดังกล่าวได้เสมอไปโดยใช้อัลกอริทึมแบบโลภที่ใช้จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ในแต่ละขั้นตอนลำดับของพิลไลติดตามจำนวนที่ต้องการจำนวนเฉพาะมากที่สุดในการแสดงแบบโลภ^{[ 29 ]}

ปัญหาที่คล้ายคลึงกับข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคมีอยู่เช่นกัน โดยที่จำนวนเฉพาะถูกแทนที่ด้วยเซตของตัวเลขเฉพาะอื่นๆ เช่น กำลังสอง:

• ลากรองจ์พิสูจน์ว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสองสี่จำนวนดูปัญหาของวาริงและปัญหาที่เกี่ยวข้องของวาริง-โกลด์บัคเกี่ยวกับผลรวมของกำลังของจำนวนเฉพาะ
• Hardy และ Littlewood ระบุข้อสันนิษฐานข้อที่ 1 ของพวกเขาว่า: "จำนวนคี่ขนาดใหญ่ทุกจำนวน ( n > 5 ) เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะและสองเท่าของจำนวนเฉพาะ" ^{[ 30 ]}ข้อสันนิษฐานนี้เรียกว่าข้อสันนิษฐานของ Lemoineและยังเรียกว่าข้อสันนิษฐานของ Levyอีก ด้วย
• ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคสำหรับจำนวนเชิงปฏิบัติซึ่งเป็นลำดับจำนวนเต็มที่คล้ายจำนวนเฉพาะ ได้รับการกล่าวถึงโดยมาร์เกนสเติร์นในปี 1984 ^{[ 31 ]}และได้รับการพิสูจน์โดยเมลฟีในปี 1996: ^{[ 32 ]}จำนวนคู่ทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนเชิงปฏิบัติสองจำนวน
• Harvey Dubnerเสนอการเสริมความแข็งแกร่งของข้อสันนิษฐานของ Goldbach: ว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 4208 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะคู่แฝด สองจำนวน (ไม่จำเป็นต้องเป็นคู่เดียวกัน) ^{[ 33 ]}มีเพียงจำนวนเต็มคู่ 34 จำนวนที่น้อยกว่า 4208 เท่านั้นที่ไม่ใช่ผลรวมของจำนวนเฉพาะคู่แฝดสองจำนวน Dubner ได้ตรวจสอบด้วยการคำนวณแล้วว่ารายการนี้สมบูรณ์จนถึง^{[ 34 ]}การพิสูจน์ข้อสันนิษฐานที่แข็งแกร่งกว่านี้ไม่เพียงแต่จะบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานของ Goldbach เท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อสันนิษฐานของจำนวนเฉพาะคู่แฝดด้วย${\displaystyle 2\cdot 10^{10}.}$

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคใช้ในการศึกษาความซับซ้อนของการคำนวณ^{[ 35 ]} การเชื่อมโยงเกิดขึ้นผ่าน ฟังก์ชัน Busy Beaverโดยที่ BB( n ) คือจำนวนขั้นตอนสูงสุดที่เครื่องทัวริงnสถานะ ใดๆ ที่หยุดทำงาน มีเครื่องทัวริง 27 สถานะที่หยุดทำงานก็ต่อเมื่อข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคเป็นเท็จ^{[ 35 ]}ดังนั้น หากทราบ BB(27) และเครื่องทัวริงไม่หยุดในจำนวนขั้นตอนดังกล่าว ก็จะทราบว่าเครื่องทำงานตลอดไป และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีตัวอย่างค้าน (พิสูจน์ข้อสันนิษฐาน) นี่เป็นวิธีที่ไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐาน แต่ใช้เพื่อแนะนำว่า BB(27) จะคำนวณได้ยากมาก อย่างน้อยก็ยากพอๆ กับการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัค

Goldbach's Conjecture ( จีน :哥德巴赫猜想) เป็นชื่อเรื่อง ชีวประวัติของ Xu Chiของนักคณิตศาสตร์และนักทฤษฎีจำนวนชาวจีนChen Jingrun

ข้อสันนิษฐานนี้เป็นจุดสำคัญในโครงเรื่องของ นวนิยายเรื่อง Uncle Petros and Goldbach's Conjecture ของ Apostolos Doxiadisในปี 1992 รวมถึงเรื่องสั้น " Sixty Million Trillion Combinations " ของ Isaac Asimovและ นวนิยายลึกลับเรื่อง No One You KnowของMichelle Richmond ในปี 2008 ^{[ 36 ]}

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคเป็นส่วนหนึ่งของโครงเรื่องในภาพยนตร์สเปนเรื่องFermat's Room ปี 2007

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคเป็นหัวข้อหลักของการวิจัยของตัวละครชื่อมาร์เกอริตในภาพยนตร์ฝรั่งเศส-สวิสเรื่องMarguerite 's Theorem ปี 2023 ^{[ 37 ]}

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคเป็นกลไกพล็อตใน นวนิยายเรื่องสั้นของ เฟรเดอริก โพลห์เรื่อง " ทองคำที่ปลายดาว " ^{[ 38 ]}

• Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H.; Zinoviev, D. (1997). "ทฤษฎีบท 3-primes ของ Vinogradov ที่สมบูรณ์ภายใต้สมมติฐาน Riemann" ( PDF)ประกาศการวิจัยทางอิเล็กทรอนิกส์ของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน 3 ( 15): 99– 104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 25 กรกฎาคม 2008 สืบค้นเมื่อ 28 เมษายน2021
• Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). "เซตพิเศษในปัญหาของโกลด์บัค" (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353– 370. doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2024-09-17 . สืบค้นเมื่อ2018-09-05 .
• เทเรนซ์ เทา พิสูจน์ว่าจำนวนคี่ทุกจำนวนมีค่าไม่เกินผลรวมของจำนวนเฉพาะห้าจำนวน(เก็บถาวรเมื่อ 2013-02-14 ที่Wayback Machine )
• บทความเรื่อง "Goldbach Conjecture Archived 2019-07-28" อยู่ในWayback Machineที่MathWorld

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานของโกลด์บัคในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• "ปัญหาโกลด์บัค" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• จดหมายฉบับดั้งเดิมของโกลด์บัคถึงออยเลอร์ — รูปแบบ PDF (ภาษาเยอรมันและละติน) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 16 กันยายน 2009 ที่Wayback Machine
• ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 18 กันยายน 2008 ที่ Wayback Machine ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ Prime Pagesของคริส คาลด์เวลล์
• การตรวจสอบการคาดเดาของ Goldbach , การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์แบบกระจายของ Tomás Oliveira e Silva